Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng...
4 câu hỏi
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:
a, Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp
b, AH.AB = AD2
c, Tam giác ACE là tam giác cân
a, Học sinh tự chứng minh
b, DADB vuông tại D, có đường cao DH Þ AD2 = AH.AB
c, EAC^=EDC^=12sđEC⏜; EAC^=KHC^ (Tứ giác AKCH nội tiếp)
=> EDC^=KHC^ => DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC) => Đpcm
Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
a, Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn
b, NE2=NC.NB
c, NEH^=NME^ (H là giao điểm của AC và d)
d, NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)
a, Học sinh tự chứng minh
b, NEC^=CBE^=12sđCE⏜
=> DNEC ~ DNBE (g.g) => ĐPCM
c, DNCH ~ DNMB (g.g)
=> NC.NB = NH.NM = NE2
DNEH ~ DNME (c.g.c)
=> NEH^=EMN^
d, EMN^=EOM^ (Tứ giác NEMO nội tiếp)
=> NEH^=NOE^ => EH ^ NO
=> DOEF cân tại O có ON là phân giác => EON^=NOF^
=> DNEO = DNFO vậy NFO^=NEO^=900 => ĐPCM
Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H
a, Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm K
c, Kẻ DN ^ CB, DM ^ AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy
a, HIB^=HKB^=1800
=> Tứ giác BIHK nội tiếp
b, Chứng minh được: DAHI ~ DABK (g.g)
=> AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi)
c, Chứng minh được MCND là hình chữ nhật từ đó => Đpcm
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm BC
a, Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn
b, Chứng minh AM2=AB.AC
c, Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MC
d, Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định
a, Chú ý: AMO^=AIO^=ANO^=900
b, AMB^=MCB^=12sđMB⏜
=> DAMB ~ DACM (g.g)
=> Đpcm
c, AMIN nội tiếp => AMN^=AIN^
BE//AM => AMN^=BEN^
=> BEN^=AIN^ => Tứ giác BEIN nội tiếp => BIE^=BNM^
Chứng minh được: BIE^=BCM^ => IE//CM
d, G là trọng tâm DMBC Þ G Î MI
Gọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = 12AO
Từ G kẻ GG'//IK (G' Î MK)
=> GG'IK=MGMI=MG'MK=23IK=13AO không đổi (1)
MG' = 23MK => G' cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G';13AO)
