Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 6. Vectơ trong không gian
12 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Trong không gian cho 3 điểm \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\] phân biệt. Tính \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MN} \).
\[\overrightarrow {NM} \].
\[\overrightarrow {MN} \].
\[\overrightarrow {NP} \].
\[\overrightarrow {PN} \].
Theo quy tắc ba điểm ta có \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PN} \). Chọn D.
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] và bằng vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là
![Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình l (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/11-1761391014.png)
\[\overrightarrow {B'C'} \].
\[\overrightarrow {DA} \].
\[\overrightarrow {CB} \].
\[\overrightarrow {AB} \].
Do \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên ta có \(AD = B'C'\)
Ta thấy \(\overrightarrow {AD} \) và \[\overrightarrow {B'C'} \] cùng hướng .
Do đó \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'} \). Chọn A.
Cho hình hộp \[ABCD.EFGH\]. Kết quả quả phép toán \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} \]là
![Cho hình hộp \[ABCD.EFGH\]. Kết quả quả phép toán \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} \] là A. \[\overrightarrow {BD} \]. B. \[\overrightarrow {AE} \]. C. \[\overrightarrow {DB} \]. D. \[\overrightarrow {BH} \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/12-1761391058.png)
\[\overrightarrow {BD} \].
\[\overrightarrow {AE} \].
\[\overrightarrow {DB} \].
\[\overrightarrow {BH} \].
Do \[ABCD.EFGH\] là hình hộp nên \[EH = AD\] và hai vecto \[\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {AD} \] cùng hướng nên \[\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \]
Ta có \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \]. Chọn C.
Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} \)bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Ta có: \(\overrightarrow {BD} \, = \,\,\overrightarrow {B'D'} \).
Do đó,\(\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,\left( {\overrightarrow {B'D'} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \widehat {\,D'B'C}\)
Vì \(B'C = \,CD'\, = \,D'B'\)nên tam giác \(B'CD'\)là tam giác đều.
Suy ra \(\widehat {\,D'B'C}\, = \,60^\circ \).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,60^\circ \). Chọn C.
Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2;\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 6\), góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(120^\circ \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 12\).
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 40\].
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 6\].
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6\sqrt 3 \].
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2.6.\cos {120^0} = 2.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 6\]. Chọn C.
Nếu một vật có khối lượng \(m\;\left( {{\rm{kg}}} \right)\) thì lực hấp dẫn \(\vec P\) của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức \(\vec P = m\vec g\), trong đó \(\vec g\) là gia tốc rơi tự do có độ lớn \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\). Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình).
\(0,9996{\rm{N}}\).
\(0,5996{\rm{N}}\).
\(0,9196{\rm{N}}\).
\(0,8996{\rm{N}}\).
Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả táo: \(P = mg = 0,102.9,8 = 0,9996{\rm{N}}\). Chọn A.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông, \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Gọi \[I,J\] lần lượt là trung điểm của \[SA,SC\]. \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\].
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là h (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/15-1761392134.png)
a) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).
b) \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} \).
c) \[\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \].
d) \({\overrightarrow {AG} ^2} = {\overrightarrow {AS} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2}\).
a)Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) ( qui tắc hình bình hành)
suy ra\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).
b)Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên
\(\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)
c)Ta có\[ABCD\] là hình vuông nên \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0\) .
Mà \[\overrightarrow 0 \ne 0\] nên mệnh đề sai.
d)Do \[G\]là trọng tâm tam giác \[SBD\] nên \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)
\({\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)\)
Vì \(SA\)vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) nên\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)\)
\[ABCD\] là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)\) .
Từ \[\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\] ta được \(9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.\)
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], có cạnh \(a\).
a)\[\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'} = {a^2}\].
b) \[\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AB'} = {a^2}\].
c)\[\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {CD'} = 0\].
d) \[\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = a\sqrt 3 \].
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], có cạnh \(a\). a) \[\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'} = {a^2}\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/16-1761392237.png)
a) \[\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {{\rm{AA'}}} = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|.\left| {\overrightarrow {{\rm{AA'}}} } \right|{\rm{cos45}}^\circ = {a^2}\].
b) \[\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AB'} = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|.\left| {\overrightarrow {{\rm{AB'}}} } \right|{\rm{cos60}}^\circ = {a^2}\].
c) \[\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {C{\rm{D'}}} = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {{\rm{BA'}}} = 0\].
d) \[\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt {A{C^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + C{{C'}^2}} = a\sqrt 3 \].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Một vật nặng O được kéo từ ba hướng như hình vẽ và chịu tác dụng của 3 lực \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \] có độ lớn lần lượt là \(24N,12N,6N\). Biết góc tạo bởi 2 lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) là 120° và lực thứ ba vuông góc với hai lực đầu tiên.
a)\(\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} \).
b) \(\overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \).
c) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {OD} \) là \(\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = 12\sqrt 7 \).
d) Độ lớn hợp lực tác dụng vào vật \(O\) là \(6\sqrt {13} \) N.
a) Có \(OADB\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} \) (quy tắc hình bình hành).
b) Có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \).
Do đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE} \).
c) Vì \(OADB\) là hình bình hành và \(\widehat {BOA} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta OBD\) có \(OD = \sqrt {O{B^2} + B{D^2} - 2.OB.BD.\cos 60^\circ } = \sqrt {{{24}^2} + {{12}^2} - 2.24.12.\cos 60^\circ } = 12\sqrt 3 \) N.
d) Ta có \(\Delta OCE\) vuông tại \(C\), ta có \(OE = \sqrt {O{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {{6^2} + {{\left( {12\sqrt 3 } \right)}^2}} = 6\sqrt {13} \) N.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E\) là trung điểm \(AD\), \(F\) là trung điểm \(BC\). Khi đó \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = k\overrightarrow {EF} \]. Tìm \(k\).
![Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E\) là trung điểm \(AD\), \(F\) là trung điểm \(BC\). Khi đó \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = k\overrightarrow {EF} \]. Tìm \(k\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/18-1761392407.png)
Do \(E\) là trung điểm \(AD\), \(F\) là trung điểm \(BC\)nên: \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \); \(\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} = - \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CF} } \right) = \overrightarrow 0 \).
Có AB→=AE→+EF→+FB→DC→=DE→+EF→+FC→⇒AB→+DC→=2E F→ . Suy ra k=2
Trả lời: 2.
Chohình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai véctơ \(\overrightarrow {A'B} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) bằng bao nhiêu độ?
Ta có \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} \)
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {AC'} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {AA'} ^2} = 0\).
\( \Rightarrow \)Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {A'B} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) bằng \(90^\circ \).
Trả lời: 90.
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng 1, gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} \) bằng bao nhiêu?
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh bằng 1 nên \(BM = AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).Xét \(\Delta ABM\) có \(\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}}}{{2.AB.AM}} = \frac{{{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.1.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).Có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \widehat {BAM} = 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
