Dạng 1: Bất đẳng thức có đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

a+bb+cc+a≥2ab.2bc.2ac=8abc (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

 ac+bda+bc+d=aa+b.cc+d+ba+b.dc+d≤12aa+b+cc+d+12ba+b+dc+d=12a+ba+b+c+dc+d=1

⇒ac+bd≤a+bc+d (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ca−c+cb−cab=cb.a−ca+ca.b−cb≤12cb+a−ca+12ca+b−cb≤12cb+1−ca+12ca+1−cb=1

 ⇒ca−c+cb−c≤ab (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ab−1=aab−a≤12a+ab−a=ab2 (1)

Tương tự:  ba−1≤ab2  (2)

Cộng theo vế (1) và (2), ta được:  ab−1+ba−1≤ab (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

16aba−b2=4.4aba−b2≤4.4ab+a−b222=4.a+b222=a+b4 (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

ab+ab+ba=ab2+a2b+ab2+b2a+a2b+b2a   ≥2ab2.a2b+2ab2.b2a+2a2b.b2a=a+b+1   (đpcm)

 Vì a,b>0  nên   ab>0,   ba>0  

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

          ab+ba≥2ab.ba=2  (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
 a+1a−1=a−1+1a−1+1≥2a−11a−1+1=2+1=3 (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

a2+2a2+1=a2+1+1a2+1=a2+1+1a2+1≥2a2+11a2+1=2  (đpcm)

Với  ∀a≠0, áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a21+9a4=113a2+9a43a2 =113a2+3a2 ≤1213a2.3a2=12

 (đpcm)

 A=a+12+a2+2a+2a+12=a+12+a+12+1a+12=a+12+a+1+1a+12=2a+12+1a+12+2Cauchy22a+121a+12+2=22+2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2a+12=1a+12 hay a=−2±842

Vậy GTNN của A=22+2

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 

a+1ba−b=b+a−b+1ba−b≥3b.a−b.1ba−b3=3

Ta có:

bca+cab+abc=12bca+cab+12cab+abc+12abc+bca≥bca.cab+cab.abc+abc.bca=a+b+c

Ta có:

a2b2+b2c2+c2a2=12a2b2+b2c2+12b2c2+c2a2+12c2a2+a2b2                   ≥a2b2b2c2+b2c2.c2a2+c2a2.a2b2=ba+cb+ac≥ba+cb+ac

b+ca+c+ab+a+bc≥2bca+2cab+2abc=2bca+cab+abc=bca+cab+cab+abc+abc+bca

≥2bcacab+2cababc+2abcbca=2a+b+c=a+b+c+a+b+c≥a+b+c+3abc3=a+b+c+3

Vậy b+ca+c+ab+a+bc≥a+b+c+3

Ta có:

b+ca+c+ab+a+bc=1+b+ca+1+c+ab+1+a+bc−3=a+b+ca+b+c+ab+c+a+bc−3=a+b+c1a+1b+1c−3≥9−3=6