Dạng 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ta có  $1+{\cot }^2\alpha =1+{\left(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)}^2=1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại.

Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.

Ta có $\sin \alpha =\frac{AC}{BC}; \tan \alpha =\frac{AC}{AB}$ mà BC > AB nên $\frac{\text{AC}}{\text{BC}}<\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$

Do đó $sin\alpha <tan\alpha ;$

Ta có  $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}; \cot \alpha =\frac{AB}{AC}$ mà BC > AC nên $\frac{AB}{BC}<\frac{AB}{AC}$

Do đó $cos\alpha <cot\alpha$

Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác.

* Tìm cách giải:

Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao.

* Trình bày lời giải:

Vẽ đường cao CH.

Xét DACH vuông tại H ta có:  $\sin \text{A}=\frac{\text{CH}}{\text{AC}}$                          (1)

Xét DBCH vuông tại H ta có:      $\sin \text{B}=\frac{\text{CH}}{\text{BC}}$                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{CH}{AC}:\frac{CH}{BC}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$ . Do đó $\frac{\text{a}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{b}}{\sin \text{B}}$

Chứng minh tương tự ta được $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Vậy $\frac{\text{a}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{b}}{\sin \text{B}}=\frac{\text{c}}{\sin \text{C}}$

Lưu ý: Nếu DABC có $\widehat{\text{C}}\ge {90}^{°}$ thì ta vẫn có: $\frac{\text{a}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{b}}{\sin \text{B}}$

$tanx=3cotx;$. Suy ra  $\tan x=\frac{3}{\tan x}$ (vì $\cot x=\frac{1}{\tan x}$).

Do đó $ta{n}^{2}x=3$ Þ $\tan x=\sqrt{3}=\tan {60}^{°}$ Vậy  $x={60}^o.$

 Bình phương hai vế ta được:  $si{n}^{2}x+2sinx.cosx+co{s}^{2}x=2$

$2sinx.cosx+1=2$(vì $si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$)

$2sinx.cosx=1$Û $1–2sinx.cosx=0$ Û  $si{n}^{2}x-2sinx.cosx+co{s}^{2}x=0$

${\left(sinx–cosx\right)}^2=0$. Do đó  $sinx=cosx$

$sinx=sin({90}^o–x)$ (vì $cosx=sin({90}^o–x)$ )

Dẫn tới  $x={90}^o–x\iff 2x={90}^o\iff x={45}^o.$

Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow BC=\frac{A{B}^2}{BH}=\frac{{13}^2}{5}=33,8$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=31,2$

             $$\begin{gathered} SinB=\frac{AC}{BC}=\frac{31,2}{33,8}=\frac{12}{13} \\ SinC=\frac{AB}{BC}=\frac{13}{33,8}=\frac{5}{13} \end{gathered}$$          

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có   $A{H}^2=BH.CH=3.4\Rightarrow AH=2\sqrt{3}$

Tam giác ABH vuông. Theo định lý Pytago ta có  

           $$\begin{gathered} AB=\sqrt{H{B}^2+A{H}^2}=\sqrt{3^2+12}=\sqrt{21} \\ SinB=\frac{AH}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{7}} \end{gathered}$$

Tam giác ABC vuông,  $BC=BH+HC=3+4=7$

Theo định lý Pytago ta có  $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{49-21}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

           $SinC=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có              

           $$\begin{gathered} AC=\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{12+16}=\sqrt{28} \\ SinC=\frac{AH}{AC}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{28}}=\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7} \end{gathered}$$

Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông.