Dạng 2: Giải hệ phương trình và một số ý phụ

a)       Khi a=2   hệ phương trình có dạng:3x−y=3x+y=2⇔4x=5y=2−x⇔x=54y=34

Vậy với  a=2 hệ phương trình có nghiệm x;y=54;34

b)       Giải và biện luận:

Từ PT  ta có:  y=a+1x−a−1    (3)   thế vào PT (2)   ta được:       

x+a+1a+1x−a−1=2⇔x+a2−1x−a2−1=2⇔a2x=a2+1   ( 4)    

TH1:a≠0 , phương trình  (4) có nghiệm duy nhất x=a2+1a2. Thay vào ta có:

y=a+1a2+1a2−a+1=a+1a2+1−a2a+1a2=a3+a+a2+1−a3−a2a2=a+1a2

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x;y=a2+1a2;a+1a2

TH2: Nếu a=0  , phương trình  (4) vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

KL:   a≠0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x;y=a2+1a2;a+1a2

           a= 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với thì a≠0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x;y=a2+1a2;a+1a2

c)       Hệ phương trình có nghiệm nguyên: x∈ℤy∈ℤ⇔a2+1a2∈ℤa+1a2∈ℤa∈ℤ

Điều kiện cần:  x=a2+1a2=1+1a2∈ℤ⇔1a2∈ℤ⇔a2=1⇔a=±1

Điều kiện đủ:

a=−1⇒y=0∈ℤ (nhận)

a=1⇒y=2∈ℤ (nhận)

Vậya=±1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với a≠0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x;y=a2+1a2;a+1a2

d)       Ta có x+y=a2+1a2+a+1a2=a2+a+2a2=1+1a+2a2.

Đặt t=1a ta được: 

x+y=2t2+t+1=2t2+12t+12=2t+142+716=2t+142+78≥78

Dấu " ="  xảy ra khi và chỉ khi t=−14, khi đó  a=−4

Vậy a=-4  thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x+y  đạt GTNN bằng 78

Thay x=1 ; y=3  vào hệ ta có:

2.1+b.3=ab.1+a.3=5⇔a−3b=23a+b=5⇔3a−9b=63a+b=5⇔10b=−13a+b=5⇔b=−110a=1710

Vậy a=−110 ; y=1710thì hệ phương trình có nghiệm  x=1 ; y=3

a)       Với m=1, hệ phương trình (I)  có dạng:

x+2y=42x−3y=1⇔2x+4y=82x−3y=1⇔x=2y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x,y=2;1.

b)     x+2y=m+32x−3y=m⇔2x+4y=2m+62x−3y=m⇔x+2y=m+37y=m+6⇔x=5m+97y=m+67 

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y=5m+97;m+67.

Lại có x+y=−3 hay 5m+97+m+67=−3⇔5m+9+m+6=−21⇔6m=−36⇔m=−6

Vậy với m=−6 thì hệ phương trình  (I)  có nghiệm duy nhất(x,y)  thỏa mãn x+y=−3.

2x+y=5m−1x−2y=2⇔y=5m−1−2xx−2(5m−1−2x)=2⇔y=5m−1−2x5x=10m⇔x=2my=m−1

Thay vào ta có

x2−2y2=−2⇔(2m)2−2(m−1)2=−2⇔2m2+4m=0⇔m=0m=−2

Vậy m∈–2;0

a)       Giải hệ phương trình khi m=2 .

Ta có: x+y=22x+y=3⇔x+y=2x=1⇔x=1y=1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1,1).

b, Ta có y=2–m−1x  thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

mx+2–m−1x=m+1⇔x=m–1 suy ra y=2–m−12  với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất   x;y=m−1;2–m−12

2x+ y=2m−1+2–m−12=−m2+4m−1=3–m−22≤3 với mọi m   .

a)       Với  a=1, ta có hệ phương trình:

         2x+y=−4x−3y=5⇔⇔6x+3y=−12x−3y=5⇔7x=−7x−3y=5⇔x=−1−1−3y=5⇔x=−1y=−2

          Vậy với a=1 , hệ phương trình có nghiệm duy nhất làx;y=−1;−2: .

b)       Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a=0 , hệ có dạng:2x=−4−3y=5⇔x=−2y=−53 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a≠0, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:  2a≠a−3⇔a2≠−6(luôn đúng, vì a2≥0 với mọi a)

Do đó, với a≠0, hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

a)       Thay m=1  ta có hệ phương trình x+2y=32x+y=4⇔x+2y=34x+2y=8⇔3x=52x+y=4⇔x=53y=23

b)       Xét hệ x+my=m+1     1mx+y=2m2

Từ (2) ⇒y=2m−mx  thay vào (1)  ta được

x+m2m−mx=m+1⇔2m2−m2x+x=m+1

     ⇔1−m2x=−2m2+m+1⇔m2−1x=2m2−m−1  (3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ (3)có nghiệm duy nhất  

m2−1≠0⇔m≠±1

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=2m+1m+1y=mm+1

Ta có x≥2y≥1⇔2m+1m+1≥2mm+1≥1⇔−1m+1≥0−1m+1≥0⇔m+1<0⇔m<−1

Kết hợp với  ta được giá trị m cần tìm là m<−1.

a)       Với m=2 ta có hệ phương trình: x−2y=52x−y=4⇔x=2y+522y+5−y=4

 ⇔x=2y+53y=−6⇔x=1y=−2 Vậy m=2 hệ có nghiệm duy nhất  (x;y)=(1;−2)

b)       Từ phương trình (1)  ta có x=2y+5. Thay  x=2y+5vào phương trình (2)   ta được: 

m2y+5−y=4⇔2m−1.y=4−5m   (3) 

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với:2m−1≠0⇔m≠12 .

Từ đó ta được: y=4−5m2m−1 ;    x=5+2y=32m−1  .

 Ta có:x.y=34−5m2m−12 .  Do đó x.y<0⇔4−5m<0⇔m>45 (thỏa mãn điều kiện)

c)       Ta có:     x=y⇔32m−1=4−5m2m−1    (4) 

Từ (4)  suy ra 2m−1>0⇔m>12. Với điều kiện m>12 ta có:

4⇔4−5m=3⇔4−5m=34−5m=−3⇔m=15lm=75. Vậy m=75 .

Xét hai đường thẳng d1:mx+m+1y−1=0;d2:m+1x−my−8m+3=0.

+ Nếu  m=0 thì d1:y−1=0 và d2: x−5=0 suy ra d1luôn vuông góc với d2.

+ Nếu m=-1  thì d1:x+1=0  và  d2: y+11=0suy ra d1 luôn vuông góc với d2.

+ Nếu m≠0;1 thì đường thẳng d1,d2 lần lượt có hệ số góc là: a1=−mm+1,a2=m+1m suy ra a1.a2=−1 do đó d1⊥d2 .

Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng d1 luôn vuông góc với d2. Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

Xét hai đường thẳng d1:mx+m+1y−1=0;d2:m+1x−my−8m+3=0 luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất