Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
18 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Giá trị nhỏ nhất của hàm sốcó bảng biến thiên sau trên khoảng −2;3 là:
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = 0\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = - 3\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = 1\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = 7\].
Dựa vào bảng biến thiên ta có \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = - 3\]. Chọn B.
Cho hàm số y=fx liên tục trên −5; 3 và có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 5;\,3} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 5;\,3} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 5;\,3} \right)\).
Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 5;\,3} \right)\).
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy
\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;\,3} \right)} y = - 4\) khi \(x = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = 1\) và \(\forall x \in \left[ { - 5;\,3} \right)\), \(f\left( x \right) < 1\) nên hàm số không có GTLN. Chọn D.
Cho hàm số y=fx liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn −2; 4 như sau
![Cho hàm số y=f(x) liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn [-2;4] như sau (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid9-1757585200.png)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,4} \right]\) bằng
\[ - 19\].
1.
\[ - 3\].
\[17\].
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,4} \right]} y = - 19\) khi \(x = - 2\).Chọn A.
Giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số có đồ thị sau là:
\[\mathop {\min }\limits_{} y = - 1.\]
\[\mathop {\min }\limits_{} y = 1\].
\[\mathop {\min }\limits_{} y = 0\].
\[\mathop {\min }\limits_{} y = - 2\].
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \[\mathop {\min }\limits_{} y = - 1.\] Chọn A.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\] trên \[\left[ { - 2;\,2} \right]\] lần lượt là:
7 và 2.
7 và \[ - 1\].
7 và 0.
7 và \[ - 20\].
Ta có: \[y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\, \in \left( { - 2;\,2} \right)\\x = 3\,\,\,\, \notin \left( { - 2;\,2} \right)\end{array} \right.\]
Mà \[y\left( { - 2} \right) = 0;\,y\left( 2 \right) = - 20;\,y\left( { - 1} \right) = 7\].
Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]} y = 7\]; \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]} y = - 20\].Chọn D.
Giá trị nhỏ nhất của hàm \(y = {e^{{x^2} - 2x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = 1\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = e\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = \frac{1}{{{e^2}}}\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = \frac{1}{e}\).
\(y' = \left( {2x - 2} \right){e^{{x^2} - 2x}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
\(y\left( 1 \right) = \frac{1}{e},y\left( 0 \right) = 1,y\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{e}\).Chọn D.
Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \[y = x - 5 + \frac{1}{x}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] là \[M;m\]. Khi đó, các giá trị \[M;m\]lần lượt là:
Không có \(M\); \[m = - 3\].
\[M = - 3\]; \[m = 1\].
\[M = 0\]; \[m = 1\].
Không có \[M;m\].
Ta có : \[y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\].
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\x = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên:
Trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\], không có \(M\); \[m = - 3\]. Chọn A.
Cho đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ.
Hàm số \(y = f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left[ {0;2} \right]\) tại \[x\] bằng bao nhiêu?
\[x = \frac{2}{3}\].
\[x = 0\].
\[x = 1\].
\[x = 2\].
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) ta có BBT như sau:
Dựa vào BBT suy ra hàm số \(y = f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left[ {0;2} \right]\) tại \[x = 1\]. Chọn C.
Cho đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ.
Hàm số \(y = f(x)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left[ {1;3} \right]\) tại \[{x_0}\]. Khi đó giá trị của \[x_0^2 - 2{x_0} + 2018\] bằng bao nhiêu?
\[2018\].
\[2017\].
\[2021\].
\[2026\]
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) ta có BBT như sau:
Dựa vào BBT suy ra hàm số \(y = f(x)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left[ {1;3} \right]\) tại \[{x_0} = 2\].
Nên \[x_0^2 - 2{x_0} + 2018 = 2018\].Chọn A.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s\left( t \right) = 4{t^2} - \frac{{2{t^3}}}{3}\) (m). Thời điểm \(t\)(giây) mà tại đó tốc độ v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
\[t = 2\].
\[t = 4\].
\[t = 1\].
\[t = 3\].
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 8t - 2{t^2}\)
\(v'\left( t \right) = 8 - 4t\); \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Bảng biến thiên
Vậy chất điểm đạt tốc độ lớn nhất tại thời điểm \[t = 2\] (giây). Chọn A.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\).
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).
b) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 3\).
c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) tại \(x = 1\).
d) Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).
b) Hàm số đạt cực tiểu tại .
c) Có \(f\left( 1 \right) = - 1;f\left( 2 \right) = - 3;f\left( 3 \right) = 1\). Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) tại \(x = 3\).
d) Có \(y'' = 6x - 6;y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 1\).
Do đó đồ thị hàm số đối xứng qua điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\).
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 26; + \infty } \right)\).
b) Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) là −26.
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là \(4\sqrt {65} \).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).
b) Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
c) Trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −26 tại \(x = 3\).
d) Điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số trên lần lượt là \(A\left( { - 1;6} \right)\) và \(B\left( {3; - 26} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 26 - 6} \right)}^2}} = 4\sqrt {65} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên dưới.
a)\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\).
b)\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right)\).
c)\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\).
d) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { - 1} \right),f\left( 6 \right)} \right\}\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
+) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( {2;6} \right)\) suy ra \(f\left( { - 1} \right) > f\left( { - 2} \right)\) và \(f\left( 6 \right) > f\left( 2 \right)\) (1).
+) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\)suy ra \(f\left( { - 1} \right) > f\left( 2 \right)\) (2).
Từ (1), (2) suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { - 2} \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 2 \right),f\left( 6 \right)} \right\} = \max \left\{ {f\left( { - 1} \right),f\left( 6 \right)} \right\}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức \(c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\)(mg/l).
a) \(c'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 1}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\).
b) \(c'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\t = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\).
c) Nồng độ thuốc trong máu tăng trong 2 giờ đầu tiên sau khi tiêm.
d) Sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.
a) \(c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\).
b) Ta có \(c'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\t = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\).
c) Bảng biến thiên
Hàm số \(c\left( t \right)\)đồng biến trên khoảng (0; 1), tức là nồng độ thuốc trong máu tăng trong 1 giờ đầu tiên sau khi tiêm.
d) Ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} c\left( t \right) = \frac{1}{2} = c\left( 1 \right)\), tức là nồng độ thuốc trong máu tăng trong 1 giờ đầu tiên sau khi tiêm.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
a) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\); đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng \( - 2\).
d) Phương trình \(f\left( x \right) = - \frac{3}{2}\) có 1 nghiệm.
a) Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
c) Ta có \(f\left( x \right) > - 2\) và không tồn tại giá trị của \(x\) để \(f\left( x \right) = - 2\) nên hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất.
d) Ta có
Vì \( - 2 < - \frac{3}{2} < - 1\) nên đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm.
Do đó phương trình \(f\left( x \right) = - \frac{3}{2}\) có duy nhất 1 nghiệm.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Có bao nhiêu giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {m^2} + m}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \( - 2\)?
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{m^2} - m + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).
Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow - {m^2} + m = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {m^2} + m}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \( - 2\).
Trả lời: 2.
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số \(N\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12\), trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần). Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
Với \(0 \le t \le 12\) ta có: \(N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t\); \(N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 8\end{array} \right.\).
Ta có \(N\left( 0 \right) = 0;N\left( 8 \right) = 256;N\left( {12} \right) = 0\).
Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.
Trả lời: 256.
Hộp sữa 1 lít được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh \(x\) cm. Tìm \(x\) để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
Thể tích hộp sữa là 1 lít = 1 dm3 = 1000 cm3. Khi đó chiều cao của hộp sữa là \(\frac{{1000}}{{{x^2}}}\) (cm).
Đặt diện tích toàn phần của hộp sữa là \(y = 2{x^2} + 4x.\frac{{1000}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} + 4000}}{x}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Xét \(y' = \frac{{4{x^3} - 4000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10\) (cm).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(x = 10\)cm thì diện tích toàn phần của hộp sữa sẽ nhỏ nhất là 600 cm2.
Trả lời: 10.
