Dạng 6: So sánh một tổng hoặc một tích nhiều phân số với một phân số có đáp án

a) Từ $\frac{1}{101}$  tới $\frac{1}{200}$  có tất cả 100 chữ số.

Mà $1=\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\dots +\frac{1}{100}\left(\right.$  có 100 chữ số $\left.\frac{1}{100}\right)$

Vì  $\frac{1}{101}<\frac{1}{100};\frac{1}{102}<\frac{1}{100};\dots ;\frac{1}{200}<\frac{1}{100}$ Nên:

$\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\cdots +\frac{1}{199}+\frac{1}{200}<\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\dots +\frac{1}{100}$

$\to \frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{199}+\frac{1}{200}<1$

Kết luận: Vậy nếu gặp dạng so sánh như trên (dấu hiệu so sánh 1 số với tổng dãy số), các em thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm số chữ số của tổng (ví dụ bài toán trên là 100 chữ số)

Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số (ví dụ trên là tách 1 thành tổng 100 chữ số)

Bước 3: So sánh từng số của tổng $\left(\frac{1}{101};\frac{1}{102};\mathrm{..}\right)$  với các chữ số vừa tách $\left(\frac{1}{100}\right)$

Bước 4: Kết luận

Phần này khó hơn 2 phần a và b một chút, chúng ta sẽ phải kết hợp:

Chúng ta có $\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{150}>\frac{1}{3}$  (1)

Lại có: $\frac{1}{4}=\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+\cdots +\frac{1}{200}\left(50\right.$  chữ số $\left.\frac{1}{200}\right)$

Mà: $\frac{1}{151}>\frac{1}{200};\frac{1}{152}>\frac{1}{200};\dots ;\frac{1}{199}>\frac{1}{200}$  Nên:

$\frac{1}{151}+\frac{1}{152}+\dots +\frac{1}{200}>\frac{1}{4}$

Cộng (1) và (2) chúng ta được:

$\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{200}>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{3+4}{12}=\frac{7}{12}$

Kết luận: $\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\dots +\frac{1}{200}>\frac{7}{12}$

Đặt $C=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{9}\dots \cdot \frac{10000}{10001}$

So sánh từng số của A với của C ta thấy: $\frac{1}{2}<\frac{2}{3};\frac{3}{4}<\frac{4}{5}\dots$  và $\frac{9999}{10000}<\frac{10000}{10001}$

Vậy A < C

$\to A\cdot A<A.C=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\dots \frac{9999}{10000}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\dots \cdot \frac{10000}{10001}\right)$

$\to A^2<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{5}{6}\dots \frac{9999}{10000}\cdot \frac{10000}{10001}\right)$  (Rút gọn tử và mẫu lần lượt).

 $\to A^2<\frac{1}{10001}$ mà $\frac{1}{10001}<\frac{1}{10000}$  (mẫu càng lớn phân số càng nhỏ)

$\to A^2<\frac{1}{10000}={\left(\frac{1}{100}\right)}^2$

$\to A<\frac{1}{100}=B$

Kết luận: A< B

Ta thấy: $\frac{1}{41}$  đến $\frac{1}{80}$  có 40 phân số.

Vậy $\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\dots \mathrm{..}+\frac{1}{78}+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}$

 $=\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\dots \mathrm{..}+\frac{1}{59}+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}+\dots \mathrm{..}+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}\right)$  (1)

Vì $\frac{1}{41}>\frac{1}{42}\cdot >\dots .>\frac{1}{60}$  và  $\frac{1}{61}>\frac{1}{62}>\dots >\frac{1}{80}$    (2)

Ta có: 

    $=\frac{20}{60}+\frac{20}{80}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}$ (3)

Từ (1), (2), (3) Suy ra:

$\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\dots \dots +\frac{1}{78}+\frac{1}{79}+\frac{1}{80}>\frac{7}{12}$

…

…

$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

$\Rightarrow \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}<1$

Vậy $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1$

Ta có: $3A=3(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^{99}})=(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^{98}})$

Suy ra $3A-A=1-\frac{1}{3^{99}}$

         $2A=1-\frac{1}{3^{99}}\Rightarrow A=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2.3}^{99}}<\frac{1}{2}$

Vậy $A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^{99}}<\frac{1}{2}$

Nhận xét M và N đều có 45 thừa số:

a) Và $\frac{1}{2}<\frac{2}{3};\frac{3}{4}<\frac{4}{5};\frac{5}{6}<\frac{6}{7};\mathrm{...}\frac{99}{100}<\frac{100}{101}$  nên M < N