Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

a)  Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

3x2+5x−2=0⇔3x2+6x−x−2=0⇔3x(x+2)−(x+2)=0

⇔(3x−1)(x+2)=0⇔3x−1=0x+2=0⇔x=13x=−2

Vậy tập nghiệm của phương trình là  S=−2;13

Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

5x2−6x+1=0⇔5x2−5x−x+1=0⇔5x(x−1)−(x−1)=0

⇔(5x−1)(x−1)=0⇔5x−1=0x−1=0⇔x=15x=1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=1;15  

Cách 1:       Đặt t=x2 ( điều kiện: t≥0 ) phương trình (1) có dạng :

t2−13t+36=0 . Ta có   a=1;b=−13;c=36

 Δ=b2−4ac=(−13)2−4.1.36=25>0. ⇒Δ=5

⇒t1=−b+Δ2a=−(−13)+52=9 (thỏa mãn điều kiện )

t2=−b−Δ2a=−(−13)−52=4 (thỏa mãn điều kiện )

Với t1=9⇒x2=9⇔x=±9⇔x=±3

Với  t2=4⇒x2=4⇔x=±4⇔x=±2

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=−2 ; x2=−3; x3=2; x4=3 .

Cách 2: x4−13x2+36=0    (1)

x4−13x2+36=0⇔(x4−12x2+36)−x2=0⇔(x2−6)2−x2=0⇔(x2−6−x)(x2−6+x)=0⇔x2−6−x=0x2−6+x=0

Giải phương trình: x2–x–6=0 ta được 2 nghiệm: x1=−2; x2= 3 .

Giải phương trình:  x2+x– 6 =0 ta được 2 nghiệm: x3=2; x4=−3 .

 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1=−3; x2=−2; x3=2; x4=3

Đặt t=x2 ( điều kiện:  t≥0 ) phương trình (1) có dạng :

5t2+3t−2=0 . Ta có a=5;b=3;c=−2

Δ=b2−4ac=(3)2−4.5.(−2)=49>0⇒Δ=7

 ⇒t1=−b+Δ2a=−3+72.5=25(thỏa mãn điều kiện )

 t2=−b−Δ2a=−3−72.5=−1 (không thỏa mãn điều kiện )

Với  t1=25⇒x2=25⇔x=±25 

Với  t2=−1 (loại)

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : x1=25 ; x2=−25  .

Đặt t=x2 (điều kiện: t≥0 ) phương trình (1) có dạng :

t2+5t+6=0 . Ta có a=1;b=5;c=6 

  Δ=b2−4ac=52−4.1.6=1>0⇒Δ=1

 ⇒t1=−b+Δ2a=−5+12.1=−2(loại vì không thỏa mãn điều kiện  t≥0 )

 t2=−b−Δ2a=−5−12.1=−3 (loại vì không thỏa mãn điều kiện  t≥0 )

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

a.14x2−9=1−13−x

ĐKXĐ :  x≠±3

⇔14(x−3)(x+3)=1+1x−3

 ⇔14(x−3)(x+3)=(x−3)(x+3)+(x+3)(x−3)(x+3)

 ⇔14=x–3x+3+x+3

⇔x2–9+x+3–14=0

⇔x2+x–20=0

Ta có:  a=1;b=1;c=−20

   Δ=b2–4ac=12–4.1.–20=81>0⇔Δ=81=9

Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt :

x1=−b+Δ2a=−1+92.1=4 (thỏa mãn điều kiện)

x2=−b−Δ2.a=−1−92.1=−5(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:x1=4  ;  x2=–5x2=–5

b.2xx+1=x2−x+8(x+1)(x−4)

ĐKXĐ: x ≠–1 và  x≠ 4

 2xx+1=x2−x+8(x+1)(x−4)

⇔2x(x−4)(x+1)(x−4)=x2−x+8(x+1)(x−4)

⇔2xx–4=x2–x+8

⇔2x2–8x–x2+x–8=0

⇔x2–7x–8=0

Ta có:  a=1;b=−7;c=−8

 a–b+c=1––7+–8=0

Phương trình có 2 nghiệm :

x1= –1 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

 x2= −ca= 8(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm:  x=8

a) (x−3)(x2+3x−4)=0

⇔x−3=0 hoặc x2+3x−4=0

+) x−3=0⇔x1=3

+) x2+3x−4=0(1)

Ta có  a=1;b=3,c=−4. và a+b+c=1+3+(−4)=0 . Phương trình (1) có hai nghiệm:

 x2=1; x3=ca=−4 

Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:x1=3;x2=1;x3=−4

b)  x3+3x2–2x–6=0

 ⇔x2x+3–2x+3=0

⇔x+3x2–2=0

⇔x+3=0 hoặc  x2–2=0

+)  x+3=0⇔x1=−3

+) x2–2=0⇔x2=2⇔x2=2 hoặc x3=−2

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:x1=−3 ; x2=2;x3=−2

c.  2x2+32–10x3–15x=0

 ⇔2x2+32–5x2x2+3=0

2x2+32x2+3–5x=0 

2x2+3=0 hoặc  2x2–5x+3=0

+)  2x2+3=0⇔2x2=–3⇒x2=−1,5 (vô nghiệm)

+) 2x2–5x+3=0 . Có  a=2;b=−5;c=3và  a+b+c=2–5+3=0

Phương trình có 2 nghiệm:

x1= 1  ;  x2=ca=32

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:

x1= 1  ;  x2=32

d) x4−13x2+36=0 (1)

⇔(x4−12x2+36)−x2=0⇔(x2−6)2−x2=0⇔(x2−6−x)(x2−6+x)=0

⇔x2−x−6=0x2+x−6=0

Giải phương trình: x2–x–6=0 ta được 2 nghiệm: x1=−2; x2= 3 .

Giải phương trình: x2+x– 6 =0  ta được 2 nghiệm:  x3=2; x4=−3.

          Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1=−3; x2=−2; x3=2; x4=3

a) 4x+29x+52=0 . Điều kiện  x≥0

Đặt x=t (điều kiện:  t≥0), Khi đó phương trình đã cho trở thành:

4t2−29t+52=0 (1)

có  a=4;b=−29;c=52 và Δ=b2−4ac=−292−4.4.52=9>0 ;  Δ=3

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

t1=−b+Δ2a=29+32.4=4(thỏa mãn điều kiện t≥0 );

t2=−b−Δ2a=29−32.4=134(thỏa mãn điều kiện t≥0);

Với t1=4⇒x=4⇔x=16 (t/m)

Với t2=134⇒x=134⇔x=16916 (t/m)

KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1=16 ; x2=16916

b) x−2x+1−7=0. Điều kiện:  x+1≥0⇔x≥−1

x−2x+1−7=0⇔x+1−2x+1−8=0. Đặt  t=x+1, điều kiện: t≥0 .

Phương trình đã cho trở thành:t2−2t−8=0  (1) có a=1;b=−2;c=−8 .

Δ'=b'2−ac=1+9=9>0; Δ'=3 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

 (thỏa mãn điều kiện t≥0)

t2=−b'−Δa=1−31=−2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện )

Với t=4⇒x+1=4⇔x+1=16⇔x=15 (t/m)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=15 .

a)x−2x+3=0⇔2x+3=x⇔x≥02x+3=x2⇔x≥0x2−2x−3=0

⇔x≥0x=−1 hoặc x=3⇔x=3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  

b)

4+2x−x2=x−2

⇔x−2≥04+2x−x=x-22⇔x≥2x2−3x=0⇔x≥2x=0  hoặc  x=3⇔x=3

c)

 25−x2=x−1

⇔x−1≥025−x2=x-12⇔x≥12x2−2x−24=0⇔x≥1x=4  hoặc  x=−3⇔x=4

d)

x+4−1−x=1−2x⇔x+4=1−2x+1−x

⇔−4≤x≤12x+4=1−x+2(1−x)(1−2x)+1−2x⇔−4≤x≤12(1−x)(1−2x)=2x+1

⇔−4≤x≤12x≥−12(1−x)(1−2x)=4x2+4x+1⇔−12≤x≤12x=0∨x=−72⇔x=0

a)x2+x−1=1

⇔x−1=1−x2

⇔1−x2≥0x−1=±(1−x2)⇔−1≤x≤1x−1=1−x2x−1=−1+x2⇔−1≤x≤1x=0  hoÆc x=1x=1  hoÆc  x=−2⇔x=1x=0

Vậy phương trình có 2 nghiệm:  x1=1; x2= 0

b)x−6=x2−5x+9

      ⇔x−6=x2−5x+9x−6=−x2+5x−9⇔x2−6x+15=0x2−4x+3=0⇔x=1x=3   

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1=1; x2= 3