Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \)là \(\overrightarrow a \left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\).Chọn C.

Hình chiếu của \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Ozx} \right)\) là điểm có tọa độ \(\left( {2;0; - 1} \right)\). Chọn D.

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;\,2 - 1;\,1 - \left( { - 2} \right)} \right)\) hay \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,1;\,3} \right)\). Chọn C.

Gọi tọa độ điểm \(D\) là:\(D\,\left( {x;y;z} \right)\).

Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,5\,;\, - 3} \right)\); \(\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x\,;\, - y\,;\, - z} \right)\)

AB→=DC→⇔1−x=1−y=5−z=−3⇔x=0y=−5z=3⇒D0; −5; 3

Vậy điểm \(D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)\)thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. Chọn A.

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {OB'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OO'} = 4\vec i + 6\vec j + 3\vec k \Rightarrow B'(4;6;3)\). Chọn C.

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1;5} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = 3\\{y_B} - {y_A} =  - 1\\{z_B} - {z_A} = 5\end{array} \right.\].\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 3\\{y_B} - 3 =  - 1\\{z_B} + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = 2\\{z_B} = 4\end{array} \right.\].

Vậy \[B\left( {4;2;4} \right)\]hay \[\overrightarrow {OB} = \left( {4\,;\,2\,;\,4} \right)\]. Chọn D.

a) Gọi tọa độ điểm \(A'\) là (x;y;z) \[ \Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = \left( { - 1 - x;2 - y;1 - z} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2;0} \right)\]. Vì \(ACC'A'\)  là hình bình hành nên \[\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \]

Suy ra\[\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = - 2\\2 - y = 2\\1 - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\]. Làm tương tự ta có: \[B'\left( {0\,;\,4\,;\,2} \right)\].

b) Gọi Bx;y;z. Có CC'→=BB'→ ⇔−x=−14−y=−12−z=1 ⇔x=1y=5z=1 Suy ra \[B\left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)\].

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Có DD'→=CC'→ ⇔−x=−1−2−y=−1−z=1 ⇔x=1y=−1z=−1.Suy ra \[D\left( {1\,;\, - 1\,; - \,1} \right)\].

c) \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k \].

d) \[\overrightarrow {B'D} = \left( {1; - 5; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {B'D} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có\(\vec a = (2;2;0) \Rightarrow \vec a = 2\vec i + 2\overrightarrow j \).

b) Ta có\(\vec b = 2\vec j + 2\vec k \Rightarrow \vec b = (0;2;2)\).

c) Ta có  \(\overrightarrow {OA} = \vec a\) thì toạ độ véc tơ \(\vec a\) cũng chính là toạ độ \(A\)\( \Rightarrow A\left( {2;2;0} \right)\).

Tương tự \(B(0;2;2)\). Suy ra\(\overrightarrow {AB} = ( - 2;0;2)\).

d) Có \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{2.0 + 2.2 + 0.2}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a) \(A\left( {1;0;3} \right) \in \left( {Oxz} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 2;6} \right)\) nên \(\overrightarrow {BC} = - 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 6\overrightarrow k \).

c) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 7} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {x + 3;y - 1;z - 2} \right)\).

Vì  AB→=CD→⇔x=−2y=4z=−5⇒D−2;4;−5

d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 7} \right),\overrightarrow {PC} = \left( { - 3 - x;1 - y;2 - z} \right)\).

Để \(PABC\) là hình bình hành khi và chỉ khi AB→=PC→ ⇔1=−3−x3=1−y−7=2−z ⇔x=−4y=−2z=9⇒P−4;−2;9

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

Ta có \[\overrightarrow {O'C'} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,2\,;\,2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - {x_{O'}} = - 2\\{y_{C'}} - {y_{O'}} = 2\\{z_{C'}} - {z_{O'}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 4\\{y_{O'}} = - 5\\{z_{O'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {4\,;\, - 5\,;\,3} \right)\].

Suy ra \(a = 4;b = - 5;c = 3\). Vậy \(a + b + c = 2\).

Trả lời: 2.

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm \(B\)).

Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cùng hướng.

Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) bằng thời gian bay từ \[B\] đến \(D\) nên\(AB = BD\).

Do đó, \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} = \left( {140;50;1} \right)\).

Mặt khác: \(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 940;y - 550;z - 8} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 940 = 140}\\{y - 550 = 50}\\{z - 8 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1080}\\{y = 600}\\{z = 9}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(D\left( {1080;600;9} \right)\). Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là \(\left( {1080;600;9} \right)\).

Suy ra \(x + y + z = 1689\).

Trả lời: 1689.

Ta có \(AM\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(M\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Suy ra \(M\left( {0;7;24} \right)\).

Do đó \(T = a - 2b + c = 0 - 14 + 24 = 10\).

Trả lời: 10.