Dạng 4. Giải bài toán hệ thức lượng bằng phương pháp đại số
6 câu hỏi
Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH.
Đặt BH = x . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH. Ta được: AB2= BH. BC hay 202= xx + 9.
Thu gọn ta được phương trình : x2+ 9x – 400 = 0
Giải phương trình này ta được x1= 16 ; x2=–25(loại)
Dùng định lý Pitago tính được AH = 12 cm
Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.
Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả
Cho tam giác ABC , B^=600, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.
Kẻ AH vuông góc BC
Đặt AB = 2x
sinB^=HAAB⇒AH=sin60°.2x=x3cosB^=HBAB⇒BH=cos60°.2x=x
Xét tam giác ABH vuông tại H có
Ta có CH = BC – BH = 8 – x
Vì tam giác AHC vuông tại H nên
AC=AH2+CH2=x32+8−x2=4x2−16x+64
Do AB + AC = 12 nên 2x+4x2−16x+64=12
⇔4x2−16x+64=12−2x⇔4x2−16x+64=144−48x+4x2⇔32x=80⇔x=2,5
Vậy AB = 2,5 x 2 = 5 (cm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.
Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC2=x2−9.
Do AD = 1 nên DC = x2−9 – 1
Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :ABBC=ADDC
hay 3x=1x2−9−1. Từ đó ta được phương trình 8x2– 6x – 90 = 0
Giải phương trình tìm được x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm
Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD. Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x
ΔAHD =ΔBKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra : DH = CK =10−x2.
Vậy HC = HK + CK = x +10−x2=x+102
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
Ta có : AH2= DH. CH hay x2=10−x2.10+x2⇔5x2= 100
Giải phương trình trên ta được x =25 và x =−25 (loại)
Vậy :AH =25
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
Đặt BC = 2x
Vì tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH là trung tuyến
Suy ra BH = CH = x
Áp dụng định lí Pitago tính được AC=15,62+x2
Xét ∆KBC và ∆HAC có
C^ là góc chung
CKB^=AHC^=90°
Suy ra ΔKBC∽ΔHAC (g.g)
Do đó BCAC=KBHA
Hay 2x15,62+x2=1215,6
⇔31,2x=12243,36+x2
⇔2,6x=243,36+x2
⇔ 6,76x2 = 342,36 + x2
⇔ 5,76x2 = 342,36
⇔ x = 6,5
Vậy BC = 6,5 x 2 = 13 cm.
Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
Đặt AB = x;AN = y⇒AC = 2y
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được BC = 2AM = 2.6 = 12 (cm)
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A
Ta được: x2+ 4y2= 1441
và x2+ y2= 81⇔y2= 81– x22
Thay (2) vào (1)ta được phương trình : x2+ 481– x2=144
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2= 180
Nghiệm dương của phương trình :x =25
Trả lời: AB =25 cm
