Dạng 3: Góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn có đáp án
18 câu hỏi
Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn . Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng :.MP⊥NQ
Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có.
MIQ^= 12(sđ MQ⏜ + sđ NP⏜)
=12 . 12 (sđ AB⏜ + sđ AD⏜+ sđ BC⏜+ sđ CD⏜).
= 14. 360o= 90o . Vậy MP ^NQ.
Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng:
a) DAE^=AFD^
a)
DAE^=sdDBM⏜2 (góc nội tiếp) .
AFD^=sdDB⏜+sdMB⏜2=sdDBM⏜2( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
Suy ra DAE^=AFD^
b) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi.
b) Ta có: D1^=A1^=45° và E1^=ADF^( cách chứn minh tương tự câu a) nên ΔDAE∽ΔADF g.g Þ ⇒DEAD=ADAF⇒AF.DE = AD2.
Mặt khác AEFD là tứ giác có hai đường chéo AF, DE vuông góc với nhau.
Do đó SAEFD=12AF⋅DE=12AD2, không đổi.
Cho hình vẽ, hãy điền dấu (x) vào ô thích hợp trong bảng sau:
|  |
1. sai 2. đúng 3. đúng 4. đúng
Cho đường tròn (O) trong đó có ba dây bằng nhau AB, AC, BD sao cho hai dây AC, BD cắt nhau tại M tạo thành góc vuông AMB. Tính số đo các cung nhỏ AB, CD.
Đường tròn (O) có dây: AB = AC = BD
Suy ra sđ AB⏜ = sđ AC⏜ = sđ BD⏜
Do đó: sđ AD⏜ = sđ AC⏜ - sđ CD⏜
= sđ BD⏜ - sđ DC⏜ = sđ BC⏜
Theo định lý góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có:
sđ AD⏜ + sđ BC⏜ = 2. sđ BMC^=2.900=1800
nên sđ AD⏜ = sđ BC⏜ = 900
Lại có: sđ AB⏜ + sđ CD⏜ = 2. sđ ABC^=1800
Hơn nữa sđ AB⏜ = sđ BD⏜ = sđ BC⏜ + sđ DC⏜ = 900 + sđ DC⏜
Suy ra: sđDC⏜ = 450; sđ AB⏜ = 900 + 450 = 1350
Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ tiếp tuyến xy // AB có M là tiếp điểm. Chứng minh rằng ∆AMB là tam giác cân.
Ta có OM⊥xy (tính chất của tiếp tuyến)
Mà xy // AB nên
Suy ra MA⏜=MB⏜ (định lý đường kính vuông góc với dây cung)
Do đó MA = MB (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Vẽ dây CD // AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M. Chứng minh:a) MB2 = MC.ME;
a)
ΔMBE và ΔMCB có
M1^ chung; B1^=C2^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Nên ΔMBE # ΔMCB (g.g)
Suy ra MBMC=MEMB
Do đó MB2 = MC.ME
b) M là trung điểm của AB
b) Ta có CD // AB nên A1^=D1^ (cặp góc so le trong)
Mặt khác C1^=D1^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
ð A1^=C1^
Xét ΔMAE và ΔMCA có: M2^ chung; A1^=C1^ (chứng minh trên)
Vậy ΔMAE # ΔMCA (g.g). Suy ra MAMC=MEMA
Do đó MA2 = MC.ME (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA2 = MB2 do đó MA = MB
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a) AB2 = BC.BD
a)
ΔABC và ΔDBA có
A1^=D1^; C^=A2^
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và
góc nội tiếp cung chắn cung AB)
Do đó ΔABC # ΔDBA (g.g)
Suy ra ABBD=CBAB.Vậy AB2 = BC.BD
Chứng minh rằng:
b) BCBD=AC2AD2
b) ΔABC # ΔDBA (chứng minh trên) => ABBD=CBAB=ACDA
Do đó ABBD.CBAB=ACDA.ACDA. Vậy BCBD=AC2AD2
Cho đường tròn (O) và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên cung BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB ở E ; CM cắt AB tại F. Chứng tỏ EF = EM.
Đường tròn (O) có:
EMF^=12sđ CBM⏜ (góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm)
⇒EMF^=12(sđ MB⏜+sđ BC⏜)
EFM^=12(sđ MB⏜+sđAC⏜) (góc có đỉnh ở trong đường tròn (O)
Mà: sđ BC⏜=sđ AC⏜=90o (vì CD⊥AB ).
Do đó: EMF^=EFM^⇒ΔEFM cân tại E. Vậy: EF = EM
Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn (O) cắt AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh MN // BC.
Chứng minh ΔBMD # ΔBDA, suy ra
BD2 = BM . BA
Tương tự, cũng có CD2 = CN . CA, suy ra
BD2CD2=BM.BACN.CA
Mà BDCD=ABCA , suy ra AB2CA2=BM.BACN.CA nên BMCN=BACA⇒MN // BC
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn (B là tiếp điểm, C nằm giũa A và D). Tia phân giác của góc CBD cắt đường tròn tại m, cắt CD tại E và cắt tia phân giác của góc BAC tại H. Chứng minh rằng:a) AH⊥BE ;
a)
Vì CBM^=DBM^ nên MC⏜=MD⏜
(hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung bị chắn bằng nhau)
Góc AEB là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên
AEB^=sđ BC⏜+sđ MD⏜2
=sđ BC⏜+sđ MC⏜2 = sđ BCM⏜2 (1)
Góc ABM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên sđABM^=sđ BCM⏜2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AEB^=ABM^ , do đó ΔABE cân tại A.
Có AH là tia phân giác của góc A nên AH⊥BE
Chứng minh rằng: b) MD2 = MB . ME
b) ΔMDE và ΔMBD có
MDE^=MBD^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); M^ chung.
nên ΔMDE # ΔMBD (g. g).
Suy ra MDMB=MEMD , do đó MD2 = MB. ME
Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là điểm nằm giữa A và B. Tia MC cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D.
a) Chứng minh rằng MA2 = MC . MD.
a,
ΔMAC và ΔMDA có: M1^ chung;
MAC^=MDA^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Vậy ΔMAC # ΔMDA (g. g).
Suy ra MAMD=MCMA .
Do đó MA2 = MC . MD.
b) Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
b, Ta có: MAC^=D^ (chứng minh trên), mà D^=sđ AC⏜2 , nên MAC^=sđ AC⏜2
AM là một tia tiếp tuyến của đường tròn (O’) (Định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
c) Vẽ đường kính MN của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm A, O’, N thẳng hàng.
c,Ta có MAN^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MN).
Suy ra NA⊥AM . Mặt khác O'A⊥AM (tính chất của tiếp tuyến).
Qua điểm A chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với AM, do đó ba điểm A, O’, N thẳng hàng
Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Các đường thẳng CM và DM cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của EF.
Ta sẽ chứng minh NE = NF bằng cách dùng NM làm trung gian.
Ta có CD⊥AB nên DA⏜=DB⏜ và CA⏜=CB⏜ (định lí đường kính vuông góc với dây cung).
Góc F1 là góc có đỉnh ở bên trong một đường tròn nên:
F^1=sđ BM⏜+sđ AD⏜2=sđ BM⏜+sđ BD⏜2=sđ MBD⏜2 (1)
M3^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M2^=sđ MC⏜2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra F1^=M3^ do đó ΔNMF cân tại N, suy ra NF = NM.
Góc E là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên: E^=sđ AC⏜−sđ BM⏜2=sđ BC⏜−sđ BM⏜2=sđ MC⏜2 (3)
Góc M2 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M2^=sđ MC⏜2 . (4)
Từ (3) và (4) suy ra E^=M2^ , dẫn tới E^=M1^ (vì M1^=M2^ )
Do đó ΔNME cân, suy ra NE = NM tại N. Do vậy NE = NF. Vậy N là trung điểm của EF
