Dạng 4. Giải bài toán hệ thức lượng bằng phương pháp đại số

Đặt $BH=x$ . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH. Ta được: $A{B}^2=BH.BC$  hay  ${20}^2=x\left(x+9\right).$

Thu gọn ta được phương trình :  $x^2+9x–400=0$

Giải phương trình này ta được $x_1=16$ ;  $x_2=–25$(loại)

Dùng định lý Pitago tính được AH = 12 cm

Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.

Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả

Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.                                   

 Đặt BC = x , dùng Pitago tính được  $A{C}^2=\sqrt{x^2-9}$.

 Do AD = 1 nên DC = $\sqrt{x^2-9}$ – 1

Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$

 hay $\frac{3}{x}=\frac{1}{\sqrt{x^2-9}-1}$. Từ đó ta được phương trình  $8x^2–6x–90=0$

 Giải phương trình tìm được x = 3,75cm

Trả lời : BC = 3,75cm

 Kẻ AH $\perp$ CD ; BK $\perp$ CD. Đặt AH = AB = x $\Rightarrow$ HK = x                                                      

$\Delta AHD=\Delta BKC$ (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra : $DH=CK=\frac{10-x}{2}$.

 Vậy  $HC=HK+CK=x+\frac{10-x}{2}=\frac{x+10}{2}$

 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH

Ta có : $A{H}^2=DH.CH$ hay   $x^2=\frac{10-x}{2}.\frac{10+x}{2}\iff 5x^2=100$

 Giải phương trình trên ta được $x=2\sqrt{5}$ và $x=-2\sqrt{5}$ (loại)

 Vậy :$AH=2\sqrt{5}$

Đặt $AB=x;AN=y\Rightarrow AC=2y$

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được $BC=2AM=2.6=12$ (cm)

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A

Ta được:    $x^2+4y^2=144\left(1\right)$               

và        $x^2+y^2=81\iff y^2=81–x^2\left(2\right)$

Thay (2) vào (1)ta được phương trình : $x^2+4\left(81–x^2\right)=144$

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình :  $3x^2=180$

Nghiệm dương của phương trình :$x=2\sqrt{5}$

Trả lời: $AB=2\sqrt{5}$ cm