Đáp án đúng là: C

Ta đặt M’(x’; y’) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k = –2.

Suy ra $\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}=-2\overrightarrow{OM}$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}-0=-2.\left(-2-0\right)\\ y^{\text{'}}-0=-2.\left(4-0\right)\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=4\\ y^{\text{'}}=-8\end{array}\right.$

Vậy tọa độ M’(4; –8) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.

a) Chọn điểm M(–1; –1) ∈ d: x + y + 2 = 0.

Ta đặt M’ = ĐOx(M).

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M’(–1; 1).

Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó yN = 0, suy ra xN = –2. Do đó N(–2; 0).

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm M’(–1; 1) và N(–2; 0).

Ta có: $\overrightarrow{M^{\text{'}}N}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{d^{\text{'}}}=\left(1;-1\right)$.

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{d^{\text{'}}}=\left(1;-1\right)$ nên có phương trình là:

1.(x + 2) – 1.(y – 0) = 0 hay x – y + 2 = 0.

b) Đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 có tâm I(2; –4), bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-4\right)}^2-\left(-5\right)}=5$.

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOy.

Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua ĐOy và có bán kính R’ = R = 5.

Ta đặt I’ = ĐOy(I).

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy

Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ĐOy là: (x + 2)2 + (y + 4)2 = 25.

a) Chọn điểm A(–1; 1) ∈ d.

Ta đặt A’ = ĐO(A).

Suy ra O là trung điểm của AA’.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=2x_O-x_A=2.0+1=1\\ y_{A^{\text{'}}}=2y_O-y_A=2.0-1=-1\end{array}\right.$

Vì vậy A’(1; –1).

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua ĐO, suy ra d’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’ nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(1; –1) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1.(x – 1) + 6.(y + 1) = 0 hay x + 6y + 5 = 0.

b) Ta đặt A” = ĐM(A).

Suy ra M là trung điểm AA”.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}=2x_M-x_A=2.4+1=9\\ y_{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}=2y_M-y_A=2.6-1=11\end{array}\right.$

Vì vậy A”(9; 11).

Gọi d” là ảnh của d qua ĐM, suy ra d’’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’’ nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’’ đi qua A”(9; 11) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1.(x – 9) + 6.(y – 11) = 0 hay x + 6y – 75 = 0.

a) Gọi I là một điểm trên hình (A) và I’ là một điểm trên hình (B) có vị trí tương ứng với điểm I trên hình (A) (hình vẽ).

Giả sử $\overrightarrow{u}$ là vectơ có phương vuông góc với trục đối xứng của hình (A), độ dài bằng độ dài từ điểm I đến điểm I’ (hình vẽ).

Tức là, $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{I{I}^{\text{'}}}$.

Gọi J là một điểm bất kì trên hình (A).

Lấy điểm J’ sao cho $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{I{I}^{\text{'}}}$.

Khi đó J’ là một điểm trên hình (B) có vị trí tương ứng với điểm J trên hình (A).

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên hình (A), ta lấy điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u}$ thì ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình (B).

Vậy phép biến hình f cần tìm là phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}$.

Ta đặt tên cho các hình vẽ trong Hình 2 theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới là: a, b, c, d, e, f, g, h.

⦁ Xét Hình 2a: biển báo có dạng hình tam giác đều.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, điểm A là một đỉnh của tam giác.

Phép quay tâm O, góc quay 120° biến điểm A thành điểm A’.

Khi đó ta thấy điểm A’ nằm trên Hình 2a ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2a.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 120°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2a ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2a thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 120°.

Ta có $\frac{360°}{n}=120°$. Suy ra n = 3 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2a có tâm đối xứng quay bậc 3.

⦁ Xét Hình 2b: có dạng hình vuông.

Gọi O là tâm hình vuông và B là một đỉnh của hình vuông.

Phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm B thành điểm B’.

Khi đó ta thấy điểm B’ nằm trên Hình 2b ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2b.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 90°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2b ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2b thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 90°.

Ta có $\frac{360°}{n}=90°$. Suy ra n = 4 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2b có tâm đối xứng quay bậc 4.

⦁ Xét Hình 2c:

Chọn hai điểm O, C như hình vẽ.

Phép quay tâm O, góc quay 72° biến điểm C thành điểm C’.

Khi đó ta thấy điểm C’ nằm trên Hình 2c ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2c.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 72°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2c ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2c thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 72°.

Ta có $\frac{360°}{n}=72°$. Suy ra n = 5 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2c có tâm đối xứng quay bậc 5.

⦁ Xét Hình 2d: có dạng hình vuông

Gọi O là tâm hình vuông. Chọn điểm D như hình vẽ.

Phép quay tâm O, góc quay 60° biến điểm D thành điểm D’.

Khi đó ta thấy điểm D’ nằm trên Hình 2d ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2d.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 60°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2d ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2d thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 60°.

Ta có $\frac{360°}{n}=60°$. Suy ra n = 6 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2d có tâm đối xứng quay bậc 6.

⦁ Xét Hình 2e: có dạng hình vuông.

Gọi O là tâm hình vuông. Chọn điểm E như hình vẽ.

Phép quay tâm O, góc quay 180° biến điểm E thành điểm E’.

Khi đó ta thấy điểm E’ nằm trên Hình 2e ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2e.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 180°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2e ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2e thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 180°.

Ta có $\frac{360°}{n}=180°$. Suy ra n = 2 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2e có tâm đối xứng quay bậc 2.

⦁ Xét Hình 2f:

Chọn hai điểm O, F như hình vẽ.

Phép quay tâm O, góc quay 120° biến điểm F thành điểm F’.

Khi đó ta thấy điểm F’ nằm trên Hình 2f ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2f.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 120°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2f ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2f thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 120°.

Ta có $\frac{360°}{n}=120°$. Suy ra n = 3 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2f có tâm đối xứng quay bậc 3.

⦁ Xét Hình 2g: có dạng hình vuông.

Gọi O là tâm hình vuông. Chọn điểm G như hình vẽ.

Phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm G thành điểm G’.

Khi đó ta thấy điểm G’ nằm trên Hình 2g ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2g.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 90°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2g ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2g thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 90°.

Ta có $\frac{360°}{n}=90°$. Suy ra n = 4 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2g có tâm đối xứng quay bậc 4.

⦁ Xét Hình 2h: có dạng hình tròn

Gọi O là tâm hình tròn. Chọn điểm H như hình vẽ.

Phép quay tâm O, góc quay 72° biến điểm H thành điểm H’.

Khi đó ta thấy điểm H’ nằm trên Hình 2h ban đầu.

Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2h.

Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 72°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2h ban đầu.

Vì vậy phép quay biến Hình 2h thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 72°.

Ta có $\frac{360°}{n}=72°$. Suy ra n = 5 ∈ ℕ*.

Vì vậy Hình 2h có tâm đối xứng quay bậc 5.

Vậy tất cả các hình trong Hình 2 đều là hình đối xứng quay có bậc lần lượt là 3; 4; 5; 6; 2; 3; 4; 5 (tính thứ tự các hình từ trái qua phải và từ trên xuống dưới).