Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 6. Vectơ trong không gian
18 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho hình hộp \[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\]. Chọn đẳng thức sai?
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow {{B_1}{A_1}} - \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {B{D_1}} \).
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {D{D_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow {{B_1}{A_1}} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \)suy ra A đúng.
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) suy ra B đúng.
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {B{D_1}} \)- quy tắc hình hộp suy ra C đúng.
Vây D sai. Chọn D.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) là kết quả của phép tính tổng nào sau đây?
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {B'C'} \).
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {B'C'} \).
Nếu \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp thì \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC'} \). Chọn C.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
Mệnh đề sai là: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ đối nhau. Chọn D.
\[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\].
\[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\].
\[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD} } \right)\].
\[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)\].
Ta có: \(\overrightarrow {IJ} \, = \,\,\overrightarrow {IA} + \,\overrightarrow {AJ} \)\( = \, - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \, + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} \, + \,\overrightarrow {AD} } \right)\) \( = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \,\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
Vậy đẳng thức sai là \[\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)\]. Chọn D.\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \).
Có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \\\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CB} \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \]. Chọn C.
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \].
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} \].
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {JI} \].
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = - 2\overrightarrow {JI} \].
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = 2\left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0 \]. Chọn A.
\(150^\circ \).
\(120^\circ \).
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
Ta có \(\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {CBD} = 60^\circ \)(do \(\Delta ABC\) đều).Chọn D.
\(150^\circ \).
\(120^\circ \).
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(\left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {SBA}\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BS} } \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).Chọn B.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
\(\alpha = {180^{\rm{o}}}\) .
\(\alpha = {0^{\rm{o}}}\) .
\(\alpha = {90^{\rm{o}}}\) .
\(\alpha = {45^{\rm{o}}}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\) .
\({a^2}\) .
\(\frac{{{a^2}}}{2}\) .
\(\frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có \(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB} = 45^\circ \) (vì \(\Delta ASB\) vuông cân tại S).
Vì \(\Delta ASB\) vuông cân tại S, \(AB = a\) nên \(SA = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Có \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AS} = \left| {\overrightarrow {DC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AS} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 5\;kg\) được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,SB,SC,SD\) (tham khảo hình vẽ) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \). Biết \(\vec P = m.\vec g\) trong đó \(\vec g\) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \[10\;\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\], \(\vec P\) là trọng lực tác động vật có đơn vị là \(N\), \(m\) là khối lượng của vật có đơn vị \(kg\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ đồng phẳng.
b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|\).
c) Độ lớn của trọng lực \(\vec P\) tác động lên chiếc đèn chùm bằng \(50\;N\).
d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}\;N\).
a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ không đồng phẳng.
Vì 5 điểm S, A, B, C, D không cùng thuộc 1 mặt phẳng.
b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|\) .
c) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: \(P = mg = 5.10 = 50\;N\).
d) Ta có \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều. Suy ra \(SA = SB = SC = SD\) mà \(\widehat {ASC} = 60^\circ \).
Vậy tam giác \[SAC\] đều. Gọi \[O\] là trung điểm \(AC\).
Hợp lực của 4 sợi xích là: \(\vec F = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} = 4\overrightarrow {SO} \)
Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực hay \(4\overrightarrow {SO} = \vec P\) hay \(4SO = P \Leftrightarrow SO = 12,5\).
Xét tam giác đều \(SAC\)có \(SA = \frac{2}{{\sqrt 3 }}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là \(\frac{{25\sqrt 3 }}{3}\;N\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông, \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).Gọi \[I,J\] lần lượt là trung điểm của \[SA,SC\]. \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\].
a) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).
b) \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} \).
c) \[\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \].
d) \({\overrightarrow {AG} ^2} = {\overrightarrow {AS} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2}\).
a)Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) ( qui tắc hình bình hành) suy ra\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).
b) Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên\(\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)
c) Ta có\[ABCD\] là hình vuông nên nên\(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0\).
d) Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)
\({\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)\).
Vì \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) nên\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)\).
\[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)\) .
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\] ta được \(9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.\)
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Khi đó:
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {C'D'} \) bằng nhau.
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {A'D} \) và \(\overrightarrow {CB'} \) đối nhau.
c) Hai vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương với nhau.
d) Có 3 vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) bằng vectơ \(\overrightarrow {BC} \).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {C'D'} \) ngược hướng và có độ dài bằng nhau.
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {C'D'} \) đối nhau.
b) Ta có vectơ \(\overrightarrow {A'D} \) và \(\overrightarrow {CB'} \) cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Suy ra \(\overrightarrow {A'D} \) và \(\overrightarrow {CB'} \) đối nhau.
c) Ta có \(A'B'\) không song song với AC nên hai vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương với nhau.
d) Ta có các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) bằng vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {B'C'} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là 0°.
b) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BO} \) là 180°.
c) Cosin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CS} \) bằng \(\frac{1}{4}\).
d) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng 60°.
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là hai vectơ ngược hướng nên góc giữa chúng bằng 180°.
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BO} \) là hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng là \(0^\circ \).
c) Ta có \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \widehat {SCD}\).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác SCD có:
\(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2SC.CD}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{2.2a.a}} = \frac{1}{4}\).
d) Ta có \(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {SD} = - \overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OS} } \right) = - \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OS} = 0\) nên góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng 90°.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh \[AB = a\], \[AD = 2a\], cạnh bên \[SA = 2a\] và vuông góc với mặt đáy. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB\], \[SD\].
a) Hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \], \[\overrightarrow {CD\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {SC\,} \] và \[\overrightarrow {AC\,} \] bằng \[60^\circ \].
c) Tích vô hướng \[\overrightarrow {AM\,} \cdot \,\overrightarrow {AB\,} = \frac{{{a^2}}}{2}\].
d) Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AM\,} - \overrightarrow {AN\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
a) Ta thấy: \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AB//CD\].
Suy ra: hai vectơ \[\overrightarrow {AB\,} \], \[\overrightarrow {CD\,} \] là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
b) Ta có: \[ABCD\] là hình chữ nhật nên: \[AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \].
Hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA\] vuông góc với mặt đáy nên tam giác \[SAC\] là tam giác vuông tại \[A\]. Suy ra: \[\tan \widehat {SCA\,} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {SCA\,} \approx 41^\circ 48\prime \].
Ta có: \[\left( {\overrightarrow {SC\,} ,\,\overrightarrow {AC\,} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS\,} ,\,\overrightarrow {CA\,} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48\prime \].
c) Hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA\] vuông góc với mặt đáy nên tam giác \[SAB\] là tam giác vuông tại \[A\].
Suy ra: \[SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5 \].
Trong tam giác \[SAB\] vuông tại \[A\] có \[AM\] là đường trung tuyến nên\[AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].
Lại có: \[M\] là trung điểm của \[SB\] nên \[MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].
Ta tính được: \[\cos \widehat {MAB\,} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.\,AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Mà: \[\left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \widehat {MAB\,}\], suy ra:
\[\overrightarrow {AM\,} \cdot \,\overrightarrow {AB\,} = \left| {\overrightarrow {AM\,} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {AB\,} } \right|.\,\cos \left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\,a.\,\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\].
d) Ta có: \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[SB\], \[SD\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SBD\]. Do đó: \[MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].
Suy ra: \[\left| {\overrightarrow {AM\,} - \overrightarrow {AN\,} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN\,} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\].
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 2a\), \(BC = a\). Hình chiếu vuông góc \(H\) của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh \(AB\), góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Tính cosin góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)(làm tròn đến hàng phần chục).
\(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \)\(\left( {SC,CH} \right) = \)\(\widehat {SCH} = 60^\circ \).
\[\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}}\]
\(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \)
\( = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2}\).
\(AC = a\sqrt 5 \), \(CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \), \(SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \).
\(SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \).
\(\cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}}\)\( = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }}\)\( = \frac{2}{{\sqrt {35} }} \approx 0,3\).
Trả lời: 0,3.
Một em nhỏ cân nặng 20 kg trượt trên cầu trượt dài 3 m. Biết rằng cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30°. Cho biết công A(J) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt gia tốc rơi tự do \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
Ta có\(\left| {\overrightarrow P } \right| = P = mg = 20.9,8 = 196\)(N).
\(\left| {\overrightarrow d } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 3\) (m).
Cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) nên \(\left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = \widehat {CAB} = 60^\circ \).
Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt 3 m là
\[A = \overrightarrow P .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 196.3.\cos 60^\circ = 294\] (J).
Trả lời: 294.
. Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một ô tô tại điểm M và ô tô đứng yên. Cho biết cường độ hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 25N và \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tính cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \) (với D là điểm sao cho AMBD là hình bình hành).
Ta có \(MA = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25\) N; \(MB = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25\) N.
Do \(\widehat {AMB} = 60^\circ \) nên DMAB là tam giác đều. Khi đó \(MD = 2.\frac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \).
Do ô tô đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \).
Suy ra \(\overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {DM} } \right| = MD = 25\sqrt 3 \) N.
Vậy cường độ của \(\overrightarrow {{F_3}} \) là \(25\sqrt 3 \approx 43,3\) N.
Trả lời: 43,3.
