Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Từ đồ thị ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 4\\M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow M + m = - 2\]. Chọn D.

Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2\) (vì \(x \in \left( {1;5} \right)\)).

Khi đó \(y\left( 1 \right) = 5\), \(y\left( 2 \right) = 4\) và \(y\left( 5 \right) = \frac{{29}}{5}\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = 4\) tại \(x = 2\). Chọn B.

Ta có\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 16x + 16,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin \left( {1;3} \right)\\x = \frac{4}{3} \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\).

\(f\left( 1 \right) = 0;f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}};f\left( 3 \right) = - 6\).

Do đó\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}\). Chọn B.

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {2x - 5} \right){e^{2x}}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}\). Chọn A.

Vì \[s = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + 9t \Rightarrow v = {t^2} - 2t + 9\]_.

Xét hàm \[f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 9 \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1\].

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = f\left( {10} \right) = 89\].

Vậy vận tốc của vật đạt được lớn nhất bằng \[89\left( {{\rm{m/s}}} \right).\] Chọn A.

Dựa vào đồ thị ta thấy tốc độ nhỏ nhất bằng 70 (km/h). Chọn D.

a) Hàm số có tập xác định \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \).

b)  Vì \(\left[ { - 1;0} \right] \subset D\) và hàm số liên tục trên \(\left[ { - 1;0} \right]\) nên luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.

c) \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\ln 2}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\).

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = {\log _2}6;f\left( 0 \right) = 1 < {\log _2}6\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = 1\).

d)  TXĐ \(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) chứa \(\left[ {3;4} \right]\).

\(g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} + m = {2^{{{\log }_2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} + m = {x^2} - 3x + 2 + m\).

Có \(g'\left( x \right) = 2x - 3,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \notin \left[ {3;4} \right]\).

Mà hàm số đồng biến trên \(\left[ {3;4} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = 2 + m\).

Theo đề ta có \(2 + m = - 3 \Leftrightarrow m = - 5\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Điều kiện xác định: \(5 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{4}\). Ta có\(y' = \frac{{ - 2}}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Do đó\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 3\)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = 1\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai; c) Đúng; d) Sai

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = - 1\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = - 5\).

Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = - 5\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 9}}{x}\) với \(x \in (0; + \infty )\).

Ta có: \(f'(x) = \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2}}}\). Khi đó, \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (do \(\left. {x > 0} \right)\).

Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(x) = 6\) tại \(x = 3\) và hàm số \(f(x)\) không có giá trị lớn nhất.

Trả lời: 6.

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là \(x\) và \(y\), với \(2x + y = 240\)\(\left( {0 < x < 120;0 < y < 240} \right)\).

Suy ra \(y = 240 - 2x\).

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

\(S = xy = x\left( {240 - 2x} \right) = 240x - 2{x^2},0 < x < 120\).

\(S' = 240 - 4x\); \(S' = 0 \Leftrightarrow x = 60 \in \left( {0;120} \right)\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;120} \right)} S = 7200 \Leftrightarrow x = 60\).

Trả lời: 7200.

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1\).

Ta có \(v'\left( t \right) = - 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Bảng biến thiên

Chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại \(t = 2\).

Khi đó \(s\left( 2 \right) = - {2^3} + {6.2^2} + 2 + 3 = 21\).

Trả lời: 21.