Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

\[7x{y^2} - 5x{y^2} + 2x{y^2}\]

\[ = \left( {7 - 5 + 2} \right)x{y^2} = 4x{y^2}\];

\(2xy\left( {3{x^2} - x{y^2}} \right)\)

\( = 2xy \cdot 3{x^2} - 2xy \cdot x{y^2}\)

\( = 6{x^3}y - 2{x^2}{y^3}\);

\(\frac{2}{3}{x^2}y\left( {3x{y^2} - \frac{5}{2}y} \right)\)

\( = \frac{2}{3}{x^2}y.3x{y^2} - \frac{2}{3}{x^2}y.\frac{5}{2}y\)
\( = 2{x^3}{y^3} - \frac{5}{3}{x^2}{y^2}\).

\[65{x^9}{y^5}:\left( { - 13{x^4}{y^4}} \right)\]

\[ = \left[ {65:\left( { - 13} \right)} \right].\left( {{x^9}:{x^4}} \right).\left( {{y^5}:{y^4}} \right)\]
\[ = - 5{x^5}y\].

\[\left( {8{x^4}y-12{x^2}{y^2} - 20{x^2}y} \right):4{x^2}y\]

\[ = 8{x^4}y:4{x^2}y-12{x^2}{y^2}:4{x^2}y - 20{x^2}y:4{x^2}y\]

\[ = 2{x^2}-3y - 5\].

Đơn thức \[ - \,0,3x{y^2}\]có hệ số \[ - 0,3\]; phần biến \[x{y^2}\]; bậc \[3\].

Đa thức \[A = 7x{y^2} - 5{x^3}y + xy - 9\]có các hạng tử\[7x{y^2}\,;\,\, - 5{x^3}y\,;\,\,xy\,;\,\, - 9\], bậc\[4\].

Ta có \[A = - \frac{3}{2}{x^2}{y^4}{x^3}{y^2} = - \frac{3}{2}\left( {{x^2}{x^3}} \right)\left( {{y^4}{y^2}} \right) = - \frac{3}{2}{x^5}{y^6}\].

Đơn thức \[A\] có hệ số là \[ - \frac{3}{2}\]; bậc là 11.

Ta có \[M - N = \left( {2{x^2} - 2xy - {y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - 1} \right)\]

\[ = 2{x^2} - 2xy - {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2} + 1\]

\[ = {x^2} - 4xy - 2{y^2} + 1\].

Thay \(x = 1\,;\,y = - 2\) vào đa thức \[M - N\], ta có

\[M - N = {1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 2\].

Vậy với \[x = 1\,;\,\,y = - 2\] thì \[M - N = 2.\]

a)Ta có \(M = 2{x^2}{y^2} \cdot \left( { - 3xy} \right) + 5{x^3}{y^3} = - 6{x^3}{y^3} + 5{x^3}{y^3} = - {x^3}{y^3}.\)

Bậc của đa thức \[M\] là 6.

b)Thay \(x = - 1\)và \(y = - 1\) vào biểu thức \[M\], ta có:

\[M = - {x^3}{y^3} = - {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^3} = - 1.\]

Vậy tại \(x = - 1\)và \(y = - 1\) thì \[M = - 1.\]

a)•Thay \[x = 0\,;{\rm{ }}y = - 2\] vào đa thức \[M\], ta được:

\[M = 23 \cdot {0^{23}} \cdot \left( { - 2} \right) - 22 \cdot 0 \cdot {\left( { - 2} \right)^{23}} + 21 \cdot \left( { - 2} \right) - 1\]\[ = 21 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 = - 43\].

•Thay \[x = 0\,;{\rm{ }}y = - 2\] vào đa thức \[N,\] ta được:

\[N = - 22 \cdot 0 \cdot {\left( { - 2} \right)^{23}} - 42 \cdot \left( { - 2} \right) - 1\]\[ = - 42 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 = 83\].

Vậy tại \(x = 0;\,y = - 2\) thì \[M = - 43\,;\,\,N = 83.\]

b)Ta có \(R = M - N = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1 + 22x{y^{23}} + 42y + 1\)

\[\, = 23{x^{23}}y + \left( { - 22x{y^{23}} + 22x{y^{23}}} \right) + \left( {21y + 42y} \right) + \left( { - 1 + 1} \right)\]\[ = 23{x^{23}}y + 63y\].

Vậy \[R = 23{x^{23}}y + 63y.\]

\(M + 5{x^2} - 2xy = 6{x^2} + 9xy - {y^2}\)

Suy ra \(M = 6{x^2} + 9xy - {y^2} - \left( {5{x^2} - 2xy} \right)\)

\( = 6{x^2} + 9xy - {y^2} - 5{x^2} + 2xy\)

\( = \left( {6{x^2} - 5{x^2}} \right) + \left( {9xy + 2xy} \right) - {y^2}\)

\( = {x^2} + 11xy - {y^2}\).

Vậy \(M = {x^2} + 11xy - {y^2}\).

\(N - \left( {5{y^2} - xyz} \right) = xy + 2{y^2} - 3xyz + 4\)

Suy ra \(N = xy + 2{y^2} - 3xyz + 4 + \left( {5{y^2} - xyz} \right)\)

\( = xy + 2{y^2} - 3xyz + 4 + 5{y^2} - xyz\)

\[ = xy + \left( {2{y^2} + 5{y^2}} \right) + \left( { - 3xyz - xyz} \right) + 4\]

\[ = xy + 7{y^2} - 4xyz + 4\].

Vậy \[N = xy + 7{y^2} - 4xyz + 4.\]

Ta có \(\left( {2x + 3y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^3}{y^2} - {x^2}{y^3} + 4xy} \right):xy\)

\[ = 2{x^3} - 2{x^2}y + 2x{y^2} + 3{x^2}y - 3x{y^2} + 3{y^3} - \left( {{x^2}y - x{y^2} + 4} \right)\]

\[ = 2{x^3} - 2{x^2}y + 2x{y^2} + 3{x^2}y - 3x{y^2} + 3{y^3} - {x^2}y + x{y^2} - 4\]

\[ = 2{x^3} + \left( { - 2{x^2}y + 3{x^2}y - {x^2}y} \right) + \left( {2x{y^2} - 3x{y^2} + x{y^2}} \right) + 3{y^3} - 4\]

\[ = 2{x^3} + 3{y^3} - 4\].

Ta có \(G = E + F\)\( = \left( {{x^7} - 4{x^3}{y^2} - 5xy + 7} \right) + \left( {{x^7} + 5{x^3}{y^2} - 3xy - 3} \right)\)

\( = {x^7} - 4{x^3}{y^2} - 5xy + 7 + {x^7} + 5{x^3}{y^2} - 3xy - 3\)

\( = \left( {{x^7} + {x^7}} \right) + \left( { - 4{x^3}{y^2} + 5{x^3}{y^2}} \right) + \left( { - 5xy - 3xy} \right) + \left( {7 - 3} \right)\)

\( = 2{x^7} + {x^3}{y^2} - 8xy + 4\).

Vậy \(G = 2{x^7} + {x^3}{y^2} - 8xy + 4.\)

Ta có \(E + H = F\)

Suy ra \(H = F - E\)\( = \left( {{x^7} + 5{x^3}{y^2} - 3xy - 3} \right) - \left( {{x^7} - 4{x^3}{y^2} - 5xy + 7} \right)\)

\( = {x^7} + 5{x^3}{y^2} - 3xy - 3 - {x^7} + 4{x^3}{y^2} + 5xy - 7\)

\( = \left( {{x^7} - {x^7}} \right) + \left( {5{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2}} \right) + \left( { - 3xy + 5xy} \right) + \left( { - 3 - 7} \right)\)

\( = 9{x^3}{y^2} + 2xy - 10\).

Vậy \(H = 9{x^3}{y^2} + 2xy - 10.\)

\( - 3{x^2}{y^5}z:\left( {15x{y^3}} \right)\)

\( = \frac{{ - 3}}{{15}}\left( {{x^2}:x} \right)\left( {{y^5}:{y^3}} \right)z\)\( = \frac{{ - 1}}{5}x{y^2}z\).

\(\left( { - 9{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - 4x{y^2}} \right):3x{y^2}\)

\( = - 9{x^2}{y^3}:3x{y^2} + 6{x^3}{y^2}:3x{y^2} - 4x{y^2}:3x{y^2}\)

\( = - 3xy + 2{x^2} - \frac{4}{3}.\)

\(\frac{1}{2}xy\left( {{x^5} - {y^3}} \right) - {x^2}y\left( {\frac{1}{4}{x^4} - {y^3}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}xy \cdot {x^5} - \frac{1}{2}xy \cdot {y^3} - {x^2}y \cdot \frac{1}{4}{x^4} + {x^2}y \cdot {y^3}\)

\( = \frac{1}{2}{x^6}y - \frac{1}{2}x{y^4} - \frac{1}{4}{x^6}y + {x^2}{y^4}\)

\( = \left( {\frac{1}{2}{x^6}y - \frac{1}{4}{x^6}y} \right) - \frac{1}{2}x{y^4} + {x^2}{y^4}\)

\[ = \frac{1}{4}{x^6}y - \frac{1}{2}x{y^4} + {x^2}{y^4}\]

) \(\left( {x + 3y} \right)\left( {x - 2y} \right) - \left( {{x^4}y - 6{x^2}{y^3}} \right):{x^2}y\)

\( = {x^2} - 2xy + 3xy - 6{y^2} - \left( {{x^2} - 6{y^2}} \right)\)

\( = {x^2} + xy - 6{y^2} - {x^2} + 6{y^2}\)

\( = xy\).

Ta có:

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A = B = C\).

\(16{x^2} - 16x + 4 = 0\)

\(4{x^2} - 4x + 1 = 0\)

\({\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)

\(2x - 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{2}\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}\).

 \[{\left( {x + 3} \right)^2} + \left( {5 - x} \right)\left( {5 + x} \right) = - 3\]

\[{x^2} + 6x + 9 + 25 - {x^2} = - 3\]

\[6x + 9 + 25 = - 3\]

\[6x = - 37\]

\(x = \frac{{ - 37}}{6}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 37}}{6}\).

\[{x^3} + 9{x^2} + 27x + 19 = 0\]

\[{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 - 8 = 0\]

\[{\left( {x + 3} \right)^3} = 8\]

Suy ra \[x + 3 = 2\]

\(x = - 1.\)

Vậy \(x = - 1.\)

\[25{\left( {x + 3} \right)^2} + \left( {1-5x} \right)\left( {1 + 5x} \right) = 8\]

\(25\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + \left[ {{1^2} - {{\left( {5x} \right)}^2}} \right] = 8\)

\[25{x^2} + 150x + 225 + 1 - 25{x^2} = 8\]

\[150x = - 218\]

\(x = - \frac{{109}}{{75}}.\)

Vậy \(x = - \frac{{109}}{{75}}.\)

\[{x^2} - 2x = 0\]

\[x\left( {x - 2} \right) = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x - 2 = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x = 2\].

Vậy \[x = 0\] hoặc \[x = 2\].

 \[N = {x^2}y + x{y^2} + xy\]

\[ = xy \cdot x + xy \cdot y + xy \cdot 1\]

\[ = xy\left( {x + y + 1} \right).\]

Với mọi số thực \[x,y\] ta có:\[VP = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy\]

\[ = {x^2} + 2xy + {y^2} - 2xy\]

\[ = {x^2} + {y^2} = VT.\]

\(3{x^2} - \sqrt 3 x + \frac{1}{4}\)

\( = {\sqrt 3 ^2}.{x^2} - 2.\sqrt 3 x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 3 x} \right)^2} - 2.\sqrt 3 x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 3 x - \frac{1}{2}} \right)^2}\).

\({x^2} - x - {y^2} + y\)

\( = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {x - y} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right)\).

\[{x^4} + {x^3} + 2{x^2} + x + 1\]   

\[ = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) + \left( {{x^3} + x} \right)\]

\[ = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2{x^2} + 1} \right] + \left( {{x^3} + x} \right)\]

\[ = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + x\left( {{x^2} + 1} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\].

\({x^3} + 2{x^2} + x - 16x{y^2}\)

\( = x\left( {{x^2} + 2x + 1 - 16{y^2}} \right)\)

\( = x\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - {4^2}.{y^2}} \right]\)

\( = x\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {4y} \right)}^2}} \right]\)

\( = x\left( {x - 4y + 1} \right)\left( {x + 4y + 1} \right)\).

Ta có \(VT = \left( {x - y} \right)\left( {{x^4} + {x^3}y + {x^2}{y^2} + x{y^3} + {y^4}} \right)\)

            \( = x\left( {{x^4} + {x^3}y + {x^2}{y^2} + x{y^3} + {y^4}} \right) - y\left( {{x^4} + {x^3}y + {x^2}{y^2} + x{y^3} + {y^4}} \right)\)

            \( = {x^5} + {x^4}y + {x^3}{y^2} + {x^2}{y^3} + x{y^4} - {x^4}y - {x^3}{y^2} - {x^2}{y^3} - x{y^4} - {y^5}\)

            \( = \left( {{x^5} - {y^5}} \right) + \left( {{x^4}y - {x^4}y} \right) + \left( {{x^3}{y^2} - {x^3}{y^2}} \right) + \left( {{x^2}{y^3} - {x^2}{y^3}} \right) + \left( {x{y^4} - x{y^4}} \right)\)

            \( = {x^5} - {y^5} = VP\).

Suy ra điều phải chứng minh.

Ta có \[A = 4\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {2x - 4} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2}\]

            \( = {\left( {2x - 4} \right)^2} + 2.2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}\)

            \( = {\left( {2x - 4} \right)^2} + 2.\left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2}\)

            \( = {\left[ {\left( {2x - 4} \right) + \left( {x + 1} \right)} \right]^2}\)

            \( = {\left( {2x - 4 + x + 1} \right)^2}\)

            \( = {\left( {3x - 3} \right)^2}\)

            \( = {\left[ {3\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\)

            \( = 9{\left( {x - 1} \right)^2}\).

Do đó \(A = 9{\left( {x - 1} \right)^2}\).

Thay \[x = \frac{1}{2}\] vào \(A\) ta được \(A = 9{\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)^2} = 9.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} = 9.\frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).

Vậy \(A = \frac{9}{4}\) tại \[x = \frac{1}{2}\].

Ta có \[B = {x^9} - {x^7} - {x^6} - {x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} - 1\]

            \( = \left( {{x^9} - {x^7}} \right) - \left( {{x^6} + {x^5}} \right) + \left( {{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)\)

            \( = {x^7}\left( {{x^2} - 1} \right) - {x^5}\left( {x + 1} \right) + {x^3}\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

            \( = {x^7}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^5}\left( {x + 1} \right) + {x^3}\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left[ {{x^7}\left( {x - 1} \right) - {x^5} + {x^3} + \left( {x - 1} \right)} \right]\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^7} + 1} \right) - \left( {{x^5} - {x^3}} \right)} \right]\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^7} + 1} \right) - {x^3}\left( {{x^2} - 1} \right)} \right]\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^7} + 1} \right) - {x^3}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right]\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {{x^7} + 1} \right) - {x^3}\left( {x + 1} \right)} \right]\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^7} + 1 - {x^4} - {x^3}} \right)\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {{x^7} - {x^4}} \right) - \left( {{x^3} - 1} \right)} \right]\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^4}\left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {{x^3} - 1} \right)} \right]\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^4} - 1} \right)\)

            \( = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

            \( = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

            \( = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\).

Do đó \(B = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\).

Thay \(x = 1\) vào \(B\) ta được \(B = {\left( {1 + 1} \right)^2}{\left( {1 - 1} \right)^3}\left( {{1^2} + 1} \right)\left( {{1^2} + 1 + 1} \right) = 0\).

Vậy \(B = 0\) tại \(x = 1\).