Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Tự luận
31 câu hỏi
Giải các phương trình sau:
a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0\).
b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0\).
c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 3x} \right) = 0\).
d) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\).
e) \(\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\).
f) \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\).
g) \({\left( {3x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\).
h) \({\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}\).
i) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\).
j) \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\).
k) \( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {4x - 1} \right)^2}\).
l) \({x^2} - 8x + 12 = 0\).
a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0\) \(9{x^2} = 0\) hoặc \(2x - 3 = 0\) \({x^2} = 0\) hoặc \(2x = 3\) \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\). Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = 0;\) \(x = \frac{3}{2}\). c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 3x} \right) = 0\) \(x + 2 = 0\) hoặc \(3 - 3x = 0\) \(x = - 2\) hoặc \(3x = 3\) \(x = - 2\) hoặc \(x = 1\) Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = - 2;\) \(x = 1\). e) \(\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\) \(4x + 2 = 0\) (vì \({x^2} + 1 > 0\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý) \(4x = - 2\) \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = \frac{{ - 1}}{2}\). g) \({\left( {3x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\) \({\left( {3x - 2} \right)^2} = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\) \(3x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\) \(3x = 2\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = 2\) \(x = \frac{2}{3}\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = 2\) Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\); \(x = - 1\) và \(x = 2\). i) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) + \left( {6x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \(\left( {6x - 7} \right)\left[ {\left( {3x + 4} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {4x + 3} \right) = 0\) \(6x - 7 = 0\) hoặc \(4x + 3 = 0\) \(x = \frac{7}{6}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{4}\). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{7}{6};\) \(x = \frac{{ - 3}}{4}\). k) \( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {4x - 1} \right)^2}\) \( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{\left( {4x - 1} \right)^2} = 0\) \(\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\) \(\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5x + 10 - 8x + 2} \right] = 0\) \(\left( {4x - 1} \right)\left( { - 13x + 12} \right) = 0\) \(4x - 1 = 0\) hoặc \( - 13x + 12 = 0\) \(x = \frac{1}{4}\) hoặc \(x = \frac{{12}}{{13}}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{4};\) \(x = \frac{{12}}{{13}}\). | b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0\) \(x - 1 = 0\) hoặc \(3x - 6 = 0\) \(x = 1\) hoặc \(3x = 6\) \(x = 1\) hoặc \(x = 2\) Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = 1;\) \(x = 2\). d) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\) \(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\) \(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\) \(x = - 9\) hoặc \(x = 4\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\). f) \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\) \(3x - 4 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\) \(3x = 4\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(2x = 1\) \(x = \frac{4}{3}\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\) Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{4}{3}\); \(x = - 1\) và \(x = \frac{1}{2}\). h) \({\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}\) \({\left( {2x + 3} \right)^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 0\) \(\left( {2x + 3 - x + 5} \right){\left( {2x + 3 + x - 5} \right)^2} = 0\) \(\left( {x + 8} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0\) \(x + 8 = 0\) hoặc \(3x - 2 = 0\) \(x = - 8\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 8;\;x = \frac{2}{3}.\) j) \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\) \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) \(\left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {3x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\) \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\) \(x + 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\) \(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 1;\) \(x = \frac{1}{2}\). l) \({x^2} - 8x + 12 = 0\) \({x^2} - 2x - 6x + 12 = 0\) \(x\left( {x - 2} \right) - 6\left( {x - 2} \right) = 0\) \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\) \(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 6 = 0\) \(x = 2\) hoặc \(x = 6\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 2;\,\,x = 6.\) |
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}\).
b) \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\).
c) \[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2\].
d) \(\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}\).
e) \(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7\).
f) \(\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}\).
g) \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\).
h) \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
i) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\).
j) \(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}\).
k) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\).
l) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\).
a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\). \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}\) \(\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\) \(\frac{3}{2}.\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\) \(\frac{1}{x} = 1\) \(x = 1\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = 1\]. c) Điều kiện xác định: \[x \ne \frac{3}{4}\]. \[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2\] \[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {4x - 3} \right)}}{{4x - 3}}\] \[3x = - 2\left( {4x - 3} \right)\] \[3x = - 8x + 6\] \[3x + 8x = 6\] \[11x = 6\] \[x = \frac{6}{{11}}\] (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = \frac{6}{{11}}.\] e) Điều kiện xác định: \[x \ne 2\]. \(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7\) \[\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{2 + 7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}\] \(x = 2 + 7\left( {x - 2} \right)\) \[x = 2 + 7x - 14\] \[x = 7x - 12\] \[ - 6x = - 12\] \[x = 2\] (không thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. g) Điều kiện xác định \(x \ne - 7,\,\,x \ne \frac{3}{2}\). \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\)\[\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\] \(\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\) \(6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\) \(6{x^2} - 6{x^2} - 9x - 4x - 42x - x = 7 - 6\) \( - 56x = 1\) \(x = - \frac{1}{{56}}\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{1}{{56}}\). i) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\) \(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\) \(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\) \({x^2} + 3x = 3 + x - 3\) \({x^2} + 2x = 0\) \(x\left( {x + 2} \right) = 0\) \(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\) \( = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 2\). | b) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\). \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\) \(\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2x \cdot x}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}\) \(2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2x \cdot x + 3x\) \(2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x\) \(3x = - 12\) \(x = - 4\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = - 4\]. d) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\). \(\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}\) \(\frac{{3x}}{{8{x^2}}} - \frac{{4x}}{{8{x^2}}} = \frac{8}{{8{x^2}}}\) \(3x - 4x = 8\) \( - x = 8\) \(x = - 8\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = - 8.\] f) Điều kiện xác định: \(x \ne 3,\,\,x \ne - 2\). \(\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}\) \(\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) \(2\left( {x + 2} \right) = x - 3\) \(2x + 4 = x - 3\) \(x = - 7\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 7\). h) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,\,\,x \ne 0\). \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) \(\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) \(\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2\) \(2{x^2} + x + 2x + 2 = 2\) \(2{x^2} + 3x = 0\) \(x\left( {2x + 3} \right) = 0\) \(x = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\) \(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - \frac{3}{2}\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{3}{2}\). j) Điều kiện xác định: \(x \ne 0,\,\,x \ne 4\). \(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}\) \(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{{ - 4}}{{{x^2} - 4x}}\) \(\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {x + 4} \right)x}}{{x\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}}\) \(x - 4 - \left( {x + 4} \right)x = - 4\) \(x - 4 - {x^2} - 4x = - 4\) \( - {x^2} - 3x = 0\) \( - x\left( {x + 3} \right) = 0\) \( - x = 0\) hoặc \(x + 3 = 0\) \(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 3\) (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 3.\) |
k) Điều kiện xác định: \(x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2\). \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\) \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) \({\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16\) \({x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16\) \({x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16\) \({x^2} - 8x + 16 = 0\) \({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\) \(x - 4 = 0\) \(x = 4\) (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 4\). | |
l) Điều kiện xác định: \(xk - 4,\,\,x \ne 4\). \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\) \(\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) \(\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56\) \(2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56\) \({x^2} = 36\) \(x = 6\) hoặc \(x = - 6\) (thõa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 6;\,\,x = - 6.\) | |
Giải các bất phương trình sau:
a) \[8x + 2 < 7x - 1\].
b) \(3x - 8 > 4x - 12\).
c) \(3\left( {x - 2} \right) - 5 \ge 3\left( {2x - 1} \right)\).
d) \(5x - 7\left( {2x - 5} \right) < 2\left( {x - 1} \right)\).
e) \[{\left( {x - 1} \right)^2} < x\left( {x + 3} \right)\].
f) \[\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) < {\left( {x + 1} \right)^2} - 4\].
g) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) > \left( {x - 2} \right)\left( {x + 8} \right) + 26\).
h) \[{\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)\;\; \ge \;\; - 8x + 41\].
i) \(\frac{{x + 1}}{3} + \frac{x}{2} \ge 4\).
j) \[\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 2}}{2} \ge \frac{{5x + 4}}{6}\].
a) \[8x + 2 < 7x - 1\] \[8x - 7x < - 1 - 2\] \[x < - 3\]. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x < - 3\]. c) \(3\left( {x - 2} \right) - 5 \ge 3\left( {2x - 1} \right)\) \(3x - 6 - 5 \ge 6x - 3\) \(3x - 6x \ge - 3 + 5 + 6\) \( - 3x \ge 8\) \(x \le \frac{{ - 8}}{3}\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \le \frac{{ - 8}}{3}\). e) \[{\left( {x - 1} \right)^2} < x\left( {x + 3} \right)\] \[{x^2} - 2x + 1 < {x^2} + 3x\] \[ - 5x < - 1\] \[x > \frac{1}{5}\] Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là \[x > \frac{1}{5}\]. g) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) > \left( {x - 2} \right)\left( {x + 8} \right) + 26\) \({x^2} + 4x + 2x + 8 > {x^2} + 8x - 2x - 16 + 26\) \({x^2} - {x^2} + 4x + 2x - 8x + 2x > - 16 + 26 - 8\) \(0x > 2\). Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. i) \(\frac{{x + 1}}{3} + \frac{x}{2} \ge 4\) \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} + \frac{{3x}}{6} \ge \frac{{4 \cdot 6}}{6}\) \(2\left( {x + 1} \right) + 3x \ge 24\) \(2x + 2 + 3x \ge 24\) \(5x \ge 22\) \(x \ge \frac{{22}}{5}\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \ge \frac{{22}}{5}\). | b) \(3x - 8 > 4x - 12\) \(3x - 4x > - 12 + 8\) \( - x > - 4\) \(x < 4\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < 4\). d) \(5x - 7\left( {2x - 5} \right) < 2\left( {x - 1} \right)\) \(5x - 14x + 35 < 2x - 2\) \(5x - 14x - 2x < - 2 - 35\) \( - 11x < - 37\) \(x > \frac{{37}}{{11}}\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x > \frac{{37}}{{11}}\). f) \[\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) < {\left( {x + 1} \right)^2} - 4\]. \[{x^2} - x + 3x - 3 < {x^2} + 2x + 1 - 4\] \[{x^2} - {x^2} - x + 3x - 2x < 1 - 4 + 3\] \[0x < 0\]. Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. h) \[{\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) \ge - 8x + 41\] \[{x^2} - 8x + 16 - {x^2} + 25 \ge - 8x + 41\] \[ - 8x + 8x \ge 41 - 16 - 25\] \[0x \ge 0\]. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \in \mathbb{R}\]. j) \[\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 2}}{2} \ge \frac{{5x + 4}}{6}\] \[\frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{6} \ge \frac{{5x + 4}}{6}\] \[2\left( {2x - 1} \right) - 3\left( {x + 2} \right) \ge 5x + 4\] \[4x - 2 - 3x - 6 \ge 5x + 4\] \[x - 8 \ge 5x + 4\] \[x - 5x \ge 4 + 8\] \[ - 4x \ge 12\] \[x \le - 3\]. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x \le - 3\]. |
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 0}\\{x + 2y = 5.}\end{array}} \right.\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 21}\\{ - 6x + 3y = - 45.}\end{array}} \right.\)
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 5y = 8}\\{2x - y = 2.}\end{array}} \right.\)
d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = - 6}\\{x - 4y = 14.}\end{array}} \right.\)
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 0\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)}\\{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( {2a} \right)}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình (1a), ta có \(y = - 3x.\,\,\,\left( {3a} \right)\)
Thế \(y = - 3x\)vào phương trình (2a), ta được:
\(x + 2 \cdot \left( { - 3x} \right) = 5\) hay \( - 5x = 5\) nên \(x = - 1\).
Thay \(x = - 1\) vào phương trình (3a), ta được: \(y = - 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,3} \right)\).
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 21\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1b} \right)}\\{ - 6x + 3y = - 45\,\,\,\left( {2b} \right)}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình (2a), ta có: \(x = 5y + 21.\,\,\,\left( {3b} \right)\)
Thế \(x = 5y + 21\) vào phương trình (2b), ta được:
\( - 6\left( {5y + 21} \right) + 3y = - 45\) hay \( - 30y - 126 + 3y = - 45\), suy ra \( - 27y = 81\) nên \(y = - 3\).
Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3b), ta được:
\(x = 5 \cdot \left( { - 3} \right) + 21 = - 15 + 21 = 6.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {6; - 3} \right)\).
c) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 5y = 8\,\,\,\,\left( {1c} \right)}\\{2x - y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2c} \right)}\end{array}} \right.\]
Từ phương trình (2c), ta có: \(y = 2x - 2.\,\,\,\left( {3c} \right)\)
Thế \(y = 2x - 2\) vào phương trình (1c), ta được:
\( - 4x + 5\left( {2x - 2} \right) = 8\) hay \( - 4x + 10x - 10 = 8\), suy ra \(6x = 18\) nên \(x = 3\).
Thay \(x = 3\) vào phương trình (3c), ta được:
\(y = 2 \cdot 3 - 2 = 4\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;4} \right)\).
d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = - 6\,\,\,\,\,\left( {1d} \right)}\\{x - 4y = 14\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2d} \right)}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình (2d), ta có: \(x = 4y + 14.\,\,\,\,\left( {3d} \right)\)
Thế \(x = 4y + 14\) vào phương trình (1d), ta được:
\(3\left( {4y + 14} \right) + 4y = - 6\) hay \(12y + 42 + 4y = - 6\), suy ra \(16y = - 48\) nên \(y = - 3\).
Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3d), ta được:
\(x = 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 14 = - 12 + 14 = 2.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2; - 3} \right)\).
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10.\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1.\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)
e) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.\)
f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\\\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1.\end{array} \right.\]
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \( - 2y = 6\). Suy ra \(y = - 3\).
Thay \(y = - 3\) vào phương trình \( - x + 3y = - 10\), ta được:
\( - x + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 10\) hay \( - x - 9 = - 10,\) do đó \(x = 1\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1; - 3} \right).\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\( - 3x = - 9\). Suy ra \(x = 3\).
Thay \(x = 3\) vào phương trình \(2x + 3y = - 1\), ta được:
\(2 \cdot 3 + 3y = - 1\) hay \(6 + 3y = - 1\), suy ra \(3y = - 7\), do đó \(y = \frac{{ - 7}}{3}\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;\,\,\frac{{ - 7}}{3}} \right).\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\(y = - 2.\)
Thay \(y = - 2\) vào phương trình \(x + y = 0,\) ta được:
\(x + \left( { - 2} \right) = 0,\) do đó \(x = 2\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;\,\, - 2} \right).\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = - 4\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(0x + 0y = 0\) hay \(0x = 0.\)
Phương trình trên vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}.\)
Từ phương trình \(3x - 2y = - 2,\) ta có \(2y = 3x + 2\) hay \(y = \frac{3}{2}x + 1.\)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: \(\left( {x;\,\,\frac{3}{2}x + 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
e) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:
\(0x + 0y = 1\) hay \(0x = 1\).
Phương trình trên vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
f) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1}\end{array}} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{2x - \frac{9}{4}y = - 3.}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(\frac{5}{2}x = - \frac{5}{2}.\) Suy ra \(x = - 1.\)
Thay \(x = - 1\)vào phương trình\(\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\), ta được :
\(\frac{1}{2} \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\) hay \( - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2},\) suy ra \(\frac{9}{4}y = 1,\) do đó \(y = \frac{4}{9}.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,\frac{4}{9}} \right).\)
Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8.\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3.\end{array} \right.\)
c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1.\end{array} \right.\]
d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5.\end{array} \right.\]
e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0.\end{array} \right.\)
f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8\end{array} \right.\)(Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)
Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - b = 7\\2a + b = 8.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(5a = 15,\) suy ra \(a = 3\).
Thay \(a = 3\) vào phương trình \(2a + b = 8,\) ta được:
\(2 \cdot 3 + b = 8,\) suy ra \(b = 2\).
Với \(a = 3\) ta có \(\frac{1}{x} = 3,\) suy ra \(x = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện);
Với \(b = 2\) ta có \(\frac{1}{y} = 2,\) suy ra \(y = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)
Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 2\\4a - 5b = 3.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}12a - 16b = 8\\12a - 15b = 9.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - b = - 1,\) suy ra \(b = 1.\)
Thay \(b = 1\) vào phương trình \(3a - 4b = 2,\) ta được:
\(3a - 4 \cdot 1 = 2,\) hay \(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)
Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);
Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).
c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\](Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)
Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ đã cho cho \(xy\) (do \(xy \ne 0)\), ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{y} + \frac{3}{x} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{{12}}{y} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 3, ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{x} + \frac{{36}}{y} = 12\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(\frac{{44}}{y} = 11,\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn điều kiện).
Thay \(y = 4\) vào phương trình \[\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\], ta được:
\[\frac{9}{x} - \frac{8}{4} = 1\] hay \[\frac{9}{x} - 2 = 1,\] do đó \(\frac{9}{x} = 3\) nên \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,4} \right)\).
d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.\]
Cách 1. Đặt \(a = x + y\) và \(b = x - y\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\a + 2b = 5.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\2a + 4b = 10.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - b = - 6,\) suy ra \(b = 6.\)
Thay \(b = 6\) vào phương trình \(a + 2b = 5,\) ta được:
\(a + 2 \cdot 6 = 5,\) suy ra \(a = - 7.\)
Với \(a = - 7,\,\,b = 6\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(2x = - 1\), suy ra \(x = - \frac{1}{2}\).
Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(x - y = 6,\) ta được:
\( - \frac{1}{2} - y = 6,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).
Cách 2. \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Từ phương trình (1), ta có: \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \(5x - y = 4.\) (3)
Từ phương trình (2), ta có: \(x + y + 2x - 2y = 5\) hay \(3x - y = 5.\) (4)
Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(2x = - 1,\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}.\)
Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(5x - y = 4,\) ta được:
\(5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 4,\) hay \( - \frac{5}{2} - y = 4,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).
e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\) (Điều kiện xác định:\(y \ne 2x;\,\,y \ne - x).\)
Đặt \(\frac{1}{{2x - y}} = u;\,\,\frac{1}{{x + y}} = v\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\u - v = 0.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\3u - 3v = 0.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - 3v = - 1\), suy ra \[v = \frac{1}{3}\].
Thay \[v = \frac{1}{3}\] vào phương trình \(u - v = 0,\) ta được: \(u - \frac{1}{3} = 0,\) suy ra \(u = \frac{1}{3}\).
Với \(u = \frac{1}{3}\) và \[v = \frac{1}{3}\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (5) ta có: \(2x - y = 3.\,\,\,\,\left( 7 \right)\)
Từ phương trình (6) ta có: \(x + y = 3.\,\,\,\,\left( 8 \right)\)
Từ (7) và (8) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(3x = 6\) hay \(x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + y = 3,\) ta được: \(2 + y = 3\), suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;1} \right)\).
f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện xác định: \[x \ne - 1;y \ne 3).\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho với \[3\], ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 3}} = 81\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình:
\[\frac{{17x}}{{x + 1}} = 85\]
\[\frac{x}{{x + 1}} = 5\]
\[5\left( {x + 1} \right) = x\]
\[5x + 5 = x\]
\[4x = - 5\]
\[x = \frac{{ - 5}}{4}\] (thỏa mãn).
Thế \[\frac{x}{{x + 1}} = 5\] vào phương trình \[\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\], ta được:
\[5 \cdot 5 + \frac{y}{{y - 3}} = 27\]
\[\frac{y}{{y - 3}} = 2\]
\[2\left( {y - 3} \right) = y\]
\[2y - 6 = y\]
\[y = 6\] (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};6} \right).\]
Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.
Xác định hàm số \(y = ax + b\) để đồ thị hàm số đó đi qua hai điểm cho trước trong mỗi trường hợp sau:
a) \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {4;\,\,5} \right)\). b) \(C\left( { - 1;\,\, - 5} \right)\) và \(D\left( { - 6;\,\,1} \right).\)
a) Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {4;\,\,5} \right)\) nên thay lần lượt từng cặp giá trị \(x,\,\,y\) vào hàm số, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a \cdot 1 + b\\5 = a \cdot 4 + b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\4a + b = 5.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:
\(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)
Thay \(a = 2\) vào phương trình \(a + b = - 1,\) ta được:
\(2 + b = - 1,\) suy ra \(b = - 3.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2x - 3.\)
b) Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(C\left( { - 1;\,\, - 5} \right)\) và \(D\left( { - 6;\,\,1} \right)\) nên thay lần lượt từng cặp giá trị \(x,\,\,y\) vào hàm số, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 5 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b\\1 = a \cdot \left( { - 6} \right) + b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = - 5\\ - 6a + b = 1.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:
\(5a = - 6,\) suy ra \(a = - \frac{6}{5}.\)
Thay \(a = - \frac{6}{5}\) vào phương trình \( - a + b = - 5,\) ta được:
\( - \left( { - \frac{6}{5}} \right) + b = - 5,\) suy ra \(b = - \frac{{31}}{5}.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = - \frac{6}{5}x - \frac{{31}}{5}.\)
Tìm các hệ số \(x,\,\,y\) trong phản ứng hóa học được cân bằng sau:
a) \(x{\rm{Ag}} + y{\rm{C}}{{\rm{l}}_2} \to 2{\rm{AgCl}}{\rm{.}}\)
b) \[{\rm{xHgO}} \to 2{\rm{Hg}} + y{{\rm{O}}_2}.\]
a) \(x{\rm{Ag}} + y{\rm{C}}{{\rm{l}}_2} \to 2{\rm{AgCl}}{\rm{.}}\)
Vì số nguyên tử của \[{\rm{Ag}}\] và \({\rm{Cl}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2y = 2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 2,\,\,y = 1.\)
b) \[{\rm{xHgO}} \to 2{\rm{Hg}} + y{{\rm{O}}_2}.\]
Vì số nguyên tử của \[{\rm{Hg}}\] và \[{\rm{O}}\] ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2y\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 2,\,\,y = 1.\)
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó bằng 10. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số, lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12.
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là: \(\overline {xy} \)\(\left( {1 \le x \le 9,\,\,0 \le y \le 9,\,\,x \in \mathbb{N},\,\,y \in \mathbb{N}} \right).\)
⦁Tổng của hai chữ số đó là: \(x + y\).
Theo bài, tổng của hai chữ số đó bằng 10 nên ta có phương trình: \(x + y = 10\). (1)
Giá trị của số cần tìm là \(\overline {xy} = 10x + y\)
Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số là \(\overline {x0y} = 100x + y.\)
Theo bài, số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12 nên ta có: \(\overline {x0y} = \overline {xy} \cdot 7 + 12\)
Suy ra \(100x + y = \left( {10x + y} \right) \cdot 7 + 12\)
\(100x + y = 70x + 7y + 12\)
\(30x - 6y = 12\)
\(5x - y = 2\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 10}\\{5x - y = 2}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(6x = 12,\) suy ra \[x = 2\] (thỏa mãn).
Thay \(x = 2\) vào phương trình (1), ta được \(2 + y = 10\), suy ra \(y = 8\) (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là: 28.
Một ôtô dự định đi từ A đến B trong khoảng thời gian nhất định. Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi chậm mất so với dự định là 5 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ôtô.
Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và \(y\) (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB \(\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).\)
– Quãng đường AB là \(xy\) (km).
– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:
⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x + 10\) (km/h).
⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y - 3\) (giờ).
⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)\) (giờ).
Ta có phương trình: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy\)
\(xy - 3x + 10y - 30 = xy\)
\( - 3x + 10y = 30\) (1)
– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:
⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x - 10\) (km/h).
⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y + 5\) (giờ).
⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {x - 2} \right)\) (giờ).
Ta có phương trình: \[\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy\]
\(xy + 5x - 10y - 50 = xy\)
\(5x - 10y = 50\) (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2x = 80,\) suy ra \[x = 40\] (thỏa mãn).
Thay \[x = 40\] vào phương trình (1), ta được \( - 3 \cdot 40 + 10y = 30\) hay \(10y = 150,\) suy ra \(y = 15\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).
Khi cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì sẽ đầy được \[\frac{2}{{15}}\] bể. Hỏi nếu chảy riêng, mỗi vòi nước sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Đổi: 1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ; 10 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{6}}}\)giờ; 12 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{5}}}\)(giờ).
Gọi \[x\] (giờ); \[y\] (giờ) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể \(\left( {x > \frac{4}{3};\,\,y > \frac{4}{3}} \right).\)
⦁ Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được: \(\frac{1}{x}\) (bể).
Trong một giờ vòi thứ hai chảy được: \(\frac{1}{y}\) (bể).
Do đó, trong một giờ cả hai vòi sẽ chảy được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (bể).
Theo bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau \(\frac{4}{3}\) (giờ) sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi sẽ chạy được: \(\frac{1}{{\frac{4}{3}}} = \frac{3}{4}\) (bể).
Do đó, ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) (1)
⦁Khi mở vòi thứ nhất trong 10 phút thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\) (bể).
Khi mở vòi thứ hai trong 12 phút thì vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y}\) (bể).
Theo bài, Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì sẽ đầy được \[\frac{2}{{15}}\] bể nên ta có phương trình \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}\) (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 5, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)
Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:
\[\left( {1 - \frac{5}{6}} \right) \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}\] hay \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\), suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{2},\) nên \(x = 2\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\), ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\frac{1}{y} = \frac{1}{4},\) nên \(y = 4\) (thỏa mãn).
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 2 giờ sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 4 giờ sẽ đầy bể.
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến về mặt kỹ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt kế hoạch 18%, và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.
Gọi \(x,\,\,y\) (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\).
Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: \(x + y = 600\) (1)
Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: \(x + 18\% x = 1,18x\) (sản phẩm).
Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: \(y + 21\% y = 1,21y\) (sản phẩm).
Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình: \(1,18x + 1,21y = 600 + 120\) hay \(118x + 121y = 72\,\,000\) (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.\)
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - 3y = - 1\,\,200\), suy ra \(y = 400\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 400\) vào phương trình \(x + y = 600\), ta được:
\(x + 400 = 600\), suy ra \(x = 200\) (thỏa mãn).
Vậy theo kế hoạch, tổ I và tổ II cần sản xuất lần lượt là 200 sản phẩm và 400 sản phẩm.
Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\)km hết \(4\)giờ \(30\)phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\)km. Tính vận tốc dòng nước.
Gọi \(x,\,\,y\) (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước \(\left( {x > y > 0} \right).\)
Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: \(x + y\) (km/h).
Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: \(x - y\) (km/h).
⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(40\) km là: \(\frac{{40}}{{x + y}}\) (giờ).
Thời gian thuyền đi ngược dòng \(40\) km là: \[\frac{{40}}{{x - y}}\] (giờ).
Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\)km hết \(4\)giờ \(30\)phút \(( = 4,5\) giờ) nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\). (1)
⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(5\) km là: \(\frac{5}{{x + y}}\) (giờ).
Thời gian thuyền đi ngược dòng \(4\) km là: \[\frac{4}{{x - y}}\] (giờ).
Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\)km nên ta có phương trình: \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\)
Đặt \(a = \frac{1}{{x + y}}\) và \(b = \frac{1}{{x - y}}\)\(\left( {a > 0;\,\,b > 0} \right)\), ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a = 4b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a - 4b = 0\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 10, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\50a - 40b = 0\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:
\(90a = 4,5\), suy ra \(a = \frac{1}{{20}}\) (thỏa mãn).
Thay \(a = \frac{1}{{20}}\) vào phương trình \(5a = 4b\), ta được:
\[5 \cdot \frac{1}{{20}} = 4b,\] suy ra \(b = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn).
Với \(a = \frac{1}{{20}}\) ta có \(\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{20}}\) suy ra \(x + y = 20\). (3)
Với \(b = \frac{1}{{16}}\) ta có: \(\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{16}}\) suy ra \(x - y = 16\). (4)
Từ phương trình (3) và phương trình (4), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 20}\\{x - y = 16}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:
\(2x = 36,\) suy ra \(x = 18\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 18\) vào phương trình \(x + y = 20\), ta được:
\(18 + y = 20\), suy ra \(y = 2\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Thời gian bè nứa trôi từ A đến điểm C cách A một đoạn 8 km là: \(\frac{8}{4} = 2\) (giờ).
Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian ca nô di chuyển cũng là 2 giờ.
Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 4} \right)\).
Vận tốc ca nô xuôi dòng từ A đến B là: \(x + 4\) (km/h).
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là: \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ).
Vận tốc ca nô ngược dòng từ B đến A là: \(x - 4\) (km/h).
Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến C cách A một đoạn 8 km là: \(\frac{{24 - 8}}{{x - 4}} = \frac{{16}}{{x - 4}}\) (giờ).
Do đó, tổng thời gian ca nô di chuyển là: \(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}}\) (giờ).
Ta có phương trình: \(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = 2\)
Giải phương trình:
\(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = 2\)
\(\frac{{12}}{{x + 4}} + \frac{8}{{x - 4}} = 1\)
\(\frac{{12\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{8\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\)
\(12\left( {x - 4} \right) + 8\left( {x + 4} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\)
\(12x - 48 + 8x + 32 = {x^2} - 16\)
\( - {x^2} + 20x = 0\)
\( - x\left( {x - 20} \right) = 0\)
\(x - 20 = 0\) (do \(x > 4).\)
\(x = 20\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc thực của ca nô là: 20 km/h.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m, nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm bớt chiều dài đi 4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.
Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là: \[100:2 = 50\] (m).
Gọi \[x\] (m) là chiều rộng của mảnh vườn \(\left( {0 < x < 25} \right).\)
Chiều dài của mãnh vườn là: \(50 - x\) (m).
Diện tích của mảnh vườn là: \(x\left( {50 - x} \right)\) (m2).
Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m thì chiều rộng mới là \(x + 3\) (m).
Nếu giảm bớt chiều dài đi 4 m thì chiều dài mới là \(50 - x - 4 = 46 - x\) (m).
Khi đó diện tích của mảnh vườn mới là \(\left( {x + 3} \right)\left( {46 - x} \right)\) (m2).
Theo bài, sau khi thay đổi kích thước thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2, nên ta có phương trình:
\(x\left( {50 - x} \right) - \left( {x + 3} \right)\left( {46 - x} \right) = 2\)
\(50x - {x^2} - \left( {46x - {x^2} + 138 - 3x} \right) = 2\)
\(50x - {x^2} - 46x + {x^2} - 138 + 3x = 2\)
\(7x = 140\)
\(x = 20\) (thỏa mãn).
Vậy diện tích của mảnh vườn ban đầu là: \(20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600\) (m2).
Một công nhân dự kiến làm \(60\) sản phẩm trong một ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm được \(80\) sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm \(2\) ngày và còn làm thêm được \(40\) sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch.
Gọi số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm, \(x > 60;\,\,x \in \mathbb{Z})\)
Thời gian anh công nhân dự kiến làm hết số sản phẩm là: \(\frac{x}{{60}}\) (ngày).
Số sản phẩm anh công nhân đã làm trên thực tế là \(x + 40\) (sản phẩm).
Thời gian anh công nhân làm thực tế là: \(\frac{{x + 40}}{{80}}\) (ngày).
Theo bài, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm \(2\) ngày nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{60}} - \frac{{x + 40}}{{80}} = 2\).
Giải phương trình:
\(\frac{x}{{60}} - \frac{{x + 40}}{{80}} = 2\)
\(\frac{{4x}}{{240}} - \frac{{3\left( {x + 40} \right)}}{{240}} = \frac{{2 \cdot 240}}{{240}}\)
\(4x - 3\left( {x + 40} \right) = 2 \cdot 240\)
\(4x - 3x - 120 = 480\)
\(x = 600\)(thỏa mãn điều kiện).
Vậy số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là \(600\)sản phẩm.Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \sin 23^\circ - \cos 67^\circ .\)
b) \(B = \tan 18^\circ - \cot 72^\circ .\)
c) \(C = \frac{{\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ }}{{2\cot 45^\circ }}.\)
d) \(D = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \cot 46^\circ .\)
e) \(E = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \cos 50^\circ - \cos 80^\circ \).
f) \(F = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\tan 55^\circ }}.\)
a) \(A = \sin 23^\circ - \cos 67^\circ = \sin 23^\circ - \sin 23^\circ = 1 - 1 = 0.\)
b) \(B = \tan 18^\circ - \cot 72^\circ = \tan 18^\circ - \tan 18^\circ = 1 - 1 = 0.\)
c) \(C = \frac{{\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ }}{{2\cot 45^\circ }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\frac{3}{4}}}{2} = \frac{3}{8}.\)
d) \(D = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \cot 46^\circ = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \tan 44^\circ \)
\( = \left( {\cot 44^\circ \cdot \tan 44^\circ } \right) \cdot \cot 45^\circ = 1 \cdot \cot 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1.\)
e) \(E = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \cos 50^\circ - \cos 80^\circ \)
\( = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \sin 40^\circ - \sin 10^\circ \)
\( = \left( {\sin 10^\circ - \sin 10^\circ } \right) + \left( {\sin 40^\circ - \sin 40^\circ } \right) = 0\).
f) \(F = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\tan 55^\circ }}.\)
\( = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \cot 32^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\cot 35^\circ }} = 12 \cdot 1 - 8 = 4.\)
Giải tam giác vuông trong mỗi hình sau (làm tròn đến hàng phần trăm của đơn vị độ dài và làm tròn đến phút của đơn vị số đo góc):
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
⦁\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Pythagore);
⦁\[\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác).
a) Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25,\) suy ra \(BC = 5\).
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5},\) suy ra \(\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.\)
Suy ra \[\widehat {C\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {B\,} \approx 180^\circ - 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'.\]
Vậy \(AB = 3,\,\,AC = 4,\,\,BC = 5;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.\)
b) Ta có \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {11^2} - {6^2} = 85,\) suy ra \(AC = \sqrt {85} \approx 9,22.\)
\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{11}},\) suy ra \(\widehat {C\,} \approx 56^\circ 57'.\)
Suy ra \[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} \approx 180^\circ - 90^\circ - 56^\circ 57' = 33^\circ 3'.\]
Vậy \[AB = 6,\,\,AC \approx 9,22,\,\,BC = 11;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} \approx 56^\circ 57',\,\,\widehat {C\,} \approx 33^\circ 3'.\]
c) Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}},\) suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{9}{{\sin 32^\circ }} \approx 16,98.\)
\(AC = AB \cdot \cot C = 9 \cdot \cot 32^\circ \approx 14,40.\)
\[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ .\]
Vậy \[AB = 9,\,\,AC \approx 14,40,\,\,BC \approx 16,98;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 58^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 32^\circ .\]
d) Ta có \(AB = BC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 37^\circ \approx 7,22.\)
\(AC = BC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 37^\circ \approx 9,58.\)
\[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ .\]
Vậy \[AB \approx 7,22,\,\,AC \approx 9,58,\,\,BC = 12;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 53^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 37^\circ .\]
e) Ta có: \(AB = AC \cdot \tan C = 4 \cdot \tan 40^\circ \approx 3,36.\)
\(AC = BC \cdot \cos C,\) suy ra \(BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{4}{{\cos 40^\circ }} \approx 5,22\).
\[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ .\]
Vậy \[AB \approx 3,36,\,\,AC = 4,\,\,BC \approx 5,22;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 50^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 40^\circ .\]
Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = 4{\rm{\;cm}}\], \[BC = 4,5{\rm{\;cm}}\], \[\widehat {B\,} = 40^\circ \]. Tính độ dài \[AC\] và số đo góc \(C\) của \[\Delta ABC.\]
Kẻ \[AD \bot BC\].
Xét \[\Delta ABD\] vuông tại \[D\], ta có:
\[AD = AB\sin B = 4 \cdot \sin 40^\circ \approx 2,57\] (cm).
\(BD = AB\cos B = 4\cos 40^\circ \approx 3,06\) (cm).
Ta có \(BC = BD + DC\)
Suy ra \(DC = BC - BD \approx 4,5 - 3,06 = 1,44\) (cm).
Xét \[\Delta ADC\] vuông tại \[D\], theo định lí Pythagore, ta có:
\[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} \approx 2,{57^2} + 1,{44^2} = 8,6785\]
Suy ra \(AC \approx 2,95\) (cm).
Trong \[\Delta ADC\], ta cũng có: \(\tan C = \frac{{AD}}{{DC}} \approx \frac{{2,57}}{{1,44}} = \frac{{257}}{{144}}.\) Suy ra \(\widehat {C\,} \approx 60^\circ 44'.\)
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 9{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {C\,} = 30^\circ \].
a) Giải tam giác \[ABC\].
b) Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC\] \(\left( {H \in BC} \right)\). Tính \[AH,\,\,CH\].
c) Kẻ \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] \(\left( {D \in BC} \right)\). Tính \[AD\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
a) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:
⦁\[\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \]. Suy ra \[\widehat B = 90^\circ - \widehat {C\,} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\]
⦁ \[\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\] hay \[\sin 30^\circ = \frac{9}{{BC}},\] suy ra \[BC = 18{\rm{\;cm}}\].
⦁ \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] (định lí Pythagore)
Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {18^2} - {9^2} = 243,\] do đó \(AC = \sqrt {243} = 9\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)
b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có:
\(AH = AB \cdot \sin B = 9 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\), ta có:
\[CH = AC \cdot \cos C = 9\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 13,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
c) Xét \[\Delta ABC\]có \[AD\]là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có:
\[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}},\] hay \[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{1},\] suy ra \[DC = DB\sqrt 3 \].
Mà \[DC + DB = BC = 18\]
Suy ra \[DB\sqrt 3 + DB = 18\], hay \[DB\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 18\]
Do đó \[DB = \frac{{18}}{{\sqrt 3 + 1}} \approx 6,59{\rm{\;cm}}\] và \[DC = DB\sqrt 3 \approx 6,59 \cdot \sqrt 3 \approx 11,41\] (cm).
Lại có \(CH = CD + DH\) nên \(DH = CH - CD \approx 13,5 - 11,41 = 2,09{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \[\Delta ADH\]vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:
\[A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} \approx 2,{09^2} + {\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 65,1181\]
Suy ra \[AD \approx \sqrt {65,1181} \approx 8,07{\rm{\;cm}}\].
Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ, trong đó \(MB = 1,55{\rm{\;m}}\) là khoảng cách từ mắt người quan sát đến chân người đó, \(BH = 13,65{\rm{\;m}}\) là khoảng cách từ chân người đó đến chân tháp, \(AH\) là chiều cao của tháp.
⦁Gọi \[N\] là hình chiếu của \[M\] lên đoạn \[AH\].
Vì \[MN\] và \[BH\] là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang; \[MB\] và \[NH\] nằm trên phương thẳng đứng nên tứ giác \[MBHN\] là hình chữ nhật.
Suy ra: \[NH = MB = 1,55\,\,{\rm{m}}\]; \[MN = BH = 13,65\,\,{\rm{m}}\].
⦁ Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = MN \cdot \tan M\]
Ta có: \[AH = AN + NH\]
\[AH = MN \cdot \tan M + NH\]
\[AH = 13,65 \cdot \tan 58^\circ + 1,55 \approx 23,39\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]
Vậy chiều cao của tháp khoảng \[23,39\,\,{\rm{m}}\].
Hai trụ điện cùng chiều cao được dựng thẳng đứng hai bên lề đối diện một đại lộ rộng 80 m. Từ một điểm \(M\) trên mặt đường giữa hai trụ, người ta nhìn thấy hai trụ điện với góc nâng lần lượt là \(30^\circ \) và \(60^\circ \). Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ điểm \(M\) đến gốc mỗi trụ điện (làm tròn đến hàng phần trăm của mét).
Đặt \(AB = CD = x\) (m) \(\left( {x > 0} \right)\).
Xét tam giác \(ABM\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}}\), suy ra \(AM = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {AMB}}} = \frac{x}{{\tan 30^\circ }} = \frac{x}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = x\sqrt 3 \) (m).
Xét tam giác \(DCM\) vuông tại \(C\), ta có:
\[\tan \widehat {CMD} = \frac{{CD}}{{CM}},\] suy ra \[CM = \frac{{CD}}{{\tan \widehat {CMD}}} = \frac{x}{{\tan 60^\circ }} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\] (m).
Vì \(AC = AM + MC\) nên ta có:
\(\frac{x}{{\sqrt 3 }} + x\sqrt 3 = 80\)
\(x + 3x = 80\sqrt 3 \)
\(4x = 80\sqrt 3 \)
\(x = 20\sqrt 3 \approx 34,64\) (m).
Suy ra \(AM = x\sqrt 3 = 20\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 60\;\,\,{\rm{m}}\) và \(CM = \frac{x}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 20\;{\rm{m}}\).
Vậy trụ điện cao khoảng \(34,64\) m và khoảng cách từ điểm \(M\) đến mỗi trụ điện lần lượt là 20 m và 80 – 20 = 60 m, tương ứng với trụ được nhìn với góc nâng \(30^\circ \) và \(60^\circ .\)
Đặt: \(BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);\) \(AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Xét tam giác \(ACD\)vuông tại \(C\), ta có:
\[CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .\]
Xét tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\), ta có:
\(CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \).
Do đó, ta có: \(\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)
\(500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)
\(\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)
\(\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)
\(\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158,5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)
Suy ra \(CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 3\,\,158,5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).\)
Vậy ngọn núi cao khoảng \(2\,\,468\) mét.
Một chiếc thang \(AC\) được dựng vào một bức tường thẳng đứng (hình vẽ).
a) Ban đầu khoảng cách từ chân thang đến tường là \(BC = 1,3{\rm{\;m}}\) và góc tạo bởi thang và phương nằm ngang là \(\widehat {ACB} = 66^\circ \), tính độ dài của thang.
b) Nếu đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}}\) đến vị trí \(D\) thì góc \(DEB\) tạo bởi thang và phương nằm ngang bằng bao nhiêu?
(Kết quả độ dài làm tròn đến hàng phần trăm của mét và số đo góc làm tròn đến phút)
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(BC = AC \cdot \cos C\), suy ra\(AC = \frac{{BC}}{{\cos C}} = \frac{{1,3}}{{\cos 66^\circ }} \approx 3,20\) (m).
Vậy độ dài của thang khoảng \(3,20\) m.
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(AB = BC \cdot \tan C = 1,3 \cdot \tan 66^\circ \approx 2,92\) (m).
Khi đầu \(A\) của thang bị trượt xuống \(40{\rm{\;cm}} = 0,4{\rm{\;m}}\) đến vị trí \(D\) thì \(DB = AB - AD \approx 2,92 - 0,4 = 2,52\) (m) và \(DE = AC \approx 3,20\) (m).
Xét \(\Delta BDE\) vuông tại \(B,\) ta có:
\(\sin \widehat {DEB} = \frac{{BD}}{{DE}} \approx \frac{{2,52}}{{3,2}} = 0,7875\), suy ra \(\widehat {DEB} \approx 51^\circ 57'.\)
Cánh tay robot đặt trên mặt đất và có vị trí như hình vẽ bên. Tính độ cao của điểm \(A\) trên đầu cánh tay robot so với mặt đất.
Xét \(\Delta BCN\) vuông tại \(N\), ta có:
\(BN = BC \cdot \sin \widehat {BCN} = 60 \cdot \sin 32^\circ \approx 31,80\) (cm).
Ta thấy \(NC\) và \(BM\) là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên \(NC\,{\rm{//}}\,BM,\) suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {BCN} = 32^\circ \) (so le trong).
Khi đó, \(\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {CBM} = 53^\circ - 32^\circ = 21^\circ \).
Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\), ta có:
\(AM = AB \cdot \sin \widehat {ABM} = 60 \cdot \sin 21^\circ \approx 21,50\) (cm).
Vậy, độ cao của điểm \(A\) trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:
\(AM + BN + CP \approx 21,50 + 31,80 + 17 = 70,3\) (cm).
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Chứng minh:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C\).
Kẻ đường cao \(AH\)\[\left( {H \in BC} \right)\].
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(AH = AB \cdot \sin B\).
Do đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}BC \cdot AB \cdot \sin B\).
Chứng minh tương tự ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C\).
Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có ba đường cao \(AM,\,\,BN,\,\,CL\). Chứng minh:
\(AN \cdot BL \cdot CM = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C\).
Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(N\) có:
\(AN = AB \cdot \cos A\) (1)
Xét \(\Delta BCL\) vuông tại \(L\) có:
\(BL = BC \cdot \cos B\) (2)
Xét \(\Delta ACM\) vuông tại \(M\) có:
\(CM = AC \cdot \cos C\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(AN \cdot BL \cdot CM = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C\)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Chứng minh rằng:
a) \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\). b) \[BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C\].
Kẻ đường cao \(AH\)\[\left( {H \in BC} \right)\].
a) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\).
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\).
Suy ra: \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AH}}{{AB}}:\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AB}} \cdot \frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{AC}}{{AB}}.\)
Do đó \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\).
b) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(BH = AB \cdot \cos B\)
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có: \(CH = AC \cdot \cos C\)
Ta có: \(BC = BH + HC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C.\)
Vậy \(BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = \alpha .\)
a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \) theo \(AB,\,\,BC,\,\,CA.\)
b) Chứng minh rằng:
⦁ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\) ⦁ \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\)
⦁\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\) ⦁ \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1;\)
⦁ \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha ;\) ⦁ \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha .\)
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\sin \alpha = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}};\,\,\,\cos \alpha = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}};\)
\(\tan \alpha = \tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\cot \alpha = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}}\).
(định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.\)
Ta có:
⦁\(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha \).
⦁\(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha \).
⦁\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\).
⦁\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = 1\).
⦁\(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
⦁\[1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\].
Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 18\].
Chứng minh rằng \[3ab + bc + ca \ge - 27.\]
Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
Mà \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\) với mọi số \(a,\,\,b,\,\,c\)nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)
Suy ra \(ab + bc + ca \ge \frac{{ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2}\)
Lại có \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 18\] nên \[ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge - 18\]
Do đó \(ab + bc + ca \ge \frac{{ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2} \ge \frac{{ - 18}}{2} = - 9\). (1)
Mặt khác, \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\) nên \({a^2} + {b^2} \ge - 2ab\) hay \(2ab \ge - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)
Mà \( - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) và \( - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge - 18\)
Nên \(2ab \ge - 18\). (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:
\(3ab + bc + ca \ge \left( { - 9} \right) + \left( { - 18} \right) = - 27\).
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}.\)
Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]
\[ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}\]
\[ = \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\].
Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\) nên \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\]
Suy ra \[{a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.\]
Tương tự, ta có: \[{b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;\]\[{c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.\]
Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0\]
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0\].
Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\)
Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9\)
\(2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.\)
Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\]
\[ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]
\[ \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\]
\[ = 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\) khi \(a = b = c = 1.\)
