Dạng 7: Dạng bài tập phối hợp nhiều phương pháp có đáp án

Ta nhận thấy hai phân số đã cho nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì đều được thương là 4 và số dư là 8 nên ta nhân cả hai phân số với 4 .

Ta có: $\frac{11}{52}\times 4=\frac{44}{52};$

         $\frac{17}{76}\times 4=\frac{68}{76}\cdot 1-\frac{44}{52}=\frac{8}{52};$ 

          $1-\frac{68}{76}=\frac{8}{76}$

Vì $\frac{8}{52}>\frac{8}{76}$ nên $\frac{44}{52}<\frac{68}{76}$ hay $\frac{11}{52}<\frac{17}{76}.$

*  Phương pháp so sánh hai phân số bằng cách "phép chia hai phân số"

- Phương pháp này được sử dụng dựa vào nhận xét: "Trong phép chia, nếu số bị chia lớn hơn số chia thì được thương lớn hơn 1, nếu số bi chia bé hơn số chia thì được thương nhỏ hơn 1".

- Ta sử dụng phương pháp "chia hai phân số" khi nhận thấy tử số và mẫu số của hai phân số là những số có giá trị không quá lớn, không mất nhiều thời gian khi thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số.

Ta có:   $\frac{2}{23}:\frac{9}{41}=\frac{2}{23}\times \frac{41}{9}=\frac{82}{207}.$

Vì  $\frac{82}{207}<1$ nên $\frac{2}{23}<\frac{9}{41}$.

Cách 1:  là phân số nhỏ hơn 1 . Nếu cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu của  thì giá trị của  tăng thêm. Do dó

$\text{B}=\frac{{10}^9+1}{{10}^{10}+1}<\frac{{10}^9+1+9}{{10}^{10}+1+9}=\frac{{10}^9+10}{{10}^{10}+10}=\frac{10\left({10}^8+1\right)}{10\left({10}^9+1\right)}=\frac{{10}^8+1}{{10}^9+1}=\text{A}$

Vậy B < A

Cách 2. (sau khi học phép nhân phân sô)

$\begin{array}{l}10 \text{A}=\frac{10\left({10}^8+1\right)}{{10}^9+1}=\frac{{10}^9+10}{{10}^9+1}=1+\frac{9}{{10}^9+1}\\ 10 \text{B}=\frac{10\left({10}^9+1\right)}{{10}^{10}+1}=\frac{{10}^{10}+10}{{10}^{10}+1}=1+\frac{9}{{10}^{10}+1}\end{array}$

Ta thấy  $\frac{9}{{10}^9+1}>\frac{9}{{10}^{10}+1}$ (so sánh hai phân số cùng tử) nên $10 \text{A}>10 \text{B}$.

Do đó A> B.

Nhận thấy tử và mẫu có số mũ lớn và đều cách nhau là 2003, nên:

2003.A $=\frac{2003\cdot \left({2003}^{2003}+1\right)}{{2003}^{2004}+1}=\frac{{2003}^{2004}+2003}{{2003}^{2004}+1}=1+\frac{2002}{{2003}^{2004}+1}$

2003.$\text{B}=\frac{2003\cdot \left({2003}^{2002}+1\right)}{{2003}^{2003}+1}=\frac{{2003}^{2003}+2003}{{2003}^{2003}+1}=1+\frac{2002}{{2003}^{2003}+1}$

Vì $\frac{2002}{{2003}^{2004}+1}<\frac{2002}{{2003}^{2003}+1}$ (do cùng tử mà mẫu càng lớn phân số càng bé)

Nên A < B

a) $\frac{15}{301}<\frac{15}{300}=\frac{1}{20}=\frac{25}{500}<\frac{25}{499}.$

Vậy $\frac{15}{301}<\frac{25}{499}$

b) So sánh tổng $S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\mathrm{...}+\frac{n}{2^n}+\mathrm{...}+\frac{2007}{2^{2007}}$với $2(n\in N^{*})$

Với $\forall \text{n}\ge 2$ ta có: $\frac{\text{n}}{2^n}=\frac{\text{n}+1}{2^{\text{n}+1}}-\frac{\text{n}+2}{2^n}$

Từ đó ta có:

 $\text{S}=\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{2^2}\right)+\left(\frac{4}{2^2}-\frac{5}{2^3}\right)+\dots \mathrm{..}+\left(\frac{2008}{2^{2006}}-\frac{2009}{2^{2007}}\right)=2-\frac{2009}{2^{2007}}<2.$

Vậy  S< 2

 10. $\text{A}=\frac{{10}^{2003}+10}{{10}^{2003}+1}=1+\frac{9}{{10}^{2003}+1}$

$10.\text{B}=\frac{{10}^{2004}+10}{{10}^{2004}+1}=1+\frac{9}{{10}^{2004}+1}$

Vì $\frac{9}{{10}^{2003}+1}>\frac{9}{{10}^{2004}+1}$ (cùng tử số, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ)

Nên $10.\text{A}>10.\text{B}$

Hay: A > B

Lấy mẫu số chia cho tử số: $41:13=3$(dư 2)

                                             $71:19=3 ($dư 14).

Chọn mẫu số của phân số chung bằng cách lấy phần nguyên của thương cộng $1:3+1=4$(có $\frac{1}{4}$)

Thực hiện phép trừ: $\frac{13}{41}-\frac{1}{4}=\frac{11}{164};\frac{19}{71}-\frac{1}{4}=\frac{5}{284}$

Vậy ta có:

$\begin{array}{l}\frac{13}{41}=\frac{1}{4}+\frac{11}{164}\\ \frac{19}{71}=\frac{1}{4}+\frac{5}{284}\end{array}$

Vì $\frac{5}{284}<\frac{11}{284}<\frac{11}{164}$ nên $\frac{19}{71}<\frac{13}{41}$.

Vậy A = B

a) Ta có:

$\frac{2525}{5353}=\frac{25.101}{53.101}=\frac{25}{53}$

$\frac{252525}{535353}=\frac{25.10101}{53.10101}=\frac{25}{53}$

Vậy $\frac{25}{53}=\frac{2525}{5353}=\frac{252525}{535353}$

b)$\frac{300}{670}>\frac{300}{677}$ mà  $\frac{300}{670}=\frac{30}{67}\Rightarrow \frac{30}{67}>\frac{300}{677}$ (1)

Ta có:$\frac{377}{677}>\frac{37}{67}1-\frac{37}{67}=\frac{30}{67}$ và  $1-\frac{377}{677}=\frac{300}{677}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{377}{677}>\frac{37}{67}$

Ta có :$A=\frac{{10}^{11}-1}{{10}^{12}-1}<1$  (vì tử nhỏ hơn mẫu)

$\Rightarrow A=\frac{{10}^{11}-1}{{10}^{12}-1}<\frac{({10}^{11}-1)+11}{({10}^{12}-1)+11}=\frac{{10}^{11}+10}{{10}^{12}+10}=\frac{{10}^{10}+1}{{10}^{11}+1}=B$

Vậy A < B .

Ta có : $\frac{2004}{2005}>\frac{2004}{2005+2006}$

           $\frac{2005}{2006}>\frac{2005}{2005+2006}$

Cộng vế với vế ta được M > N

Xét các phân số nghịch đảo $\frac{223}{47};\frac{98}{17};\frac{148}{27};\frac{183}{37}$,

Nếu đổi ra hỗn số là $4\frac{35}{47};5\frac{13}{17};5\frac{13}{27};4\frac{35}{37}$

Ta thấy:  $5\frac{13}{17}>5\frac{13}{27}>4\frac{35}{37}>4\frac{35}{47}$ 

Suy ra  $\frac{17}{98}<\frac{27}{148}<\frac{37}{183}<\frac{47}{223}(vì\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{b}{a}>\frac{d}{c})$

Cộng vế với vế ta có:

$\frac{2010}{2011+2012+2013}+\frac{2011}{2011+2012+2013}+\frac{2012}{2011+2012+2013}<\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}$

Vậy Q < P