Dạng 2: Góc nội tiếp- góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có đáp án
42 câu hỏi
Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC và gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA.
Trình bày lời giải
Do M là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđMB⏜= sđ MA⏜
Do MN // BC nên NMC^=MCB^ ⇒sđ MB⏜= sđ NC⏜
Vậy sđsđ MB⏜=sđ NC⏜
NAS^=ANS^ (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
SMC^=SCM^ (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
Vậy các tam giác ASN và MSC cân tại C
Nhận xét: Ở bài toán này học sinh có thể nhớ tới bài toán: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau từ đó nhìn ra MB⏜=CN⏜
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Trình bày lời giải:
A1^=A2^ màB1^=A2^ ( góc nội tiếp) nên B1^=A1^.
ΔMBD∽ΔMAB (g.g) ⇒MDMB=MBMA⇒MDMK=MKMA
Kết hợp với DMK^=AMK^ (góc chung)
ta có: ΔDMKΔ KMA (c.g.c) ⇒MDK^=MKA^=90°
Vậy DK ^AM.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM.
a) Tính ACM^ ;
a) Ta có ACM^=900 (góc nội tiếp).
b) Chứng minh BAH^=OCA^;
b) VìABC^=AMC^ (cùng chắn cung AC) và AHB^=ACM^=900
Nên ΔABH vàđồng dạng ΔAMC( g-g)
⇒BAH^=OAC^OCA^=OAC^⇒BAH^=OCA^
c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao?
c) ANM^=900, AN⊥NM và nên MN // BC⇒MNBC là hình thang
BC//MN⇒ sđ BN⏜= sđ CM⏜ (xem chứng minh Bài 1)
sđ BN⏜=sđ CN⏜⇒BM=CN ⇒MNBC là hình thang cân.
Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Gọi D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC ( D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E. (E nằm giữa C và D). Chứng minh rằng:
a) BED^=DAE^.
a)
Ta có : EBC^=EAB^; DCB¯=DAB^ nên EBC^+DCB^=EAB^+DAB^.
Mặt khác : EBC^+DCB^=BED^, EAB^+DAB^=DAE^ . Vậy BED^=DAE^.
Chứng minh rằng:b, DE2= DA.DB.
b) Ta có :ADE^=ABC^=CAB^=EDB^ mà theo câu a): BED^=DAE^, suy ra:
ΔBED∽ΔEAD (g-g) ⇒DEDA=DBDE⇒DE2=DA.DB
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CA. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC.
Trình bày lời giải:
AP⏜=PC⏜⇒ NE là đường phân giác của ΔANC⇒AEEC=ANNC (1)
AM⏜=MB⏜⇒ND là đường phân giác của ΔANB⇒ADDB=ANNB (2)
BN⏜=NC⏜⇒ NB = NC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AEEC=ADDB, do đó DE // BC.
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: ICID=MCMD.
Trình bày lời giải
Ta có MAC^=ADC^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); AMD^ chung. Suy ra ΔMAC∽ΔMDA (g-g) suy ra: MA2= MC.MD và MAMD=ACAD
Tương tự: ΔMBC∽ΔMDB suy ra: MBMD=BCBD
Xét MCMD=MC.MDMD2=MA2MD2=MAMD⋅MBMD=ACAD⋅BCBD (1)
Mặt khác : ΔIAC∽ΔIDB suy ra: ICIB=ACBD
ΔIBC∽ΔIDA suy ra: IBID=BCAD;
Do đó:ACAD⋅BCBD=ACBD⋅BCAD=ICIB⋅IBID=ICID (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ICID=MCMD.
Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M.Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.
Trình bày lời giải
Gọi K là giao điểm của AM và BC.
Xét ∆KBM và ∆KAB có: K⏜ chung;KBM^=KAB^ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp chắn cùng chắn cung của (O) )
Do đó: ΔKBMΔKAB⇒KBKA=KMKB⇒KB2=KM.KA(1)
MCK^=MBA^(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM⏜ của (I)).
KAC^=MBA^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AM⏜ cuả (O)).
Do đó:MCK^=KAC^. Xét ∆KCM và ∆KAC có: K⏜ chung ,MCK^=KAC^ . Do đó ΔKCM ΔKAC⇒KCKA=KMKC⇒KC2=KM.KA (2).
Từ (1) và (2) ta có: KC2=KB2⇒KC=KB. Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.
Cho hình bình hành ABCD, góc A < 900. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng mình rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
IA = IC Þ IE.IA = IE.IC
ΔIBE ΔICD (g.g) Þ IE.IC = IB.ID
Từ đó suy ra: IE.IA = IE.IC = IB.ID = IB2.⇒IBIE=IAIB
Ta có ∆IBE và∆IAB có IBIE=IAIB và BIA^ chung , suy ra ΔIBE ΔIAB (c.g.c) nên IBE^=IAB^.
Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB( định lí bổ sung)
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai:
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung luôn nhỏ hơn 900.
Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
Góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn.
Góc tù nội tiếp thì có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
Chọn đáp án A
Cho hình vẽ, biết AB là đường kính của đường tròn (O), xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
Góc CAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Góc BAy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Góc ACB là góc tù.
CAx^<BCO^
Chọn đáp án B
Ghép mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được khẳng định đúng
A. Góc nội tiếp là góc | 1) có số đo bằng 900 |
B. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn | 2) bằng nhau. |
C. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì | 3) có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn. |
D. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp không bằng nhau, góc lớn hơn thì | 4) chắn dây lớn hơn. |
| 5) có cung bị chắn lớn hơn. |
Nối: A – 3; B – 1; C – 2; D – 5
Tam giác ABC nội tiếp (O;R). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt (O) tại N. CMR:
a) Tam giác MBC cân.
a)Chứng minh rằng tam giác MBC cân
Có A1^=C1^; A2^=B1^. Mà A1^=A2^=> C1^=B1^. Vậy tam giác MBC cân tại M.
b,3 điểm M, O, N thẳng hàng.
b) Chứng minh ba điểm M; O; N thẳng hàng:
Có AM và AN là 2 tia phân giác của hai góc kể bù
=> AM ⊥ AN => MAN^=900=> MN là đường kính của (O)
=> M; O; N thẳng hàng.
Cho (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại M. ( C thuộc cung nhỏ AB, B thuộc cung nhỏ CD).
a) CMR: cung AC = cung DB.
a)
Chứng minh rằng: AC⏜=DB⏜
- Có sđAC⏜ + sđ CB⏜= sđ AB⏜
- Có sđ BD⏜ + sđ CB⏜= sđ DC⏜
ð AC⏜=DB⏜.
b, CMR: ∆MAC = ∆MDB.
b, Chứng minh ∆MAC = ∆MDB.
- Có C1^=B1^; AC = BD; A1^=D1^
⇒ ∆MAC = ∆MDB
Cho (O) và hai dây MA và MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.
a) CMR: A, O, B thẳng hàng.
a) Chứng minh rằng 3 điểm A; O; B thẳng hàng.
b, CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA.
b, CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA.
- Có I là điểm chính giữa cung nhỏ AM; K là điểm chính giữa cung nhỏ BM => AK; BI lần lượt là tia phân giác của các góc MAB và MBA của tam giác MBA => P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBA.
c, Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA.
c, Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA.
Giả sử r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA, a là độ dài cạnh huyền, p là nửa chu vi ∆MBA. Ta có: r = p – a
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M.
a) CMR : tam giác BMC cân.
Chứng minh rằng : tam giác BMC cân
- Có AM là tia phân giác của góc BAC => BM⏜=MC⏜ => BM = MC => tam giác BMC cân
b, CMR : góc BMC = góc ABC + góc ACB.
b, Chứng minh rằng: BMC^=ABC^+ACB^
- Có BMC^=ABC^+ACB^
Mà: BMA^=ACB^;AMC^=ABC^
ð BMC^=ABC^+ACB^
c, Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2.
c, Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2.
- ∆ABD ~ ∆AMC => AB. AC = AD. AM
∆MBD ~ ∆MAB => MD. MA = MB2
Cho nửa đường tròn (O) đường kính CB, A thuộc nửa đường tròn sao cho AB < AC. Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ AH vuông góc với BC. CMR:
a) AB là tia phân giác của góc IAH.
a, CMR: AB là tia phân giác của IAH^
- IAB^=ACB^( góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
ðBAH^=ACB^ (cùng phụ với ABH^)
⇒IAB^=BAH^
b, IA2 = IB. IC.
b, CMR: IA2 = IB. IC: Có ∆IAB ~ ∆ICA => IA2 = IB. IC
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ (I) đường kính BH cắt AB ở M. Vẽ (K) đường kính CH cắt AC ở N.
a) Tứ giác AMHN là hình gì ? CM ?
a,
Tứ giác AMHN là hình gì ? CM ?
Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
b) CMR : MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K) ?
b, CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
- Có AMHN là hình chữ nhật
=> NMH^=AHM^
=> NMH^=MBH^ => MN là tiếp tuyến của (I)
- Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến của (K).
c, Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : Ax // MN.
c, Có Ax là tiếp tuyến của (O) => xAB^=ACB^
=> ACB^=NHA^=NMA^=> xAB^=NMA^=> Ax // MN
Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy hai điểm M và N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN ; H là giao điểm của AN với BM. CMR :
a) Tứ giác AMNB là hình thang cân.
a,
Tứ giác AMNB là hình thang cân.
Tứ giác AMNB có MN // AB => AMNB là hình thang.
Lại có: AN = BM => AMNB là hình thang cân.
Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy hai điểm M và N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN ; H là giao điểm của AN với BM. CMR :
a) Tứ giác AMNB là hình thang cân.
a,
Tứ giác AMNB là hình thang cân.
Tứ giác AMNB có MN // AB => AMNB là hình thang.
Lại có: AN = BM => AMNB là hình thang cân.
b, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.
b, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.
Có AMB^=900=>PMH^=900 => P; M; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.
Có ANB^=900=>PNH^=900 => P; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.
ðP; M; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.
c, PH vuông góc với AB.
c, PH vuông góc với AB
Có H là trực tâm tam giác PAB => PH vuông góc với AB.
d, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.
d, ON là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PH.
Có ONA^=NPH^=12 sđNH⏜ của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N mà cung NH nằm trong góc ONH => góc ONH là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung NH => ON là tia tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N
Cho (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.
a) CMR : AC = AD.
a,
CMR : AC = AD.
(O) có góc ACB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AmB.
(O’) có góc ADB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AnB
(O) và (O’) bằng nhau
ð ACB^=ADB^=> ∆ACD cân tại A
⇒AC = AD.
b, Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.
b, Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.
Tam giác ACD cân tại A có M là trung điểm của CD => AM vuông góc với CD
=> AMB^=900M thuốc đường tròn đường kính AB.
Cho (O) đường kính AB; C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tiếp xúc với đường kính AB tại D. Đường tròn này cắt CA, CB lần lượt tại M và N.
a) CMR: 3 điểm M, I, N thẳng hàng .
a) CMR: 3 điểm M, I, N thẳng hàng
Có ACB^=900=> MCN^=900=> MN là đường kính của (I) => M; I; N thẳng hàng.
b, CMR:ID vuông góc với MN .
b, CMR:ID vuông góc với MN.
Có AB là tiếp tuyến của (I) tại D => ID vuông góc với AB.
Có MN // AB => ID vuông góc với MN.
c, CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định.
c, CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định.
Chứng minh CD là tia phân giác của góc ACB => CD đi qua điểm chính giữa của cung AB.
d, Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên.
d, Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, từ điểm M trên cung BC không chứa điểm A, hạ các đường vuông góc với BC; CA; AB lần lượt tại D; H; K. Chứng minh rằng: BCMD=CAMH+ABMK
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại N => AB = NC => BMN^=AMC^
Gọi E là giao điểm của BC và MN;CBM^=CAM^;BEM^=12 sđ BM⏜+CN⏜=12 sđBM⏜+AB⏜=ACM^
ð∆BME ~ ∆AMC, có MH và MD là 2 đường cao tương ứng=> ACMH=BEMD (1)
MCB^=MAB^;CMN^=AMB^NC⏜=AB⏜
ð∆CME ~ ∆AMB; có MD; MK là 2 đường cao tương ứng => CEMD=ABMK(2)
Từ (1) và (2) => ACMH+ABMK=BEMD+CEMD=BCMD
Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên các đường tròn (O) và (O’) sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn (O) và (O’) đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung AM và AN có số đo bằng nhau. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Kẻ các đường kính BOC, BO’D thì C; A; D thẳng hàng, CAD là cát tuyến chung cố định.
Trường hợp M thuộc cung BC không chứa A ( Ha): ABN^=ACM^, ACM^ bù ABM^ nên ABN^ bù ABM^, do đó M; B; N thẳng hàng.
Trường hợp M thuộc cung BC có chứa A (Hb): ABN^=ABM^ nên M; B; N thẳng hàng.
Trong cả hai trường hợp, ta có CM và DN cùng vuông góc với MN. Do đó đường trung trực của MN luôn đi qua trung điểm I của CD, đó là điểm cố định.
