Chủ đề 3: Các phương trình quy về bậc hai có đáp án

• Phân tích đề bài

Ta thấy tổng của các hệ số của phương trình là 1+−6+11+−6=0 nên phương trình có một nghiệm x = 1.

Giải chi tiết

Ta có: x3−6x2+11x−6=0⇔x3−x2−5x2+5x+6x−6=0

⇔x2x−1−5xx−1+6x−1=0

⇔x−1x2−5x+6=0

⇔x−1x2−3x−2x+6=0

⇔x−1xx−3−2x−3=0⇔x=1x=2x=3

Vậy nghiệm của phương trình là x∈1;2;3

• Phân tích đề bài

Ta thấy tổng của các hệ số của biến x có số mũ lẻ bằng tổng của các hệ số của biến x có số mũ chẵn với hệ số tự do 1+−5=2+−6=−4 nên phương trình có một nghiệm x=−1

Giải chi tiết

x3+2x2−5x−6=0⇔x3+x2+x2+x−6x−6=0

⇔x2x+1+xx+1−6x+1=0

⇔x+1x2+x−6=0

⇔x+1x2+3x−2x−6=0

⇔x+1xx+3−2x+3=0

⇔x+1x−2x+3=0⇔x=−1x=2x=−3

Vậy nghiệm của phương trình làx∈−3;−1;2

Giải chi tiết

2x3−11x2+17x−6=0

⇔2x3−4x2−7x2+14x+3x−6=0

⇔2x2x−2−7xx−2+3x−2=0

⇔x−22x2−7x+3=0

⇔x−22x2−6x−x+3=0

⇔x−22xx−3−x−3=0

⇔x−2x−32x−1=0⇔x=2x=3x=12 

Vậy nghiệm của phương trình làx∈12;2;3

• Phân tích đề bài

Sử dụng máy tính Casio tìm nghiệm phương trình bậc hai ra các số vô tỉ. Vì vậy, không nhẩm được nghiệm của phương trình.

Ta thấy: x3+3x2+3x+1=x+13. Tách ra thành hằng đẳng thức để giải phương trình.

• Giải chi tiết

x3+3x2+3x−2018=0⇔x3+3x2+3x+1−2019=0 

⇔x+13=2019⇔x=−1+20193

Vậy nghiệm của phương trình là x=−1+20193

• Giải chi tiết

Đặt t=x2t≥0

Phương trình (1) trở thành t2+3t−4=0⇔t2+4t−t−4=0⇔tt+4−t+4=0 

⇔t−1t+4=0⇔t=1t=−4

Vì t≥0⇒t=1⇒x2=1⇔x=1x=−1

Vậy nghiệm của phương trình là x∈−1;1

Giải chi tiết

x+1x+3x+5x+7=9⇔x+1x+7x+3x+5=9 

⇔x2+8x+7x2+8x+15=9(1)

Đặt t=x2+8x+7

Phương trình (1) trở thành tt+8=9⇔t2+8t−9=0⇔t2+9t−t−9=0 

⇔t−1t+9=0⇔t=1t=−9

- Với t=1⇒x2+8x+6=0

 Phương trình có nghiệm là x=−4+10x=−4−10

- Với t=−9⇒x2+8x+16=0⇔x+42=0⇔x=−4

Phương trình có nghiệmx∈−4−10;−4;−4+10

Giải chi tiết

Đây là phương trình đối xứng

- Nếu x = 0 thì 1⇔2=0 (vô lý)

Suy ra x≠0 . Chia cả 2 vế cho x2, ta được

2x2−5x+6−5x+2x2=0⇔2x2+1x2−5x+1x+6=0 (2)

Đặt t=x+1x⇒t2=x2+2+1x2⇒x2+1x2=t2−2 phương trình (2) trở thành

2t2−2−5t+6=0⇔2t2−5t+2=0⇔2t−1t−2=0⇔t=2t=12 

+ Với t=2⇒x+1x=2⇒x2−2x+1=0⇔x−12=0⇔x=1 

+ Với t=12⇒x+1x=12⇒2x2−x+2=0 (vô nghiệm vì Δ=15<0)

Giải chi tiết

Đặt t=x+1 

Ta có phương trình: t4−2t3−3=0

⇔t4+t3−3t3−3=0⇔t3t+1−3t3+1=0⇔t3t+1−3t+1t2−t+1=0⇔t+1t3−3t2+3t−3=0⇔t=−1t3−3t2+3t−3=0 

Trường hợp 1: t = -1 thì x+1=−1⇒x=−2 

Trường hợp 2:

t3−3t2+3t−3=0⇔t3−3t2+3t−1−2=0⇔t−13=2⇔t−1=23

⇔t=1+23⇔x+1=1+23⇔x=23

Phương trình có nghiệm là x=23;x=−2

• Giải chi tiết

Điều kiện xác định: x−1≠0⇔x≠1 

4x+3x−1=11⇔4xx−1x−1+3x−1=11x−1x−1⇔4xx−1+3=11x−1

⇔4x2−4x+3=11x−11⇔4x2−15x+14=0⇔4x−7x−2=0⇔x=2x=74

Vậy nghiệm của phương trình là x∈74;2 

Giải chi tiết

Điều kiện xác định x+2≠0x+3≠0⇔x≠−2x≠−3 

6x+22x+2−2x+7x+3=x+4x2+5x+6⇔6x+22x+3x+2x+3−2x+7x+2x+2x+3=x+4x+2x+3

⇔6x+22x+3−2x+7x+2=x+4

⇔6x2+40x+66−2x2+11x+14=x+4

⇔4x2+28x+48=0⇔4x+3x+4=0⇔x=−3x=−4

Kết hợp điều kiện ta được x = -4 là nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định x≠−1

2x−1x3+1−2x2−x+1=−1x+1⇔2x−1x+1x2−x+1−2x2−x+1=−1x+1

⇔2x−1x+1x2−x+1−2x+1x+1x2−x+1=−x2−x+1x+1x2−x+1

⇔2x−1−2x+1=−x2−x+1

⇔2x−1−2x−2=−x2+x−1

⇔x2−x−2=0⇔x+1x−2=0⇔x=−1x=2

Kết hợp điều kiện ta được x = 2 là nghiệm của phương trình.

Điều kiện xác định x≠0

Đặt t=x2+13x. Ta có phương trình t+1t=52⇔2t2−5t+2=0⇔2t−1t−2=0⇔t=2t=12 

- Với t=2⇒x2+13x=2⇔x2−6x+1=0

Δ'=8. Phương trình có nghiệm x=3+22x=3−22

- Với t=12⇒x2+13x=12⇔2x2−3x+2=0(vô nghiệm vì Δ=−7)

Phương trình có nghiệm x∈3−22;3+22

Giải chi tiết

x2+3x−1=3⇔x2+3x−1=3x2+3x−1=−3⇔x2+3x−4=0x2+3x+2=0

+ x2+3x+2=0⇔x2+2x+x+2=0⇔xx+2+x+2=0⇔x+1x+2=0⇔x=−1x=−2

+ x2+3x−4=0

Δ=32+4.4=9+16=25>0 . Phương trình x2+3x−4=0 có nghiệm x=1x=−4

Phương trình có nghiệm là S=−2;−1;1;−4 

Giải chi tiết

Đây thuộc trường hợp A=−A⇔A≤0

5−2x=2x−5⇔2x−5≤0⇔−2x≤−5⇔x≥52

Vậy x≥52 là nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Trường hợp 1: x+9≥0⇔x≥−9 

1⇔x+9=2x+3⇔x=6 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: x+9<0⇔x<−9 

1⇔−x+9=2x+3⇔−x−9=2x+3⇔3x=−12⇔x=−4 (không thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 6.

Giải chi tiết

x2−x+2=x2−4x⇔x2−x+2=x2−4xx2−x+2=−x2+4x⇔3x=−22x2−5x+2=0⇔x=−232x2−5x+2=0

2x2−5x+2=0⇔2x2−4x−x+2=0⇔2xx−2−x−2=0⇔x−22x−1=0⇔x=2x=12

Phương trình có tập nghiệm làS=−23;12;2

Phân tích đề bài

Phương trình có hai biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối.

Để giải phương trình ta chia khoảng phá dấu trị tuyệt đối.

2−x=2−x  khi  x≤2x−2  khi  x>2 ; x−1=x−1  khi  x≥11−x  khi  x<1

Giải chi tiết

Ta có: 2−x=2−x  khi  x≤2x−2  khi  x>2 ; x−1=x−1  khi  x≥11−x  khi  x<1

Trường hợp 1: Với x>2 thì 1⇔x−1+x−2=2x⇔−3=0 (vô lí)

Trường hợp 2: Với 1≤x≤2 thì 1⇔x−1+2−x=2x⇔2x=1⇔x=12(không thỏa mãn)

Trường hợp 3: Với x<1 thì 1⇔1−x+2−x=2x⇔4x=3⇔x=34(thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x=34

Giải chi tiết

Điều kiện xác định x2+x+7≥0⇔x+122+274≥0 (luôn đúng với mọi x)

x2+x+7=3⇔x2+x+7=9⇔x2+x−2=0⇔x2+2x−x−2=0

⇔x+2x−1=0⇔x=−2x=1

Phương trình có nghiệm x∈−2;1

Giải chi tiết

3x−2=5x−8⇔3x−2≥03x−2=5x−8⇔x≥23−2x=−6⇔x≥23x=3⇔x=3

Phương trình có nghiệm là x = 3

Giải chi tiết

2x2+17x−3=5−x⇔5−x≥02x2+17x−3=5−x2

⇔x≤52x2+17x−3=25−10x+x2⇔x≤5x2+27x−28=0⇔x≤5x=1x=−28⇔x=1x=−28

Phương trình có nghiệm là x∈−28;1

Giải chi tiết

Điều kiện xác định x+3≥03x+1≥0⇔x≥−3x≥−13⇔x≥−13 

x+3+3x+1=4⇔x+3+3x+12=16⇔x+3+3x+1+2x+33x+1=16⇔2x+33x+1=12−4x⇔3x2+10x+3=6−2x⇔6−2x≥03x2+10x+3=6−2x2⇔x≤3x2−34x+33=0⇔x≤3x=1x=33⇔x=1

Kết hợp điều kiện x≥−13. Vậy nghiệm của phương trình là  x = 1

Ở ví dụ 4, ta thực hiện ta thực hiện biến đổi bình phương hai vế vì cả hai vế cùng không âm.

Nếu phương trình có dạng Ax−Bx=C thì ta phải biến đổi để cả hai vế cùng không âm, tiếp đó bình phương.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định 2x2−11x+6≥0

Đặt t=2x2−11x+6(điều kiện t≥0). Phương trình (1) trở thành:

t2+2=3t⇔t2−3t+2=0⇔t−1t−2=0⇔t=1t=2 

- Với t = 1 ⇒2x2−11x+6=1⇔2x2−11x+5=0⇔2x−1x−5=0⇔x=12x=5

- Với t = 2 ⇒2x2−11x+6=4⇔2x2−11x+2=0

Δ=112−4.2.2=105

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x=11+1054x=11−1054

Thay vào điều kiện, ta nhận được tập nghiệm của phương trình là x∈11±1054;12;5

a) Nghiệm của phương trình là x∈0;1;2 

b) Gợi ý: x4−4x3+8x+3=0⇔x+1x−3x2−2x−1=0 (Bài toán 3 – dạng 1.1)

Nghiệm của phương trình là x∈−1;1±2;3

c) Nghiệm của phương trình là x∈±2 (Bài toán 1 – dạng 1.2)

d) Đặt t=x3 . Nghiệm của phương trình là x∈1;43

e) Gợi ý: x−1x+4x−2x+5=112⇔x2+3x−4x2+3x−10=112 

Đặt t=x2+3x−4 . Ta có phương trình t2−6t−112=0⇔t=−8t=14 

Với t=−8⇒x∈∅ 

Với t=14⇒x=3x=−6 

Nghiệm của phương trình làx∈−6;3

f) Gợi ý: x2+3x+2x2+7x+12=24⇔x+1x+2x+3x+4=24 

Nghiệm của phương trình làx∈−5;0

g) Gợi ý: 2x4−13x3+24x2−13x+2=0⇒2x2−13x+24−13x+2x2=0 

⇔2x2+1x2−13x+1x+24=0

Đặt t=x+1x Ta có phương trình:

⇔2t2−2−13t+24=0⇔2t2−13t+20=0⇔t=4t=52 

Với t=4⇒x=2±3 

Với t=52⇒x=2x=12

h) Các hệ số của phương trình cộng lại bằng 0 nên phương trình nhận x = 1 là nghiệm.

x4−4x3−9x2+8x+4=0⇔x−1x+2x2−5x−2=0 

Nghiệm của phương trình là x∈−2;1;5±332

a) Điều kiện xác định: x≠−1;x≠3 

1x+1+x−1x−3=2x+2x2−2x−3⇔x−3x+1x−3+x−1x+1x+1x−3=2x+2x+1x−3⇔x−3+x2−1=2x+2⇔x2−x−6=0⇔x+2x−3=0⇔x=−2x=3 

Kết hợp điều kiện thì nghiệm của phương trình là x = -2.

b) Điều kiện xác định x≠2 

x+1x2+2x+4−3x−2=2x28−x3⇔x+1x−2x2+2x+4x−2−3x2+2x+4x−2x2+2x+4=−2x2x−2x2+2x+4 

⇒x2−x−2−3x2−6x−12=−2x2⇔−7x=14⇔x=−2(thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = -2

c) Điều kiện xác định x∉−3;−2;−1;0 

1xx+1+1x+1x+2+1x+2x+3=310⇔x+1−xxx+1+x+2−x+1x+1x+2+x+3−x+2x+2x+3=310⇔1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x+2−1x+3=310⇔1x−1x+3=310⇒10x+3−10x=3xx+3    

⇔3x2+9x−30=0⇔x=−5x=2(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x∈−5;2  

d) Điều kiện xác định  x≠−12

Đặt t=x2+x+52x+1. Ta có phương trình t+5t=6⇔t2−6t+5=0⇔t−1t−5=0⇔t=1t=5 

 Với t=1⇒x2+x+52x+1=1⇔x2−x+4=0(vô nghiệm)

 Với t=5⇒x2+x+52x+1=5⇔x2−9x=0⇔x=0x=9(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x∈0;9

a) 2x2−5x+4=22x2−5x+4=−2⇔2x2−5x+2=02x2−5x+6=0 

* 2x2−5x+2=0⇔2x−1x−2=0⇔x=2x=12  

* 2x2−5x+6=0

Δ=−23<0. Phương trình vô nghiệm             

Vậy nghiệm của phương trình là x∈12;2 

b) x2+2x=2x+9⇔x2+2x=2x+9x2+2x=−2x−9⇔x2=9x2+4x+9=0     

*x2=9⇔x=3x=−3

*x2+4x+9=0⇔x+22+5=0. Phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là x∈−3;3 

c) x2−4x+4=−x2−4x+4⇒x2−4x+4≤0⇔x−22≤0⇔x−2=0⇔x=2 

Lưu ý: Vì A2≥0 nên khi giải phương trình A2≤0 tương đương A= 0

d) 4x−1=x2+3x−1 

- Trường hợp 1: x≥14 

Ta có phương trình 4x−1=x2+3x−1⇔x2−x=0⇔xx−1=0⇔x=0x=1

Kết hợp điều kiện suy ra x = 1 

-Trường hợp 2: x<14 

Ta có phương trình 1−4x=x2+3x−1⇔x2+7x−2=0

Δ=57. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x=−7+572x=−7−572

Kết hợp điều kiện suy ra x=−7−572 

Vậy nghiệm của phương trình là x∈−7−572;1 

e) - Trường hợp 1: x≥5 

Ta có phương trình 2x−3+x−5=5x⇔x=−4 (không thỏa mãn điều kiện)

- Trường hợp 2: 32≤x<5 

Ta có phương trình 2x−3+5−x=5x⇔x=12 (không thỏa mãn điều kiện)

- Trường hợp 3: x<32 

Ta có phương trình 3−2x+5−x=5x⇔x=1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

a) Điều kiện xác định: 2x2−4x+11≥0(luôn đúng)

2x2−4x+11=3⇔2x2−4x+11=9⇔2x2−4x+2=0⇔2x−12=0⇔x=1

Vậy nghiệm của phương trình là x=1 

b) 7−2x=4x−3⇔7−2x≥07−2x=4−3x⇔x≤72x=−3 

Vậy nghiệm của phương trình là x = -3         

c, 3x2+1=2x+1⇔2x+1≥03x2+1=4x2+4x+1⇔x≥−12x2+4x=0⇔x=0  (thoûa maõn)x=−4  (loaïi)

 Vậy nghiệm của phương trình là  x = 0

d) 3x+7−x+1=2 

Điều kiện xác định:

3x+7≥0x+1≥0⇔x≥−1 

3x+7−x+1=2⇔3x+7=x+1+2⇔3x+7=x+1+4x+1+4⇔x+1=2x+1

⇔x+1−2x+1=0⇔x=−1x=3(thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x∈−1;3 

e) 3x2+21x+18+2x2+7x+7=2 

Đặt t=x2+7x+7 (điều kiện t≥0). Phương trình trở thành:

3t2−3+2t=2⇔3t2+2t−5=0⇔t−13t+5=0⇔t=1t=−53 

Vì t≥0nên t=1⇒x2+7x+7=1⇔x+1x+6=0⇔x=−6x=−1

Thay  x= -6 và x = -1 vào điều kiện thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x∈−6;−1