Dạng 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ta có AC = 9 dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có

BC=AC2+AB2=92+122=15 (dm)

Vậy sin B =ACBC=915=35

Cos B =ABBC=1215=45; tan B =ACAB=912=34; cot B =ABAC=129=43

Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:

Sin B=cos C=35; Cos B=sin C=45; tanB = cot C=34; cotB = tan C =43

Ta có  1+tan2α=1+sinαcosα2=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α

Ta có  1+cot2α=1+cosαsinα2=1+cos2αsin2α=sin2α+cos2αsin2α=1sin2α

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại.

Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.

Ta có sinα=ACBC; tanα=ACAB mà BC > AB nên ACBC<ACAB

Do đó sin α< tan α;

Ta có  cosα=ABBC; cotα=ABAC mà BC > AC nên ABBC<ABAC

Do đó cos α< cot α

Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác.

* Tìm cách giải:

Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao.

* Trình bày lời giải:

Vẽ đường cao CH.

Xét DACH vuông tại H ta có:  sinA=CHAC                          (1)

Xét DBCH vuông tại H ta có:      sinB=CHBC                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra sinAsinB=CHAC:CHBC=BCAC=ab . Do đó asinA=bsinB

Chứng minh tương tự ta được bsinB=csinC

Vậy asinA=bsinB=csinC

Lưu ý: Nếu DABC có C^≥90° thì ta vẫn có: asinA=bsinB

tan x=3cot x;. Suy ra  tanx=3tanx (vì cotx=1tanx).

Do đó tan2x = 3 Þ tanx=3=tan60° Vậy  x = 60o.

 Bình phương hai vế ta được:  sin2x + 2sin x.cos x + cos2x = 2

2sin x.cos x + 1 = 2(vì sin2x + cos2x = 1)

2sin x.cos x = 1Û 1 – 2sin x.cos x = 0 Û  sin2x − 2sin x.cos x + cos2x=0

sin x – cos x2= 0. Do đó  sin x = cos x

sin x = sin (90o– x) (vì cos x = sin (90o– x) )

Dẫn tới  x = 90o– x⇔2x = 90o⇔x = 45o.

Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

P=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°

 =sin21°+sin289°+sin22°+sin288°+....+sin244°+sin246°+sin245°=sin21°+cos21°+sin22°+cos22°+....+sin244°+cos244°+sin245°

=  1+1+1+...+1+222=44,5

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

 Q=tan150.tan250.tan350.tan450.tan550.tan650.tan750=tan150.tan750.tan250.tan650.tan350.tan550.tan450=tan150.cot150.tan250.cot650.tan350.cot350.tan450=1.1.1.1=1

Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có:

Ta có sin2α+ cos2α= 1⇒sin2α=1−cos2α=1−20292=441841

Do đó sinα=2129; tanα=sinαcosα=2129:2029=2120;cosα=2021

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có

AB2=BH.BC⇒BC=AB2BH=1325=33,8

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:AC=BC2−AB2=31,2

             SinB=ACBC=31,233,8=1213SinC=ABBC=1333,8=513          

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có   AH2=BH.CH=3.4⇒AH=23

Tam giác ABH vuông. Theo định lý Pytago ta có  

           AB=HB2+AH2=32+12=21SinB=AHAB=2321=27

Tam giác ABC vuông,  BC=BH+HC=3+4=7

Theo định lý Pytago ta có  AC=BC2−AB2=49−21=28=27

           SinC=ABBC=217

Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có              

           AC=AH2+HC2=12+16=28SinC=AHAC=1228=37=217

Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông.

Vẽ đường phân giác BD của ΔABC ( D ∈ AC ).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có :ADDC=ABBC⇔ADAB=DCBC

⇒ADAB=AD+DCAB+BC⇒ADAB=ACAB+BC

Xét ABD có  BAD^=900⇒tanABD^=ADAB

⇔tanABC^2=ACAB+BC

Vậy tanABC^2=ACAB+BC