Dạng 3: Phương trình chứa tham số có đáp án

a)  Δ=2m−12−4.m2−1=5−4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi  Δ>0⇔5−4m>0⇔m<54

b) Phương trình có hai nghiệm ⇔m≤54

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1+x2=2m−1   (*)x1x2=m2−1

Theo đề bài: x1−x22=x1−3x2

⇔x1+x22−4x1x2=x1−3x2

⇔2m−12−4m2−1=x1−3x2

⇔x1−3x2=5−4m (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: x1+x2=2m−1x1−3x2=5−4m⇔x1=m+12x2=3(m−1)2

Mặt khác ta có: x1x2=m2−1

⇒m+12⋅3(m−1)2=m2−1

⇔3m2−1=4m2−1

⇔m2−1=0⇔m=±1

Kết hợp với điều kiện m<54⇒m=±1 (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.

Vậy  m=1 hoặc m=−1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2thỏa mãn: x1−x22=x1−3x2.

Δ=52−4.1.3m−1=29−12m

Để phương trình có hai nghiệm   ⇒Δ≥0⇒29−12m⇔m≤2912

Áp dụng hệ thức Vi-ét   x1+x2=−5x1x2=3m−1

Ta có: x13−x23+3x1x2=75

 ⇔x1−x2x1+x22−x1x2+3x1x2=75

⇔x1−x225−x1x2+3x1x2=75

⇔x1−x2=75−3x1x225−x1x2

⇔x1−x2=75−3(3m−1)25−(3m−1)⇔x1−x2=78−9m26−3m

⇔x1−x2=3(26−3m)26−3m⇔x1−x2=3

Kết hợp x1+x2=−5 suy ra  x1=−1;x2=−4 Thay vào x1x2=3m−1 suy ra m=53  (thỏa mãn m≤2912)

Vậy m=53  là giá trị cần tìm.

a) Với m=1 phương trình đã cho trở thành x2−10x+9=0

Ta có  a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=1x2=9

b) Δ'=−5m2−1.9m=25m2−9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ'>0⇔25m2−9m>0 (*)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=10m (*)x1x2=9m       (**)

từ (*) và giả thiết x1−9x2=0 ta có hệ phương trình: x1+x2=10mx1−9x2=0 ⇔10x2=10mx1=9x2 ⇔x2=mx1=9m 

Thay vào phương trình (**) ta có:  x1x2=9m9m2=9m⇔9m(m−1)=0⇔m=0m=1

Với m=0 ta có Δ'=25m2−9m=0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m=1  ta có Δ'=25m2−9m=16>0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m=1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1,x2  thỏa điều kiện x1−9x2=0 .

a) Với m=0, phương trình đã cho trở thành: x2−2x−1=0

Δ'=2 ; x1,2=1±2

Vậy với m=0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x1,2=1±2.

b)  Δ'=m+2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0⇔m+2>0⇔m>−2

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1+x2=2(m+1)x1x2=m2+m−1

Do đó: 1x1+1x2=4⇔x1+x2x1x2=4⇔2(m+1)m2+m−1=4

⇔m2+m−1≠0m+1=2(m2+m−1)⇔m2+m−1≠02m2+m−3=0⇔m=1m=−32

Kết hợp với điều kiện ⇒m∈1;−32 là các giá trị cần tìm.

a) Với m=-1 phương trình trở thành 12x2+x−92=0⇔x2+2x−9=0

Δ'=10>0. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1=−1−10;x2=−1+10

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì  

⇔−m2−4.12.12m2+4m−1>0⇔−8m+2>0⇔m<14

Để phương trình có nghiệm khác 0 Δ>0⇔12m2+4m−1≠0

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có⇒m1≠−4−32m2≠−4+32 

Theo bài ra có 1x1+1x2=x1+x2⇔x1+x2x1x2−1=0⇔x1+x2=0x1x2−1=0

⇔2m=0m2+8m−3=0⇔m=0m=−4−19m=−4+19

Kết hợp với điều kiện m<14; m1≠−4−32;m2≠−4+32 ta được m=0;m=−4−19

Vậy m=0;m=−4−19 là các giá trị cần tìm.

a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

⇔−m−12−1.m2−3≥0

⇔−2m+4≥0

⇔m≤2

Vậy m≤2 thì phương trình đã cho có nghiệm

b) Với m<2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.

Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: a+3a=2m−2  (1)a.3a=m2−3     (2)

Từ phương trình (1) ⇒a=m−12 thế vào phương trình (2) ta có 3m−122=m2−3

⇔m2+6m−15=0 có Δ'=24>0  .

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

m2=−3+26; m2=−3−26(thỏa mãn điều kiện m≤2 )

Vậy  m=−3±26 là các giá trị cần tìm.

a) Ta có Δ'=12−1.−m2−1=1+m2+1=m2+2>0, với mọi m

Vì Δ'>0, với mọi nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

S=x1+x2=−ba=−21=−2P=x1x2=ca=−m2−11=−m2−1

c) Ta có x1+x2=−2 (do trên) và x1=−3x2 nên ta có hệ phương trình sau:

x1+x2=−2x1=−3x2⇔x1+x2=−2x1+3x2=0⇔x1+x2=−2−x1−3x2=0

⇔x1+x2=−2−2x2=−2⇔x1+1=−2x2=1⇔x1=−3x2=1   *

Thay(*)  vào biểu thức x1x2=−m2−1 ta được:

−3.1=−m2−1⇔m2=2⇔m=±2

 Vậy m=±2  là các giá trị cần tìm.

Phương trình  x2−2m+2x+2m=0⇔x2−2m+1x+2m=0

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1,x2  là

Δ'≥0x1+x2≥0x1x2≥0⇔m2+1≥02(m+1)≥02m≥0⇔m≥0

Theo hệ thức Vi-ét: x1+x2=2m+1x1x2=2m

Ta có x1+x2≤2⇔x1+x2+2x1x2≤2

⇔2m+2+22m≤2⇔m=0 (thoả mãn)

Vậy m=0 là giá trị cần tìm.

a) Ta có Δ=−2m−12−4.1.2m−5=4m2−12m+22

 =2m2−2.2m.3+9+13=2m+32+13>0,∀m  

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1+x2=2m−2x1x2=2m−5 (I)

Theo giả thiết x1<1<x2⇒x1−1<0x2−1>0⇒x1−1x2−1<0⇒x1x2−x1+x2+1<0 (II)

Thay (I) vào (II) ta có: 2m−5−2m−2+1<0⇔0.m−2<0, đúng với mọi m .

Vậy với mọi  m thì phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1<1<x2

a) Ta có a.c=1.−1=−1<0 , với  ∀mnên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m .

b) Ta có x1;x2là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: x12−mx1−1=0và x22−mx2−1=0

 hay   x12=mx1+1x22=mx2+1

 Do đó P=x12+x1−1x1−x22+x2−1x2=mx1+1+x1−1x1−mx2+1+x2−1x2

=x1m+1x1−x2m+1x2=m+1−m+1=0 vì x1 , x2≠0 .

Vậy P=0 .

Do 4+3 là nghiệm của phương trình nên thỏa mãn phương trình:

4+32−84+3+m=0

⇔m−13=0⇔m=13

Thay m=13 vào phương trình ta được phương trình:  x2−8x+13=0 (*) 

Δ'=−42−1.13=3

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:  x1=4+3x2=4−3

Vậy x=4−3 là giá trị cần tìm.

a) Vì phương trình x2−2x+m+3=0 có nghiệm x=−1  nên ta có:

  (−1)2−2.(−1)+m+3=0⇔m+6=0⇔m=−6.

Ta có phương trình: x2−2x+(−6)+3=0⇔x2−2x−3=0

Ta có a−b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm:x1=−1 ; x2=−ca=3

Vậy m=6 và nghiệm còn lại là x=3.

b) Δ'=12−1.m+3=−m−2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt v⇔Δ'>0⇔m<−2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1+x2=2x1x2=m+3

Ta có   x13+x23=8

⇔(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)=8

⇔23−3.(m+3).2=8

⇔6(m+3)=0

⇔m+3=0

 ⇔m=−3(thỏa mãn điều kiện)

Vậy  m=−3 là giá trị cần tìm.

a) Δ'=−m2−1.m2−12=12>0, ∀m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b) Hai nghiệm của phương trình là x1=m−22x2=m+22

Theo đề bài ta có  m−22=m+22⇔m2−2m+12=m2+2m+12⇔22m=0⇔m=0

c) Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1;x2. Theo đề bài đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có x12+x22=32=9

Vậy ta có:

m−222+m+222=9⇔2m2−8=0⇔m2−4=0⇔m=2m=−2

 Vậy m=2m=−2 là các giá trị cần tìm.

a) Ta có Δ'=12−1.−m2−1=1+m2+1=m2+2>0, với mọi m

Vì Δ'>0, m với mọi nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

S=x1+x2=−ba=−21=−2P=x1x2=ca=−m2−11=−m2−1

c) Ta có  x1+x2=−2(do trên) và x1=−3x2 nên ta có hệ phương trình sau:

x1+x2=−2x1=−3x2⇔x1+x2=−2x1+3x2=0⇔x1+x2=−2−x1−3x2=0

⇔x1+x2=−2−2x2=−2⇔x1+1=−2x2=1⇔x1=−3x2=1   *

Thay (*) vào biểu thức  x1x2=−m2−1 ta được: −3.1=−m2−1⇔m2=2⇔m=±2

Vậy m=±2 là các giá trị cần tìm.

Δ=−m22−4.1.m+1=m4−4m−4

Phương trình có nghiệm nguyên khi Δ=m4−4m−4 là số chính phương

Nếu m=0m=1 thì Δ<0 (loại)

Nếu m=2 thì  Δ=4=22(nhận)

Nếu m≥3 thì 2mm−2>5⇔2m2−4m−5>0

⇔Δ−2m2−4m−5<Δ<Δ+4m+4

⇔m4−2m2+1<Δ<m4

⇔m2−12<Δ<m22

∆ không là số chính phương.

Vậy m=2 là giá trị cần tìm

a) Ta có:Δ'=−m−42−m−6

Δ'=m−42−m+6

Δ'=m2−8m+16−m+6

Δ'=m2−9m+22

Δ'=m−922+72>0,∀m

Do Δ'>0, ∀m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo câu a,Δ'>0, ∀mΔ'>0, ∀m  nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét:

 x1+x2=−ba=−−2m−4=2m−4=2m−8x1.x2=ca=m−6

Có: A=1x1+1x2=x1+x2x1.x2=2m−8m−6=2m−6+12−8m−6

=2m−6+4m−6=2m−6m−6+4m−6=2+4m−6

Để thì A∈ℤ suy ra4⋮m−6   hay m−6∈Ư(4)=  −4;−2;−1;1;2;4

Lập bảng:

Vậy  m∈2;4;5;7;8;10 thì A∈ℤ.

a) Ta có:Δ'=−m−22−−2m=m−22+2m=m2−4m+4+2m

  =m−12+3>0,∀m

Do Δ'>0, ∀m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo câu a,  Δ'>0, ∀mnên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét:  

S=x1+x2=−ba=−−2m−2=2m−2=2m−4P=x1.x2=ca=−2m

Có x1 là nghiệm của phương trình nên ta có x12−2m−2x1−2m=0⇔x12=2m−2x1+2m

Theo đề toán: x2−x1=x12⇔x2−x1=2m−2x1+2m

⇔2m−4−x1−x1=2m−2x1+2m⇔−4−2x1=2m−4x1⇔x1=42−2m⇔x1=21−m

Thayx1=21−m  vào (1),ta được: 21−m2−2m−221−m−2m=0

⇔41−m2−4m−21−m1−m2−2m1−m21−m2=0⇒4−4−m2+3m−2−2m1−2m+m2=0⇔4+4m2−12m+8−2m+4m2−2m3=0⇔2m3−8m2+14m−12=0⇔m3−4m2+7m−6=0⇔m−2m2−2m+3=0⇔m=2.

Vậy m=2 là giá trị cần tìm.

a) Ta có: Δ'=−12−−2m2=1+2m2>0,∀m

DoΔ'>0, ∀m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo câu a, Δ'>0, ∀mnên phương trình luôn có hai nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét:  

S=x1+x2=−ba=−−2=2P=x1.x2=ca=−2m2  3

Có: x12=4x22⇔x1=2x2x1=−2x2

TH1: x1=2x2x1+x2=2⇔x1=43x2=23 thay vào  (2) .Ta được:43⋅23=−2m2  (vô lý)

TH2: x1=−2x2x1+x2=2⇔x1=4x2=−2 thay vào (3) . Ta được: 4−2=−2m2⇔m2=4⇔m=±2 

Vậy m=±2 là giá trị cần tìm .

a) Với  m=6phương trình (1) trở thành x2–5x+6=0 (*)

Δ=25–4.6=1>0. Suy ra phương trình có hai nghiệm:   x1=3; x2=2.

b) Ta có:  Δ=25−4m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thì Δ>0⇔m<254.

Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :

 x1+x2=5    1x1x2=m      2x1−x2=3  3. Giải hệ 1, 3 :x1+x2=5 x1−x2=3⇔x1+x2=5x1−x2=3x1+x2=5x1−x2=−3⇔x1=1x2=4x1=4x2=1   4 

Từ  (2) và (4) suy ra:m=4 . Thử lại thì thoả mãn. Vậy m=4 là giá trị cần tìm.

Đặt X=x2X≥0

Phương trình trở thành X4−(m2+4m)X2+7m−1=0 (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương         

  ⇔Δ>0S>0P>0   (I)   ⇔m2+4m2−4(7m−1)>0m2+4m>07m−1>0

Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương , .

Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm

x1,2=±X1 ;

x3,4=±X2

⇒x12+x22+x32+x42=2(X1+X2)=2(m2+4m)

Vậy ta có 2(m2+4m)=10⇒m2+4m−5=0⇒m=1m=−5

Với m=1, (I) thỏa mãn

Với m=−5 , (I) không thỏa mãn.        

Vậy  m=1 là giá trị cần tìm.

a) Δ=2m+12−4m2+m−6=25>0⇔25>0 với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình (*)  luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

b) Theo Vi-et ta có: x1x2=m2+m−6x1+x2=2m+1

Để phương trình  (*) có hai nghiệm âm thì: x1.x2>0x1+x2<0⇔m2+m−6>02m+1<0

⇔m<−3 hoặc  m>2m<−12⇔m<−3

Vậy với m<−3 thì phương trình (*)  luôn có hai nghiệm âm.

c) Với Δ=25 suy ra  x1=m−2;x2=m+3

Theo giả thiết, ta có: x13−x23=50 ⇔m−23−m+33=50⇔53m2+3m+7=50

⇔m2+m−1=0⇔m1=−1+52m2=−1−52

  .

a) Với m=2 phương trình trở thành 

. Ta có   a−b+c=2−3+1=0. Vậy phương trình có 2 nghiệm

 x1=−1;x2=−ca=−12

Vậy phương trình có tập nghiệm S=−1;−12

b) Ta có Δ=b2−4ac=2m−12−4.2.m−1

=4m2−12m+9=2m−32

Vì 2m−32≥0 với mọi  nên Δ≥0 với mọi

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm x1;x2 với mọi

Theo hệ thức Vi-et ta có :

x1+x2=1−2m2      1x1x2=m−12              2

Kết hợp 3x1−4x2=11 và (1) ta có hệ

x1+x2=1−2m23x1−4x2=11⇔4x1+4x2=21−2m3x1−4x2=11⇔x1=13−4m7x1+x2=1−2m2⇔x1=13−4m7x2=−19−6m14

Thayx1;x2  vào pt (2) ta có

x1.x2=m−12

⇒13−4m7.−19−6m14=m−12⇔24m2−51m−198=0⇔8m2−17m−66=0⇔m=−2m=338TM

Vậy m∈−2;338

c) Theo Vi-et ta có:

x1+x2=1−2m2 x1x2=m−12       ⇔2x1+x2=1−2m2x1x2=m−1⇔2x1+x2=1−2m4x1x2=2m−2

⇒2x1+x2+4x1x2=−1

Vậy hệ thức liên hệ  2x1+x2+4x1x2=−1 có giá trị không phụ thuộc vào m .

d) Theo câu b phương trình luôn có nghiệm với mọi  

Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì

x1+x2>0x1x2>0⇔1−2m2>0m−12>0⇔1−2m>0m−1>0⇔m<12m>1⇔m∈∅

Vậy không có giá trị nào của  để phương trình có hai nghiệm dương.

a) Ta có: Δ'=(m−1)2+m+1=(m−12)2+74>0,∀m. Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi- ét ta có

  x1+x2=−2m−1x1.x2=−m+1 

Để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 1 , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì x1−1x2−1<0

⇔x1x2−x1+x2+1<0⇔−m+1+2m−1+1<0⇔m<2

b) Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì

x1−2x2−2>0x1−2+x2−2<0⇔x1x2−2x1+x2+4>0x1+x2<4⇔m>13m>−1⇔m>13

a) Ta có:

 Δ=(2m+3)2−4.1.(m2+3m+2)=4m2+12m+9−4m2−12m−8=1>0

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Vì phương trình có một nghiệm bằng 2 nên ta thay x=2 vào phương trình có:

 22−(2m+3)2+m2+3m+2=0⇔4−4m−6+m2+3m+2=0⇔m2−m=0⇔m(m−1)=0⇔m=0m=1

Theo hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=2m+3x1.x2=m2+3m+2 thay  x1=2: 2+x2=2m+32.x2=m2+3m+2

·Với m=0 thay vào ta có:  2+x2=32.x2=2⇒x2=1

·Với m=1 thay vào ta có:  2+x2=52.x2=6⇒x2=3

c) Theo trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa: x1+x2=2m+3x1.x2=m2+3m+2

Vì−3<x1<x2<6  nên  −3<x1<x2x1<x2<6⇔0<x1+3<x2+3x1−6<x2−6<0

  ⇔(x1+3)+(x2+3)>0(x1+3)(x2+3)>0(x1−6)+(x2−6)<0(x1−6)(x2−6)>0⇔x1+x2+6>0x1.x2+3.(x1+x2)+9>0x1+x2−12<0x1.x2−6(x1+x2)+36>0

⇔2m+3+6>0m2+3m+2+3(2m+3)+9>02m+3−12<0m2+3m+2−6(2m+3)+36>0⇔2m+9>0m2+9m+20>02m−9<0m2−9m+20>0⇔m>−92(m+4)(m+5)>0m<92(m−4)(m−5)>0

⇔m>−92m<−5m>−4m<92m<4m>5⇔−4<m<4

Vậy−4<m<4

d) Phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia :

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : x1=2m+3−12=m+1;  x2=2m+3+12=m+2

Theo yêu cầu đề toán : nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia :

Trường hợp 1: x2=x12 

⇔m+2=(m+1)2⇔m+2=m2+2m+1⇔m2+m−1=0⇔m=−1±52

Trường hợp 2 :x1=x22 

m+1=m+22 (*)

⇔m2+4m+4−m−1=0

⇔m2+3m+3=0

Δ<0⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Kết luận:m=−1±52 là giá trị cần tìm

a) Xét phương trình mx2−5m−2x+6m−5=0

Để để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì:

 a≠0Δ>0x1+x2=0⇔m≠05m−22−4.m.6m−5>05m−2m=0

⇔m≠0m2+4>05m−2=0(luôn đúng với mọi m ) ⇔m=25 (thỏa mãn)

Vậym=25  thì phương trình có hai nghiệm đối nhau.

b) Xét phương trình mx2−5m−2x+6m−5=0

Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì:

a≠0Δ>0x1.x2=1⇔m≠05m−22−4.m.6m−5>06m−5m=1

⇔m≠0m2+4>06m−5=m(luôn đúng với ∀m ) ⇔m=1  (thỏa mãn)

Vậy m=1 thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.

a) Xét phương trình 2x2+mx+m−3=0 để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: a.c<0⇔2.(m−3)<0⇔m<3 .  

Với m<3 , áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

 x1+x2=−bax1.x2=ca⇔x1+x2=−m2x1.x2=m−32

Có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương suy ra :

x1>x2trong đó x1<0  ;  x2>0 nên −x1>x2⇔x1+x2<0⇔−m2<0⇔m>0 .

Từ (1) và (2) suy ra  0<m<3.

Vậy 0<m<3  thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Chú ý: Đề bài có nghĩa tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm âm.

b) x2−2(m−1)x+m−3=0 có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Xét phương trình:  x2−2(m−1)x+m−3=0 (2) có:

a=1;b=−2(m−1);c=m+3

PT (2) có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

 ⇔a≠0P<0S=0⇔a≠0a.c<0−ba=0⇔1≠01.(m−3)<02(m−1)1=0⇔m−3<0m−1=0⇔m<3m=1⇔m=1

Vậy với m = 1 thì pt đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

a) Thay m=−1 vào (1) ta có:  x2+4x+4=0⇔x+22=0⇔x=−2

Vậy với  m=−1thì phương trình có nghiệm  x=−2.

b) Ta có:  Δ'=m+1

Để pt (1) có nghiệm thì  Δ'≥0⇔m+1≥0⇔m≥−1.

Vậy với m≥−1 thì pt (1) có nghiệm.

c) Áp dụng hệ thức Viet ta có:  x1+x2=2m−1;x1x2=m2−3m

1x1+1x2=−1

⇔     x1+x2+x1x2      =0⇔2m−2+m2−3m=0⇔        m2−m−2         =0    2

Ta có:  a−b+c=1−−1−2=0

Phương trình (2) có hai nghiệm   m1=−1;m2=2

Vậy với m∈{−1;2} thì pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 1x1+1x2=−1.

a)  Δ'=m+12−1.4m=m2−2m+1=m−12

Để PT có nghiệm kép  ⇔Δ'=0⇔m−1=0⇔m=1

b)x=4 là một nghiệm của phương trình nên ta có

⇒42−2m+1.4+4m=0⇔−4m+8=0⇔m=2

Với  phương trình trở thành

 x2−6x+8=0

⇔x−2x−4=0

⇔x−2=0x−4=0⇔x=2x=4

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là  x=4

c) Δ'=m−12≥0  ∀m

Phương trình có hai nghiệm. Áp dụng đinh lý Vi-et:

 x1+x2=2m+2x1.x2=4m

- Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔4m>0⇔m>0

- Để phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔4m<0⇔m<0

d) với m>0 PT có hai nghiệm cùng dấu .

TH1: x1;x2 cùng dấu dương

 ⇔2m+2>0⇔m>−1

Kết hợp m>−1 với điều kiện  m>0⇒m>0 

TH2: x1;x2 cùng dấu âm

 ⇔2m+2<0⇔m<−1 

m<−1 với điều kiện m>0

Vậy không có giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm

e) Áp dụng đinh lý Vi-et:

x1+x2=2m+2(*)

x1.x2=4m(**)

Không mất tính tổng quát ta giả sử: x1=2x2⇔x1−2x2=0

Kết hợp với (*) ta có hệ phương trình: x1+x2=2m+2x1−2x2=0⇔x2=2m+23x1=2x2⇔x2=2m+23x1=4m+43

Thay vào phương trình (**) ta có

 x1.x2=4m⇔2(m+1).4(m+1)9=4m⇔2(m+1)2=9m⇔2m2−5m+2=0

m1=2;m2=12. Thỏa mãn.

Vậy với m1=2;m2=12 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.

f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn  2x1−x2=−2

 2x1−x2=−2         (1)x1+x2=2m+2     (2)x1x2=4m                  (3)

Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình

3x1=2mx2=2x1+2⇔x1=2m3x2=4m+63

Thay vào phương trình (3) ta có:  2m3.4m+63=4m

⇔m2−3m=0

⇔mm−3=0⇔m=0m=3 (thỏa mãn).

Vậy với m = 0 hoặc m=3 thì phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn  2x1−x2=−2

g) 

A=2x12+2x22−x1x2=2x12+x22−x1x2=2x1+x22−5x1x2=22m+22−5.4m=8m2−4m+8=8m−142+152≥152 ∀m

⇒Amin=152. Dấu "=" xảy ra ⇔m=14  (tm)

Vậy m=14 để A đạt giá trị nhỏ nhất.