Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc cao

Dễ thấy y=0  không là nghiệm của mỗi phương trình.

Chia cả 2 vế phương trình (1)+ 27 = 18 y63  cho y3 , phương trình (2) cho y²  ta được 8x3+27y3=184.x2y+6.xy2=1

Đặt 2x=a3y=b ta có hệ    a3+b3=18a2b+ab2=3⇔a+b=3ab=1

a; b là nghiệm của phương trình  X2−3X+1=0

Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm: (x1,y1)=3+54;3+56;(x2,y2)=3−54;3−56

x2−2xy+x−2y+3=0   (1)y2−x2+2xy+2x−2=0  (2)⇔2x2−4xy+2x−4y+6=0 y2−x2+2xy+2x−2=0 

Cộng 2 vế của hệ phương trình ta được x2+y2−2xy+4x−4y+4=0

⇔x−y+22=0

⇔y=x+2.Thay vào pt (1) ta được x2+5x+1=0⇔x=−5±212

Vậy hệ có hai nghiệm là −5−212;−1−212,  −5+212;−1+212

x+y+4xy=16x+y=10(I)( Điều kiện:x; y≥0)

Đặt S= x+y ; P = xy  ( S≥0;P≥0) hệ (I) có dạng:

S+4P=16   S2-2P=10      ⇔S+4P=16   2S2-4P=20      ⇔S+4P=16   2S2 +S-36=0      

⇔S=4(tm);S=-92( loai)   P=3     ⇔S=4   P=3     

Khi đó x;y là 2 nghiệm của phương trình:  t2–4t +3=0

Giải phương trình ta được  t1= 3; t2= 1( thỏa mãn )

   TH1:x=3y=1⇔x=9y=1             TH2:x=1y=3⇔x=1y=9

( thỏa mãn)                                          (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x=9y=1;x=1y=9

- Đặt  S=x+y; P=xy  được: S2−2P=11S+P=3+42 ⇔S2−2P=112S+2P=6+82

Cộng hai vế của hệ phương trình ta được phương trình:

S2+2S−(17+82)=0

- Giải phương trình được S1=3+2 ; S2=−5−2

S1=3+2 được P1=32 ;S2=−5−2 được P2=8+52

Với S1=3+2 ; P1=32 có x, y là hai nghiệm của phương trình:           

X2−(3+2)X+32=0       

Giải phương trình được X1=3;X2=2 .

Với   S2=−5−2 ,  được P2=8+52 có x, y là hai nghiệm của phương trình:X2+(5+2)X+8+52=0.

 Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ có hai nghiệm: x=3y=2; x=2y=3.

Điều kiện: x≥−32 ;   y≤32

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được phương trình:

  3−2y=2⇔3–2y=4 ⇔y =−12 (t/mãn đk)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình:

x+12=0⇔x=−13+2x= x+2⇔(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x; y = (−1 ;−12)