Đề 7

Cho $\cos 2\alpha =-\frac{4}{5}$ với $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$. Tính giá trị của biểu thức: $\mathrm{P}=\left(1+\tan \mathrm{\alpha }\right)$$\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\mathrm{\alpha }\right)$.Đáp án đúng của P là:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d

là các hằng số) 

(I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn

giá trị cực tiểu của nó.

(II): Hàm số $\mathrm{y}=a{\mathrm{x}}^4+\mathrm{bx}+c\left(a\ne 0\right)$ luôn có ít nhất một

cực trị.

(III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn

hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.

(IV): Hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}\left(\mathrm{c}\ne 0,\mathrm{ad}-\mathrm{bc}\ne 0\right)$ không có cực

trị.

Ta có số mệnh đề đúng là:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $\mathrm{SA}=\mathrm{a}\sqrt{3}$. Biết diện tích tam giác SAB là $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là

Tìm giá trị của a để phương trình ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x+\left(1-a\right){\left(2-\sqrt{3}\right)}^x-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: $x_1-x_2={\log }_{2+\sqrt{3}}\left(3\right)$, ta có a thuộc khoảng:

Tìm tập giá trị của hàm số $\mathrm{y}=\frac{\sin 3x}{\cos \left(x-\mathrm{\pi }\right)}$

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m-1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Ta có kết quả:

Chọn khẳng định sai về hàm số $\mathrm{y}=x^{\frac{5}{3}}$trong các khẳng định sau:

Tìm chu kỳ của những hàm số sau đây: $\mathrm{y}={\cos }^2 2x$

Tổng số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ${\sin }^3 x-{\cos }^{3}x=\sin x-\cos x$ trên hình tròn là:

Tổng các nghiệm của phương trình $\sin 4x=2{\cos }^{2}x-1$ trên đoạn $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ là:

Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

Cho 0 < x < 1; 0 < $a;b;c\ne 1$ và ${\log }_c\mathrm{x}>0>{\log }_{\mathrm{b}}\left(\mathrm{x}\right)>{\log }_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{x}\right)$ so sánh a; b; c ta được kết quả:

Một trường THPT có 15 học sinh là đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và 3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra 1 nhóm gồm 4 học sinh là đoàn viên ưu tú để tham gia lao động nghĩa trang liệt sĩ. Xác suất để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam là:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{mx}+2}{2\mathrm{x}+\mathrm{m}}$ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Ta có kết quả:

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{5x-3}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{mx}+1}$ không có tiệm cận đứng. Ta có kết quả:

Tìm hệ số chứa $x^4$ trong khai triển ${\left(1+\frac{\mathrm{n}}{6}\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{n}-2}$ biết: ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+4}^{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+3}^{\mathrm{n}}=7\left(\mathrm{n}+3\right)$.

Cho đường cong ($\mathrm{r}$) được vẽ bởi nét liền trong hình vẽ:

Hỏi ($\mathrm{r}$) là dạng đồ thị của hàm số nào?

Tổng $\mathrm{S}=9+99+999+...+\underset{\mathrm{n} \mathrm{so} 9}{\underbrace{99...99}}$ là:

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\sin }^2 \mathrm{x}}$. Nếu $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(\mathrm{x}\right)$ và đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)$ đi qua $\mathrm{M} \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3};0\right)$ thì F(x) là:

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{mx}}^2+3\left({\mathrm{m}}^2-1\right)\mathrm{x}-3{\mathrm{m}}^2+5$ đạt cực đại tại x = 1. Ta có kết quả:

Giới hạn L = $\lim \left(\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{3}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{5}{{\mathrm{n}}^2}+...+\frac{2\mathrm{n}-1}{{\mathrm{n}}^2}\right)$ bằng:

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{x}}^2}{2} \mathrm{khi} \mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{ax}+\mathrm{b} \mathrm{khi} \mathrm{x}>1\end{array}\right.$. Với giá trị nào sau đây cảu a, b thì hàm số có đạo hàm tại $\mathrm{x}=1$

Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{mx}}^2+6\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}$. Xác định m để hàm số có $\mathrm{y}\text{'}\le 0, \forall \mathrm{x}\in \left(1;+\infty \right)$.

Cho hai số thực dương a, b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{P}={\log }_3\left(1+2\mathrm{a}\right)+{\log }_3\left(1+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)$$+ 2{\log }_3\left(1+\frac{4}{\sqrt{\mathrm{b}}}\right)$

Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 ${\mathrm{m}}^3$ để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:

Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lặng tự luc giác đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 30 cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị m³, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy). Ta có kết quả:

Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thành một hình trụ. Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, ta có bán kính của mặt cầu (S) là:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của ${\mathrm{AA}}_1$. Thể tích khối chóp $\mathrm{M}.{\mathrm{BCA}}_1$ là:

Tập xác định D của hàm số $y=\sqrt{2x+1}+\ln \left(1-x^2\right)$ là:

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=5^{\mathrm{x}}.9^{{\mathrm{x}}^3}$, chọn phép biến đổi sai khi giải bất phương trình:

Đạo hàm của hàm số $y=\frac{\sqrt{x-1}}{\ln \left(x-2\right)}$ 

Gọi (${\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}$) là độ thì hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{m}+2017$. Tìm m để (${\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}$) có đúng 3 điểm chung phân biệt với trục hoành, ta có kết quả:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Biết rằng đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\left(3a^2-1\right){\mathrm{x}}^3-$$\left(b^3+1\right){\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}+4\mathrm{d}$ có hai điểm cực trị là $\left(1;-7\right)$,$\left(2;-8\right)$. Hãy xác định tổng $\mathrm{M}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{d}}^2$

Giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{mx}+1}{\mathrm{m}-\mathrm{x}}$ trên $\left[2;3\right]$ là $-\frac{1}{3}$ khi m nhận giá trị bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng $\mathrm{a}\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Một khối hộp chữ nhật ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ có đáy ABCD là một hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32, thể tích lớn nhất mà khối hộp ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ là bao nhiêu?

Biết rằng $\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}} \cos 3\mathrm{xdx}={\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}$ $\left(\mathrm{a} \cos 3\mathrm{x}+\mathrm{b} \sin 3\mathrm{x}\right)+\mathrm{c}$, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là 

Cho hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ có đạo hàm $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\left(2\mathrm{x}+3\right)$. Số điểm cực trị của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$là:

Tìm các giá trị của m để hàm số ${\log }_7 \left[\left(\mathrm{m}-1\right){\mathrm{x}}^2+2\left(\mathrm{m}-3\right)+1\right]$ xác định $\forall \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$, ta có kết quả:

Cho khối  chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\mathrm{AB}=\mathrm{a}\sqrt{3}, \mathrm{BC}=\mathrm{a}$. Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).

Tập xác định của hàm số $y={\log }_3\left({\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6\right)$ là:

Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số $2^{30}$ trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số  trong hệ nhị phân. Ta có tổng m + n bằng

$\int \frac{3{\mathrm{x}}^3}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}d\mathrm{x}$ bằng:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ có $\mathrm{BD}=\sqrt{13},{\mathrm{BA}}_1=\sqrt{29},$${\mathrm{CA}}_1=\sqrt{38}$. Thể tích của khối hộp ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\mathrm{Oxyz}$, cho $\mathrm{A}\left(1;1;1\right)$, $\mathrm{B}\left(0;1;2\right)$, $\mathrm{C}\left(-2;0;1\right)$ $\left(\mathrm{P}\right): \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+1=0$. Tìm điểm $\mathrm{N}\in \left(\mathrm{P}\right)$ sao cho $\mathrm{S}=2{\mathrm{NA}}^2+{\mathrm{NB}}^2+{\mathrm{NC}}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.