Giả sử chọn điểm O trên mỗi hình như hình vẽ dưới đây.

Trong cả 3 hình đã cho, kích thước của hình trước khi xoay và sau khi xoay không thay đổi.

a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.

Với A(–7; 4), B(–2; 3), C(–5; 0), A’(–3; –2), C’(1; 0), ta có:

$\overrightarrow{BA}=\left(-5;1\right),\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}=\left(-1;-5\right),\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(4;-6\right)$.

Suy ra $BA=B{A}^{\text{'}}=\sqrt{26}$ và $A{A}^{\text{'}}=2\sqrt{13}$.

Khi đó $\cos \widehat{AB{A}^{\text{'}}}=\frac{B{A}^2+B{A^{\text{'}}}^2-A{A^{\text{'}}}^2}{2.BA.B{A}^{\text{'}}}=\frac{26+26-{\left(2\sqrt{13}\right)}^2}{2.\sqrt{26}.\sqrt{26}}=0$.

Vì vậy $\left(BA,B{A}^{\text{'}}\right)=\widehat{AB{A}^{\text{'}}}=90°$.

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác (BA, BA’) = 90°   (1)

Thực hiện tương tự, ta được $BC=B{C}^{\text{'}}=3\sqrt{2}$ và $\left(BC,B{C}^{\text{'}}\right)=90°$.

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác (BC, BC’) = 90°   (2)

Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác (BA, BA’) = 90° và biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác (BC, BC’) = 90°.

b) Đặt f(M) = M’. Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°.

Ta có hình vẽ sau:

a) Để con tàu rẽ sang hướng tây, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = 90°.

b) Để con tàu rẽ sang hướng đông, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = –90°.

Ta có Q(O, φ) biến điểm A khác O thành điểm A’ sao cho OA = OA’ và (OA, OA’) = φ nên $\widehat{AO{A}^{\text{'}}}=\phi$.

Tương tự, ta có Q(O, φ) biến điểm B khác O thành điểm B’ sao cho OB = OB’ và (OB, OB’) = φ nên $\widehat{BO{B}^{\text{'}}}=\phi$.

Ta có $\widehat{AO{A}^{\text{'}}}=\widehat{BO{B}^{\text{'}}}\left(=\phi \right)$.

Suy ra $\widehat{AOB}+\widehat{BO{A}^{\text{'}}}=\widehat{BO{A}^{\text{'}}}+\widehat{A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}}$.

Do đó $\widehat{AOB}=\widehat{A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}}$.

Xét ∆OAB và ∆OA’B’, có:

OA = OA’ (chứng minh trên);

OB = OB’ (chứng minh trên);

$\widehat{AOB}=\widehat{A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}}$ (chứng minh trên).

Vậy ∆OAB = ∆OA’B’ (c.g.c).