Chuyên đề Toán 11 CTST Bài tập cuối chuyên đề 1 có đáp án
18 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Phép tịnh tiến theo vectơ v→=1;2 biến điểm M thành điểm có tọa độ là
A. (3; 1).
B. (1; 6).
C. (3; 7).
D. (4; 7).
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép đối xứng trục Oy, điểm A(3; 5) biến thành điểm nào trong các điểm sau?
A. (3; 5).
B. (–3; 5).
C. (3; –5).
D. (–3; –5).
Đáp án đúng là: B
Ta đặt A’(x’; y’) là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục Oy.
Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn AA’.
Do đó hai điểm A(3; 5) và A’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm A’(–3; 5).
Vậy ta chọn phương án B.
Cho ba đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình ℋ. Hỏi ℋ có mấy trục đối xứng?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Đáp án đúng là: D
Gọi (O1), (O2), (O3) là ba đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của các cặp đường tròn (O1) và (O2); (O2) và (O3); (O1) và (O3) (hình vẽ).
Chọn các đường thẳng d1, d2, d3 lần lượt là các đường thẳng đi qua các cặp điểm O1 và N; O2 và P; O3 và M.
Lấy điểm A nằm trên hình ℋ nhưng không nằm trên đường thẳng d3.
Ta đặt A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục d3.
Khi đó A’ nằm trên hình ℋ ban đầu.
Lấy điểm B nằm trên hình ℋ và nằm trên đường thẳng d3.
Ta thấy B là ảnh của chính nó qua phép đối xứng trục d3.
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình ℋ, ta cũng xác định được ảnh của điểm đó qua phép đối xứng trục d3 trên hình ℋ.
Do đó phép đối xứng trục d3 biến hình ℋ thành chính nó.
Vì vậy d3 là trục đối xứng của hình ℋ.
Chứng minh tương tự với hai đường thẳng d1, d2, ta được d1, d2 cũng là trục đối xứng của hình ℋ.
Vậy hình ℋ có 3 trục đối xứng là các đường thẳng d1, d2, d3.
Do đó ta chọn phương án D.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x = 2. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?
A. x = 2.
B. y = 2.
C. x = –2.
D. y = –2.
Đáp án đúng là: C
Chọn điểm M(2; 0) ∈ d.
Ta đặt M’ = ĐO(M).
Suy ra O là trung điểm MM’.
Do đó xM'=2xO−xM=2.0−2=−2yM'=2yO−yM=2.0−0=0
Vì vậy M’(–2; 0).
Đường thẳng d: x = 2 có vectơ pháp tuyến n→=1;0.
Gọi đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua ĐO.
Suy ra đường thẳng d’ song song hoặc trùng với d nên d’ có vectơ pháp tuyến n→=1;0.
Vậy đường thẳng d’ đi qua M’(–2; 0) và nhận n→=1;0 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
1.(x + 2) + 0.(y – 0) = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = –2.
Do đó ta chọn phương án C.
Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?
A. Không có.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.
Đáp án đúng là: B
Giả sử (H) là hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính (O; R) và (O’; R).
Gọi I là trung điểm của đoạn OO’.
Suy ra O’ = ĐI(O).
Gọi A là điểm bất kì trên (O; R).
Lấy điểm A’ sao cho I là trung điểm của AA’. Khi đó A’ = ĐI(A).
Dễ dàng chứng minh được DOAI = DO’A’I (c.g.c)
Suy ra OA = O’A’ (hai cạnh tương ứng)
Mà OA = R nên O’A’ = R hay A’ nằm trên (O’; R).
Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ trên hình (H) sao cho A’ = ĐI(A).
Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì trên hình (H), ta đều xác định được ảnh của các điểm đó qua ĐI trên hình (H).
Vì vậy I là tâm đối xứng của hình (H).
Với mỗi điểm M bất kì sao cho M ≠ I, ta luôn có MO ≠ MO’.
Do đó O’ không phải là ảnh của O qua ĐM.
Vậy hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có 1 tâm đối xứng duy nhất là trung điểm của đoạn nối tâm.
Do đó ta chọn phương án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O với góc quay 45°?
A. M’(1; 1).
B. M’(1; 0).
C. M'2;0.
D. M'0;2.
Đáp án đúng là: D
Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O với góc quay α, 0 < α ≤ 2π, biến tam giác trên thành chính nó?
A. Một.
B. Hai.
C. Ba.
D. Bốn.
Đáp án đúng là: C
Gọi tam giác đã cho là ∆ABC.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(–2; 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau?
A. (–3; 4).
B. (–4; –8).
C. (4; –8).
D. (4; 8).
Đáp án đúng là: C
Ta đặt M’(x’; y’) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k = –2.
Suy ra OM'→=−2OM→
Do đó x'−0=−2.−2−0y'−0=−2.4−0
Vì vậy x'=4y'=−8
Vậy tọa độ M’(4; –8) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta chọn phương án C.
Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài của tam giác các hình vuông ABEF, ACMN. Chứng minh BN bằng và vuông góc với FC.
Vì ABEF là hình vuông nên AF = AB và AF,AB=FAB^=90°.
Suy ra phép quay tâm A, góc quay 90° biến điểm F thành điểm B (1)
Vì ACMN là hình vuông nên AC = AN và AC,AN=CAN^=90°.
Suy ra phép quay tâm A, góc quay 90° biến điểm C thành điểm N (2)
Từ (1), (2), ta thu được phép quay tâm A, góc quay 90° biến đoạn thẳng FC thành đoạn thẳng BN.
Do đó FC = BN và (FC, BN) = 90°.
Vậy FC = BN và FC ⊥ BN.
Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Điểm N di động trên đường nào khi M di động trên (O)?
Cho điểm A chạy trên nửa đường tròn đường kính BC cố định. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
Gọi O là tâm của đường tròn đường kính BC.
Vì ABEF là hình vuông nên BA = BE và BA,BE=ABE^=90°.
Suy ra phép quay tâm B, góc quay 90° biến điểm A thành điểm E.
Đặt C’ = Q(B, 90°)(C) và O’ = Q(B, 90°)(O).
Ta có B = Q(B, 90°)(B).
Vậy khi điểm A chạy trên nửa đường tròn tâm O, đường kính BC cố định thì điểm E chạy trên nửa đường tròn tâm O’, đường kính BC’ cố định là ảnh của nửa đường tròn tâm O, đường kính BC qua phép quay tâm B, góc quay 90°.
Cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0, đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0.
a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.
a) Chọn điểm M(–1; –1) ∈ d: x + y + 2 = 0.
Ta đặt M’ = ĐOx(M).
Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ M’(–1; 1).
Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó yN = 0, suy ra xN = –2. Do đó N(–2; 0).
Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm M’(–1; 1) và N(–2; 0).
Ta có: M'N→=−1;−1⇒n→d'=1;−1.
Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến n→d'=1;−1 nên có phương trình là:
1.(x + 2) – 1.(y – 0) = 0 hay x – y + 2 = 0.
b) Đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 có tâm I(2; –4), bán kính R=22+−42−−5=5.
Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOy.
Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua ĐOy và có bán kính R’ = R = 5.
Ta đặt I’ = ĐOy(I).
Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy
Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).
Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ĐOy là: (x + 2)2 + (y + 4)2 = 25.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 6y – 5 = 0.
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).
a) Chọn điểm A(–1; 1) ∈ d.
Ta đặt A’ = ĐO(A).
Suy ra O là trung điểm của AA’.
Do đó xA'=2xO−xA=2.0+1=1yA'=2yO−yA=2.0−1=−1
Vì vậy A’(1; –1).
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n→=1;6.
Gọi d’ là ảnh của d qua ĐO, suy ra d’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’ nhận n→=1;6 làm vectơ pháp tuyến.
Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(1; –1) và nhận n→=1;6 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
1.(x – 1) + 6.(y + 1) = 0 hay x + 6y + 5 = 0.
b) Ta đặt A” = ĐM(A).
Suy ra M là trung điểm AA”.
Do đó xA''=2xM−xA=2.4+1=9yA''=2yM−yA=2.6−1=11
Vì vậy A”(9; 11).
Gọi d” là ảnh của d qua ĐM, suy ra d’’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’’ nhận n→=1;6 làm vectơ pháp tuyến.
Vậy đường thẳng d’’ đi qua A”(9; 11) và nhận n→=1;6 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
1.(x – 9) + 6.(y – 11) = 0 hay x + 6y – 75 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3; 2), N(2; 0).
a) Tìm ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm I(–1; –1) tỉ số k = –2.
b) Tìm ảnh của các điểm M, N qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.
Cho Hình 1.
a) Tìm phép biến hình f biến hình (A) thành hình (B).
b) Tìm phép biến hình g biến hình (A) thành hình (C).
c) Tìm các phép biến hình biến hình (D) thành lần lượt các hình (E), (F), (G).
a) Gọi I là một điểm trên hình (A) và I’ là một điểm trên hình (B) có vị trí tương ứng với điểm I trên hình (A) (hình vẽ).
Giả sử u→ là vectơ có phương vuông góc với trục đối xứng của hình (A), độ dài bằng độ dài từ điểm I đến điểm I’ (hình vẽ).
Tức là, u→=II'→.
Gọi J là một điểm bất kì trên hình (A).
Lấy điểm J’ sao cho u→=II'→.
Khi đó J’ là một điểm trên hình (B) có vị trí tương ứng với điểm J trên hình (A).
Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên hình (A), ta lấy điểm M’ sao cho MM'→=u→ thì ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình (B).
Vậy phép biến hình f cần tìm là phép tịnh tiến theo u→.
Gọi O được gọi là tâm đối xứng quay bậc n (n ∈ ℕ*) của hình ℋ nếu sau khi thực hiện phép quay QO,360°n ta lại được chính hình ℋ. Hình có tâm đối xứng quay bậc n gọi là hình đối xứng quay bậc n. Tìm các hình đối xứng quay trong Hình 2.
360°n=120°
Ta đặt tên cho các hình vẽ trong Hình 2 theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới là: a, b, c, d, e, f, g, h.
⦁ Xét Hình 2a: biển báo có dạng hình tam giác đều.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, điểm A là một đỉnh của tam giác.
Phép quay tâm O, góc quay 120° biến điểm A thành điểm A’.
Khi đó ta thấy điểm A’ nằm trên Hình 2a ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2a.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 120°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2a ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2a thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 120°.
Ta có 360°n=120°. Suy ra n = 3 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2a có tâm đối xứng quay bậc 3.
⦁ Xét Hình 2b: có dạng hình vuông.
Gọi O là tâm hình vuông và B là một đỉnh của hình vuông.
Phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm B thành điểm B’.
Khi đó ta thấy điểm B’ nằm trên Hình 2b ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2b.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 90°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2b ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2b thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 90°.
Ta có 360°n=90°. Suy ra n = 4 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2b có tâm đối xứng quay bậc 4.
⦁ Xét Hình 2c:
Chọn hai điểm O, C như hình vẽ.
Phép quay tâm O, góc quay 72° biến điểm C thành điểm C’.
Khi đó ta thấy điểm C’ nằm trên Hình 2c ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2c.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 72°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2c ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2c thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 72°.
Ta có 360°n=72°. Suy ra n = 5 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2c có tâm đối xứng quay bậc 5.
⦁ Xét Hình 2d: có dạng hình vuông
Gọi O là tâm hình vuông. Chọn điểm D như hình vẽ.
Phép quay tâm O, góc quay 60° biến điểm D thành điểm D’.
Khi đó ta thấy điểm D’ nằm trên Hình 2d ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2d.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 60°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2d ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2d thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 60°.
Ta có 360°n=60°. Suy ra n = 6 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2d có tâm đối xứng quay bậc 6.
⦁ Xét Hình 2e: có dạng hình vuông.
Gọi O là tâm hình vuông. Chọn điểm E như hình vẽ.
Phép quay tâm O, góc quay 180° biến điểm E thành điểm E’.
Khi đó ta thấy điểm E’ nằm trên Hình 2e ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2e.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 180°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2e ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2e thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 180°.
Ta có 360°n=180°. Suy ra n = 2 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2e có tâm đối xứng quay bậc 2.
⦁ Xét Hình 2f:
Chọn hai điểm O, F như hình vẽ.
Phép quay tâm O, góc quay 120° biến điểm F thành điểm F’.
Khi đó ta thấy điểm F’ nằm trên Hình 2f ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2f.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 120°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2f ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2f thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 120°.
Ta có 360°n=120°. Suy ra n = 3 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2f có tâm đối xứng quay bậc 3.
⦁ Xét Hình 2g: có dạng hình vuông.
Gọi O là tâm hình vuông. Chọn điểm G như hình vẽ.
Phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm G thành điểm G’.
Khi đó ta thấy điểm G’ nằm trên Hình 2g ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2g.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 90°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2g ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2g thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 90°.
Ta có 360°n=90°. Suy ra n = 4 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2g có tâm đối xứng quay bậc 4.
⦁ Xét Hình 2h: có dạng hình tròn
Gọi O là tâm hình tròn. Chọn điểm H như hình vẽ.
Phép quay tâm O, góc quay 72° biến điểm H thành điểm H’.
Khi đó ta thấy điểm H’ nằm trên Hình 2h ban đầu.
Tương tự, ta chọn các điểm khác bất kì trên Hình 2h.
Khi đó qua phép quay tâm O, góc quay 72°, ta cũng xác định được ảnh của các điểm đó trên Hình 2h ban đầu.
Vì vậy phép quay biến Hình 2h thành chính nó là phép quay tâm O, góc quay 72°.
Ta có 360°n=72°. Suy ra n = 5 ∈ ℕ*.
Vì vậy Hình 2h có tâm đối xứng quay bậc 5.
Vậy tất cả các hình trong Hình 2 đều là hình đối xứng quay có bậc lần lượt là 3; 4; 5; 6; 2; 3; 4; 5 (tính thứ tự các hình từ trái qua phải và từ trên xuống dưới).
Thấu kính hội tụ có thể cho ảnh thật hoặc ảnh ảo A’B’ của vật AB. Tìm phép vị tự biến AB thành A’B’ trong Hình 3 và Hình 4.
Cho tam giác ABC có góc B, góc C đều là góc nhọn. Nêu cách vẽ hình chữ nhật DEFG có đỉnh D, đỉnh E thuộc cạnh BC, đỉnh F, đỉnh G thuộc cạnh AC, AB và có EF = 2DE.
⦁ Phân tích:
Lấy điểm G’ bất kì trên AB.
Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có E’F’ = 2D’E’ và hai đỉnh D’, E’ thuộc BC.
Đường thẳng BF’ cắt AC tại F.
Do D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên G’D’ ⊥ D’E’ hay G’D’ ⊥ BC.
Mà GD ⊥ BC (do DEFG là hình chữ nhật).
Nên G’D’ // GD.
Chứng minh tương tự, ta được E’F’ // EF.
Vì D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên G’F’ // D’E’ hay G’F’ // BC.
Mà GF // BC (do DEFG là hình chữ nhật).
Suy ra GF // G’F’.
