Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
18 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Tìm khoảng đồng biến của hàm số: \[y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\].
\((0; + \infty )\).
\(( - \infty ;0)\).
\(( - \infty ; - \sqrt 2 )\) và \((0;\sqrt 2 )\).
\((\sqrt 2 ; + \infty )\).
Hàm số đã cho xác định trên \[{\rm{D}} = \mathbb{R}\].
Có \[y' = - 4{x^3} + 8x\].
Cho \[y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow 4x( - {x^2} + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 0\\ - {x^2} + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\].
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên: \[\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)\] và \[\left( {0;\sqrt 2 } \right)\]. Chọn C.
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số: \[y = \frac{{3 - 2x}}{{x + 7}}\].
\(( - \infty ;7)\).
\(( - \infty ; + \infty )\).
\(( - \infty ; - 7)\) và \(( - 7; + \infty )\).
\(( - 10; + \infty )\)
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: \[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}\].
Tính\[y' = \frac{{\left( { - 2} \right).7 - 1.3}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} = \frac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in {\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}\].
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: \[\left( { - \infty ; - 7} \right)\] và \[\left( { - 7; + \infty } \right)\]. Chọn C.
Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng nào.
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Tập xác định \(D = \left[ {0;2} \right]\).
Ta có \(y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\). Chọn C.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\[y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\].
\[y = {x^3} + 4{x^2} + 3x--1\].
\[y = {x^4}--2{x^2}--1\].
\[y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1\].
Hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1\] có \(y' = {x^2} - x + 3 = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Chọn D.
Cho các hàm số sau:
\(\left( I \right):y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1;\left( {II} \right):y = \sin x - 2x;\)\(\left( {III} \right):y = - \sqrt {{x^3} + 2} ;\left( {IV} \right):y = \frac{{x - 2}}{{1 - x}}\).
Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
(I), (II).
(I), (II) và (III).
(I), (II) và (IV).
(II), (III).
(I):\(y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
(II):\(y' = \cos x - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
(III): \(y' = - \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^3} + 2} }} \le 0,\forall x \in \left( { - \sqrt[3]{2}; + \infty } \right)\).
(IV): \(y' = - \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\). Chọn A.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hỏi điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]là điểm nào?
\[x = - 2.\]
\[y = - 2.\]
\[M\left( {0; - 2} \right).\]
\[N\left( {2\,;2} \right).\]
Dựa hình vẽ ta thấy điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?![Cho hàm số y = f( x ) liên tục trên đoạn [0;4] có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid1-1757583690.png)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 4.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3.\)
Dựa vào đồ thị hàm số như hình vẽ thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\). Chọn D.
Gọi \(M,n\) lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) . Khi đó giá trị của biểu thức \({M^2} - 2n\) bằng:
8.
7.
9.
6.
\(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.\) .
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3\) và \({y_{CD}} = - 3\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) và \({y_{CT}} = 1\).
\( \Rightarrow {M^2} - 2n = 7\). Chọn B.
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
\(y = 2x + \frac{2}{{x + 1}}.\)
\(y = {x^3} + 3{x^2}.\)
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 3.\)
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}.\)
Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
\(y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\) nên hàm số không có cực trị. Chọn D.
Cho \(y = f\left( x \right)\) liên tục và đồng biến trên khoảng \(\left( {3;\,11} \right)\). Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(f\left( {11x} \right) > f\left( {{x^2}} \right)\) trên khoảng \(\left( {3;\,11} \right)\)là
\[9\].
\[8\].
\[7\].
\[10\]
Xét trên khoảng\(\left( {3;\,11} \right)\), hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến và \(f\left( {11x} \right) > f\left( {{x^2}} \right)\)
Suy ra \(11x > {x^2} \Leftrightarrow - {x^2} + 11x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 11\)
Mặt khác \(x \in \left( {3;\,11} \right)\)nên suy ra \(x \in \left\{ {4;5;...;\,10} \right\}\).
Vậy bất phương trình có \[7\] nghiệm nguyên. Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
c) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Từ bảng xét dấu ta có \(y' < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;0} \right) \cup \left( {0;2} \right)\).
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; 0) và \(\left( {0;2} \right)\).
Có \(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\).
a) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
b) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và .
c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 4; - 3} \right)\).
Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có \(y' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 2\).
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?
a) Hàm số có 3 điểm cực trị.
b) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
c) Hàm số có 1 điểm cực trị.
d) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
+) Hàm số có 3 điểm cực trị.
+) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} \). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 2;4} \right]\).
b) Hàm số có \(y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}\).
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).
d) Giá trị cực đại của hàm số là 0.
Xét hàm số \(y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} \) có:
a) Điều kiện: \(8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 2;4} \right]\)
b) Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {8 + 2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}\)
Có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).
d) Giá trị cực đại của hàm số là 3.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{ - x - 1}}\).
a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
c) Hàm số \(f\left( x \right)\) có giá trị cực đại bằng 2.
d) Hàm số \(f\left( {{x^2} - 2} \right)\) có 3 điểm cực trị.
a) Điều kiện: \( - x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
b) Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( { - x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}}{{{{\left( { - x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
c) Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Hàm số có giá trị cực đại bằng \( - 2\).
d) Hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) xác định khi \({x^2} - 2 \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1\).
Tập xác định \({D_1} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\).
Ta có \(y' = 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = 2\\{x^2} - 2 = - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) có 3 điểm cực trị.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + x - 3\) đạt cực tiểu tại \(x = a\), cực đại tại \(x = b\). Tính \(3a + 6b.\)
Ta có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Có \(y' = 3{x^2} + 4x + 1\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(a = - \frac{1}{3};b = - 1\).
Do đó \(3a + 6b = 3.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6.\left( { - 1} \right) = - 7\).
Trả lời: \( - 7\).
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số \(N\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12\), trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (đơn vị là trăm người) và t là thời gian (tuần). Gọi \(\left( {a;b} \right)\) là khoảng thời gian lâu nhất mà số người bị nhiễm bệnh tăng lên. Tính \(P = 2{a^2} - {b^2}\).
Ta có \(N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t\); \(N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 8\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\left( {a;b} \right) = \left( {0;8} \right)\).
Do đó \(P = {2.0^2} - {8^2} = - 64\).
Trả lời: \( - 64\).
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\) (con), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi thời gian bằng bao nhiêu để số lượng vi khuẩn đạt cực đại.
Có \(N'\left( t \right) = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - 200{t^2}}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{{100}^2} - 100{t^2}}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\);
\(N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10\) (vì t > 0).
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có số lượng vi khuẩn đạt cực đại khi t = 10 giây.
Trả lời: \(10\).
