Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Trắc nghiệm

Đáp án đúng là: C

Để kiểm tra xem cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) có là nghiệm của hệ phương trình nào, ta thay \(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào từng hệ phương trình:

⦁ Xét phương án A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 4 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7 \ne 4.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án A.

⦁ Xét phương án B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 8.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án B.

⦁ Xét phương án C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

⦁ Xét phương án D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 2y = 0}\\{x - 3y = 5}\end{array}} \right.\)

Thay\(x = - 2\) và \(y = - 3\) vào hệ phương trình trên ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4\left( { - 2} \right) - 2\left( { - 3} \right) = - 2 \ne 0\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 5.\end{array} \right.\)

Do đó cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án D.

Vậy cặp số \(\left( { - 2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

Đáp án đúng là: D

Để cặp số \(\left( { - 2;\,\,3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình, ta thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) vào hệ phương trình, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \cdot \left( { - 2} \right) + 3 = 5}\\{3 \cdot \left( { - 2} \right) + b \cdot 3 = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình trên, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a = 2}\\{ - 6 + 3b = 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 2.}\end{array}} \right.\)

Vậy, để cặp số \(\left( { - 2;\,\,3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình thì \(a = - 1\) và \(b = 2\).

Đáp án đúng là: D

Để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) thì thay \(x = 3,\,\,y = - 5\) vào hàm số \(y = ax + b\), ta được: \( - 5 = 3a + b\).

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {1;\,\,2} \right)\), ta có: \(2 = a + b\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(2a = - 7,\) suy ra \(a = - \frac{7}{2}\).

Thay \(a = - \frac{7}{2}\) vào phương trình \(a + b = 2\), ta được:

\( - \frac{7}{2} + b = 2,\) suy ra \(b = \frac{{11}}{2}\).

Vậy, giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,2} \right)\) là \(a = - \frac{7}{2}\) và \(b = \frac{{11}}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Đổi 30 phút \( = 0,5\) giờ.

Gọi \(x,\,\,y\) (giờ) lần lượt là thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường \(AB\) và \(BC\) \(\left( {x > 0;\,\,y > 0,5} \right)\).

Do thời gian ô tô đi trên quãng đường \[AB\] ít hơn thời gian đi trên quãng đường \[BC\] là 30 phút nên ta có phương trình: \(y - x = 0,5.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Quãng đường \(AB\) và \(BC\) lần lượt là: \(50x\) (km), \(45y\) (km).

Do quãng đường tổng cộng độ dài 165 km nên ta có phương trình: \(50x + 45y = 165.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50x + 45y = 165}\\{y - x = 0,5}\end{array}} \right.\)  hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50x + 45y = 165}\\{ - x + y = 0,5}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 50, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50x + 45y = 165}\\{ - 50x + 50y = 25}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(95y = 190,\) suy ra \(y = 2\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 2\) vào phương trình (1), ta được \(2 - x = 0,5,\) suy ra \(x = 1,5\) (thỏa mãn).

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AB\) là 1,5 giờ.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(x,\,\,y\) (học sinh) lần lượt là số học sinh dự thi của hai trường \(A,\,\,B\) \(\left( {0 < x < 350,\,\,0 < y < 350} \right)\).

Vì hai trường \(A,\,\,B\) có tổng cộng 350 học sinh dự thi nên ta có phương trình \(x + y = 350.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì trường \(A\) có \(97\% \) và trường \(B\) có \(96\% \) số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có 338 học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình \(97\% \cdot x + 96\% \cdot y = 338.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 350\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{97\% \cdot x + 96\% \cdot y = 338\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1) suy ra \(x = 350 - y\), thay vào phương trình (2), ta được:

\(97\% \cdot \left( {350 - y} \right) + 96\% \cdot y = 338\)

\(97 \cdot \left( {350 - y} \right) + 96 \cdot y = 33\,\,800\)

\(33\,\,950 - 97y + 96 \cdot y = 33\,\,800\)

\( - y = - 150\)

\(y = 150\) (thỏa mãn).

Vậy trường \(B\) có 150 học sinh dự thi.

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - 10\)” được viết là \(x \le - 10\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \( - 3 > - 4\), cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số \[m\] bất kỳ, ta được:

\(m - 3 > m - 4\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(m > n\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 3,\) ta được: \(m - 3 > n - 3.\)

Đáp án đúng là: D

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(2a < 2b\) nên \(2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5\) hay \(2a + 1 < 2b + 5\) nên A đúng.

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) nên \(7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b\) hay \(7 - 3a > 4 - 3b\) nên B đúng.

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(7a < 7b\) hay \(7a - 1 < 7b - 1\) nên C đúng.

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) hay \(2 - 3a > 2 - 3b\) nên D sai.

Vậy phương án D là đúng.

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình \(x + 2y > 0\) có hai ẩn nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình \(\frac{1}{x} - 3 > 0\) có chứa ẩn \(x\) dưới mẫu nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình \({x^2} + 1 > 0\) có chứa \({x^2}\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình \(\frac{x}{2} + 1 > 0\) hay \(\frac{1}{2}x + 1 > 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b > 0\) với \(a = \frac{1}{2} \ne 0\) và \(b = 1.\)

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Giải bất phương trình:

\(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\)

\(5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}\)

\(5x \ge - 12\)

\(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\).

Do đó nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{{ - 12}}{5}\).

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x = - 2\)

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\cos \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{NP}}\).

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\alpha + \beta = 90^\circ \) nên \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn phụ nhau, do đó \(\tan \alpha = \cot \beta \).

Đáp án đúng là: B

Với \(0^\circ < \alpha < 70^\circ \), ta có: \[90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .\]

Do đó:

\[A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)\]

\[\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha \]

\[\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]\]

\[\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.\]

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {5^2} - {4^2} = 9.\)

Do đó \(AB = 3{\rm{\;cm}}.\)

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) hay hai góc \(B\) và \(C\) phụ nhau, do đó \(\sin C = \cos B\).

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin C = \cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}} \approx 0,38\).

Đáp án đúng là: B

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) hay hai góc \(B\) và \(C\) phụ nhau, do đó \(\cos B = \sin C\).

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore, ta có:

\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2},\) suy ra \(A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {15^2} - {6^2} = 189.\)

Do đó \(AH = 3\sqrt {21} {\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)

Khi đó, \(\cos B = \sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{15}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}\).

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(AC = AB \cdot \tan B = 5 \cdot \tan 60^\circ = 5\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\).

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{{3,5}} = \frac{{12}}{7}\).

Suy ra \(\widehat {C\,} \approx 59^\circ 45\prime \)

Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {15^2} = 289;\,\,B{C^2} = {17^2} = 289\)

Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).

Khi đó: \(\cos \widehat {HAC} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}}\).

Đáp án:          a) Đ.        b) S.        c) Đ.        d) Đ.

⦁ Ta có: \( - 2{x^2} - x + 1 = 0\)

\( - 2{x^2} - 2x + x + 1 = 0\)

\[ - 2x\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) = 0\]

\[\left( {x + 1} \right)\left( { - 2x + 1} \right) = 0\]

\[\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0\].

Do đó ý a) là đúng.

⦁ Giải phương trình:

\[\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0\]

\(x + 1 = 0\) hoặc \(1 - 2x = 0\)

\(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\).

Như vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 1;\,\,x = \frac{1}{2}\). Do đó ý b) là sai.

⦁ Tổng bình phương của hai nghiệm của phương trình đã cho là: \({\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}.\)

Do đó ý c) là đúng.

⦁ Tích của hai nghiệm của phương trình đã cho là: \(\left( { - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}.\) Do đó ý d) là đúng.

Đáp án:          a) Đ.        b) S.        c) S.         d) S.

Giải phương trình:

\(1 + \frac{1}{{2 + x}} = \frac{{12}}{{{x^3} + 8}}\)

\(\frac{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\)

\(\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + {x^2} - 2x + 4 = 12\)

\({x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\)

\({x^3} + {x^2} - 2x = 0\)

\(x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\(x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0\)

\(x\left[ {x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)

\(x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 0;\,\,x = 1.\)

Hai nghiệm này có giá trị không âm.

Vậy:                a) Đ.        b) S.         c) S.         d) S.

Đáp án:          a) Đ.        b) S.        c) S.         d) Đ.

⦁ Thay \(x = 5\) và \(y = - 1\) vào phương trình đã cho, ta được: \[5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.\]

Suy ra cặp số \[\left( {5;\,\, - 1} \right)\] là một nghiệm của phương trình \[x + 2y = 3.\] Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phương trình \[x + 2y = 3\] là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó ý b) là sai.

⦁ Viết lại phương trình \[x + 2y = 3\] thành \(y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x\), khi đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng \(y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x\). Do đó ý c) là sai.

⦁ Phương trình \[x + 2y = 3\] là phương trình bậc nhất hai ẩn, có vô số nghiệm.

Viết lại phương trình \[x + 2y = 3\] thành \(x = 3 - 2y\).

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đó là: \(\left( {3 - 2y;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý. Do đó ý d) là đúng.

Đáp án:          a) Đ.        b) Đ.        c) S.         d) S.

Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình (2), ta có \(y = 2x + 4\).

Thay \(y = 2x + 4\) vào phương trình (1), ta được:

\(6x - 3\left( {2x + 4} \right) = - 12\) hay \(0x = 0\).

Phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là \(\left( {x;\,\,2x + 4} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Vậy:                a) Đ.        b) Đ.        c) S.         d) S.

Đáp án:          a) Đ.        b) Đ.        c) Đ.        d) S.

– Tổng số cây cải bắp dự định trồng là: \(xy\) (cây).

– Phân tích dữ kiện 1:

⦁ Số luống mới: \(x + 8\) (luống);

⦁ Số cây mỗi luống mới: \(y - 3\) (cây);

⦁ Tổng số cây mới: \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right)\) (cây);

⦁ Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây so với dự định nên ta có phương trình:

\(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 108\).

\(xy - 3x + 8y - 24 = xy - 108\)

\( - 3x + 8y = - 84\)

\(3x - 8y = 84\).

Do đó ý a) là đúng.

– Phân tích dữ kiện 2:

⦁ Số luống mới: \(x - 4\)

⦁ Số cây mỗi luống mới: \(y + 2\)

⦁ Tổng số cây mới: \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right)\)

⦁ Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có phương trình:

\(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 64\)

\(xy + 2x - 4y - 8 = xy + 64\)

\(2x - 4y = 72\)

\(x - 2y = 36\).

Do đó ý b) là đúng.

– Mối liên hệ giữa số cây và số luống là hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 8y = 84}\\{x - 2y = 36.}\end{array}} \right.\)

Do đó ý c) là đúng.

– Để xác định số cây cải bắp được trồng trên mảnh đất có vượt quá 1 000 cây hay không, ta cần giải hệ phương trình ở ý c) để tìm \(x\) và \(y\), sau đó tính tổng số cây: \(xy.\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 8y = 84}\\{x - 2y = 36.}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình \(x - 2y = 36\), ta có: \(x = 2y + 36\), thay vào phương trình \(3x - 8y = 84\), ta được:

\(3\left( {2y + 36} \right) - 8y = 84\)

\(6y + 108 - 8y = 84\)

\( - 2y = - 24\)

    \(y = 12\).

Thay \(y = 12\) vào phương trình \(x = 2y + 36\), ta được: \(x = 2 \cdot 12 + 36 = 60\).

Tổng số cây cải bắp dự định trồng là \(xy = 60 \cdot 12 = 720\) cây.

Ta thấy \(720 < 1\,\,000\) nên số cây cải bắp được trồng trên mảnh đất không vượt quá \[1{\rm{ }}000\] cây. Do đó ý d) là sai.

Vậy:                a) Đ.        b) Đ.        c) Đ.        d) S.

Đáp án:          a) S.        b) S.        c) Đ.        d) Đ.

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) hay \(4a - 2 < 4b - 2\) nên ý a) là sai.

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 3a > - 3b\) hay \(6 - 3a > 6 - 3b\) nên ý b) là sai.

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \(4a < 4b\) nên \(4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\) hay \(4a + 1 < 4b + 5\) nên ý c) là đúng.

⦁ Vì \(a < b\) suy ra \( - 2a > - 2b\) nên \(7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\) hay \(7 - 2a > 4 - 2b\) nên ý d) đúng.

Đáp án:          a) S.        b) Đ.        c) S.         d) S.

⦁ Ta có: \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\)

 \(2mx + m - 8 < 0\)

Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn \(x\) khi \(2m \ne 0\) hay \(m \ne 0\).

Do đó ý a) là sai.

⦁ Khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \(2x - 7 < 0\).

Giải bất phương trình:

\(2x - 7 < 0\)

\(2x < 7\)

\(x < \frac{7}{2}\).

Như vậy, khi \(m = 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x < \frac{7}{2}\). Do đó ý b) là đúng.

⦁ Khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 2x - 9 < 0\).

Giải bất phương trình:

\( - 2x - 9 < 0\)

\( - 2x < 9\)

\(x > - \frac{9}{2}\).

Như vậy, khi \(m = - 1,\) bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > - \frac{9}{2}\). Do đó ý c) là sai.

⦁ Khi \(m = - 2,\) bất phương trình đã cho trở thành: \( - 4x - 10 < 0\).

Giải bất phương trình:

\( - 4x - 10 < 0\)

\( - 4x < 10\)

\(x > - \frac{5}{2}\).

Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là \( - 2\). Do đó ý d) là sai.

Đáp án:          a) Đ.        b) Đ.        c) Đ.        d) S.

Do mỗi loại bạn An mua ít nhất 6 quả và giá của mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, nên bạn An chỉ nên mua 6 quả táo để số quả lê mua được là nhiều nhất.

Số quả lê bạn An đã mua là: \(x - 6\) (quả).

Số tiền bạn An dùng để mua 6 quả táo là: \(6 \cdot 22 = 132\) (nghìn đồng).

Số tiền bạn An dùng để mua \(x - 6\) quả lê là: \(10\left( {x - 6} \right)\) (nghìn đồng).

Bạn An có 300 nghìn đồng để mua táo và lê nên ta có:

\(132 + 10\left( {x - 6} \right) \le 300\)

\(132 + 10x - 60 \le 300\)

\(10x \le 228\)

   \(x \le 22,8\)

Mà tổng số hai loại quả mua được là nhiều nhất nên \(x\) là số nguyên lớn nhất, do đó \(x = 22.\)

Vậy bạn An có thể mua được nhiều nhất 22 quả táo và lê.

Đáp án:          a) Đ.        b) Đ.        c) S.         d) S.

Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \), ta có:

\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \), \(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \),

\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \), \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).

Đáp án:          a) Đ.        b) S.        c) S.         d) Đ.

⦁ Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\), ta có:

\(BM = AB \cdot \cos B = 2a \cdot \cos \alpha \) và \(AM = AB \cdot \sin B = 2a \cdot \sin \alpha .\)

Do đó ý b) và c) đều sai.

⦁ Ta có \(BC = 2BM = 2 \cdot 2a \cdot \cos \alpha = 4a \cdot \cos \alpha \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S = \frac{1}{2}AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2a \cdot \sin \alpha } \right) \cdot \left( {4a \cdot \cos \alpha } \right) = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Do đó ý d) là đúng.

Đáp án: \(\frac{{19}}{6}.\)

Giải phương trình:

\(\left( {\frac{2}{5}x + 1} \right)\left( {2 - 3x} \right) = 0\)

\(\frac{2}{5}x + 1 = 0\) hoặc \(2 - 3x = 0\)

\(\frac{2}{5}x = - 1\) hoặc \( - 3x = - 2\)

\(x = - \frac{5}{2}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - \frac{5}{2};\) \(x = \frac{2}{3}\).

Hiệu của nghiệm lớn và nghiệm bé là: \(\frac{2}{3} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = \frac{{19}}{6}.\)

Đáp án: \(x = 0.\)

Để hai biểu thức đã cho có cùng một giá trị thì \(A = B\), tức là \(\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\)

Điều kiện: \(x \ne \frac{1}{3};\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}\)

\(\frac{3}{{3x + 1}} - \frac{2}{{3x - 1}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)

\(\frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)

\[3\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {3x + 1} \right) = x - 5\]

\(9x - 3 - 6x - 2 = x - 5\)

\(2x = 0\)

\(x = 0\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án: 4 số.

Vì \(\left( {{x_0};\,\,1} \right)\) là một nghiệm của phương trình \(6x + 11y = 36\) nên ta có:

\(6{x_0} + 11 \cdot 1 = 36,\) suy ra \[{x_0} = \frac{{25}}{6} = 4,1\left( 6 \right)\].

Do đó các số nguyên dương nhỏ hơn \({x_0}\) là \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4.\)

Vậy có 4 số thỏa mãn yêu cầu.

Đáp số: \(\frac{{257}}{4}\).

Vì cặp số \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình, ta thay \(x = 2\) và \(y = - 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 5}\\{5 \cdot 2 + b \cdot \left( { - 1} \right) = 4}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 6 = 5}\\{10 - b = 4}\end{array}} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = 11}\\{b = 6}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{11}}{2}}\\{b = 6}\end{array}} \right.\)

Tổng bình phương của \(a\) và \(b\) là: \({a^2} + {b^2} = {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} + {6^2} = \frac{{121}}{4} + 36 = \frac{{257}}{4}.\)

Đáp số: \(x = 3\).

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:

\(2 - 1 < x < 2 + 1\) hay \(1 < x < 3\).

Mà \(x\) là số nguyên nên \(x = 3\).

Đáp số: \(m \ne 4.\)

Ta có : \(m\left( {2x + 1} \right) < 8x\) được viết thành \(2mx + m - 8x < 0\) hay \(2\left( {m - 4} \right)x + m < 0\).

Vậy để bất phương trình \(m\left( {2x + 1} \right) < 8x\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì bất phương trình \(2\left( {m - 4} \right)x + m < 0\) phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \(a \ne 0\) hay \(2\left( {m - 4} \right) \ne 0\), suy ra \(m \ne 4.\)

Đáp số: 10 tờ.

Gọi \(x\) là số tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng nhiều nhất mà Hùng có \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).

Số tờ tiền mệnh giá \[2{\rm{ }}000\] đồng Hùng có là: \(15 - x\) (tờ).

Giá trị của \(15 - x\) tờ tiền mệnh giá \[2{\rm{ }}000\] đồng là: \(2\,\,000\left( {15 - x} \right)\) (đồng).

Giá trị của \(x\) tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng là: \(5\,\,000x\) (đồng).

Tổng số tiền Hùng có là: \(2\,\,000\left( {15 - x} \right) + 5\,\,000x = 3\,\,000x + 30\,\,000\) (đồng).

Theo bài, Hùng có số tiền không vượt quá \[60{\rm{ }}000\] đồng nên ta có bất phương trình:

\(3\,\,000x + 30\,\,000 \le 60\,\,000\)

\(3\,\,000x \le 30\,\,000\)

\(x \le 10\).

Mà \(x \in \mathbb{N}*\) và \(x\) lớn nhất nên \(x = 10\).

Vậy Hùng có nhiều nhất là 10 tờ tiền mệnh giá \[5{\rm{ }}000\] đồng.

Đáp số: \[A = 2\sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right).\]

Với \(0^\circ < \alpha < 70^\circ \), ta có: \[90^\circ - \left( {50^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 40^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {60^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 30^\circ .\]

Do đó:

\[A = \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) + \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \cos \left( {50^\circ - \alpha } \right) + \cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)\]

\[\,\,\,\,\, = \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right) + \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) - \sin \left( {\alpha + 40^\circ } \right) + \sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right)\]

\[\,\,\,\,\, = 2\sin \left( {\alpha + 30^\circ } \right)\].

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{CH}}\) hay \(A{H^2} = BH \cdot CH = 3 \cdot 4 = 12\).

Xét \(\Delta CAH\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore, ta có:

\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2} = 12 + {4^2} = 28\), suy ra \(AC = 2\sqrt 7 {\rm{\;cm}}\).

Khi đó, \(\cos C = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{4}{{2\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \approx 0,76\).

Suy ra \(BH = AD = 1,2\) và \(DH = AB = 2\).

Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\), ta có: \(CH = BH\cot C = 1,2 \cdot \cot 50^\circ \approx 1,01\).

Do đó \(DC = DH + CH \approx 2 + 1,01 = 3,01\).

Diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right) \cdot AD \approx \frac{1}{2}\left( {2 + 3,01} \right) \cdot 1,2 = 3,006 \approx 3,0\) (đơn vị diện tích).