Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

a)  Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

$3x^2+5x-2=0\iff 3x^2+6x-x-2=0\iff 3x(x+2)-(x+2)=0$

$\iff (3x-1)(x+2)=0\iff \left[\begin{array}{l}3x-1=0\\ x+2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là  $S=\left\{-2;\frac{1}{3}\right\}$

Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

$5x^2-6x+1=0\iff 5x^2-5x-x+1=0\iff 5x(x-1)-(x-1)=0$

$\iff (5x-1)(x-1)=0\iff \left[\begin{array}{l}5x-1=0\\ x-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{5}\\ x=1\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1;\frac{1}{5}\right\}$  

Cách 1:       Đặt $t=x^2$ ( điều kiện:$t\ge 0$) phương trình (1) có dạng :

$t^2-13t+36=0$. Ta có   $a=1;b=-13;c=36$

 $\Delta =b^2-4ac={(-13)}^2-\mathrm{4.1.36}=25>0$. $\Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$

$\Rightarrow t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-13)+5}{2}=9$ (thỏa mãn điều kiện )

$t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-13)-5}{2}=4$ (thỏa mãn điều kiện )

Với $t_1=9\Rightarrow x^2=9\iff x=\pm \sqrt{9}\iff x=\pm 3$

Với  $t_2=4$$\Rightarrow x^2=4\iff x=\pm \sqrt{4}\iff x=\pm 2$

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : $x_1=-2 ; x_2=-3; x_3=2; x_4=3$ .

Cách 2: $x^4-13x^2+36=0 \left(1\right)$

Giải phương trình: $x^2–x–6=0$ ta được 2 nghiệm: $x_1=-2;x_2=3$ .

Giải phương trình:  $x^2+x–6=0$ ta được 2 nghiệm: $x_3=2;x_4=-3$ .

 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: $x_1=-3;x_2=-2;x_3=2;x_4=3$

Đặt $t=x^2$ ( điều kiện: $t\ge 0$) phương trình (1) có dạng :

$5t^2+3t-2=0$. Ta có $a=5;b=3;c=-2$

$\Delta =b^2-4ac={\left(3\right)}^2-\mathrm{4.5.}(-2)=49>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=7$

 $\Rightarrow t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3+7}{2.5}=\frac{2}{5}$(thỏa mãn điều kiện )

 $t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3-7}{2.5}=-1$ (không thỏa mãn điều kiện )

Với  $t_1=\frac{2}{5}\Rightarrow x^2=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}\iff x=\pm \sqrt{\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}}$ 

Với  $t_2=-1$ (loại)

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : $x_1=\sqrt{\frac{2}{5}} ; x_2=-\sqrt{\frac{2}{5}}$ .

Đặt $t=x^2$ (điều kiện:$t\ge 0$) phương trình (1) có dạng :

$t^2+5t+6=0$. Ta có $a=1;b=5;c=6$ 

  $\Delta =b^2-4ac=5^2-\mathrm{4.1.6}=1>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=1$

 $\Rightarrow t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-5+1}{2.1}=-2$(loại vì không thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$)

 $t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-5-1}{2.1}=-3$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

a.$\frac{14}{x^2-9}=1-\frac{1}{3-x}$

ĐKXĐ :  $x\ne \pm 3$

$\iff \frac{14}{(x-3)(x+3)}=1+\frac{1}{x-3}$

 $\iff \frac{14}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x-3)(x+3)+(x+3)}{(x-3)(x+3)}$

 $\iff 14=\left(x–3\right)\left(x+3\right)+\left(x+3\right)$

$\iff x^2–9+x+3–14=0$

$\iff x^2+x–20=0$

Ta có:  $a=1;b=1;c=-20$

  $\Delta =b^2–4ac=1^2–\mathrm{4.1.}\left(–20\right)=81>0\iff \sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$

Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt :

${\text{x}}_1=\frac{-\text{b}+\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}=\frac{-1+9}{2.1}=4$ (thỏa mãn điều kiện)

${\text{x}}_2=\frac{-\text{b}-\sqrt{\Delta }}{2.\text{a}}=\frac{-1-9}{2.1}=-5$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:$x_1=4$  ;  $x_2=–5x_2=–5$

b.$\frac{2\text{x}}{\text{x}+1}=\frac{{\text{x}}^2-\text{x}+8}{(\text{x}+1)(\text{x}-4)}$

ĐKXĐ: $x \ne –1$ và  $x\ne 4$

 $\frac{2\text{x}}{\text{x}+1}=\frac{{\text{x}}^2-\text{x}+8}{(\text{x}+1)(\text{x}-4)}$

$\iff \frac{2x(x-4)}{(x+1)(x-4)}=\frac{x^2-x+8}{(x+1)(x-4)}$

$\iff 2x\left(x–4\right)=x^2–x+8$

$\iff 2x^2–8x–x^2+x–8=0$

$\iff x^2–7x–8=0$

Ta có:  $a=1;b=-7;c=-8$

 $a–b+c=1–\left(–7\right)+\left(–8\right)=0$

Phương trình có 2 nghiệm :

$x_1= –1$ (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

 $x_2= \frac{-c}{a}=8$(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm:  x=8

a) $(x-3)(x^2+3x-4)=0$

$\iff x-3=0$ hoặc $x^2+3x-4=0$

+) $x-3=0\iff x_1=3$

+) $x^2+3x-4=0$(1)

Ta có  $a=1;b=3,c=-4$. và $a+b+c=1+3+(-4)=0$ . Phương trình (1) có hai nghiệm:

 $x_2=1; x_3=\frac{c}{a}=-4$ 

Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:$x_1=3;x_2=1;x_3=-4$

b)  $x^3+3x^2–2x–6=0$

 $\iff x^2\left(x+3\right)–2\left(x+3\right)=0$

$\iff \left(x+3\right)\left(x^2–2\right)=0$

$\iff x+3=0$ hoặc  $x^2–2=0$

+)  $x+3=0\iff x_1=-3$

+) $x^2–2=0\iff x^2=2\iff x_2=\sqrt{2}$ hoặc $x_3=-\sqrt{2}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:$x_1=-3$ ; $x_2=\sqrt{2};x_3=-\sqrt{2}$

d) $x^4-13x^2+36=0$ (1)

$\iff (x^4-12x^2+36)-x^2=0$$\iff {(x^2-6)}^2-x^2=0\iff (x^2-6-x)(x^2-6+x)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-x-6=0\\ x^2+x-6=0\end{array}\right.$

Giải phương trình: $x^2–x–6=0$ ta được 2 nghiệm: $x_1=-2;x_2=3$ .

Giải phương trình: $x^2+x–6=0$  ta được 2 nghiệm:  $x_3=2;x_4=-3$.

          Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: $x_1=-3;x_2=-2;x_3=2;x_4=3$

a) $4x+29\sqrt{x}+52=0$ . Điều kiện  $x\ge 0$

Đặt $\sqrt{x}=t$ (điều kiện:  $t\ge 0$), Khi đó phương trình đã cho trở thành:

$4t^2-29t+52=0$ (1)

có  $a=4;b=-29;c=52$ và $\Delta =b^2-4ac={\left(-29\right)}^2-\mathrm{4.4.52}=9>0$ ;  $\sqrt{\Delta }=3$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{29+3}{2.4}=4$(thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$ );

$t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{29-3}{2.4}=\frac{13}{4}$(thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$);

Với $t_1=4\Rightarrow \sqrt{x}=4\iff x=16$ (t/m)

Với $t_2=\frac{13}{4}\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{13}{4}\iff x=\frac{169}{16}$ (t/m)

KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x_1=16$ ; $x_2=\frac{169}{16}$

b) $x-2\sqrt{x+1}-7=0$. Điều kiện:  $x+1\ge 0\iff x\ge -1$

$x-2\sqrt{x+1}-7=0\iff \left(x+1\right)-2\sqrt{x+1}-8=0$. Đặt  $t=\sqrt{x+1}$, điều kiện: $t\ge 0$ .

Phương trình đã cho trở thành:$t^2-2t-8=0$  (1) có $a=1;b=-2;c=-8$ .

$\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac=1+9=9>0$; $\sqrt{\Delta \text{'}}=3$ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

 (thỏa mãn điều kiện $t\ge 0$)

$t_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta }}{a}=\frac{1-3}{1}=-2$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện )

Với $t=4\Rightarrow \sqrt{x+1}=4\iff x+1=16\iff x=15$ (t/m)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=15$ .

a)$x-\sqrt{2x+3}=0\iff \sqrt{2x+3}=x\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 2x+3=x^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-2x-3=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x=-1\text{ hoặc }x=3\end{array}\right.\iff x=3$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  

b)

$\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ 4+2x-x={\left(x-2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x^2-3x=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x=0\text{\hspace{0.17em} hoặc \hspace{0.17em}}x=3\end{array}\right.\iff x=3$

c)

$\sqrt{25-x^2}=x-1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ 25-x^2={\left(x-1\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 2x^2-2x-24=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x=4hoặcx=-3\end{array}\right.\iff x=4$

d)

$\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x}\iff \sqrt{x+4}=\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-x}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-4\le x\le \frac{1}{2}\\ x+4=1-x+2\sqrt{(1-x)(1-2x)}+1-2x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-4\le x\le \frac{1}{2}\\ \sqrt{(1-x)(1-2x)}=2x+1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-4\le x\le \frac{1}{2}\\ x\ge -\frac{1}{2}\\ (1-x)(1-2x)=4x^2+4x+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\\ x=0\vee x=-\frac{7}{2}\end{array}\right.\iff x=0$

a)$x^2+\left|x-1\right|=1$

$\iff \left|x-1\right|=1-x^2$

$\iff \left\{\begin{array}{l}1-x^2\ge 0\\ x-1=\pm (1-x^2)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 1\\ \left[\begin{array}{l}x-1=1-x^2\\ x-1=-1+x^2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 1\\ \left[\begin{array}{l}x=0ho\AE cx=1\\ x=1ho\AE cx=-2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=0\end{array}\right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm:  $x_1=1;x_2=0$

b)$\left|x-6\right|=\left|x^2-5x+9\right|$

      $\iff \left[\begin{array}{l}x-6=x^2-5x+9\\ x-6=-x^2+5x-9\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-6x+15=0\\ x^2-4x+3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right.$   

Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x_1=1;x_2=3$