Dạng 2: Giải hệ phương trình và một số ý phụ

a)       Khi a=2   hệ phương trình có dạng:$\left\{\begin{array}{l}3x-y=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x=5\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}\\ y=\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Vậy với  a=2 hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)$

b)       Giải và biện luận:

Từ PT  ta có:  $y=\left(a+1\right)x-\left(a-1\right) \left(3\right)$   thế vào PT (2)   ta được:       

$x+\left(a+1\right)\left[\left(a+1\right)x-\left(a-1\right)\right]=2\iff x+\left(a^2-1\right)x-\left(a^2-1\right)=2\iff a^{2}x=a^2+1$   ( 4)    

TH1:$a\ne 0$ , phương trình  (4) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$. Thay vào ta có:

$y=\left(a+1\right)\frac{a^2+1}{a^2}-\left(a+1\right)=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a+1\right)}{a^2}=\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

TH2: Nếu a=0  , phương trình  (4) vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

KL:   $a\ne 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

           a= 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với thì $a\ne 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

c)       Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\left\{\begin{array}{c}x\in \mathbb{Z}\\ y\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{a^2+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\\ \frac{a+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\begin{array}{cc}& \left(a\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Điều kiện cần:  $x=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}\in \mathbb{Z}\iff \frac{1}{a^2}\in \mathbb{Z}\iff a^2=1\iff a=\pm 1$

Điều kiện đủ:

$a=-1\Rightarrow y=0\in \mathbb{Z}$ (nhận)

$a=1\Rightarrow y=2\in \mathbb{Z}$ (nhận)

Vậy$a=\pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a\ne 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

d)       Ta có $x+y=\frac{a^2+1}{a^2}+\frac{a+1}{a^2}=\frac{a^2+a+2}{a^2}=1+\frac{1}{a}+\frac{2}{a^2}$.

Đặt $t=\frac{1}{a}$ ta được: 

$x+y=2t^2+t+1=2\left(t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\right)=2\left[{\left(t+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{16}\right]=2{\left(t+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{8}\ge \frac{7}{8}$

Dấu " ="  xảy ra khi và chỉ khi $t=-\frac{1}{4}$, khi đó  $a=-4$

Vậy a=-4  thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x+y  đạt GTNN bằng $\frac{7}{8}$

Vậy $a=\frac{-1}{10}$ ; $y=\frac{17}{10}$thì hệ phương trình có nghiệm  x=1 ; y=3

a)       Với m=1, hệ phương trình (I)  có dạng:

$\left\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ 2x-3y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+4y=8\\ 2x-3y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x,y\right)=\left(2;1\right)$.

b)     $\left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 2x-3y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+4y=2m+6\\ 2x-3y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 7y=m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5m+9}{7}\\ y=\frac{m+6}{7}\end{array}\right.$ 

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{5m+9}{7};\frac{m+6}{7}\right)$.

Lại có $x+y=-3$ hay $\frac{5m+9}{7}+\frac{m+6}{7}=-3\iff 5m+9+m+6=-21\iff 6m=-36\iff m=-6$

Vậy với $m=-6$ thì hệ phương trình  (I)  có nghiệm duy nhất(x,y)  thỏa mãn $x+y=-3$.

a)       Giải hệ phương trình khi m=2 .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1,1).

a)       Với  a=1, ta có hệ phương trình:

         $\left\{\begin{array}{l}2x+y=-4\\ x-3y=5\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{l}6x+3y=-12\\ x-3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7x=-7\\ x-3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ -1-3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2\end{array}\right.$

          Vậy với a=1 , hệ phương trình có nghiệm duy nhất là$\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right)$: .

b)       Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a=0 , hệ có dạng:$\left\{\begin{array}{l}2x=-4\\ -3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu $a\ne 0$, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:  $\frac{2}{a}\ne \frac{a}{-3}\iff a^2\ne -6$(luôn đúng, vì $a^2\ge 0$ với mọi a)

Do đó, với $a\ne 0$, hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

a)       Thay m=1  ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 2x+y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 4x+2y=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x=5\\ 2x+y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\ y=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

b)       Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}x+my=m+1\left(1\right)\\ mx+y=2m\begin{array}{cc}& \end{array}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (2) $\Rightarrow y=2m-mx$  thay vào (1)  ta được

$x+m\left(2m-mx\right)=m+1\iff 2m^2-m^{2}x+x=m+1$

     $\iff \left(1-m^2\right)x=-2m^2+m+1\iff \left(m^2-1\right)x=2m^2-m-1 \left(3\right)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\iff \left(3\right)$có nghiệm duy nhất  

$m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+1}{m+1}\\ y=\frac{m}{m+1}\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ y\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m+1}{m+1}\ge 2\\ \frac{m}{m+1}\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{m+1}\ge 0\\ \frac{-1}{m+1}\ge 0\end{array}\right.\iff m+1<0\iff m<-1$

Kết hợp với  ta được giá trị m cần tìm là $m<-1$.

 $\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 3y=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$ Vậy m=2 hệ có nghiệm duy nhất  $(x;y)=(1;-2)$

b)       Từ phương trình (1)  ta có $x=2y+5$. Thay  $x=2y+5$vào phương trình (2)   ta được: 

$m\left(2y+5\right)-y=4\iff \left(2m-1\right).y=4-5m \left(3\right)$ 

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với:$2m-1\ne 0\iff m\ne \frac{1}{2}$ .

Từ đó ta được: $y=\frac{4-5m}{2m-1}$ ;    $x=5+2y=\frac{3}{2m-1}$  .

 Ta có:$x.y=\frac{3\left(4-5m\right)}{{\left(2m-1\right)}^2}$ .  Do đó $x.y<0\iff 4-5m<0\iff m>\frac{4}{5}$ (thỏa mãn điều kiện)

c)       Ta có:     $x=\left|y\right|\iff \frac{3}{2m-1}=\left|\frac{4-5m}{2m-1}\right| \left(4\right)$

Từ (4)  suy ra $2m-1>0\iff m>\frac{1}{2}$. Với điều kiện $m>\frac{1}{2}$ ta có:

$\left(4\right)\iff \left|4-5m\right|=3\iff \left[\begin{array}{l}4-5m=3\\ 4-5m=-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{5}\left(l\right)\\ m=\frac{7}{5}\end{array}\right.$. Vậy $m=\frac{7}{5}$ .

Xét hai đường thẳng $\left(d_1\right):mx+\left(m+1\right)y-1=0;\left(d_2\right):\left(m+1\right)x-my-8m+3=0$.

+ Nếu  m=0 thì $\left(d_1\right):y-1=0$ và $\left(d_2\right): x-5=0$ suy ra $\left(d_1\right)$luôn vuông góc với $\left(d_2\right)$.

+ Nếu m=-1  thì $\left(d_1\right):x+1=0$  và  $\left(d_2\right): y+11=0$suy ra $\left(d_1\right)$ luôn vuông góc với $\left(d_2\right)$.

+ Nếu $m\ne \left\{0;1\right\}$ thì đường thẳng $\left(d_1\right),\left(d_2\right)$ lần lượt có hệ số góc là: $a_1=-\frac{m}{m+1},a_2=\frac{m+1}{m}$ suy ra $a_1.a_2=-1$ do đó $\left(d_1\right)\perp \left(d_2\right)$ .

Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ luôn vuông góc với $\left(d_2\right)$. Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

Xét hai đường thẳng $\left(d_1\right):mx+\left(m+1\right)y-1=0;\left(d_2\right):\left(m+1\right)x-my-8m+3=0$ luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất