Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
5 câu hỏi
Cho số thực a≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A=a+1a
Sai lầm thường gặp là:A=a+1a ≥2a.1a=2 . Vậy GTNN của A là 2.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 ⇔a=1a ⇔a=1vô lý vì theo giả thuyết thì a≥2.
Lời giải đúng: A=a+1a =a4+1a+3a4≥2a4.1a+3a4≥1+3.24=52
Dấu “=” xảy ra ⇔a4=1a hay a=2
Vậy GTNN của A là 52.
Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a=2 . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” a=2. Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và 1a vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc 1a để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số aα,1a sao cho tại “Điểm rơi ”a=2 thì aα=1a, ta có sơ đồ sau:
a=2⇒aα=2α1a=12⇒2α=12⇒α=4
Khi đó: A=a+1a =a4+3a4+1a và ta có lời giải như trên.
Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1. Tìm GTNN của A=ab+1ab
Ta có:
ab≤a+b22≤14 ⇒−ab≥−14
A=16ab+1ab−15ab≥216ab1ab−15ab≥8−15.14=174
Dấu “=” xảy ra ⇔ab=14⇔a=b=12
Vậy GTNN của A là 174
Cho số thực a≥6 . Tìm GTNN của A=a2+18a
Ta có: A=a224+9a+9a+23a224≥3a224.9a.9a3+23a224≥92+23.3624=39
Dấu “=” xảy ra ⇔a224=9a⇔a=6
Vậy GTNN của A là 39
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+2b+3c≥20 .
Tìm GTNN của A=a+b+c+3a+92b+4c
A=3a4+3a+b2+92b+c4+4c +a4+b2+3c4≥23a4.3a+2b2.92b+2c4.4c+a+2b+3c4≥3+3+2+5=13
Dấu “=” xảy ra ⇔a=2,b=3,c=4
Vậy GTNN của A là 13
Cho3 số thực dương a, b, c thỏa ab≥12bc≥8 .
Chứng minh rằng: a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc≥12112
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
a18+b24+2ab≥3a18.b24.2ab3=12a9+c6+2ca≥3a9.c6.2ca3=1
b16+c8+2bc≥3b16.c8.2bc3=34a9+c6+b12+8abc≥4a9.c6.b12.8abc4=43
13a18+13b24≥213a18.13b24≥21318.1324.12=13313b48+13c24≥213b48.13c24≥21348.1324.8=134
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc≥12112 (đpcm)
