Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
18 câu hỏi
Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\0, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau
Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận?
0.
1.
2.
3
Nhìn bảng biến thiên ta thấy chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng là \[x = 0\]. Chọn B
Hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Cho các khẳng định sau:
(1) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=−2.
(2) Hàm số đạt giá trị cực đại tại x=0.
(3) Hàm số đồng biến trên −2; 0.
(4) Hàm số có tiệm cận ngang y=1.
Số khẳng định đúng là:
1.
4.
2.
0
Khẳng định (1) đúng; khẳng định (2) sai; khẳng định (3) đúng và khẳng định (4) sai.
Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn C.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Tìm m để \[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \infty } \,f\left( x \right)\, < 10.\]
\(m < 1\).
\(m < 10\).
\(m < 8\).
\(m > 8\)
\[\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \infty } \,f\left( x \right)\, = m + 2;\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \infty } \,f\left( x \right) < 10 \Leftrightarrow m + 2 < 10 \Leftrightarrow m < 8\]. Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
Tìm tổng số các giá trị nguyên dương của tham số \(m \in \left( { - 10\,;\,10} \right)\) để đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là \(4\).
\(42\).
\(45\).
\( - 3\).
\(0\).
Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right)\).
Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(y = 0\) và \(y = \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right)\).
Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - \infty \);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(x = - 2\).
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty \) suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(x = 2\).
Đề đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là \(4\) khi và chỉ khi \(\left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\).
Vì \(m \in \left( { - 10\,;\,10} \right)\) và \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\,;\,9} \right\}\).
Vậy \(3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42\). Chọn A.
Đường thẳng \[y = - 1\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sao đây?
\(y = \frac{{1 + x}}{{1 - x}}\).
\[y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\].
\[y = \frac{{ - {x^2} + 2}}{{x + 1}}\].
\[y = \frac{{ - 1 - x}}{{1 - x}}\].
Đáp án A: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + x}}{{1 - x}} = - 1\]\( \Rightarrow y = - 1\)là tiệm cận ngang .
Đáp án B: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 1\]\( \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang.
Đáp án C: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 2}}{{x + 1}} = - \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} + 2}}{{x + 1}} = + \infty \]\( \Rightarrow \)đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Đáp án D: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1 - x}}{{1 - x}} = 1\]\( \Rightarrow y = 1\)là tiệm cận ngang.Chọn A
Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\). Chọn phát biểu đúng?
Đồ thị hàm số có \(y = 3\) là tiệm cận đứng.
Giao điểm hai tiệm cận là \(\left( {3; - 1} \right)\).
Đồ thị có tiệm cận đứng có phương trình là \(x + 1 = 0\).
Hai tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình vuông có diện tích là 3.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x - 1}}{{x + 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \) nên \(x = - 1\) hay \(x + 1 = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.Chọn C.
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ dưới. Chọn khẳng định sai.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 1.\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2.\)
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là \(I\left( {2; - 1} \right)\).
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:
+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 1.\)
+) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2.\)
+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là \(I\left( { - 1;2} \right)\).Chọn C.
Hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \frac{{2 - x}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận ngang là \(y = 1\). Do đó loại A, B.
Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua điểm (0; −1) . Chọn D.
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 3 + \frac{1}{{2x + 1}}\) có phương trình là
\(y = 2x + 1\).
\(y = x - 3\).
\(y = x + 3\).
\(y = 2x - 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{2x + 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.Chọn C.
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}}\)
\(y = 2x - 5\).
\(y = x - 2\).
\(y = x + 5\).
\(y = x - 5\).
Ta có \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 3x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 1\); \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x}}{{x - 2}} = 5\).
Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1\);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = 5\).
Do đó \(y = x + 5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới
a) \(f\left( { - 5} \right) < f\left( 4 \right)\).
b) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 0\).
d) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Từ bảng biến thiên ta thấy:
a) \(f\left( { - 5} \right) < 2\) và \(f\left( 4 \right) > 2\) nên \(f\left( { - 5} \right) < f\left( 4 \right)\).
b) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
c) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 0\).
d) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{ - x + 1}}\).
a) Bảng biến thiên của hàm số là
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1; - 2} \right)\).
c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = - 2\).
d) Đường tiệm cận ngang của hàm số là \(y = 1\).
a) Ta có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).
Bảng biến thiên
b) Giao của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Do đó tâm đối xứng là \(I\left( {1; - 2} \right)\).
c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 1\).
d) Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = - 2\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\).
a) Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \).
c) Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng là \(x = - 1;x = 0;x = 1\).
d) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang \(y = 2\) và \(y = 0\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
a) Đồ thị hàm số có một điểm cực trị là \(\left( {0;0} \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \).
c) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là \(x = 1;x = - 1\).
d) Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là \(y = 2\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau
a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \[x = 1\].
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \[y = 6\].
c) Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là \[2\].
d) Tổng số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{f(x) + 2}}\] là \[1\].
a) Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2\]. Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
b) Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \]. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \[y = 6\]
c) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang \[y = 6\]. Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là \[1\].
d) Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = \frac{1}{8};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = 0\].
Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{f(x) + 2}}\] có hai đường tiệm cận ngang là \[y = \frac{1}{8}\] và \[y = 0\].
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số y=x2-3x+5x+1 có đồ thị \(\left( C \right)\).
a) Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(x = - 1\).
b) Đường thẳng \(y = x + 1\)là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).
d) Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(y = 2x + 3\).
a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = - \infty \).
Nên đồ thị hàm số trên không có tiệm cận ngang.
b) y=x2-3x+5x+1\( = x - 4 + \frac{9}{{x + 1}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 4} \right)} \right] = 0\).
\( \Rightarrow \)Tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = x - 4\).
c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 4\).
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và \(\left( { - 1;2} \right)\).
d) Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left( { - 4; - 11} \right),B(2;1)\).
Vậy đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
\(\frac{{x - 2}}{{2 - ( - 4)}} = \frac{{y - 1}}{{1 - ( - 11)}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 1}}{{12}}\)\( \Rightarrow 12x - 24 = 6y - 6 \Leftrightarrow y = 2x - 3\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}\). Khi đó \(a + b\) bằng bao nhiêu để đồ thị của hàm số trên nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang.
Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{b} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\). Do đó \(a + b = 3\).
Trả lời: 3.
Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 1\). Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).
Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.
Do đó phương trình \({x^2} + m = 0\) phải nhận \(x = 1\) hoặc \(x = 2\) làm nghiệm.
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}{1^2} + m = 0\\{2^2} + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 4\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị của m.
Trả lời: 2.
Số lượng sản phẩm bán được của một cửa hàng quần áo trong \(t\) (tháng) được cho bởi công thức: \(S\left( t \right) = 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right)\) với \(t \ge 1\). Xem \(y = S\left( t \right)\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\), biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có dạng \(\frac{a}{b}\,,\,a\,,\,b \in {\mathbb{N}^*}\,,\,\left( {a\,,\,b} \right) = 1\). Tính \(P = a - 2b\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right) = 200.\frac{2}{3} = \frac{{400}}{3}\)\( \Rightarrow a = 400\,;\,b = 3\).
Vậy \(P = a - 2b = 400 - 6 = 394\).
Trả lời: 394.
