Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Tự luận
96 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^2}.\)
(a) Tìm \(m\) biết \(f\left( { - 3} \right) = - 9\)
(b) Với giá trị \(m\) vừa tìm được ở câu a).
(i) Tính \(f\left( 0 \right);f\left( 3 \right)\).
(ii) Tìm \({x_0}\) biết \(f\left( {{x_0}} \right) = - 27\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^2}.\)
(a) Tìm \(m\) biết \(f\left( { - 3} \right) = - 9\)
(b) Với giá trị \(m\) vừa tìm được ở câu a).
(i) Tính \(f\left( 0 \right);f\left( 3 \right)\).
(ii) Tìm \({x_0}\) biết \(f\left( {{x_0}} \right) = - 27\).
(a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).
(b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).\) Xác định \(a\), biết rằng \(f\left( { - 2} \right) = 4\).
a) Bảng giá trị của hàm số:
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) các điểm \[E\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right)\,;\,\,\]
\[F\left( { - 1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,O\left( {0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,F'\left( {1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,E'\left( {2\,;\,\, - 2} \right).\]
Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là một parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ trên.
b) Thay \(x = - 2\,;\,\,y = 4\) vào phương trình \(y = a{x^2}\), ta được
\(4 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(4a = 4\) nên \(a = 1\).
Vậy hàm số có dạng \(y = {x^2}\).
(a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).
(b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).\) Xác định \(a\), biết rằng \(f\left( { - 2} \right) = 4\).
a) Bảng giá trị của hàm số:
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) các điểm \[E\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right)\,;\,\,\]
\[F\left( { - 1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,O\left( {0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,F'\left( {1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,E'\left( {2\,;\,\, - 2} \right).\]
Đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là một parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ trên.
b) Thay \(x = - 2\,;\,\,y = 4\) vào phương trình \(y = a{x^2}\), ta được
\(4 = a.{\left( { - 2} \right)^2}\) hay \(4a = 4\) nên \(a = 1\).
Vậy hàm số có dạng \(y = {x^2}\).
(a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\)
(b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
a) Bảng giá trị:
Đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = {x^2}\) là một parabol có đỉnh \(O\) và nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị \(\left( d \right)\) của hàm số \(y = 2x\) là một đường thẳng qua hai điểm \(\left( {0;0} \right)\); \(\left( {1;2} \right)\).
Ta vẽ được đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:
\({x^2} = 2x{\rm{\;}}\)
\({x^2} - 2x = 0\)
\(x\left( {x - 2} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x = 2\).
• Với \(x = 0\) thì \(y = 0\) nên \(O\left( {0;0} \right)\) là một giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).
• Với \(x = 2\) thì \(y = 4\) nên \(A\left( {2;4} \right)\) là giao điểm thứ hai của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {2;4} \right)\).
(a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\)
(b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
a) Bảng giá trị:
Đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = {x^2}\) là một parabol có đỉnh \(O\) và nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị \(\left( d \right)\) của hàm số \(y = 2x\) là một đường thẳng qua hai điểm \(\left( {0;0} \right)\); \(\left( {1;2} \right)\).
Ta vẽ được đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:
\({x^2} = 2x{\rm{\;}}\)
\({x^2} - 2x = 0\)
\(x\left( {x - 2} \right) = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x = 2\).
• Với \(x = 0\) thì \(y = 0\) nên \(O\left( {0;0} \right)\) là một giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).
• Với \(x = 2\) thì \(y = 4\) nên \(A\left( {2;4} \right)\) là giao điểm thứ hai của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {2;4} \right)\).
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thả̉ng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + 2\).
(a) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa dộ.
(b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
(c) Tìm phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với \(\left( d \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\) có hoành độ bằng 2.
a) Bảng giá trị:
Đồ thị \(\left( P \right)\) là một parabol qua \(O\) và nhận trục tung làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:
Đường thẳng \(\left( d \right)\) qua hai điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right).\)
Ta vẽ được đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:
\(\frac{1}{4}{x^2} = \frac{1}{2}x + 2\)
\({x^2} - 2x - 8 = 0\)
\(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 9 = 0\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3{\rm{\;}}\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) hoặc \(x = - 2\)
Với \(x = 4\) thì \(y = 4\);
Với \(x = - 2\) thì \(y = 1\).
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(M\left( {4;4} \right)\) và \(N\left( { - 2;1} \right)\).
c) Đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với \(\left( d \right)\) nên có phương trình \(y = \frac{1}{2}x + b\,\,\left( {b \ne 2} \right)\).
Điểm \(A\left( {2;{y_0}} \right) \in \left( P \right)\) nên
\({y_0} = \frac{1}{4} \cdot {2^2}\) hay \({y_0} = 1.\)
Do đó \(A\left( {2\,;\,\,1} \right) \in \left( {d'} \right)\) nên
\(1 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b\) hay \(b = 0.\)
Vậy phương trình \(\left( {d'} \right):y = \frac{1}{2}x\).
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thả̉ng \(\left( d \right):y = \frac{1}{2}x + 2\).
(a) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa dộ.
(b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
(c) Tìm phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với \(\left( d \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\) có hoành độ bằng 2.
a) Bảng giá trị:
Đồ thị \(\left( P \right)\) là một parabol qua \(O\) và nhận trục tung làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:
Đường thẳng \(\left( d \right)\) qua hai điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right).\)
Ta vẽ được đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\) như sau:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có:
\(\frac{1}{4}{x^2} = \frac{1}{2}x + 2\)
\({x^2} - 2x - 8 = 0\)
\(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 9 = 0\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3{\rm{\;}}\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) hoặc \(x = - 2\)
Với \(x = 4\) thì \(y = 4\);
Với \(x = - 2\) thì \(y = 1\).
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(M\left( {4;4} \right)\) và \(N\left( { - 2;1} \right)\).
c) Đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) song song với \(\left( d \right)\) nên có phương trình \(y = \frac{1}{2}x + b\,\,\left( {b \ne 2} \right)\).
Điểm \(A\left( {2;{y_0}} \right) \in \left( P \right)\) nên
\({y_0} = \frac{1}{4} \cdot {2^2}\) hay \({y_0} = 1.\)
Do đó \(A\left( {2\,;\,\,1} \right) \in \left( {d'} \right)\) nên
\(1 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b\) hay \(b = 0.\)
Vậy phương trình \(\left( {d'} \right):y = \frac{1}{2}x\).
Giải các phương trình sau:
(a) \[ - 2{x^2} + 18 = 0\].
(b) \[3{x^2} - x = 0\].
(c) \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\).
(d) \(9{x^2} - 30x + 225 = 0\).
(e) \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\).
(f) \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\).
(g) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0\).
(h) \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 - 1 = 0\).
a) \[ - 2{x^2} + 18 = 0\]
\[2{x^2} = 18\]
\[{x^2} = 9\]
\[x = 3\] hoặc \[x = - 3\].
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[x = 3\,;\] \[x = - 3.\]
b) \[3{x^2} - x = 0\]
\[x\left( {3x - 1} \right) = 0\]
\[x = 0\] hoặc \[3x - 1 = 0\]
\[x = 0\] hoặc \[x = \frac{1}{3}\].
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[x = 0\]; \[x = \frac{1}{3}.\]
c) \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\)
Cách 1: Ta có \(a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.\)
Cách 2: Ta có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 > 0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.\)
d) \(9{x^2} - 30x + 225 = 0\)
\(\;3{x^2} - 10x + 75 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 3 \cdot 75 = - 200 < 0\).
Do đó, phương trình vô nghiệm
e) Cách 1: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)
\({\left( {\sqrt 5 x - 1} \right)^2} = 0\)
\(\sqrt 5 x - 1 = 0\)
\(x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Cách 2: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 5 \cdot 1 = 0\).
Do đó, phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Cách 3: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 0\).
Do đó, phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
f) Cách 1: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\)
\({x^2} - x - \sqrt 2 x + \sqrt 2 = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) - \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) = 0\)
\(x - 1 = 0\) hoặc \(x - \sqrt 2 = 0\)
\(x = 1\) hoặc \(x = \sqrt 2 \).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \sqrt 2 .\)
Cách 2: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt 2 \)
\( = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} > 0\).
Vì \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm:
\({x_1} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = \sqrt 2 \); \({x_2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = 1\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 1\);
g) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 9 > 0\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \sqrt 3 - 3\), \({x_2} = \sqrt 3 + 3\).
h) \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 - 1 = 0\)
Ta có: \(a = 1\,;\,\,b' = \sqrt 2 \,;\,\,c = 2\sqrt 2 - 1\,;\,\,\)
\(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - \left( {2\sqrt 2 - 1} \right) \cdot 1 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0.\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \sqrt 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1\];\({x_2} = \sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 2\sqrt 2 - 1\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = 1\,;\,\,{x_2} = 2\sqrt 2 - 1.\]
Giải các phương trình sau:
(a) \[ - 2{x^2} + 18 = 0\].
(b) \[3{x^2} - x = 0\].
(c) \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\).
(d) \(9{x^2} - 30x + 225 = 0\).
(e) \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\).
(f) \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\).
(g) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0\).
(h) \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 - 1 = 0\).
a) \[ - 2{x^2} + 18 = 0\]
\[2{x^2} = 18\]
\[{x^2} = 9\]
\[x = 3\] hoặc \[x = - 3\].
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[x = 3\,;\] \[x = - 3.\]
b) \[3{x^2} - x = 0\]
\[x\left( {3x - 1} \right) = 0\]
\[x = 0\] hoặc \[3x - 1 = 0\]
\[x = 0\] hoặc \[x = \frac{1}{3}\].
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[x = 0\]; \[x = \frac{1}{3}.\]
c) \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\)
Cách 1: Ta có \(a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.\)
Cách 2: Ta có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 > 0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.\)
d) \(9{x^2} - 30x + 225 = 0\)
\(\;3{x^2} - 10x + 75 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 3 \cdot 75 = - 200 < 0\).
Do đó, phương trình vô nghiệm
e) Cách 1: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)
\({\left( {\sqrt 5 x - 1} \right)^2} = 0\)
\(\sqrt 5 x - 1 = 0\)
\(x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Cách 2: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 5 \cdot 1 = 0\).
Do đó, phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Cách 3: \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 0\).
Do đó, phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
f) Cách 1: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\)
\({x^2} - x - \sqrt 2 x + \sqrt 2 = 0\)
\(x\left( {x - 1} \right) - \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) = 0\)
\(x - 1 = 0\) hoặc \(x - \sqrt 2 = 0\)
\(x = 1\) hoặc \(x = \sqrt 2 \).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \sqrt 2 .\)
Cách 2: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt 2 \)
\( = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} > 0\).
Vì \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm:
\({x_1} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = \sqrt 2 \); \({x_2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = 1\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 1\);
g) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0\)
Ta có \(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 9 > 0\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \sqrt 3 - 3\), \({x_2} = \sqrt 3 + 3\).
h) \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 - 1 = 0\)
Ta có: \(a = 1\,;\,\,b' = \sqrt 2 \,;\,\,c = 2\sqrt 2 - 1\,;\,\,\)
\(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - \left( {2\sqrt 2 - 1} \right) \cdot 1 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0.\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \sqrt 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1\];\({x_2} = \sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 2\sqrt 2 - 1\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = 1\,;\,\,{x_2} = 2\sqrt 2 - 1.\]
Giải các phương trình sau:
(a) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 8x.\)
(b) \({\left( {2x - 3} \right)^2} = 11x - 19\).
(c) \(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15\).
(d) \(3\left( {{x^2} - 1} \right) = 8x.\)
(e) \(2{x^2} + 3x - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\);
(f) \(\sqrt 2 {x^2} + 2x = 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 - 2\).
a) Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 8x\)
\(\;4{x^2} + 4x + 1 - 8x = 0\)
\(4{x^2} - 4x + 1 = 0\)
\({\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)
\(2x - 1 = 0\)
\(x = \frac{1}{2}\).
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \frac{1}{2}\).
b) Ta có: \({\left( {2x - 3} \right)^2} = 11x - 19\)
\(4{x^2} - 12x + 9 - 11x + 19 = 0\)
\(4{x^2} - 23x + 28 = 0\)
Ta có \[\Delta = {\left( { - 23} \right)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 81 > 0\]
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{23 + 9}}{{2.4}} = 4;\;{x_2} = \frac{{23 - 9}}{{2.4}} = \frac{7}{4}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 4\,;\,\,{x_2} = \frac{7}{4}.\)
c) \(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15\)
\({x^2} + 3x - x - 1 - 15 = 0\)
\(3{x^2} + 2x - 16 = 0\)
Ta có \(\Delta = 4 - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 16} \right) = 196 > 0.\)
Phương trình có hai nghiệm:
\({x_1} = \frac{{ - 2 + 14}}{6} = 2;\;{x_2} = \frac{{ - 2 - 14}}{6} = - \frac{8}{3}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2\,;\,\,{x_2} = - \frac{8}{3}.\)
d) Ta có: \(3\left( {{x^2} - 1} \right) = 8x\)
\(3{x^2} - 3 = 8x\)
\(3{x^2} - 8x - 3 = 0\).
Ta có \(\Delta = {8^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 100 > 0.\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{8 + 6}}{6} = 3;\;{x_2} = \frac{{8 - 10}}{6} = - \frac{1}{3}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 3\,;\;\,{x_2} = - \frac{1}{3}\).
e) \(2{x^2} + 3x - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)
\(2{x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\)
\(\;{x^2} + 6x - 2 = 0\)
Ta có \[a = 1\,;\,\,b' = 3\,;\,\,c = - 2\,;\]
\(\Delta ' = {3^2} - 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 11 > 0.\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = - 3 + \sqrt {11} ;\;{x_2} = - 3 - \sqrt {11} .\]
f) \(\sqrt 2 {x^2} + 2x = 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 - 2\)
\(\sqrt 2 {x^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + \sqrt 2 - 2 = 0\)
Ta có \(a = \sqrt 2 \,;\,\,b' = - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\,;\,\,c = \sqrt 2 - 2\,;\)
\[\Delta ' = {\left[ { - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \right]^2} - \sqrt 2 \cdot \left( {\sqrt 2 - 2} \right) = 1 > 0\]
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1}}{{\sqrt 2 }} = 1 - \sqrt 2 \); \({x_2} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) + 1}}{{\sqrt 2 }} = 1\).
Giải các phương trình sau:
(a) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 8x.\)
(b) \({\left( {2x - 3} \right)^2} = 11x - 19\).
(c) \(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15\).
(d) \(3\left( {{x^2} - 1} \right) = 8x.\)
(e) \(2{x^2} + 3x - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\);
(f) \(\sqrt 2 {x^2} + 2x = 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 - 2\).
a) Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} = 8x\)
\(\;4{x^2} + 4x + 1 - 8x = 0\)
\(4{x^2} - 4x + 1 = 0\)
\({\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)
\(2x - 1 = 0\)
\(x = \frac{1}{2}\).
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \frac{1}{2}\).
b) Ta có: \({\left( {2x - 3} \right)^2} = 11x - 19\)
\(4{x^2} - 12x + 9 - 11x + 19 = 0\)
\(4{x^2} - 23x + 28 = 0\)
Ta có \[\Delta = {\left( { - 23} \right)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 81 > 0\]
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{23 + 9}}{{2.4}} = 4;\;{x_2} = \frac{{23 - 9}}{{2.4}} = \frac{7}{4}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 4\,;\,\,{x_2} = \frac{7}{4}.\)
c) \(\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15\)
\({x^2} + 3x - x - 1 - 15 = 0\)
\(3{x^2} + 2x - 16 = 0\)
Ta có \(\Delta = 4 - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 16} \right) = 196 > 0.\)
Phương trình có hai nghiệm:
\({x_1} = \frac{{ - 2 + 14}}{6} = 2;\;{x_2} = \frac{{ - 2 - 14}}{6} = - \frac{8}{3}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2\,;\,\,{x_2} = - \frac{8}{3}.\)
d) Ta có: \(3\left( {{x^2} - 1} \right) = 8x\)
\(3{x^2} - 3 = 8x\)
\(3{x^2} - 8x - 3 = 0\).
Ta có \(\Delta = {8^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 100 > 0.\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{8 + 6}}{6} = 3;\;{x_2} = \frac{{8 - 10}}{6} = - \frac{1}{3}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 3\,;\;\,{x_2} = - \frac{1}{3}\).
e) \(2{x^2} + 3x - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)
\(2{x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\)
\(\;{x^2} + 6x - 2 = 0\)
Ta có \[a = 1\,;\,\,b' = 3\,;\,\,c = - 2\,;\]
\(\Delta ' = {3^2} - 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 11 > 0.\)
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = - 3 + \sqrt {11} ;\;{x_2} = - 3 - \sqrt {11} .\]
f) \(\sqrt 2 {x^2} + 2x = 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 - 2\)
\(\sqrt 2 {x^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + \sqrt 2 - 2 = 0\)
Ta có \(a = \sqrt 2 \,;\,\,b' = - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\,;\,\,c = \sqrt 2 - 2\,;\)
\[\Delta ' = {\left[ { - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \right]^2} - \sqrt 2 \cdot \left( {\sqrt 2 - 2} \right) = 1 > 0\]
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1}}{{\sqrt 2 }} = 1 - \sqrt 2 \); \({x_2} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) + 1}}{{\sqrt 2 }} = 1\).
Cho phương trình: \({x^2} - x + m - 1 = 0\).
(a) Giải phương trình với \(m = 3\).
(b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
a) Với \(m = 3\), ta có phương trình: \({x^2} - x + 2 = 0\) hay \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\].
Nhận thấy \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\] với mọi \[x\].
Do đó, phương trình \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\] vô nghiệm.
Vậy với \(m = 3\) thì phương trình vô nghiệm.
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} - x + m - 1 = 0\) có biệt thức \[\Delta = 0.\]
Khi đó \[{\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( {m - 1} \right) \cdot 1 = 0\] hay \[5 - 4m \ge 0\] suy ra \[m \le \frac{5}{4}.\]
Vậy với \[m \le \frac{5}{4}\] thì phương trình có nghiệm kép.
Cho phương trình: \({x^2} - x + m - 1 = 0\).
(a) Giải phương trình với \(m = 3\).
(b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
a) Với \(m = 3\), ta có phương trình: \({x^2} - x + 2 = 0\) hay \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\].
Nhận thấy \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\] với mọi \[x\].
Do đó, phương trình \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0\] vô nghiệm.
Vậy với \(m = 3\) thì phương trình vô nghiệm.
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} - x + m - 1 = 0\) có biệt thức \[\Delta = 0.\]
Khi đó \[{\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( {m - 1} \right) \cdot 1 = 0\] hay \[5 - 4m \ge 0\] suy ra \[m \le \frac{5}{4}.\]
Vậy với \[m \le \frac{5}{4}\] thì phương trình có nghiệm kép.
Cho phương trình \(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình:
(a) Có hai nghiệm phân biệt.
(b) Vô nghiệm.
(c) Có nghiệm kép.
(d) Có nghiệm.
a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\].
Vậy \[m < \frac{1}{{12}};\,\,m \ne 0\] thì để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Để phương trình vô nghiệm thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 < 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m > \frac{1}{{12}}.\]
Vậy \[m > \frac{1}{{12}}\] thì phương trình vô nghiệm.
c) Để phương trình có nghiệm kép thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m = \frac{1}{{12}}.\]
Vậy với \[m = \frac{1}{{12}}\] thì phương trình có nghiệm kép.
d) • Xét \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm \[x = - \frac{1}{3}\].
• Xét \[m \ne 0\], để phương trình có nghiệm thì \[\Delta \ge 0\] hay \[{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \ge 0\]
Khi đó \[ - 12m + 1 \ge 0\] nên \[m \le - \frac{1}{4}\].
Kết hợp \[m \le - \frac{1}{4}\] và \[m = 0\], ta được \[m \le - \frac{1}{4}\].
Do đó, \[m \ge - \frac{1}{4}\] thì phương trình có nghiệm.
Cho phương trình \(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \[m\] để phương trình:
(a) Có hai nghiệm phân biệt.
(b) Vô nghiệm.
(c) Có nghiệm kép.
(d) Có nghiệm.
a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 > 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\].
Vậy \[m < \frac{1}{{12}};\,\,m \ne 0\] thì để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Để phương trình vô nghiệm thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 < 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m > \frac{1}{{12}}.\]
Vậy \[m > \frac{1}{{12}}\] thì phương trình vô nghiệm.
c) Để phương trình có nghiệm kép thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 = 0\end{array} \right.\] do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\] hay \[m = \frac{1}{{12}}.\]
Vậy với \[m = \frac{1}{{12}}\] thì phương trình có nghiệm kép.
d) • Xét \[m = 0\] thì phương trình có đúng một nghiệm \[x = - \frac{1}{3}\].
• Xét \[m \ne 0\], để phương trình có nghiệm thì \[\Delta \ge 0\] hay \[{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \ge 0\]
Khi đó \[ - 12m + 1 \ge 0\] nên \[m \le - \frac{1}{4}\].
Kết hợp \[m \le - \frac{1}{4}\] và \[m = 0\], ta được \[m \le - \frac{1}{4}\].
Do đó, \[m \ge - \frac{1}{4}\] thì phương trình có nghiệm.
Chứng minh rằng với mọi \(m\) các phương trình sau luôn có nghiệm:
(a) \({x^2} + 4mx - 8m - 4 = 0\).
(b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\).
a) \({x^2} + 4mx - 8m - 4 = 0\)
Xét biệt thức \[\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - \left( { - 8m - 4} \right) = 4{m^2} + 8m + 4 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[m\].
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).
b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\).
Xét biệt thức \[\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m \cdot \left( { - 8} \right) = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 8m = 4{m^2} + 4 > 0\].
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta có \({m^2} \ge 0\) nên \[4{m^2} + 4 > 0\].
Do đó, với mọi \(m\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt hay phương trình luôn có nghiệm.
Chứng minh rằng với mọi \(m\) các phương trình sau luôn có nghiệm:
(a) \({x^2} + 4mx - 8m - 4 = 0\).
(b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\).
a) \({x^2} + 4mx - 8m - 4 = 0\)
Xét biệt thức \[\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - \left( { - 8m - 4} \right) = 4{m^2} + 8m + 4 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[m\].
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).
b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\).
Xét biệt thức \[\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m \cdot \left( { - 8} \right) = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 8m = 4{m^2} + 4 > 0\].
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta có \({m^2} \ge 0\) nên \[4{m^2} + 4 > 0\].
Do đó, với mọi \(m\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt hay phương trình luôn có nghiệm.
Cho phương trình \(3{x^2} + 2x - 6 = 0\) có hai nghiệm\({x_1},\,\,{x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(\;M = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}.\)
Ta có \(a = 3\,;\,\,b = 2\,;\,\,c = - 6\) nên \(ac = - 18 < 0\).
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{2}{3};\,\,{x_1}{x_2} = - 2.\)
Vậy \(M = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = \frac{{76}}{9}.\)
Cho phương trình \(3{x^2} + 2x - 6 = 0\) có hai nghiệm\({x_1},\,\,{x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(\;M = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}.\)
Ta có \(a = 3\,;\,\,b = 2\,;\,\,c = - 6\) nên \(ac = - 18 < 0\).
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{2}{3};\,\,{x_1}{x_2} = - 2.\)
Vậy \(M = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = \frac{{76}}{9}.\)
Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 2 = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Cách 1: Ta có \[a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m + 2\].
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi \[\Delta ' \ge 0\].
Khi đó \[{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0\] hay \[m \le - 1\].
Theo hệ thức Viète, ta có \[{x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2\].
Khi đó \[x_1^2 + x_2^2 = 10\]
\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\]
\[4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10\]
\[ - 2m = 10\]
\[m = - 5\] (thỏa điều kiện \[m \le - 1)\].
Vậy để phương trình có nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 10\) thì \[m = - 5.\]
Cách 2: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).
Theo hệ thức Viète, ta có \[{x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2\]
Khi đó \[x_1^2 + x_2^2 = 10\]
\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\]
\[4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10\]
\[ - 2m = 10\]
\[m = - 5\].
Thử lại: Với \[m = - 5\] ta có phương trình \[{x^2} - 2x - 3 = 0.\]
Vì \[ac = - 3 < 0\] nên phương trình có hai nghiệm.
Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 2 = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Cách 1: Ta có \[a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m + 2\].
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi \[\Delta ' \ge 0\].
Khi đó \[{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0\] hay \[m \le - 1\].
Theo hệ thức Viète, ta có \[{x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2\].
Khi đó \[x_1^2 + x_2^2 = 10\]
\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\]
\[4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10\]
\[ - 2m = 10\]
\[m = - 5\] (thỏa điều kiện \[m \le - 1)\].
Vậy để phương trình có nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 10\) thì \[m = - 5.\]
Cách 2: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).
Theo hệ thức Viète, ta có \[{x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2\]
Khi đó \[x_1^2 + x_2^2 = 10\]
\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\]
\[4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10\]
\[ - 2m = 10\]
\[m = - 5\].
Thử lại: Với \[m = - 5\] ta có phương trình \[{x^2} - 2x - 3 = 0.\]
Vì \[ac = - 3 < 0\] nên phương trình có hai nghiệm.
Cho phương trình \(3{x^2} - 7x - 4 = 0\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình, hãy tính.
(a) \(A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)
(b) \(B = \frac{{x_1^2}}{{{x_2}}} + \frac{{x_2^2}}{{{x_1}}}.\)
Ta có: \(a = 3\,;\,\,b = - 7\,;\,\,c = - 4\) nên \(ac = - 12 < 0.\)
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{7}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}.\end{array} \right.\]
a) Ta có \({A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2\)
\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)
\( = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9}\;.\)
Vậy \(A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {97} }}{3}.\)
b) Ta có \(B = \frac{{x_1^2 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Vậy
Cho phương trình \(3{x^2} - 7x - 4 = 0\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình, hãy tính.
(a) \(A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)
(b) \(B = \frac{{x_1^2}}{{{x_2}}} + \frac{{x_2^2}}{{{x_1}}}.\)
Ta có: \(a = 3\,;\,\,b = - 7\,;\,\,c = - 4\) nên \(ac = - 12 < 0.\)
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{7}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}.\end{array} \right.\]
a) Ta có \({A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2\)
\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)
\( = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9}\;.\)
Vậy \(A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {97} }}{3}.\)
b) Ta có \(B = \frac{{x_1^2 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Vậy
Cho phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó là hai nghiệm của phương trình.
Ta có
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi
hay
Khi đó
(luôn đúng vì với mọi )
Theo hệ thức Viète, ta có:
Do đó
(luôn đúng vì )
Dấu xảy ra khi và chỉ khi hay .
Cho phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó là hai nghiệm của phương trình.
Ta có
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi
hay
Khi đó
(luôn đúng vì với mọi )
Theo hệ thức Viète, ta có:
Do đó
(luôn đúng vì )
Dấu xảy ra khi và chỉ khi hay .
Tìm để
(a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.
(b) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
a) Xét phương trình .
Ta có
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi
hay nên
Theo hệ thức Viète, ta có và .
Xét hệ phương trình: .
Từ phương trình thứ nhất, ta có thay vào phương trình thứ hai ta được
hay nên suy ra
Thay và vào phương trình , ta có:
(thỏa điều kiện ).
Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b) Xét phương trình .
Ta có .
Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
hay , do đó .
Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương thì .
Tìm để
(a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.
(b) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
a) Xét phương trình .
Ta có
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi
hay nên
Theo hệ thức Viète, ta có và .
Xét hệ phương trình: .
Từ phương trình thứ nhất, ta có thay vào phương trình thứ hai ta được
hay nên suy ra
Thay và vào phương trình , ta có:
(thỏa điều kiện ).
Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b) Xét phương trình .
Ta có .
Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
hay , do đó .
Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương thì .
Tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện
Đặt suy ra . Thế vào phương trình đã cho, ta được:
hay .
Ta có ; ; .
Điều kiện hay
Đặt ; , ta đưa về bài toán. Tìm để phương trình có hai nghiệm ; thỏa mãn .
Khi đó hay nên suy ra nên
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện thì
Tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện
Đặt suy ra . Thế vào phương trình đã cho, ta được:
hay .
Ta có ; ; .
Điều kiện hay
Đặt ; , ta đưa về bài toán. Tìm để phương trình có hai nghiệm ; thỏa mãn .
Khi đó hay nên suy ra nên
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện thì
Cho phương trình có hai nghiệm . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Ta có ; suy ra nên phương trình đã cho có hai nghiệm (trái dấu) .
Do đó ; .
Mặt khác: ; .
Vậy và là hai nghiệm của phương trình bậc hai hay .
Cho phương trình có hai nghiệm . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .
Ta có ; suy ra nên phương trình đã cho có hai nghiệm (trái dấu) .
Do đó ; .
Mặt khác: ; .
Vậy và là hai nghiệm của phương trình bậc hai hay .
Chứng tỏ phương trình có một nghiệm là . Tìm nghiệm kia.
Thay vào phương trình đã cho, ta có
hay (luôn đúng)
Vậy là một nghiệm của phương trình.
Đặt , nghiệm còn lại là .
Theo hệ thức Viète, ta có:
Với thì nên .
Chứng tỏ phương trình có một nghiệm là . Tìm nghiệm kia.
Thay vào phương trình đã cho, ta có
hay (luôn đúng)
Vậy là một nghiệm của phương trình.
Đặt , nghiệm còn lại là .
Theo hệ thức Viète, ta có:
Với thì nên .
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Gọi số tự nhiên là . Khi đó, số liền sau số đó là .
Theo bài ra, ta có phương trình:
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy hai số cần tìm là 11 và 12.
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Gọi số tự nhiên là . Khi đó, số liền sau số đó là .
Theo bài ra, ta có phương trình:
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy hai số cần tìm là 11 và 12.
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng số lớn hơn số bé 5 đơn vị và tổng các bình phương của chúng bằng 4153.
Gọi số bé là . Khi đó, số lớn sẽ là .
Theo đề ra, ta có phương trình:
Ta có ; .
Do đó (loại) hoặc (TMĐK).
Vậy số bé là 43; số lớn là
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng số lớn hơn số bé 5 đơn vị và tổng các bình phương của chúng bằng 4153.
Gọi số bé là . Khi đó, số lớn sẽ là .
Theo đề ra, ta có phương trình:
Ta có ; .
Do đó (loại) hoặc (TMĐK).
Vậy số bé là 43; số lớn là
Dân số của một tỉnh sau hai năm tăng từ người lên người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhêu phần trăm?
Gọi là phần trăm tăng mỗi năm .
Sau năm thứ nhất số dân của tỉnh là:
Số dân sau năm thứ hai là:
Theo bài ra, ta có phương trình:
Ta có
Do đó hoặc
Vậy hàng năm dân số tỉnh A tăng .
Dân số của một tỉnh sau hai năm tăng từ người lên người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhêu phần trăm?
Gọi là phần trăm tăng mỗi năm .
Sau năm thứ nhất số dân của tỉnh là:
Số dân sau năm thứ hai là:
Theo bài ra, ta có phương trình:
Ta có
Do đó hoặc
Vậy hàng năm dân số tỉnh A tăng .
Một người vay 20 triệu đồng ờ ngân hàng thời hạn một năm phải trả cả vốn lẫn lời. Song được ngân hàng tiếp tục cho vay thêm một năm nữa. Hết hai năm phải trả đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm.
Gọi là lăi suất trong một năm của ngân hàng .
Sau năm thứ nhất người đó phải trả:
Số tiền sau năm thứ hai tăng thêm là:
Theo bài ra, ta có phương trình:
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy lãi của ngân hàng một năm là .
Một người vay 20 triệu đồng ờ ngân hàng thời hạn một năm phải trả cả vốn lẫn lời. Song được ngân hàng tiếp tục cho vay thêm một năm nữa. Hết hai năm phải trả đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm.
Gọi là lăi suất trong một năm của ngân hàng .
Sau năm thứ nhất người đó phải trả:
Số tiền sau năm thứ hai tăng thêm là:
Theo bài ra, ta có phương trình:
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy lãi của ngân hàng một năm là .
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì giờ đầy bể. Nếu mở vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cấn nhiều hơn vòi thứ nhất giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là (giờ) .
Khi đó, thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (giờ).
Khi đó, mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bể; vòi thứ hai chảy dược: bể và cả hai vòi chảy được bể.
Theo đề bài, ta có phương trình:
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy: Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 10 giờ.
Vòi thứ hai chảy đầy bế trong 15 giờ.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì giờ đầy bể. Nếu mở vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cấn nhiều hơn vòi thứ nhất giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là (giờ) .
Khi đó, thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (giờ).
Khi đó, mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bể; vòi thứ hai chảy dược: bể và cả hai vòi chảy được bể.
Theo đề bài, ta có phương trình:
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy: Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 10 giờ.
Vòi thứ hai chảy đầy bế trong 15 giờ.
Quãng đường dài , có hai ô tô khởi hành cùng một lúc. Ô tô thứ nhất đi từ A đến ô tô thứ hai đi từ đến . Sau giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi. Xe ô tô thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Đổi 27 phút (giờ).
Sau 1 giờ hai xe gặp nhau nên tổng vận tốc của hai xe bằng
Gọi là vận tốc cùa thứ nhất .
thì vận tốc của xe thứ hai là .
Thời gian của xe thứ nhất di từ dến là (giờ).
Thời gian của xe thứ hai là (giờ).
Theo đề bài, ta có phương trình: .
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là ; vận tốc của xe thứ hai là
Quãng đường dài , có hai ô tô khởi hành cùng một lúc. Ô tô thứ nhất đi từ A đến ô tô thứ hai đi từ đến . Sau giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi. Xe ô tô thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Đổi 27 phút (giờ).
Sau 1 giờ hai xe gặp nhau nên tổng vận tốc của hai xe bằng
Gọi là vận tốc cùa thứ nhất .
thì vận tốc của xe thứ hai là .
Thời gian của xe thứ nhất di từ dến là (giờ).
Thời gian của xe thứ hai là (giờ).
Theo đề bài, ta có phương trình: .
(TMĐK) hoặc (loại).
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là ; vận tốc của xe thứ hai là
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi . Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng , diện tích còn lại để trồng trọt là . Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn.
Nửa chu vi của vườn là .
Gọi là chiều dài của hình chữ nhật
Khi đó, chiều rộng của hình chữ nhật là: .
Mỗi bên để làm lối đi nên chiều dài của đất để lại trồng trọt chỉ còn và chiêu rộng là:
.
Theo bài ra, ta có phương trình:
Ta có .
Do đó (loại) hoặc (TMĐK).
Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 80 m và 60 m.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi . Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng , diện tích còn lại để trồng trọt là . Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn.
Nửa chu vi của vườn là .
Gọi là chiều dài của hình chữ nhật
Khi đó, chiều rộng của hình chữ nhật là: .
Mỗi bên để làm lối đi nên chiều dài của đất để lại trồng trọt chỉ còn và chiêu rộng là:
.
Theo bài ra, ta có phương trình:
Ta có .
Do đó (loại) hoặc (TMĐK).
Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 80 m và 60 m.
Một đội bóng đá thi đấu 26 trận trong một mùa giải. Số bàn thắng mà đội đó ghi được trong từng trận đấu được thống kê lại như sau:
Mẫu dữ liệu trên có bao nhiêu giá trị khác nhau? Xác định tần số của mỗi giá trị và lập bảng tần số của mẫu dữ liệu.
Mẫu dữ liệu có các giá trị là:
Tần số của các giá trị lần lượt là
Bảng tần số:
Một đội bóng đá thi đấu 26 trận trong một mùa giải. Số bàn thắng mà đội đó ghi được trong từng trận đấu được thống kê lại như sau:
Mẫu dữ liệu trên có bao nhiêu giá trị khác nhau? Xác định tần số của mỗi giá trị và lập bảng tần số của mẫu dữ liệu.
Mẫu dữ liệu có các giá trị là:
Tần số của các giá trị lần lượt là
Bảng tần số:
Vào đợt nghỉ hè vừa rồi, mỗi ngày bạn Bình đề học thêm một số từ vựng tiếng Anh mới. Số lượng từ vựng mới bạn Bình học mỗi ngày được biểu diễn ở biểu đồ cột như hình bên dưới.
a) Số lượng từ vựng mới mà bạn Bình học mỗi ngày nhận được nhưng giá trị là Tần số của các giá trị đó lần lượt là
b) Số ngày bạn Bình học từ vựng mới là: (ngày).
c) Số ngày bạn Bình học nhiểu hơn 7 từ vựng mới là (ngày).
Vào đợt nghỉ hè vừa rồi, mỗi ngày bạn Bình đề học thêm một số từ vựng tiếng Anh mới. Số lượng từ vựng mới bạn Bình học mỗi ngày được biểu diễn ở biểu đồ cột như hình bên dưới.
a) Số lượng từ vựng mới mà bạn Bình học mỗi ngày nhận được nhưng giá trị là Tần số của các giá trị đó lần lượt là
b) Số ngày bạn Bình học từ vựng mới là: (ngày).
c) Số ngày bạn Bình học nhiểu hơn 7 từ vựng mới là (ngày).
Cho hai biểu đồ sau:
(a) Đọc và giải thích mỗi biểu đồ trên.
(b) Hai biểu đổ trên có biểu diễn cùng một dữ liệu không? Lập bảng thống kê cho dữ liệu đó. Bảng thống kê thu được có phải là bảng tần số hay không?
a) Biểu đồ thứ nhất là biểu đồ cột.
Số học sinh đạt diểm tương ứng là .
Biểu đồ thứ hai là biểu đồ đoạn thẳng.
b) Hai biểu đổ trên cùng biểu diễn một dữ liệu.
Bảng thống kê:
Bảng thống kê trên cũng là bảng tần số.
Cho hai biểu đồ sau:
(a) Đọc và giải thích mỗi biểu đồ trên.
(b) Hai biểu đổ trên có biểu diễn cùng một dữ liệu không? Lập bảng thống kê cho dữ liệu đó. Bảng thống kê thu được có phải là bảng tần số hay không?
a) Biểu đồ thứ nhất là biểu đồ cột.
Số học sinh đạt diểm tương ứng là .
Biểu đồ thứ hai là biểu đồ đoạn thẳng.
b) Hai biểu đổ trên cùng biểu diễn một dữ liệu.
Bảng thống kê:
Bảng thống kê trên cũng là bảng tần số.
Chỉ số phát triển con người (HDI) là chỉ tiêu tổng hợpp hản ánh các mặt thu nhập, sức khỏe, giáo dục của người dân trong mọt quốc gia. Các nước và vùng lãnh thổ trên thế giới được chia thành bốn nhóm theo HDI: Nhóm 1 (rất cao) có HDI từ 0,8 trở lên; Nhóm 2 (cao) có HDI từ 0,7 đến dưới 0,8; Nhóm 3 (trung bình) có HDI từ 0,55 đến dưới 0,7; Nhóm 4 (thấp) có HDI dưới 0,55. Năm 2021, chỉ số HDI của 11 quốc gia Đông Nam Á như sau:
Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm:
Ta có .
Tần số ghép nhóm của nhóm là 4.
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm là .
Tương tự ta tính được tần số và tần số ghép nhóm của các nhóm còn lại.
Ta được bảng sau:
Chỉ số phát triển con người (HDI) là chỉ tiêu tổng hợpp hản ánh các mặt thu nhập, sức khỏe, giáo dục của người dân trong mọt quốc gia. Các nước và vùng lãnh thổ trên thế giới được chia thành bốn nhóm theo HDI: Nhóm 1 (rất cao) có HDI từ 0,8 trở lên; Nhóm 2 (cao) có HDI từ 0,7 đến dưới 0,8; Nhóm 3 (trung bình) có HDI từ 0,55 đến dưới 0,7; Nhóm 4 (thấp) có HDI dưới 0,55. Năm 2021, chỉ số HDI của 11 quốc gia Đông Nam Á như sau:
Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm:
Ta có .
Tần số ghép nhóm của nhóm là 4.
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm là .
Tương tự ta tính được tần số và tần số ghép nhóm của các nhóm còn lại.
Ta được bảng sau:
Ghi lại cự li ném tạ (đơn vị: mét) của một vận động viên sau đợt tập huấn đặc biệt trong bảng sau:
(a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm hay tần số không ghép nhóm? Vì sao?
(b) Hãy lập bảng số liệu làm 6 nhóm trong đó nhóm đầu tiên cự li là từ 20 đến dưới 20,2 m. Lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm.
a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm vì mấu số liệu trên có nhiều giá trị khác nhau, nếu lập bảng tần số không ghép nhóm sẽ rất dài, phức tạp, khó tính toán.
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là đến dưới ; lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Tổng số học sinh trong lớp là .
Tỉ lệ thời gian học sinh chạy từ đến dưới là ;
từ đến dưới là ;
từ đến dưới là ;
từ đến dưới là:
.
Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:
Ghi lại cự li ném tạ (đơn vị: mét) của một vận động viên sau đợt tập huấn đặc biệt trong bảng sau:
(a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm hay tần số không ghép nhóm? Vì sao?
(b) Hãy lập bảng số liệu làm 6 nhóm trong đó nhóm đầu tiên cự li là từ 20 đến dưới 20,2 m. Lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm.
a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm vì mấu số liệu trên có nhiều giá trị khác nhau, nếu lập bảng tần số không ghép nhóm sẽ rất dài, phức tạp, khó tính toán.
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là đến dưới ; lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Tổng số học sinh trong lớp là .
Tỉ lệ thời gian học sinh chạy từ đến dưới là ;
từ đến dưới là ;
từ đến dưới là ;
từ đến dưới là:
.
Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:
Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).
Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.
(a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
(b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
a) Từ biểu đồ trên, ta có bảng tần số ghép nhóm tương ứng như sau:
b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
Vì có có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg nên số học sinh của lớp đó là:
(học sinh).
Số học sinh từ là (học sinh).
Số học sinh là (học sinh).
Tổng số học sinh từ 50 kg trở lên là (học sinh).
Vậy nhận định đó là sai.
Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: kg).
Biết rằng có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg.
(a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
(b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
a) Từ biểu đồ trên, ta có bảng tần số ghép nhóm tương ứng như sau:
b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có cân nặng từ 50 kg trở lên. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
Vì có có 11 học sinh có cân nặng từ 50 kg đến dưới 55 kg nên số học sinh của lớp đó là:
(học sinh).
Số học sinh từ là (học sinh).
Số học sinh là (học sinh).
Tổng số học sinh từ 50 kg trở lên là (học sinh).
Vậy nhận định đó là sai.
Xét mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số ghép nhóm sau đây:
(a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
(b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột.
a) Bảng tần số ghép nhóm - tần số tương đối ghép nhóm:
b) Ta có biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột:
Xét mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số ghép nhóm sau đây:
(a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
(b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột.
a) Bảng tần số ghép nhóm - tần số tương đối ghép nhóm:
b) Ta có biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột:
Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm sau về tuổi thọ của một bóng đèn.
Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê trên.
Ta có bảng sau:
Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.
Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm sau về tuổi thọ của một bóng đèn.
Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê trên.
Ta có bảng sau:
Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.
Trong các hoạt động sau, hoạt động nào là phép thử ngẫu nhiên? Tại sao?
(a) Gieo hai khối gỗ hình lập phương, mỗi khối được sơn một màu, màu xanh và màu vàng. Quan sát màu sắc của mặt xuất hiện bên trên.
(b) Chọn bất kì 1 cây bút bi từ hộp có 4 cây bút bi.
(c) Chọn ra đồng thời 2 que gỗ từ hộp có 2 que gỗ màu xanh và que gỗ màu đỏ.
a) Hoạt động gieo hai khối gỗ hình lập phương không là phép thử ngẫu nhiên vì ta biết trước chỉ có một kết quả xảy ra là xuất hiện 1 mặt màu xanh và một mặt màu vàng.
b) Hoạt động lấy 1 cây bút bi là phép thử ngẫu nhiên vì ta không thể biết trước được kết quả của nó, nhưng biết tất cả 4 kết quả có thể xảy ra.
c) Hoạt động lấy ra đồng thời 2 que gỗ không là phép thử ngẫu nhiên vì ta biết chỉ có một kết quả xảy ra là lấy được 1 que gỗ màu xanh và 1 que gỗ màu đỏ.
Trong các hoạt động sau, hoạt động nào là phép thử ngẫu nhiên? Tại sao?
(a) Gieo hai khối gỗ hình lập phương, mỗi khối được sơn một màu, màu xanh và màu vàng. Quan sát màu sắc của mặt xuất hiện bên trên.
(b) Chọn bất kì 1 cây bút bi từ hộp có 4 cây bút bi.
(c) Chọn ra đồng thời 2 que gỗ từ hộp có 2 que gỗ màu xanh và que gỗ màu đỏ.
a) Hoạt động gieo hai khối gỗ hình lập phương không là phép thử ngẫu nhiên vì ta biết trước chỉ có một kết quả xảy ra là xuất hiện 1 mặt màu xanh và một mặt màu vàng.
b) Hoạt động lấy 1 cây bút bi là phép thử ngẫu nhiên vì ta không thể biết trước được kết quả của nó, nhưng biết tất cả 4 kết quả có thể xảy ra.
c) Hoạt động lấy ra đồng thời 2 que gỗ không là phép thử ngẫu nhiên vì ta biết chỉ có một kết quả xảy ra là lấy được 1 que gỗ màu xanh và 1 que gỗ màu đỏ.
Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh, có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele lặn a. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele trội B và allele lặn b.
Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Phép thử là cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene là , cây mẹ có kiểu gene là .
Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phân tử?
Gợi ý: Về kiểu gene, có hai kiểu gene ứng với màu hạt của cây con là
Aa.
Có bốn kiểu gene ứng với dạng hạt của cây con là
Bb; bB; bb.
Không gian mẫu của phép thử trên được mô tả trong bảng sau:
Không gian mẫu có 8 phần tử.
Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh, có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele lặn a. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele trội B và allele lặn b.
Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Phép thử là cho lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene là , cây mẹ có kiểu gene là .
Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phân tử?
Gợi ý: Về kiểu gene, có hai kiểu gene ứng với màu hạt của cây con là
Aa.
Có bốn kiểu gene ứng với dạng hạt của cây con là
Bb; bB; bb.
Không gian mẫu của phép thử trên được mô tả trong bảng sau:
Không gian mẫu có 8 phần tử.
Bánh xe được chia thành 16 hình quạt bằng nhau, đánh số thứ tự từ đến . Quay bánh xe và quan sát xem khi nó dừng thì mũi kim (được gắn cố định) chỉ vào hình quạt số mấy (ta nói ngắn gọn là “kim chỉ vào số mấy”).
Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố sau:
: “Kim chỉ vào số là bội số của 5”;
: “Kim chỉ vào số là ước của 14”.
Không gian mẫu của phép thử trên .
Khi đó:
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố là: .
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố là: .
Bánh xe được chia thành 16 hình quạt bằng nhau, đánh số thứ tự từ đến . Quay bánh xe và quan sát xem khi nó dừng thì mũi kim (được gắn cố định) chỉ vào hình quạt số mấy (ta nói ngắn gọn là “kim chỉ vào số mấy”).
Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố sau:
: “Kim chỉ vào số là bội số của 5”;
: “Kim chỉ vào số là ước của 14”.
Không gian mẫu của phép thử trên .
Khi đó:
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố là: .
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố là: .
Hộp thứ nhất đựng 1 quả bóng trắng, 1 quả bóng đó. Hộp thứ 2 đựng 1 quả bóng đó, 1 quả bóng vàng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả bóng.
(a) Xác định không gian mẫu và số kết quả có thể xảy ra của phép thử.
(b) Biết rằng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: “2 quả bóng lấy ra có cùng màu”.
B: “Có đúng 1 quả bóng màu đỏ trong 2 quả bóng lấy ra”.
a) Kí hiểu là màu trắng, là màu đỏ và là màu vàng.
Không gian mẫu .
Số kết quả cỏ thể xảy ra là .
b) Vì các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các kết quả trên có cùng khả năng xảy ra.
Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố A là nên .
Xác suất của biến cố A là .
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là và nên
Xác suất của biến cố B là .
Hộp thứ nhất đựng 1 quả bóng trắng, 1 quả bóng đó. Hộp thứ 2 đựng 1 quả bóng đó, 1 quả bóng vàng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả bóng.
(a) Xác định không gian mẫu và số kết quả có thể xảy ra của phép thử.
(b) Biết rằng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: “2 quả bóng lấy ra có cùng màu”.
B: “Có đúng 1 quả bóng màu đỏ trong 2 quả bóng lấy ra”.
a) Kí hiểu là màu trắng, là màu đỏ và là màu vàng.
Không gian mẫu .
Số kết quả cỏ thể xảy ra là .
b) Vì các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các kết quả trên có cùng khả năng xảy ra.
Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố A là nên .
Xác suất của biến cố A là .
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là và nên
Xác suất của biến cố B là .
Một hộp chứa 5 quả bóng màu đỏ và một số quả bóng trắng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem màu rồi trả lại hộp. Biết xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là 0,25. Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng màu trắng?
Gọi n là số quả bóng màu trắng có trong hộp.
Số cách chọn ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp là (cách).
Do các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các quả bóng cùng khả năng được chọn.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là xác suất của biến cố là
Theo giải thiết, ta có: hay , ta được .
Vậy có 15 quả bóng màu trắng trong hộp.
Một hộp chứa 5 quả bóng màu đỏ và một số quả bóng trắng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem màu rồi trả lại hộp. Biết xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là 0,25. Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng màu trắng?
Gọi n là số quả bóng màu trắng có trong hộp.
Số cách chọn ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp là (cách).
Do các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các quả bóng cùng khả năng được chọn.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là xác suất của biến cố là
Theo giải thiết, ta có: hay , ta được .
Vậy có 15 quả bóng màu trắng trong hộp.
Cho biểu đồ thống kê số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua như sau:
Lấy ngẫu nhiên một học sinh trong số các học sinh tham gia. Tính xác suất của các biến cố:
(a) : “Lấy được một học sinh nữ lớp 9”.
(b) : “Lấy được một học sinh lớp 6”.
(c) : “Lấy được một học sinh nam lớp hoặc lớp ”.
Tổng số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua là:
(học sinh).
Do đó .
a) Số học sinh nữ lớp 9 tham gia câu lạc bộ cờ vua là
Xác suất của biến cố A là:
b) Số học sinh lớp 6 tham gia câu lạc bộ cờ vua là .
Xác suất của biến cố B là
c) Số học sinh nam lớp và lớp tham gia câu lạc bộ cờ vua là .
Xác suất của biến cố là .
Bài 40.
(a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh bằng
(b) Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính bán kính của , biết rằng vuông cân tại và có cạnh bằng
a) Gọi là giao điểm của ba đường trung trực của tamgiác đều thì đồng thời là trọng tâm và trực tâm của tam giác.
Ta có ( là chân đường cao kẻ từ
Do đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
Mặt khác, xét tam giác vuông tại .
Theo định lí Pythagore, ta có:
Suy ra nên .
Do đó (tính chất trọng tâm).
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính
b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông cân tại ta có:
, suy ra
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông tại có độ dài bằng nửa cạnh huyền tức là .
Bài 41. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn . Biết rằng đường tròn có bán kính bằng Tính diện tích tam giác
Kẻ đường cao vì tam giác đều (gt) nên đường cao đồng thời là đường phân giác của góc , ta có:
Kéo dài cắt đường tròn tại . Khi đó và lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn ) .
Suy ra
Tam giác vuông tại có cạnh huyền (gt) và
Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
.
Vì đều nên đường cao đồng thời là trung tuyến hay là trung điểm của
Suy ra
Xét tam giác vuông tại có cạnh huyền: và .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
.
Diện tích tam giác đều là:
Vậy diện tích tam giác là
Bài 42. Bức tranh treo tường có vẽ một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm (hình vẽ). Cho biết Tính góc .
Tứ giác nội tiếp đường tròn nên
Suy ra
Mà nên .
Tam giác cân tại có (cmt)
Suy ra nên .
Vậy .
Bài 43. Cho đường tròn tâm có bán kính .
(a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong .
(b) Một hình chữ nhật nội tiếp trong có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
a) Gọi hình vuông nội tiếp trong đường tròn là
Ta có
Gọi là cạnh hình vuông.
Theo định lí Pythagore, ta có: hay
Suy ra nên .
Vậy cạnh hình vuông nội tiếp trong đường tròn bằng
b) Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là
Nửa chu vi hình chữ nhật là:
Tam giác vuông tại . Theo định lí Pythagore, ta có:
hay .
Theo bài ra, ta có hệ phương trình
Từ phương trình thứ nhất, ta có .
Thế vào phương trình thứ hai, ta có:
hoặc
• Với thì (TMĐK).
• Với thì (loại vì ).
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là và chiều rộng là .
Bài 44. Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
Ta có là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên
.
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là .
Khi đó, chiều dài hình chữ nhật là
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại , ta có:
hay nên , suy ra
Vậy chiều rộng hình chữ nhật là và chiều dài là .
Do đó diện tích hình chữ nhật là: .
Cho biểu đồ thống kê số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua như sau:
Lấy ngẫu nhiên một học sinh trong số các học sinh tham gia. Tính xác suất của các biến cố:
(a) : “Lấy được một học sinh nữ lớp 9”.
(b) : “Lấy được một học sinh lớp 6”.
(c) : “Lấy được một học sinh nam lớp hoặc lớp ”.
Tổng số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua là:
(học sinh).
Do đó .
a) Số học sinh nữ lớp 9 tham gia câu lạc bộ cờ vua là
Xác suất của biến cố A là:
b) Số học sinh lớp 6 tham gia câu lạc bộ cờ vua là .
Xác suất của biến cố B là
c) Số học sinh nam lớp và lớp tham gia câu lạc bộ cờ vua là .
Xác suất của biến cố là .
Bài 40.
(a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh bằng
(b) Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính bán kính của , biết rằng vuông cân tại và có cạnh bằng
a) Gọi là giao điểm của ba đường trung trực của tamgiác đều thì đồng thời là trọng tâm và trực tâm của tam giác.
Ta có ( là chân đường cao kẻ từ
Do đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
Mặt khác, xét tam giác vuông tại .
Theo định lí Pythagore, ta có:
Suy ra nên .
Do đó (tính chất trọng tâm).
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính
b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông cân tại ta có:
, suy ra
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông tại có độ dài bằng nửa cạnh huyền tức là .
Bài 41. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn . Biết rằng đường tròn có bán kính bằng Tính diện tích tam giác
Kẻ đường cao vì tam giác đều (gt) nên đường cao đồng thời là đường phân giác của góc , ta có:
Kéo dài cắt đường tròn tại . Khi đó và lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn ) .
Suy ra
Tam giác vuông tại có cạnh huyền (gt) và
Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
.
Vì đều nên đường cao đồng thời là trung tuyến hay là trung điểm của
Suy ra
Xét tam giác vuông tại có cạnh huyền: và .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
.
Diện tích tam giác đều là:
Vậy diện tích tam giác là
Bài 42. Bức tranh treo tường có vẽ một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm (hình vẽ). Cho biết Tính góc .
Tứ giác nội tiếp đường tròn nên
Suy ra
Mà nên .
Tam giác cân tại có (cmt)
Suy ra nên .
Vậy .
Bài 43. Cho đường tròn tâm có bán kính .
(a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong .
(b) Một hình chữ nhật nội tiếp trong có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
a) Gọi hình vuông nội tiếp trong đường tròn là
Ta có
Gọi là cạnh hình vuông.
Theo định lí Pythagore, ta có: hay
Suy ra nên .
Vậy cạnh hình vuông nội tiếp trong đường tròn bằng
b) Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là
Nửa chu vi hình chữ nhật là:
Tam giác vuông tại . Theo định lí Pythagore, ta có:
hay .
Theo bài ra, ta có hệ phương trình
Từ phương trình thứ nhất, ta có .
Thế vào phương trình thứ hai, ta có:
hoặc
• Với thì (TMĐK).
• Với thì (loại vì ).
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là và chiều rộng là .
Bài 44. Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
Ta có là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên
.
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là .
Khi đó, chiều dài hình chữ nhật là
Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại , ta có:
hay nên , suy ra
Vậy chiều rộng hình chữ nhật là và chiều dài là .
Do đó diện tích hình chữ nhật là: .
Cho đường tròn . Lấy các điểm trên đường tròn sao cho số đo các cung bằng nhau. Đa giác có là đa giác đều không?
Ta có
.
Xét tam giác cân tại có (vì
Suy ra đều nên và .
Tương tự đều nên và .
Suy ra và
Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác có:
Và các góc .
Do đó là một đa giác đều.
Cho đường tròn . Lấy các điểm trên đường tròn sao cho số đo các cung bằng nhau. Đa giác có là đa giác đều không?
Ta có
.
Xét tam giác cân tại có (vì
Suy ra đều nên và .
Tương tự đều nên và .
Suy ra và
Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác có:
Và các góc .
Do đó là một đa giác đều.
Cho lục giác đều . Gọi là tâm của lục giác đều.
(a) Tính số đo các góc
(b) Hãy chỉ ra ba phép quay tâm giữ nguyên tam giác .
a) Dễ thấy là lục giác đều nên
.
Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn nên
hay .
Suy ra .
Tương tự tứ giác nội tiếp đường tròn nên
hay .
Suy ra .
Tương tự ta có .
b) Ba đỉnh của tam giác đều chia đường tròn thành ba cung bằng nhau:
.
Vậy phép quay thuận chiều hoặc ngược chiều.
Cho lục giác đều . Gọi là tâm của lục giác đều.
(a) Tính số đo các góc
(b) Hãy chỉ ra ba phép quay tâm giữ nguyên tam giác .
a) Dễ thấy là lục giác đều nên
.
Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn nên
hay .
Suy ra .
Tương tự tứ giác nội tiếp đường tròn nên
hay .
Suy ra .
Tương tự ta có .
b) Ba đỉnh của tam giác đều chia đường tròn thành ba cung bằng nhau:
.
Vậy phép quay thuận chiều hoặc ngược chiều.
Cho vòng quay mặt trời gồm 8 cabin như hình vẽ. Hỏi để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?
Ta có một bát giác đều nội tiếp trong đường tròn , mỗi góc ở tâm là:
Theo giả thiết, ta có:
Vậy qua phép quay thuận chiểu tâm , cabin di chuyển đến vị trí cao nhất (điểm
Cho vòng quay mặt trời gồm 8 cabin như hình vẽ. Hỏi để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?
Ta có một bát giác đều nội tiếp trong đường tròn , mỗi góc ở tâm là:
Theo giả thiết, ta có:
Vậy qua phép quay thuận chiểu tâm , cabin di chuyển đến vị trí cao nhất (điểm
Vòng trong của mái giếng trời hình hoa sen của nhà ga Bến Thành (Thành phố Hở Chí Minh) có dạng đa giác đếu 12 cạnh (hình vẽ). Hãy chỉ ra bốn phép quay biến đa giác đều đó thành chính nó.
Đa giác đều 12 cạnh nội tiếp đường tròn (O) (Xem hình vē).
Ta có:
.
(bán kính đường tròn ngoại tiếp)
Ta chọn phép quay thuận chiều (hoặc ngược chiều) góc quay biến đa giác đã cho thành chính nó.
Bài 49. Cho hình bình hành có đỉnh nằm trên đường tròn đường kính . Kẻ và cùng vuông góc với đường chéo . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Nối với , ta có vuông tại ( là đường kính) hay \(AD \bot BD.\)
Mà \(AD\,\,{\rm{//}}\,BC\) (gt) nên \(BD \bot BC\) , suy ra \(\widehat {DBC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DBC} = \widehat {DMC} = 90^\circ \).
Hai đỉnh \(M,\,\,B\) cùng nhìn \(DC\) dưới hai góc bằng nhau cùng bằng \(90^\circ \).
Do đó, tứ giác \(CBMD\) nội tiếp.
Bài 50. Cho tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Lấy điểm \(M\) bất kì trên đoạn \(AC\), đường tròn đường kính \(CM\) cắt hai đường thẳng \(BM\) và \(BC\) lần lượt tại \(D\) và \(N\). Chứng minh rằng:
(a) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
(b) Các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm.
a) Gọi \(O\) là tâm đường tròn đường kính \(CM\).
Ta có \(DO = MO = CO\) hay \(DO = \frac{{MC}}{2}\).
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAM} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(I\).
Vì \(M\) là trực tâm của \(\Delta BIC\) nên \(IM\) là đường cao thứ ba, suy ra \(IM \bot BC\).
Do đó \(IM\) và \(IN\) phải trùng nhau hay ba điểm \(I,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.
Vậy các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm \(I\).
Bài 51. Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\)
((a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC.\)
(b) Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M\) và cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \(K\) và \(T\) (\(K\) nằm giữa \(M\) và \(T\)). Chứng minh rằng: \(MK \cdot MT = ME \cdot MF\).
(c) Chứng minh \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\).
a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).
b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).
Do đó .
Suy ra \(\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}\) hay \(ME \cdot MF = MB \cdot MC\).
Chứng minh tương tự với đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]
Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)
c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp (\(\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ \))
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {HCD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).
Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên \(\widehat {HCD} = \widehat {FEB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)\).
Lai có \(\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}\) (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].
Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); \(\widehat C\) chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}\) hay \(MI \cdot MD = ME.MF\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MI \cdot MD = MK \cdot MT.\) hay \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MTI\) có \(\widehat C\) chung; \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\) (hai góc tương ứng).
Vòng trong của mái giếng trời hình hoa sen của nhà ga Bến Thành (Thành phố Hở Chí Minh) có dạng đa giác đếu 12 cạnh (hình vẽ). Hãy chỉ ra bốn phép quay biến đa giác đều đó thành chính nó.
Đa giác đều 12 cạnh nội tiếp đường tròn (O) (Xem hình vē).
Ta có:
.
(bán kính đường tròn ngoại tiếp)
Ta chọn phép quay thuận chiều (hoặc ngược chiều) góc quay biến đa giác đã cho thành chính nó.
Bài 49. Cho hình bình hành có đỉnh nằm trên đường tròn đường kính . Kẻ và cùng vuông góc với đường chéo . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Nối với , ta có vuông tại ( là đường kính) hay \(AD \bot BD.\)
Mà \(AD\,\,{\rm{//}}\,BC\) (gt) nên \(BD \bot BC\) , suy ra \(\widehat {DBC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DBC} = \widehat {DMC} = 90^\circ \).
Hai đỉnh \(M,\,\,B\) cùng nhìn \(DC\) dưới hai góc bằng nhau cùng bằng \(90^\circ \).
Do đó, tứ giác \(CBMD\) nội tiếp.
Bài 50. Cho tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Lấy điểm \(M\) bất kì trên đoạn \(AC\), đường tròn đường kính \(CM\) cắt hai đường thẳng \(BM\) và \(BC\) lần lượt tại \(D\) và \(N\). Chứng minh rằng:
(a) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
(b) Các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm.
a) Gọi \(O\) là tâm đường tròn đường kính \(CM\).
Ta có \(DO = MO = CO\) hay \(DO = \frac{{MC}}{2}\).
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAM} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(I\).
Vì \(M\) là trực tâm của \(\Delta BIC\) nên \(IM\) là đường cao thứ ba, suy ra \(IM \bot BC\).
Do đó \(IM\) và \(IN\) phải trùng nhau hay ba điểm \(I,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.
Vậy các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm \(I\).
Bài 51. Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\)
((a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC.\)
(b) Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M\) và cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \(K\) và \(T\) (\(K\) nằm giữa \(M\) và \(T\)). Chứng minh rằng: \(MK \cdot MT = ME \cdot MF\).
(c) Chứng minh \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\).
a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).
b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).
Do đó .
Suy ra \(\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}\) hay \(ME \cdot MF = MB \cdot MC\).
Chứng minh tương tự với đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]
Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)
c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp (\(\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ \))
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {HCD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).
Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên \(\widehat {HCD} = \widehat {FEB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)\).
Lai có \(\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}\) (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].
Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); \(\widehat C\) chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}\) hay \(MI \cdot MD = ME.MF\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MI \cdot MD = MK \cdot MT.\) hay \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MTI\) có \(\widehat C\) chung; \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\) (hai góc tương ứng).
Cho hình chữ nhật \(ABCD\), các điểm \(O,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,\,\,BC.\) Xét hình trụ được tạo ra khi quay hình chữ nhật \(AOIB\) một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa cạnh \(OI\) của hình chữ nhật đó (như hình vẽ). Hãy chỉ ra:
(a) Bốn bán kính đáy của hình trụ;
(b) Chiều cao của hình trụ;
(c) Hai đường sinh của hình trụ.
a) Bán kính đáy của hình trụ: \(OA;\,\,OD;\,\,IB;\,\,IC\).
b) Chiều cao của hình trụ: \(AB\).
c) Đường sinh: \(AB;\,\,CD\).
Cho hình chữ nhật \(ABCD\), các điểm \(O,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,\,\,BC.\) Xét hình trụ được tạo ra khi quay hình chữ nhật \(AOIB\) một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa cạnh \(OI\) của hình chữ nhật đó (như hình vẽ). Hãy chỉ ra:
(a) Bốn bán kính đáy của hình trụ;
(b) Chiều cao của hình trụ;
(c) Hai đường sinh của hình trụ.
a) Bán kính đáy của hình trụ: \(OA;\,\,OD;\,\,IB;\,\,IC\).
b) Chiều cao của hình trụ: \(AB\).
c) Đường sinh: \(AB;\,\,CD\).
Cho tam giác cân \(ACD\) có \(O\) là trung điểm cạnh đáy \(CD.\) Xét hình nón dược tạo ra khi quay tam giác vuông \(AOC\) một vòng xung quanh đường thảng cố dịnh chứa cạnh \(AO\) của tam giác vuông đó (Hình vẽ). Quan sát hình vẽ và hãy chỉ ra:
(a) Đỉnh của hình nón;
(b) Bán kính đáy của hình nón;
(c) Chiếu cao của hình nón;
(d) Đường sinh của hình nón.
a) Đỉnh của hình nón: \[S.\]
b) Bán kính đáy của hình nón: \(OC,\,\,OD,\,\,OE,\,\,OF\).
c) Chiéu cao của hình nón: \[AO.\]
d) Đường sinh của hình nón: \(AC,\,\,AD,\,\,AE,\,\,AF\).
Cho tam giác cân \(ACD\) có \(O\) là trung điểm cạnh đáy \(CD.\) Xét hình nón dược tạo ra khi quay tam giác vuông \(AOC\) một vòng xung quanh đường thảng cố dịnh chứa cạnh \(AO\) của tam giác vuông đó (Hình vẽ). Quan sát hình vẽ và hãy chỉ ra:
(a) Đỉnh của hình nón;
(b) Bán kính đáy của hình nón;
(c) Chiếu cao của hình nón;
(d) Đường sinh của hình nón.
a) Đỉnh của hình nón: \[S.\]
b) Bán kính đáy của hình nón: \(OC,\,\,OD,\,\,OE,\,\,OF\).
c) Chiéu cao của hình nón: \[AO.\]
d) Đường sinh của hình nón: \(AC,\,\,AD,\,\,AE,\,\,AF\).
Xác định tâm và bán kính của hình cầu tạo thành khi quay nửa hình tròn đường kính \[AB = 6{\rm{ cm}}\] quanh \[AB\] cố định.
a) Tâm \[O\] của hình cầu là trung điểm của đoạn thẳng \[AB.\]
Bán kính của hình cầu đó là:
\(R = OA - OB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{ }}(cm).\)
Xác định tâm và bán kính của hình cầu tạo thành khi quay nửa hình tròn đường kính \[AB = 6{\rm{ cm}}\] quanh \[AB\] cố định.
a) Tâm \[O\] của hình cầu là trung điểm của đoạn thẳng \[AB.\]
Bán kính của hình cầu đó là:
\(R = OA - OB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{ }}(cm).\)
Một doanh nghiệp sản xuất vỏ hộp bằng tôn có dạng hình trụ với hai đáy (hình vẽ). Hình trụ đó có đường kính đáy là \(57\,\,{\rm{cm}}\) và chiều cao khoảng \(89\,\,{\rm{cm}}.\) Chị phí để sản xuất vỏ hộp đó khoảng \(100\,\,000\) đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\] Hỏi số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \(1\,\,000\) vỏ hộp đó là bao nhiêu đồng (lấy \(\pi = 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy \(2R = 57\,\,{\rm{cm}}\) và chiều cao \(89\,\,{\rm{cm}}\) là:
\(2\pi Rh = 57 \cdot 89 \cdot \pi = 15\,\,929,22\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích hai đay là: \(2\pi {R^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{{57}}{2}} \right)^2} \cdot \pi = 5\,\,100,93\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) .
Diện tích toàn phần là: \(2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)\( = 15\,\,929,22 + 5\,\,100,93 = 21\,\,030,15\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) .
Để sản xuất \(1000\) vỏ hộp cần \(2,103\,\,015 \cdot 1000 = 2\,\,103,015\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Chị phí để sản xuất vỏ hộp là \(100\,\,000\) đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]nên số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \(1\,\,000\) vỏ hộp là: \(2\,\,103,015 \cdot 100\,\,000 = 210\,\,301\,\,500\) đồng.
Vậy số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \(1\,\,000\) vỏ hộp đó là \(210\,\,301\,\,500\) đồng.
Một doanh nghiệp sản xuất vỏ hộp bằng tôn có dạng hình trụ với hai đáy (hình vẽ). Hình trụ đó có đường kính đáy là \(57\,\,{\rm{cm}}\) và chiều cao khoảng \(89\,\,{\rm{cm}}.\) Chị phí để sản xuất vỏ hộp đó khoảng \(100\,\,000\) đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\] Hỏi số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \(1\,\,000\) vỏ hộp đó là bao nhiêu đồng (lấy \(\pi = 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy \(2R = 57\,\,{\rm{cm}}\) và chiều cao \(89\,\,{\rm{cm}}\) là:
\(2\pi Rh = 57 \cdot 89 \cdot \pi = 15\,\,929,22\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích hai đay là: \(2\pi {R^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{{57}}{2}} \right)^2} \cdot \pi = 5\,\,100,93\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) .
Diện tích toàn phần là: \(2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)\( = 15\,\,929,22 + 5\,\,100,93 = 21\,\,030,15\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) .
Để sản xuất \(1000\) vỏ hộp cần \(2,103\,\,015 \cdot 1000 = 2\,\,103,015\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Chị phí để sản xuất vỏ hộp là \(100\,\,000\) đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]nên số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \(1\,\,000\) vỏ hộp là: \(2\,\,103,015 \cdot 100\,\,000 = 210\,\,301\,\,500\) đồng.
Vậy số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \(1\,\,000\) vỏ hộp đó là \(210\,\,301\,\,500\) đồng.
Phần mày lá của một ngôi nhà hình nón (không có đáy) với đường kính đáy khoảng \[12{\rm{ m}}\] và độ dài đường sinh khoảng \[8,5{\rm{ m}}\] (hình vẽ). Chi phí để làm phần mái lá đó là \[250\,\,000\] đồng/\(\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\) Hỏi tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà đó là bao nhiêu tiền (lấy \(\pi \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)?
Bán kính đáy \(r = \frac{{12}}{2} = 6\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Độ dài đường sinh của hình nón là \(l = 8,5\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \cdot \,6 \cdot \,\,8,5 = 51\pi \,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà hình nón là:
\[51\pi \cdot \,250\,\,000 = 12\,750\,\,000\pi \approx 40\,\,055\,\,306\] (đồng).
Vậy tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà đó khoảng \[40\,\,055\,\,306\] đồng.
Phần mày lá của một ngôi nhà hình nón (không có đáy) với đường kính đáy khoảng \[12{\rm{ m}}\] và độ dài đường sinh khoảng \[8,5{\rm{ m}}\] (hình vẽ). Chi phí để làm phần mái lá đó là \[250\,\,000\] đồng/\(\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\) Hỏi tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà đó là bao nhiêu tiền (lấy \(\pi \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)?
Bán kính đáy \(r = \frac{{12}}{2} = 6\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Độ dài đường sinh của hình nón là \(l = 8,5\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \cdot \,6 \cdot \,\,8,5 = 51\pi \,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà hình nón là:
\[51\pi \cdot \,250\,\,000 = 12\,750\,\,000\pi \approx 40\,\,055\,\,306\] (đồng).
Vậy tổng chi phí để làm toàn bộ phần mái nhà đó khoảng \[40\,\,055\,\,306\] đồng.
Có một quả bóng rổ và một quả bóng tennis (hình vẽ). Biết rằng diện tích bề mặt của quả bóng rổ khoảng \[1\,\,884,75\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] và bán kính của quả bóng rổ gấp khoảng 2 lần đường kính của quả bóng tennis.
Hỏi diện tích bề mặt của quả bóng tennis đó là bao nhiêu centimet vuông (lấy \(\pi = 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi \(R,\,\,r\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) theo thứ tự là bán kính của quả bóng rổ và quả bóng tennis.
Ta có \(R = 2 \cdot 2\,r\) suy ra \(2\,r = \frac{R}{2}\) nên \(4\,{r^2} = \frac{{{R^2}}}{2}.\)
Khi đó \(4\,\pi {r^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{16}} \approx \frac{{1884,75}}{{16}} \approx 118\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)
Vậy diện tích bề mặt của quả bóng tennis đó là \(118\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)
Có một quả bóng rổ và một quả bóng tennis (hình vẽ). Biết rằng diện tích bề mặt của quả bóng rổ khoảng \[1\,\,884,75\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] và bán kính của quả bóng rổ gấp khoảng 2 lần đường kính của quả bóng tennis.
Hỏi diện tích bề mặt của quả bóng tennis đó là bao nhiêu centimet vuông (lấy \(\pi = 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi \(R,\,\,r\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) theo thứ tự là bán kính của quả bóng rổ và quả bóng tennis.
Ta có \(R = 2 \cdot 2\,r\) suy ra \(2\,r = \frac{R}{2}\) nên \(4\,{r^2} = \frac{{{R^2}}}{2}.\)
Khi đó \(4\,\pi {r^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{16}} \approx \frac{{1884,75}}{{16}} \approx 118\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)
Vậy diện tích bề mặt của quả bóng tennis đó là \(118\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)
