Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Trắc nghiệm
50 câu hỏi
Phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) viết dưới dạng phương trình tích là
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\).
\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0\)
\({x^2} - x - 3x + 3 = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
Vậy ta chọn phương án D.
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {\frac{1}{3}x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\) là
\(5\).
\(1\).
\( - 5\).
\( - 1\).
Đáp án đúng là: B
Giải phương trình:
\(\left( {\frac{1}{3}x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)
\[\frac{1}{3}x - 3 = 0\] hoặc \[x + 8 = 0\]
\(x = 9\) hoặc \(x = - 8\).
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 9\) và \(x = - 8\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đó là: \(9 + \left( { - 8} \right) = 1.\)
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{2x + 1}} + \frac{3}{{x - 5}} = \frac{x}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}\) là
\(x \ne - \frac{1}{2}\).
\(x \ne - \frac{1}{2}\) và \(x \ne 5\).
\(x \ne - 5\).
\(x \ne \frac{1}{2}\) và \(x \ne - 5\).
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là \(2x + 1 \ne 0\) và \(x - 5 \ne 0,\) hay \(x \ne - \frac{1}{2}\) và \(x \ne 5.\)
Số nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\) là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định: \(x \ne 1;\,\,x \ne 2.\)
\(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\(\frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7 \cdot \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 7 \cdot \left( {x - 1} \right) = - 1\)
\(x - 2 - 7x + 7 = - 1\)
\( - 6x = - 6\)
\(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình vô nghiệm. Ta chọn phương án A.
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2{x^2} + 2 = 0\).
\(3y - 1 = 5\left( {y - 2} \right)\).
\(2x + \frac{y}{2} = 1\).
\(3\sqrt x + {y^2} = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0.
Phương trình \(2x + \frac{y}{2} = 1\) viết thành \(2x + \frac{1}{2}y = 1,\) là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình nào dưới đây nhận cặp số \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\) làm nghiệm
\(x - 2y = 0\).
\(2x + y = 0\).
\(x - y = 2\).
\(x + 2y + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = - 2;y = 4\) vào từng phương trình ta được:
⦁\(x - 2y = - 2 - 2 \cdot 4 = - 10 \ne 0\) nên loại A.
⦁\(2x + y = - 2 \cdot 2 + 4 = 0\) nên chọn B.
⦁\(x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0\) nên loại C.
⦁\(x + 2y + 1 = - 2 + 2 \cdot 4 + 1 = 7 \ne 0\) nên loại D.Khẳng định nào sau đây là đúng về đường thẳng biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình \(3x - y = 2?\)
vuông góc với trục tung.
vuông góc với trục hoành.
đi qua gốc tọa độ.
đi qua điểm \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Ta viết phương trình \(3x - y = 2\) về dạng \(y = 3x - 2.\)
⦁ Đường thẳng \(y = 3x - 2\) không vuông góc với hai trục tọa độ nên phương án A và B là sai.
⦁ Thay \(x = 0\) vào phương trình \(y = 3x - 2\), ta được: \(y = 3 \cdot 0 - 2 = - 2\). Do đó đường thẳng \(y = 3x - 2\) không đi qua gốc tọa độ.
⦁ Thay \(x = 1\) vào phương trình \(y = 3x - 2\), ta được: \(y = 3 \cdot 1 - 2 = 1\). Do đó đường thẳng \(y = 3x - 2\) đi qua điểm \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)
Vậy ta chọn phương án D.
Nghiệm tổng quát của phương trình \(3x + y = 6\) là
\(\left( {x;\,\, - 3x - 6} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
\(\left( { - 3y + 6;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.
\[\left( {x;\,\, - 3x + 6} \right)\] với \[x \in \mathbb{R}\] tùy ý.
\(\left( { - 3y - 6;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Đáp án đúng là: C
Ta viết phương trình \(3x + y = 6\) về dạng \(y = - 3x + 6.\)
Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình \(3x + y = 6\) là \[\left( {x;\,\, - 3x + 6} \right)\] với \[x \in \mathbb{R}\] tùy ý.
Cho các đường thẳng được biểu diễm trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) như sau:
Tất cả các nghiệm của phương trình \(2x - y = 1\) được biểu diễn bởi đường thẳng nào?
\({d_1}\).
\({d_2}\).
\({d_3}\).
\({d_4}\).
Đáp án đúng là: D
Ta viết phương trình \(2x - y = 1\) về dạng \(y = 2x - 1\).
⦁ Xét cặp số \(\left( {1;\,\,0} \right),\) thay \(x = 1\) vào phương trình \(y = 2x - 1\), ta được: \(y = 2 \cdot 1 - 1 = 1.\)
Do đó, cặp số \(\left( {1;\,\,0} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình \(2x - y = 1\), hay đường thẳng \(y = 2x - 1\) không đi qua điểm \(\left( {1;\,\,0} \right)\). Do đó đường thẳng \({d_1},\,\,{d_3}\) không thỏa mãn.
⦁ Xét cặp số \(\left( {0;\,\, - 1} \right),\) thay \(x = 0\) và \(y = - 1\) vào phương trình \(y = 2x - 1\), ta được:
\(y = 2x - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = - 1\).
Do đó, cặp số \(\left( {0;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của phương trình \(2x - y = 1\), hay đường thẳng \(y = 2x - 1\) đi qua điểm \(\left( {0;\,\, - 1} \right)\).
Quan sát hình b) và hình d) ta thấy chỉ có đường thẳng \({d_4}\) thỏa mãn.
Vậy ta chọn phương án D.
Cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x - 3y = 5}\end{array}} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Để kiểm tra xem cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) có là nghiệm của hệ phương trình nào, ta thay \(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào từng hệ phương trình:
⦁ Xét phương án A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 4 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7 \ne 4.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án A.
⦁ Xét phương án B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 8.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án B.
⦁ Xét phương án C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.
⦁ Xét phương án D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x - 3y = 5}\end{array}} \right.\)
Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4\left( { - 2} \right) - 2\left( { - 3} \right) = - 2 \ne 0\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 5.\end{array} \right.\)
Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án D.
Vậy cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.
Giá trị của \(a\) và \(b\) để cặp số \[\left( { - 2;\,\,3} \right)\] là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ax + y = 5}\\{3x + by = 0}\end{array}} \right.\) là
\(\left( {a;\,\,b} \right) = \left( { - 3;\,\,3} \right)\).
\(\left( {a;\,\,b} \right) = \left( { - 2;\,\,1} \right)\).
\(\left( {a;\,\,b} \right) = \left( {2;\,\, - 4} \right)\).
\(\left( {a;\,\,b} \right) = \left( { - 1;\,\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Để cặp số \(\left( { - 2;\,\,3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình, ta thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) vào hệ phương trình, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \cdot \left( { - 2} \right) + 3 = 5}\\{3 \cdot \left( { - 2} \right) + b \cdot 3 = 0}\end{array}} \right.\)
Giải hệ phương trình trên, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a = 2}\\{ - 6 + 3b = 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 2.}\end{array}} \right.\)
Vậy, để cặp số \(\left( { - 2;\,\,3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình thì \(a = - 1\) và \(b = 2\).
Giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,2} \right)\) là
\(a = \frac{7}{2};\,\,b = - \frac{{11}}{2}\).
\(a = - \frac{7}{2};\,\,b = - \frac{{11}}{2}\).
\(a = \frac{7}{2};\,\,b = \frac{{11}}{2}\).
\(a = - \frac{7}{2};\,\,b = \frac{{11}}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) thì thay \(x = 3,\,\,y = - 5\) vào hàm số \(y = ax + b\), ta được: \( - 5 = 3a + b\).
Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {1;\,\,2} \right)\), ta có: \(2 = a + b\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.\).
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(2a = - 7,\) suy ra \(a = - \frac{7}{2}\).
Thay \(a = - \frac{7}{2}\) vào phương trình \(a + b = 2\), ta được:
\( - \frac{7}{2} + b = 2,\) suy ra \(b = \frac{{11}}{2}\).
Vậy, giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,2} \right)\) là \(a = - \frac{7}{2}\) và \(b = \frac{{11}}{2}\).
Một ô tô đi quãng đường \[AB\] với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường \[BC\]với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng độ dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường \[AB\] ít hơn thời gian đi trên quãng đường \[BC\] là 30 phút. Thời gian ô tô đi trên quãng đường \(AB\) là
2 giờ.
\(1,5\) giờ.
1 giờ.
3 giờ.
Đáp án đúng là: B
Đổi 30 phút \( = 0,5\) giờ.
Gọi \(x,\,\,y\) (giờ) lần lượt là thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường \(AB\) và \(BC\)\(\left( {x > 0;\,\,y > 0,5} \right)\).
Do thời gian ô tô đi trên quãng đường \[AB\] ít hơn thời gian đi trên quãng đường \[BC\] là 30 phút nên ta có phương trình: \(y - x = 0,5.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Quãng đường \(AB\) và \(BC\) lần lượt là: \(50x\) (km), \(45y\) (km).
Do quãng đường tổng cộng độ dài 165 km nên ta có phương trình: \(50x + 45y = 165.\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50x + 45y = 165}\\{y - x = 0,5}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50x + 45y = 165}\\{ - x + y = 0,5}\end{array}} \right.\).
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 50, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50x + 45y = 165}\\{ - 50x + 50y = 25}\end{array}} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:
\(95y = 190,\) suy ra \(y = 2\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 2\) vào phương trình (1), ta được \(2 - x = 0,5,\) suy ra \(x = 1,5\) (thỏa mãn).
Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là 1,5 giờ.
Trong một kì thi, hai trường \(A,\,\,B\) có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển. Hỏi trường B có bao nhiêu học sinh?
200 học sinh.
150 học sinh.
250 học sinh.
225 học sinh.
Đáp án đúng là: B
Gọi \(x,\,\,y\) (học sinh) lần lượt là số học sinh dự thi của hai trường \(A,\,\,B\)\(\left( {0 < x < 350,\,\,0 < y < 350} \right)\).
Vì hai trường \(A,\,\,B\) có tổng cộng 350 học sinh dự thi nên ta có phương trình \(x + y = 350.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì trường \(A\) có \(97\% \) và trường \(B\) có \(96\% \) số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có 338 học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình \(97\% \cdot x + 96\% \cdot y = 338.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 350\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{97\% \cdot x + 96\% \cdot y = 338\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình (1) suy ra \(x = 350 - y\), thay vào phương trình (2), ta được:
\(97\% \cdot \left( {350 - y} \right) + 96\% \cdot y = 338\)
\(97 \cdot \left( {350 - y} \right) + 96 \cdot y = 33\,\,800\)
\(33\,\,950 - 97y + 96 \cdot y = 33\,\,800\)
\( - y = - 150\)
\(y = 150\) (thỏa mãn).
Vậy trường \(B\) có 150 học sinh dự thi.
Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - 10\)” được viết là
\(x > - 10\).
\[x \ge - 10\].
\(x < - 10\).
\(x \le - 10\).
Đáp án đúng là: D
Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - 10\)” được viết là \(x \le - 10\).
Cho \(m\) bất kỳ, chọn câu đúng.
\(m - 3 > m - 4\).
\(m - 3 < m - 5\).
\(m - 3 \ge m - 2\).
\(m - 3 \le m - 6\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \( - 3 > - 4\), cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số \[m\] bất kỳ, ta được:
\(m - 3 > m - 4\).
Biết rằng \(m > n\) với \(m,\,\,n\) bất kỳ, chọn câu đúng.
\(m - 3 > n - 3\).
\(m + 3 < n + 3\).
\(m - 2 < n - 2\).
\(n + 2 > m + 2\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(m > n\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 3,\) ta được: \(m - 3 > n - 3.\)
Hãy chọn khẳng định sai. Nếu \(a < b\) thì
\(2a + 1 < 2b + 5\).
\(7 - 3a > 4 - 3b\).
\(7a - 1 < 7b - 1\).
\(2 - 3a < 2 - 3b\).
Đáp án đúng là: D
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(2a < 2b\) nên \(2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5\) hay \(2a + 1 < 2b + 5\) nên A đúng.
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) nên \(7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b\) hay \(7 - 3a > 4 - 3b\) nên B đúng.
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(7a < 7b\) hay \(7a - 1 < 7b - 1\) nên C đúng.
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) hay \(2 - 3a > 2 - 3b\) nên D sai.
Vậy phương án D là đúng.
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\(x + 2y > 0\).
\(\frac{1}{x} - 3 > 0\).
\({x^2} + 1 > 0\).
\(\frac{x}{2} + 1 > 0\).
Đáp án đúng là: D
Bất phương trình \(x + 2y > 0\) có hai ẩn nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \(\frac{1}{x} - 3 > 0\) có chứa ẩn \(x\) dưới mẫu nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \({x^2} + 1 > 0\) có chứa \({x^2}\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \(\frac{x}{2} + 1 > 0\) hay \(\frac{1}{2}x + 1 > 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b > 0\) với \(a = \frac{1}{2} \ne 0\) và \(b = 1.\)
Vậy ta chọn phương án D.
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình \(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\) là
\(x = - 3\).
\(x = 0\).
\(x = - 1\).
\(x = - 2\).
Đáp án đúng là: D
Giải bất phương trình:
\(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\)
\(5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}\)
\(5x \ge - 12\)
\(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\).
Do đó nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\).
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x = - 2\)Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\). Khi đó \(\cos \widehat {MNP}\) bằng
\(\frac{{MN}}{{NP}}\).
\(\frac{{MP}}{{NP}}\).
\(\frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{MP}}{{MN}}\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\cos \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{NP}}\).
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\). Khi đó \(\tan \widehat {MNP}\) bằng
\(\frac{{MN}}{{NP}}\).
\(\frac{{MP}}{{NP}}\).
\(\frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{MP}}{{MN}}\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}\).
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn \(\alpha + \beta = 90^\circ .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\tan \alpha = \sin \beta \).
\(\tan \alpha = \cot \beta \).
\(\tan \alpha = \cos \beta \).
\(\tan \alpha = \tan \beta \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\alpha + \beta = 90^\circ \) nên \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn phụ nhau, do đó \(\tan \alpha = \cot \beta \).
Cho góc nhọn \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ < \alpha < 70^\circ \) và biểu thức:
\[A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)\].
Giá trị của biểu thức \(A\) là
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Với \(0^\circ < \alpha < 70^\circ \), ta có: \[90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .\]
Do đó:
\[A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)\]
\[\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha \]
\[\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]\]
\[\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.\]
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 4,\,\,BC = 5\). Khi đó \(\tan B\) bằng
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{4}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Suy ra \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {5^2} - {4^2} = 9.\)
Do đó \(AB = 3{\rm{\;cm}}.\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\) và \(AB = 13\,\;{\rm{cm}}\), \(BH = 5\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Tỉ số lượng giác \(\sin C\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) bằng
\(\sin C \approx 0,35\).
\(\sin C \approx 0,37\).
\(\sin C \approx 0,39\).
\(\sin C \approx 0,38\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) hay hai góc \(B\) và \(C\) phụ nhau, do đó \(\sin C = \cos B\).
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin C = \cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}} \approx 0,38\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) có \(AC = 15\;{\rm{cm}}\), \(CH = 6\;{\rm{cm}}\). Tỉ số lượng giác \(\cos B\) bằng
\(\cos B = \frac{5}{{\sqrt {21} }}\).
\(\cos B = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
\(\cos B = \frac{3}{5}\).
\(\cos B = \frac{2}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) hay hai góc \(B\) và \(C\) phụ nhau, do đó \(\cos B = \sin C\).
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2},\) suy ra \(A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {15^2} - {6^2} = 189.\)
Do đó \(AH = 3\sqrt {21} {\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)
Khi đó, \(\cos B = \sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{15}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) có \(\widehat {ABC} = 60^\circ ,\) \(AB = 5\;{\rm{cm}}\). Độ dài cạnh \(AC\) bằng
10 cm.
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\;{\rm{cm}}\).
\(5\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\).
\(\frac{5}{{\sqrt 3 }}\;{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(AC = AB \cdot \tan B = 5 \cdot \tan 60^\circ = 5\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\).
Một cột đèn \(AB\) cao 6 m có bóng in trên mặt đất là \(AC\) dài \(3,5\;{\rm{m}}\). Góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng từ đèn \(B\) tạo với mặt đất là
\(58^\circ 45\prime \).
\(59^\circ 50\prime \).
\(59^\circ 45\prime \).
\(59^\circ 4\prime \).
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{{3,5}} = \frac{{12}}{7}\).
Suy ra \(\widehat {C\,} \approx 59^\circ 45\prime \)Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 8,\,\,AC = 15,\,\,BC = 17.\) Kẻ đường cao \(AH.\) Tỉ số lượng giác \(\cos \widehat {HAC}\) bằng
\(\frac{8}{{15}}\).
\(\frac{{17}}{8}\).
\(\frac{{15}}{{17}}\).
\(\frac{8}{{17}}\).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H,\) có \(\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) hay hai góc này phụ nhau nên \(\cos \widehat {HAC} = \sin C.\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {15^2} = 289;\,\,B{C^2} = {17^2} = 289\)
Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).
Khi đó: \(\cos \widehat {HAC} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}}\).Cho phương trình \( - 2{x^2} - x + 1 = 0\).
Phương trình đã cho viết được về dạng phương trình tích là \(\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 1;\,\,x = - \frac{1}{2}\).
Tổng bình phương của hai nghiệm tìm được của phương trình đã cho bằng \(\frac{5}{4}\).
Tích của hai nghiệm tìm được của phương trình đã cho bằng \( - \frac{1}{2}\).
Đáp án: a) Đ. b) S. c) Đ. d) Đ.
⦁ Ta có: \( - 2{x^2} - x + 1 = 0\)
\( - 2{x^2} - 2x + x + 1 = 0\)
\[ - 2x\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) = 0\]
\[\left( {x + 1} \right)\left( { - 2x + 1} \right) = 0\]
\[\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0\].
Do đó ý a) là đúng.
⦁ Giải phương trình:
\[\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0\]
\(x + 1 = 0\) hoặc \(1 - 2x = 0\)
\(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\).
Như vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 1;\,\,x = \frac{1}{2}\). Do đó ý b) là sai.
⦁ Tổng bình phương của hai nghiệm của phương trình đã cho là: \({\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}.\)
Do đó ý c) là đúng.
⦁Tích của hai nghiệm của phương trình đã cho là: \(\left( { - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}.\) Do đó ý d) là đúng.
Cho phương trình \(1 + \frac{1}{{2 + x}} = \frac{{12}}{{{x^3} + 8}}\).
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là \(x \ne - 2\).
Khi quy đồng mẫu, mẫu thức chung của hai vế phương trình đã cho là \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\).
Phương trình đã cho có ba nghiệm.
Tất cả các nghiệm của phương trình đã cho đều có giá trị nguyên dương.
Đáp án: a) Đ. b) S. c) S. d) S.
Giải phương trình:
\(1 + \frac{1}{{2 + x}} = \frac{{12}}{{{x^3} + 8}}\)
\(\frac{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\)
\(\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + {x^2} - 2x + 4 = 12\)
\({x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\)
\({x^3} + {x^2} - 2x = 0\)
\(x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)
\(x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0\)
\(x\left[ {x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)
\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (không thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 0;\,\,x = 1.\)
Hai nghiệm này có giá trị không âm.
Vậy: a) Đ. b) S. c) S. d) S.
Cho phương trình \[x + 2y = 3.\]
Cặp số \[\left( {5;\,\, - 1} \right)\] là một nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn.
Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = 3 - \frac{1}{2}x.\)
Phương trình đã cho có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là \(\left( {3 - 2y;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Đáp án: a) Đ. b) S. c) S. d) Đ.
⦁ Thay \(x = 5\) và \(y = - 1\) vào phương trình đã cho, ta được: \[5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.\]
Suy ra cặp số \[\left( {5;\,\, - 1} \right)\] là một nghiệm của phương trình \[x + 2y = 3.\] Do đó ý a) là đúng.
⦁ Phương trình \[x + 2y = 3\] là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó ý b) là sai.
⦁ Viết lại phương trình \[x + 2y = 3\] thành \(y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x\), khi đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x\). Do đó ý c) là sai.
⦁ Phương trình \[x + 2y = 3\] là phương trình bậc nhất hai ẩn, có vô số nghiệm.
Viết lại phương trình \[x + 2y = 3\] thành \(x = 3 - 2y\).
Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đó là: \(\left( {3 - 2y;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý. Do đó ý d) là đúng.
Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}6x - 3y = - 12\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\] bằng phương pháp thế theo các bước:
Từ phương trình (2), ta có \(y = 2x + 4\).
Thay \(y = 2x + 4\) vào phương trình (1), ta được \(0x = 0\).
Phương trình \(0x = 0\) vô nghiệm.
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là \(\left( {2y + 4;\,\,y} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.
Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế như sau:
Từ phương trình (2), ta có \(y = 2x + 4\).
Thay \(y = 2x + 4\) vào phương trình (1), ta được:
\(6x - 3\left( {2x + 4} \right) = - 12\) hay \(0x = 0\).
Phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là \(\left( {x;\,\,2x + 4} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Vậy: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.
Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp.
– Dữ kiện 1: Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây so với dự định;
– Dữ kiện 2: Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây so với dự định.
Gọi \(x\) là số luống trong vườn, \(y\) là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right).\)
Mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) ở dữ kiện 1 là \(3x - 8y = 84\).
Mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) ở dữ kiện 2 là \(x - 2y = 36\).
Mối liên hệ giữa số cây và số luống là hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 8y = 84}\\{x - 2y = 36}\end{array}} \right.\).
Số cây cải bắp dự định được trồng trên mảnh đất vượt quá 1 000 cây.
Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) Đ. d) S.
– Tổng số cây cải bắp dự định trồng là: \(xy\) (cây).
– Phân tích dữ kiện 1:
⦁ Số luống mới: \(x + 8\) (luống);
⦁ Số cây mỗi luống mới: \(y - 3\) (cây);
⦁ Tổng số cây mới: \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right)\) (cây);
⦁Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây so với dự định nên ta có phương trình:
\(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 108\).
\(xy - 3x + 8y - 24 = xy - 108\)
\( - 3x + 8y = - 84\)
\(3x - 8y = 84\).
Do đó ý a) là đúng.
– Phân tích dữ kiện 2:
⦁Số luống mới: \(x - 4\)
⦁Số cây mỗi luống mới: \(y + 2\)
⦁Tổng số cây mới: \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right)\)
⦁Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có phương trình:
\(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 64\)
\(xy + 2x - 4y - 8 = xy + 64\)
\(2x - 4y = 72\)
\(x - 2y = 36\).
Do đó ý b) là đúng.
– Mối liên hệ giữa số cây và số luống là hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 8y = 84}\\{x - 2y = 36.}\end{array}} \right.\)
Do đó ý c) là đúng.
– Để xác định số cây cải bắp được trồng trên mảnh đất có vượt quá 1 000 cây hay không, ta cần giải hệ phương trình ở ý c) để tìm \(x\) và \(y\), sau đó tính tổng số cây: \(xy.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 8y = 84}\\{x - 2y = 36.}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình \(x - 2y = 36\), ta có: \(x = 2y + 36\), thay vào phương trình \(3x - 8y = 84\), ta được:
\(3\left( {2y + 36} \right) - 8y = 84\)
\(6y + 108 - 8y = 84\)
\( - 2y = - 24\)
\(y = 12\).
Thay \(y = 12\) vào phương trình \(x = 2y + 36\), ta được: \(x = 2 \cdot 12 + 36 = 60\).
Tổng số cây cải bắp dự định trồng là \(xy = 60 \cdot 12 = 720\) cây.
Ta thấy \(720 < 1\,\,000\) nên số cây cải bắp được trồng trên mảnh đất không vượt quá \[1{\rm{ }}000\] cây. Do đó ý d) là sai.
Vậy: a) Đ. b) Đ. c) Đ. d) S.
Cho \(a < b\). Khi đó:
\(4a - 2 > 4b - 2.\)
\(6 - 3a < 6 - 3b\).
\(4a + 1 < 4b + 5\).
\(7 - 2a > 4 - 2b\).
Đáp án: a) S. b) S. c) Đ. d) Đ.
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) hay \(4a - 2 < 4b - 2\) nên ý a) là sai.
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) hay \(6 - 3a > 6 - 3b\) nên ý b) là sai.
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) nên \(4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\) hay \(4a + 1 < 4b + 5\) nên ý c) là đúng.
⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 2a > - 2b\) nên \(7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\) hay \(7 - 2a > 4 - 2b\) nên ý d) đúng.
Cho bất phương trình \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\).
Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) với \(m \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{7}{2}\).
Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < - \frac{9}{2}\).
Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên lớn nhất là \( - 2\).
Đáp án: a) S. b) Đ. c) S. d) S.
⦁ Ta có: \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\)
\(2mx + m - 8 < 0\)
Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi \(2m \ne 0\) hay \(m \ne 0\).
Do đó ý a) là sai.
⦁ Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \(2x - 7 < 0\).
Giải bất phương trình:
\(2x - 7 < 0\)
\(2x < 7\)
\(x < \frac{7}{2}\).
Như vậy, khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{7}{2}\). Do đó ý b) là đúng.
⦁ Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 2x - 9 < 0\).
Giải bất phương trình:
\( - 2x - 9 < 0\)
\( - 2x < 9\)
\(x > - \frac{9}{2}\).
Như vậy, khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > - \frac{9}{2}\). Do đó ý c) là sai.
⦁ Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 4x - 10 < 0\).
Giải bất phương trình:
\( - 4x - 10 < 0\)
\( - 4x < 10\)
\(x > - \frac{5}{2}\).
Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là \( - 2\). Do đó ý d) là sai.
Một quả táo có giá 22 nghìn đồng, một quả lê có giá 10 nghìn đồng. Bạn An có 300 nghìn đồng, bạn ấy muốn mua mỗi loại ít nhất 6 quả và tổng số hai loại quả mua được là nhiều nhất.
Gọi \(x\) (quả) là tổng số quả táo và quả lê bạn An có thể mua được \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,x \ge 12} \right)\).
Do mỗi loại bạn An mua ít nhất 6 quả và giá của mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, nên bạn An chỉ nên mua 6 quả táo để số quả lê mua được là nhiều nhất.
Số tiền bạn An dùng để mua lê là \(10\left( {x - 6} \right)\) (nghìn đồng).
Bất phương trình biểu diễn số tiền bạn An dùng để mua hai loại quả là: \(132 + 10\left( {x - 6} \right) \le 300\).
Bạn An có thể mua được nhiều nhất 20 quả táo và lê.
Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) Đ. d) S.
Do mỗi loại bạn An mua ít nhất 6 quả và giá của mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, nên bạn An chỉ nên mua 6 quả táo để số quả lê mua được là nhiều nhất.
Số quả lê bạn An đã mua là: \(x - 6\) (quả).
Số tiền bạn An dùng để mua 6 quả táo là: \(6 \cdot 22 = 132\) (nghìn đồng).
Số tiền bạn An dùng để mua \(x - 6\) quả lê là: \(10\left( {x - 6} \right)\) (nghìn đồng).
Bạn An có 300 nghìn đồng để mua táo và lê nên ta có:
\(132 + 10\left( {x - 6} \right) \le 300\)
\(132 + 10x - 60 \le 300\)
\(10x \le 228\)
\(x \le 22,8\)
Mà tổng số hai loại quả mua được là nhiều nhất nên \(x\) là số nguyên lớn nhất, do đó \(x = 22.\)
Vậy bạn An có thể mua được nhiều nhất 22 quả táo và lê.
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \), ta có:
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \).
Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \), ta có:
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \), \(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \),
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \), \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 2a\) và \(\widehat {B\,} = \alpha \). Kẻ đường trung tuyến \(AM.\) Khi đó:
\(\sin \widehat {BAM} = \cos \alpha \).
\(BM = 2a \cdot \sin \alpha \).
\(AM = 2a \cdot \cos \alpha \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
Đáp án: a) Đ. b) S. c) S. d) Đ.
⦁ Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác và đường cao của tam giác.
Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\), ta có: \(\widehat {BAM} + \widehat {B\,} = 90^\circ \)
Khi đó hai góc \(\widehat {BAM}\) và \(\widehat {B\,}\) là hai góc phụ nhau, nên \(\sin \widehat {BAM} = \cos B = \cos \alpha \).
Do đó ý a) là đúng.
⦁ Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\), ta có:
\(BM = AB \cdot \cos B = 2a \cdot \cos \alpha \) và \(AM = AB \cdot \sin B = 2a \cdot \sin \alpha .\)
Do đó ý b) và c) đều sai.
⦁ Ta có \(BC = 2BM = 2 \cdot 2a \cdot \cos \alpha = 4a \cdot \cos \alpha \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\(S = \frac{1}{2}AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2a \cdot \sin \alpha } \right) \cdot \left( {4a \cdot \cos \alpha } \right) = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
Do đó ý d) là đúng.
Cho phương trình \(\left( {\frac{2}{5}x + 1} \right)\left( {2 - 3x} \right) = 0.\) Tính hiệu của nghiệm lớn và nghiệm bé của phương trình đó.
Đáp án: \(\frac{{19}}{6}.\)
Giải phương trình:
\(\left( {\frac{2}{5}x + 1} \right)\left( {2 - 3x} \right) = 0\)
\(\frac{2}{5}x + 1 = 0\) hoặc \(2 - 3x = 0\)
\(\frac{2}{5}x = - 1\) hoặc \( - 3x = - 2\)
\(x = - \frac{5}{2}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\)
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - \frac{5}{2};\)\(x = \frac{2}{3}\).
Hiệu của nghiệm lớn và nghiệm bé là: \(\frac{2}{3} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = \frac{{19}}{6}.\)
Với giá trị nào của \(x\) thì hai biểu thức \(A = \frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}}\) và \(B = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\) có cùng một giá trị?
Đáp án: \(x = 0.\)
Để hai biểu thức đã cho có cùng một giá trị thì \(A = B\), tức là \(\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\)
Điều kiện: \(x \ne \frac{1}{3};\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)
Giải phương trình:
\(\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\)
\(\frac{3}{{3x + 1}} - \frac{2}{{3x - 1}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)
\(\frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)
\[3\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {3x + 1} \right) = x - 5\]
\(9x - 3 - 6x - 2 = x - 5\)
\(2x = 0\)
\(x = 0\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Phương trình \(6x + 11y = 36\) có một nghiệm là \(\left( {{x_0};\,\,1} \right)\). Có bao nhiêu số các số nguyên dương nhỏ hơn \({x_0}\)?
Đáp án: 4 số.
Vì \(\left( {{x_0};\,\,1} \right)\) là một nghiệm của phương trình \(6x + 11y = 36\) nên ta có:
\(6{x_0} + 11 \cdot 1 = 36,\) suy ra \[{x_0} = \frac{{25}}{6} = 4,1\left( 6 \right)\].
Do đó các số nguyên dương nhỏ hơn \({x_0}\) là \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4.\)
Vậy có 4 số thỏa mãn yêu cầu.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 6y = 5\\5x + by = 4\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) làm nghiệm. Tính tổng bình phương của \(a\) và \(b\).
Đáp số: \(\frac{{257}}{4}\).
Vì cặp số \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình, ta thay \(x = 2\) và \(y = - 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 5}\\{5 \cdot 2 + b \cdot \left( { - 1} \right) = 4}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 6 = 5}\\{10 - b = 4}\end{array}} \right.\).
Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = 11}\\{b = 6}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{11}}{2}}\\{b = 6}\end{array}} \right.\)
Tổng bình phương của \(a\) và \(b\) là: \({a^2} + {b^2} = {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} + {6^2} = \frac{{121}}{4} + 36 = \frac{{257}}{4}.\)
Một tam giác có độ dài các cạnh là \(1,\,\,2,\,\,x\)\((x\) là số nguyên). Tìm \(x.\)
Đáp số: \(x = 3\).
Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:
\(2 - 1 < x < 2 + 1\) hay \(1 < x < 3\).
Mà \(x\) là số nguyên nên \(x = 3\).
Với giá trị nào của \(m\) thì bất phương trình \(m\left( {2x + 1} \right) < 8x\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
Đáp số: \(m \ne 4.\)
Ta có : \(m\left( {2x + 1} \right) < 8x\) được viết thành \(2mx + m - 8x < 0\) hay \(2\left( {m - 4} \right)x + m < 0\).
Vậy để bất phương trình \(m\left( {2x + 1} \right) < 8x\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì bất phương trình \(2\left( {m - 4} \right)x + m < 0\) phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \(a \ne 0\) hay \(2\left( {m - 4} \right) \ne 0\), suy ra \(m \ne 4.\)
Hùng có số tiền không vượt quá \[60{\rm{ }}000\] đồng gồm 15 tờ với hai loại mệnh giá: \[2{\rm{ }}000\] đồng và \[5{\rm{ }}000\] đồng. Hỏi Hùng có nhiều nhất bao nhiêu tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng?
Đáp số: 10 tờ.
Gọi \(x\) là số tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng nhiều nhất mà Hùng có \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Số tờ tiền mệnh giá \[2{\rm{ }}000\] đồng Hùng có là: \(15 - x\) (tờ).
Giá trị của \(15 - x\) tờ tiền mệnh giá \[2{\rm{ }}000\] đồng là: \(2\,\,000\left( {15 - x} \right)\) (đồng).
Giá trị của \(x\) tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng là: \(5\,\,000x\) (đồng).
Tổng số tiền Hùng có là: \(2\,\,000\left( {15 - x} \right) + 5\,\,000x = 3\,\,000x + 30\,\,000\) (đồng).
Theo bài, Hùng có số tiền không vượt quá \[60{\rm{ }}000\]đồng nên ta có bất phương trình:
\(3\,\,000x + 30\,\,000 \le 60\,\,000\)
\(3\,\,000x \le 30\,\,000\)
\(x \le 10\).
Mà \(x \in \mathbb{N}*\) và \(x\) lớn nhất nên \(x = 10\).
Vậy Hùng có nhiều nhất là 10 tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng.
Cho góc nhọn \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ < \alpha < 50^\circ \). Rút gọn biểu thức\[A = \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) + \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \cos \left( {50^\circ - \alpha } \right) + \cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)\] về biểu thức chỉ chứa tỉ số lượng giác \(\sin \) của một góc.
Đáp số: \[A = 2\sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right).\]
Với \(0^\circ < \alpha < 70^\circ \), ta có: \[90^\circ - \left( {50^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 40^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {60^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 30^\circ .\]
Do đó:
\[A = \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) + \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \cos \left( {50^\circ - \alpha } \right) + \cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)\]
\[\,\,\,\,\, = \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) + \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) + \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right)\]
\[\,\,\,\,\, = 2\sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right)\].
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\) và \(CH = 4\;{\rm{cm}}\), \(BH = 3\;{\rm{cm}}\). Tính tỉ số lượng giác \(\cos C\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp số: \(0,76\).
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CAH\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \), \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat {CAH})\)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{CH}}\) hay \(A{H^2} = BH \cdot CH = 3 \cdot 4 = 12\).
Xét \(\Delta CAH\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2} = 12 + {4^2} = 28\), suy ra \(AC = 2\sqrt 7 {\rm{\;cm}}\).
Khi đó, \(\cos C = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{4}{{2\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \approx 0,76\).
Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D,\) có \(\widehat {C\,} = 50^\circ .\) Biết \(AB = 2,\)\(AD = 1,2,\) diện tích hình thang \(ABCD\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
\
Đáp số: 3,0 đvdt.
Kẻ \(BH \bot DC\).
Xét tứ giác \(ABHD\) có \(\widehat {A\,\,} = \widehat {BHD} = \widehat {D\,} = 90^\circ \) nên \(ABHD\) là hình chữ nhật.
Suy ra \(BH = AD = 1,2\) và \(DH = AB = 2\).
Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\), ta có: \(CH = BH\cot C = 1,2 \cdot \cot 50^\circ \approx 1,01\).
Do đó \(DC = DH + CH \approx 2 + 1,01 = 3,01\).
Diện tích hình thang \(ABCD\) là:
\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right) \cdot AD \approx \frac{1}{2}\left( {2 + 3,01} \right) \cdot 1,2 = 3,006 \approx 3,0\) (đơn vị diện tích).
