Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương VII: Bất phương trình bậc hai một ẩn
50 câu hỏi
Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
\(0{x^2} + 5x - 3\).
\(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).
\(7x - {x^2} + 5\).
\({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Biểu thức \(7x - {x^2} + 5\) là tam thức bậc hai.
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\) Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) là
\[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right..\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và \(\Delta < 0\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \[\Delta = {b^2} - 4ac < 0\]. Khi đó mệnh đề nào đúng?
\(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) < 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right)\) không đổi dấu.
Tồn tại \(x\) để \(f\left( x \right) = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(\Delta < 0\) và \(a \ne 0\) nên \(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?
\({x^2} - x + 6\).
\({x^2} + x + 6\).
\({x^2} - x - 6\).
\( - {x^2} + x - 6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đây là bảng xét dấu của tam thức bậc hai \({x^2} - x - 6\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x + 5\] nhận giá trị dương khi và chỉ khi
\[x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[x \in \left( { - 2; + \infty } \right).\]
\[x \in \mathbb{R}.\]
\[x \in \left( { - \infty ;2} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta ' = 1 - 2.5 = - 9 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \,f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\]
Số giá trị nguyên của \(x\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là
\(3.\)
\(4.\)
\(5.\)
\(6.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\) . Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 1 < x < \frac{9}{2}.\) Mà \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
Cho \[f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:
\[f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\].
\[f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {\,1;3\,} \right]\].
\[f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\].
\[f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {\,1;3\,} \right]\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\].
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) \le 0\, \Leftrightarrow \,1 \le x \le 3\).
Tam thức \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x + m + 4\] dương với mọi \[x\] khi:
\[ - 1 < m < \frac{{11}}{4}.\]
\[ - \frac{{11}}{4} < m < 1.\]
\[ - \frac{{11}}{4} \le m \le 1.\]
\[\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > \frac{{11}}{4}\end{array} \right..\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức 
có \(a = 3 > 0\). Do đó \(f\left( x \right) > 0,\forall x\) khi
\(\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} - 7m - 11 < 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{{11}}{4}\).
Bất phương trình \({x^2} - mx - m \ge 0\) có nghiệm đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi:
\(m \le - 4\) hoặc \(m \ge 0\).
\( - 4 < m < 0\).
\(m < - 4\) hoặc \(m > 0\).
\( - 4 \le m \le 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - mx - m\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(\Delta = {m^2} + 4m \le 0\)\( \Leftrightarrow - 4 \le m \le 0\).
Tam thức \[f\left( x \right) = \left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + m + 3\] không âm với mọi \[x\] khi:
\(m \ge - 2.\)
\(m \le - 2.\)
\(m > - 2.\)
\(m < - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
· Với \(m = - 2\), tam thức bậc hai trở thành 
: đúng với mọi .
· Với \(m \ne - 2\), yêu cầu bài toán \[\left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + m + 3 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\]
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m + 2 > 0\\\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {m + 3} \right) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\ - m - 2 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2\).
Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \ge - 2\) là giá trị cần tìm.
Tập nghiệm của bất phương trình: \[2{x^2}-7x-15\; \ge 0\;\]là:
\[\left( {--\infty ;--\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\].
\[\left[ {--\frac{3}{2};5} \right]\].
\(\left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 5;\frac{3}{2}} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[2{x^2}--7x--15 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\].
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \[2{x^2}--7x--15\; \ge 0\;\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le - \frac{3}{2}\end{array} \right..\]
Tập nghiệm của bất phương trình: \[-{x^2} + 6x + 7\; \ge 0\;\]là:
\(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 1;7} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 7} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 7;1} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[--{x^2} + 6x + 7\; = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 1\end{array} \right.\].
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \[--{x^2} + 6x + 7\; \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7.\]
Giải bất phương trình \( - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0.\)
\(S = 0.\)
\(S = \left\{ 0 \right\}.\)
\(S = \emptyset .\)
\(S = \mathbb{R}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét \[--2{x^2} + 3x - 7\; = 0\] có \(\Delta = {3^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 7} \right) = - 47 < 0\). Do đó \( - 2{x^2} + 3x - 7 < 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Do đó \[ - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0\, \Leftrightarrow \,x \in \emptyset \].
Cho hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Nhận định nào sau đây là đúng?
Bất phương trình \(f(x) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\).
Phương trình \(f(x) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).
Bất phương trình \(f(x) < 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).
Bất phương trình \(f(x) > 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đồ thị, ta thấy bất phương trình \(f(x) < 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).
Bất phương trình nào sau đây nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\)?
\(3{x^2} - 2x - 1 > 0\).
\({x^2} - 3x + 2 > 0\).
\({x^2} - x - 2 > 0\).
\(2{x^2} - 5x + 2 > 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) \(3{x^2} - 2x - 1 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.\). Do đó đáp án A loại.
+) \({x^2} - 3x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\). Do đó đáp án B đúng.
+) \({x^2} - x - 2 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 2\end{array} \right.\). Do đó đáp án C loại.
+) \(2{x^2} - 5x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\x > 2\end{array} \right.\). Do đó đáp án D loại.
Tìm \(x\) để \(\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 1}} \ge 0\)
\((1;3]\).
\((1;2] \cup [3; + \infty )\).
\([2;3]\).
\(( - \infty ;1) \cup [2;3]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đặt \(f(x) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 1}}\). Điều kiện: \(x \ne 1\).
Xét \(f(x) = 0 \Rightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \vee x = 3\).
Bảng xét dấu:
Ta có: \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \in (1;2] \cup [3; + \infty )\).
Tập nghiệm của bất phương trình \((1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right) < 0\) là:
\(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
\(S = \left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\).
\(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
\(S = ( - 1; + \infty )\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét \(f(x) = (1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right)\)
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}1 - 2x = 0\\2{x^2} - 3x - 5 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - 1 \vee x = \frac{5}{2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)
Bảng xét dấu:
Ta có: \(f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).
Giải bất phương trình \[x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right).\]
\[x \le 1.\]
\(1 \le x \le 4.\)
\(x \in \left( { - \,\infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)
\(x \ge 4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Bất phương trình \[x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0\]
Xét phương trình \[{x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right..\]
Lập bảng xét dấu\[x\] | \[ - \,\infty \] |
| \[1\] |
| \[4\] |
| \[ + \,\infty \] |
\[{x^2} - 5x + 4\] |
| \[ + \] | \[0\] | \[ - \] | \[0\] | \[ + \] |
|
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \[{x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right).\]
Giá trị nào của \(m\) thì phương trình \((m - 3){x^2} + (m + 3)x - (m + 1) = 0\) có hai nghiệm phân biệt?
\(m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup (1; + \infty )\backslash \{ 3\} \).
\(m \in \left( { - \frac{3}{5};1} \right)\).
\(m \in \left( { - \frac{3}{5}; + \infty } \right)\).
\(m \in \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m - 3 \ne 0\\{(m + 3)^2} + 4(m - 3)(m + 1) > 0\end{array}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ne 3\\5{m^2} - 2m - 3 > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ne 3\\m < - \frac{3}{5} \vee m > 1\end{array}\end{array}} \right.} \right.\).
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi
\(m > 1.\)
\( - \,3 < m < 1.\)
\(m \le - \,3\) hoặc \(m \ge 1.\)
\( - \,3 \le m \le 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 < 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1\).
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \(\sqrt {x - 2} = \sqrt {2 - x} \)?
\(0\).
\(1\).
\(2\).
Vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình ta được \(0 = 0\) hay \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \) là
\[3\].
\[ - 3\].
\[ - 2\].
\[1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.
Phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x - 1} = x - 3\) có nghiệm là
\(x = 1\) hoặc \(x = 3\).
Vô nghiệm.
\(x = 1\).
\(x = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\sqrt {{x^2} + 4x - 1} = x - 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{x^2} + 4x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.\)(vô nghiệm).
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \[\sqrt {2x - 3} = x - 3\] là:
\[S = \left\{ {6;2} \right\}.\]
\[S = \left\{ 2 \right\}.\]
\[S = \left\{ 6 \right\}.\]
\[S = \emptyset .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[\sqrt {2x - 3} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 8x + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.\]
Tổng các nghiệm của phương trình \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4\] bằng:
0.
1.
2.
3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của phương trình \(2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}.\)
Ta có \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \,\,\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7} = x + 2 & \left( 1 \right)\end{array} \right..\]
Giải phương trình
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 1,x = 2\) nên tổng hai nghiệm của phương trình là \(1 + 2 = 3.\)
Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
\[2\].
\[1\].
\[4\].
\[3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt {17} \le x \le \sqrt {17} \).
Ta có: \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}} - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 6} \right) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\\x = \pm 4\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = 0;x = 4;x = - 4\).
Vậy phương trình có \[3\] thực phân biệt.
Phương trình \(\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\sqrt {x + 3} = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
\[0\].
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge - 3\).
Phương trình tương đương với \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 4\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Một học sinh đã giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5} = 2 - x\) (1) như sau:
(I). (1) \( \Leftrightarrow \)\({x^2} - 5 = {\left( {2 - x} \right)^2}\)
(II). \( \Leftrightarrow 4x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\)
(III). Vây phương trình có một nghiệm là \(x = \frac{9}{4}\)
Lý luận trên nếu sai thì sai từ giai đoạn nào
(I).
(III).
(II).
Lý luận đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đúng là (1) \( \Rightarrow \)\({x^2} - 5 = {\left( {2 - x} \right)^2}\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
\[2\].
\[-1\].
\[ - 2\].
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\sqrt {3x + 7} = 2 + \sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \[2\].
Số nghiệm của phương trình:\(\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = 0\) là
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của phương trình \(x \ge 4\).
Phương trình tương đương với \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = 1\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\\x = 6\end{array} \right.\) kết hợp điều kiện suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 6\end{array} \right.\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} - x + 6\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\). Khi đó \(\left( {0;2025} \right)\) là tập con của \(S\).
Bất phương trình \(\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\) có độ dài tập nghiệm bằng 6.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Tam thức \(f\left( x \right) = - {x^2} - x + 6\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 3;{x_1} = 2\).
Ta có bảng xét dấu
b) Ta có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
c) Vì \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) nên \(\left( {0;2025} \right)\) không là tập con của \(S\).
d) Ta có \(\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 3;2} \right]\).
Độ dài tập nghiệm là 5.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - ax + b\) có bảng xét dấu như hình vẽ
\(f\left( 3 \right) > 0\).
\(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;2} \right]\).
\(a + b = 5\).
Bất phương trình \(f\left( {\sqrt x } \right) \le \sqrt x + 2\) có 16 nghiệm nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Dựa vào bảng xét dấu ta có \(f\left( 3 \right) > 0\).
b) Dựa vào bảng xét dấu ta có\(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;2} \right]\).
c) Dựa vào bảng xét dấu ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a + b = 0\\4 - 2a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + b = 5\).
d) Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).
Ta có \(f\left( {\sqrt x } \right) = x - 3\sqrt x + 2 < \sqrt x + 2\)\( \Leftrightarrow x - 4\sqrt x < 0\)\( \Leftrightarrow 0 < x < 16\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;...;15} \right\}\). Suy ra có 15 giá trị nguyên.
Bộ phận sản xuất của một công ty sản xuất xác định chi phí để sản xuất \(x\)sản phẩm được cho bởi biểu thức \(T\left( x \right) = {x^2} + 20x + 4000\) (triệu đồng). Giả sử \(x\)sản phẩm đều được bán hết và giá bán mỗi sản phẩm là 150 nghìn đồng. Bộ phận kinh doanh ước tính lợi nhuận khi bán \(x\) sản phẩm được biểu thị theo hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\).
Doanh thu khi bán được \(x\) sản phẩm là \(150x\) (triệu đồng).
\(a + b - c = 4120\).
Để công ty có lãi thì số sản phẩm bán ra thỏa mãn \(50 < x < 70\).
Lợi nhuận lớn nhất vượt quá là 240 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) S
a) Doanh thu khi bán được \(x\) sản phẩm là \(150x\) (nghìn đồng).
b) Lợi nhuận khi bán \(x\) sản phẩm là: \(f\left( x \right) = 150x - \left( {{x^2} + 20x + 4000} \right)\)\( = - {x^2} + 130x - 4000\).
Suy ra \(a = - 1;b = 130;c = - 4000\). Do đó \(a + b - c = 4129\).
c) Để công ty có lãi thì \( - {x^2} + 130x - 4000 > 0\)\( \Leftrightarrow 50 < x < 80\).
d) Ta có \( - {x^2} + 130x - 4000 = - {\left( {x - 65} \right)^2} + 225 \le 225\).
Do đó lợi nhuận lớn nhất là 225 triệu đồng.
Cho phương trình \(\sqrt {3x + 4} = x\).
\(x = 0\) là một nghiệm của phương trình.
Phương trình có đúng một nghiệm dương.
Phương trình có hai nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình là 4.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Thay \(x = 0\) vào phương trình ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.
b) Bình phương hai vế của phương trình ta được \(3x + 4 = {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 4\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 4\).
c) Tổng các nghiệm của phương trình là 4.
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm \(A\) trên bờ biển đến một điểm C trên một hòn đảo cách bờ biển \(6{\rm{km}}\). Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi km, giá để xây dựng đường ống dưới nước là 130000 USD mỗi km. Biết tổng số tiền công là 1170000 USD. B là điểm trên bờ biển sao cho \(CB\) vuông góc với bờ biển. Gọi khoảng cách từ \(A\) đến \(S\) là \(x\;{\rm{km}}\)(\(0 < x < 9\)).
\(SC = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} \).
\(50000.AS + 130000.SC = 1170000\).
Tính tổng số km đường ống cần làm lớn hơn 12 km.
\(SA > SC\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(SB = 9 - x\).
Xét \(\Delta SBC\) có \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} \).
b) \(50000.AS + 130000.SC = 1170000\).
c) Ta có \(50000.x + 130000.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 1170000\)
\( \Leftrightarrow 5x + 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 117\)
\( \Leftrightarrow 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 117 - 5x\) (1).
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được
\(169\left( {117 - 18x + {x^2}} \right) = 13689 - 1170x + 25{x^2}\)
\( \Leftrightarrow 144{x^2} - 1872x + 6084 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{2}\).
Thử lại ta thấy \(x = \frac{{13}}{2}\) là nghiệm của phương trình.
Do đó tổng km làm đường ống là \(AS + SC = 6,5 + \sqrt {{6^2} + {{2,5}^2}} = 13\).
d) Ta có \(SA = SC = \frac{{13}}{2}\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\).
Tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt.
Tam thức bậc hai luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau
Có duy nhất một số nguyên thỏa mãn \(f\left( x \right) < 0\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\) có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = 3\).
b) Có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
c) Ta có bảng xét dấu
d) Có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 2\).
Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi là 96 cm. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh là 4 cm.
Diện tích phần cắt đi là \({4.4^2}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Gọi chiều dài của tấm sắt là \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\) thì chiều rộng tấm sắt là \(96 - x\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Diện tích phần còn lại của tấm sắt là \( - {x^2} + 48x - 64\) (cm2).
Diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 cm2 khi và chỉ khi chiều dài của tấm sắt nằm trong đoạn \(\left[ {16;32} \right]\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Diện tích phần cắt đi là diện tích của 4 hình vuông có cạnh 4 cm.
Do đó diện tích phần cắt đi là \({4.4^2}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
b) Gọi chiều dài của tấm sắt là \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\) thì chiều rộng tấm sắt là \(\frac{{96}}{2} - x = 48 - x\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
c) Diện tích phần còn lại của tấm sắt là \(x\left( {48 - x} \right) - {4.4^2} = - {x^2} + 48x - 64\).
d) Diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 cm2 tức là
\( - {x^2} + 48x - 64 \ge 448\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 48x - 512 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 16 \le x \le 32\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - ax + b\) có bảng xét dấu như hình vẽ.
\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3 < x < 8\).
\(a + b = 35\).
Bất phương trình \(f\left( x \right) < 24\) có tập nghiệm \(\left( {0;11} \right)\).
\(f\left( {x + 1} \right) = {x^2} - mx + n\) với \(m + n = 23\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3 < x < 8\).
b) Dựa vào bảng xét dấu ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = 0\\f\left( 8 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 3a + b = 0\\64 - 8a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 24\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + b = 35\).
c) Có \(f\left( x \right) = {x^2} - 11x + 24\).
Có \(f\left( x \right) < 24\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 11x + 24 < 24\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 11x < 0\)\( \Leftrightarrow 0 < x < 11\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {0;11} \right)\).
d) Có \(f\left( {x + 1} \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 11\left( {x + 1} \right) + 24\)\( = {x^2} - 9x + 14\).
Suy ra \(m = 9;n = 14\). Suy ra \(m + n = 23\).
Cho phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 5} = \sqrt {{x^2} - x + 11} \) (*). Khi đó:
Điều kiện: \(x \ge 0\).
Bình phương 2 vế phương trình (*) ta được \({x^2} + x - 6 = 0\).
Phương trình (*) có 1 nghiệm.
Giả sử \({x_1},{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình (*) khi đó: \({x_1} - 2{x_2} = 7\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) S
Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(2{x^2} + 5 = {x^2} - x + 11 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 3.{\rm{ }}\)
Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình: \(\sqrt {13} = \sqrt {13} \) (thỏa mãn).
Thay giá trị \(x = - 3\) vào phương trình: \(\sqrt {23} = \sqrt {23} \) (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ 2; - 3\} \).
Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} =- 3;{x_2} = 2 \Rightarrow {x_1} - 2{x_2} =- 7\).
Cho phương trình \((x - 2)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4\) (3). Khi đó:
Điều kiện \(x \ge \frac{7}{2}\).
Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt.
Tổng các nghiệm của phương trình (3) bằng 3.
Các nghiệm của phương trình (3) là các số tự nhiên.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Điều kiện: \(2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}\).
b) \((x - 2)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow (x - 2)\sqrt {2x + 7} = (x - 2)(x + 2)\)
\( \Leftrightarrow (x - 2)[\sqrt {2x + 7} - (x + 2)] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{\sqrt {2x + 7} = x + 2}\end{array}} \right.\).
+) \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn).
+) \(\sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 \ge 0}\\{2x + 7 = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 2}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy phương trình (3) có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 1\).
c) Tổng các nghiệm của phương trình là 3.
d) Các nghiệm của phương trình đều là số tự nhiên.
Cho mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 100{\rm{m}}{\rm{,}}AD = 200{\rm{m}}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Một người đi thẳng từ A tới E thuộc cạnh MN với vận tốc 3 m/s rồi đi thẳng từ E tới C với vận tốc 4 m/s. Biết thời gian người đó đi từ A tới E bằng thời gian người đó đi từ E tới C. Thời gian người đó đi từ A tới C là bao nhiêu giây (làm tròn tới chữ số hàng trăm)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 67,04
Ta mô hình hóa bài toán bằng hình bên
Ta có \(AM = MN = NC = 100\).
Gọi \(ME = x \in \left[ {0;100} \right]\) thì \(AE = \sqrt {{{100}^2} + {x^2}} ,EN = 100 - x,EC = \sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}} \).
Theo đề bài ta có \(\frac{{\sqrt {{{100}^2} + {x^2}} }}{3} = \frac{{\sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}} }}{4}\).
Bình phương 2 vế của phương trình và thu gọn ta được \(7{x^2} + 1800x - 20000 = 0\).
Giải phương trình ta được \(x \approx 10,6685\) và \(x \approx - 267,8113\).
Thử lại ta tìm được nghiệm \(x \approx 10,6685\).
Thời gian người đó đi từ A tới C là \(67,04\) giây.
Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = 2x + 3\) ta được nghiệm có dạng \(x = a + b\sqrt c \). Tính \(a + c\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 6
Bình phương 2 vế của phương trình đã cho ta được:
\(3{x^2} - 4x + 1 = {\left( {2x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 16x + 8 = 0.\)
Giải phương trình: \({x^2} + 16x - 8 = 0\) được nghiệm \(x = - 8 \pm 2\sqrt {14} .\)
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là \(x = - 8 + 2\sqrt {14} .\)
Suy ra \(a = - 8;c = 14\). Do đó \(a + c = 6\).
Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng với giá nhập ban đầu là 40000 đồng một quả. Qua thống kê chủ cửa hàng nhận thấy nếu cửa hàng bán với giá 65000 đồng một quả thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 30 quả. Nhưng nếu cửa hàng giảm giá bán mỗi quả 1000 đồng thì số bưởi bán được một ngày lại tăng 10 quả. Xác định giá bán (đơn vị nghìn đồng) để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất
Hướng dẫn giải
Trả lời: 54
Gọi giá bán 1 quả bưởi là \(x\)(nghìn đồng) \(\left( {0 < x < 65} \right)\). Số tiền giảm là \(65 - x\) (nghìn đồng).
Số quả bưởi có thể bán tăng thêm là \(\left( {65 - x} \right).10\) quả.
Số quả bưởi bán thực tế là \(30 + \left( {65 - x} \right).10 = 680 - 10x\) quả.
Lợi nhuận khi bán 1 quả là \(x - 40\) nghìn đồng.
Lợi nhuận khi bán tất cả số bưởi là: \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right)\)(nghìn đồng).
Ta có \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right) = - 10{x^2} + 1080x - 27200\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) là 1960 tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = 54\).
Để lợi nhuận cửa hàng thu được là cao nhất thì giá bán là 54 nghìn đồng.
Tổng chi phí \(P\) (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi biểu thức \(P = {x^2} + 30x + 3300\); giá bán một sản phẩm là 170 nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) để đảm bảo nhà sản xuất không bị lỗ (giả sử các sản phẩm được bán hết). Tính \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 140
Khi bán hết \[x\] sản phẩm thì số tiền thu được là \(170x\) (nghìn đồng).
Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là \(170x \ge {x^2} + 30x + 3300\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0\)\( \Leftrightarrow 30 \le x \le 110\).
Do đó nhà sản xuất làm ra từ 30 đến 110 sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.
Suy ra \(a = 30;b = 110\). Do đó \(a + b = 140\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {2m - 3} \right)x + 4m - 3 > 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Có \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0\)\( \Leftrightarrow 1 < m < 3\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\). Suy ra có 1 giá trị nguyên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để phương trình \( - {x^2} + x + 4{m^2} - 5m + 1 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 19
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(\left( {4{m^2} - 5m + 1} \right).\left( { - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 5m + 1 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < \frac{1}{4}\end{array} \right.\).
Mà \(m \in \left[ { - 10;10} \right],m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 9; - 8;...;0;2;3;...;10} \right\}\).
Suy ra có 19 giá trị nguyên thỏa mãn.
Một khung dây thép hình chữ nhật với chiều dài 30 cm và chiều rộng 20 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới với kích thước \(\left( {30 - x} \right)\) (cm) và \(\left( {20 + x} \right)\) (cm). Với \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên. Khi đó trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) có bao nhiêu giá trị nguyên?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 9
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là \(30.20 = 600\)(cm2).
Diện tích hình chữ nhật mới là \(\left( {30 - x} \right)\left( {20 + x} \right)\) (cm2).
Xét hiệu \(f\left( x \right) = 600 - \left( {30 - x} \right)\left( {20 + x} \right) = {x^2} - 10x\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1} = 0;{x_2} = 10\).
Ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta có với \(x \in \left( {0;10} \right)\) thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên.
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;...;9} \right\}\). Suy ra có 9 giá trị nguyên.
Giải bất phương trình: \(\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right) \ge 0\) ta được tập nghiệm \(S = \left[ {a;b} \right]\). Tính \(a + 3b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 10
Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\) có \(\Delta = 1 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = 2\).
Tam thức bậc hai \(g(x) = - {x^2} + 5x - 6\) có \(\Delta = 1 > 0,a = - 1 < 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = 3\)
Ta có bảng xét dấu sau:
![Giải bất phương trình: (x^2) - 3x + 2)\- (x^2) + 5x - 6) lớn hơn hoặc bằng 0 ta được tập nghiệm S = [a;b]. Tính a + 3b (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/03/blobid1-1773737990.png)
Suy ra \(f(x) \cdot g(x) \ge 0\) khi \(x \in [1;3]\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = [1;3]\). Suy ra \(a + 3b = 10\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 6{\rm{\;cm}}\). Điểm \(D\) nằm trên tia \(AB\) sao cho \(DB = 3\;{\rm{cm}},DC = 8\;{\rm{cm}}\) (xem hình vẽ). Đặt \(AC = x\). Tính diện tích tam giác \(BCD\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 7,7
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\).
Suy ra \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{6^2} - {x^2}} = \sqrt {36 - {x^2}} {\rm{(\;cm)}}\).
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\).
Suy ra \(AD = \sqrt {C{D^2} - A{C^2}} = \sqrt {{8^2} - {x^2}} = \sqrt {64 - {x^2}} {\rm{(\;cm)}}\).
Mà \(AB + BD = AD\) nên \(\sqrt {36 - {x^2}} + 3 = \sqrt {64 - {x^2}} \) (1).
Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:
\(36 - {x^2} + 6\sqrt {36 - {x^2}} + 9 = 64 - {x^2} \Rightarrow \sqrt {36 - {x^2}} = \frac{{19}}{6} \Rightarrow {x^2} = \frac{{935}}{{36}} \Rightarrow x \approx 5,1.\)
Diện tích của tam giác \(BCD\) là: \(\frac{1}{2} \cdot 5,1 \cdot 3 \approx 7,7\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Một vật chuyển động có vận tốc (mét/giây) được biểu diễn theo thời gian \(t\) (giây) bằng công thức \(v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\). Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu giây thì vận tốc của vật không bé hơn \(10\;{\rm{m/s}}\) (biết rằng \(t > 0\))?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 8
Để vận tốc vật không dưới \(10\;{\rm{m/s}}\), ta cần xét:
\(v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10 \ge 10 \Rightarrow \frac{1}{2}{t^2} - 4t \ge 0.\)
Xét \(f(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t;f(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = 8}\end{array}} \right.\).
Bảng xét dấu \(f(t)\):
Ta có: \(f(t) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \le 0{\rm{ (}}l{\rm{) }}}\\{t \ge 8}\end{array}} \right.\).
Vậy, thời gian tối thiểu là 8 giây thì vật sẽ đạt vận tốc không bé hơn \(10{\rm{\;m/s}}\).
