Chủ đề 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Giải chi tiết

3x−2y=5     (1)2x+y=8       (2)

Cách 1: Giải bằng phương pháp cộng đại số

Nhận xét: Bằng phương pháp cộng đại số, bài toán có hai hướng làm:

Để hệ số x bằng nhau ta nhân hai vế của (1) với 2, nhân hai vế của (2) với 3.

Để hệ số y bằng nhau đối nhau ta nhân hai vế của (2) với 2.

Ở bài này, làm theo hướng 2:

            3x−2y=52x+y=8⇔3x−2y=54x+2y=16.

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 7x=21⇔x=3.

Thay vào phương trình (2) ta được: 6+y=8⇔y=2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y=3;2.

Cách 2: Giải bằng phương pháp thế

Nhận xét: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.

Ta có: (2)⇔y=8−2x.

Thay y=8−2x vào (1) ta được:3x−28−2x=5⇔7x−16=5⇔7x=21⇔x=3

Với  x = 3 thì y=8−2.3=2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y=3;2.

Giải chi tiết

Nhận xét: Hệ phương trình chưa có dạng bậc nhất hai ẩn nên bước đầu tiên chúng ta rút gọn các phương trình của hệ đưa về phương trình bậc nhất hai ẩn.

            3x−22y−1=03x+2y=27−x⇔3x−4y=−23x+2y+2x=14⇔3x−4y=−25x+2y=14⇔3x−4y=−210x+4y=28.

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 13x=26⇔x=2.

Thay x = 2 vào phương trình thứ hai: 5.2+2y=14⇔y=2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y=2;2.

* Ta cũng có thể dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Giải chi tiết

Nhân cả hai vế của (1) với 2+1 ta được:

2−1x−y=2x+2+1y=1⇔2+12−1x−2+1y=22+1x+2+1y=1⇔x−2+1y=2+2x+2+1y=1

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 2x=3+2⇔x=3+22.

Thay x=3+22 vào (1): 3+222−1−y=2⇔y=3+222−1−2=−12.

Vậy hệ phương trình có nghiệm x;y=3+22;−12.

Giải chi tiết

x+y+x+2y=−23x+y+x−2y=1⇔x+x+y+2y=−23x+x+3y−2y=1⇔2x+3y=−2  (1)4x+y=1       (2)

(2)⇔y=1−4x.

Thay y=1−4x vào (1) ta được: 2x+31−4x=−2⇔10x=5⇔x=12.

Với x=12 thì y=1−4.12=−1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là x;y=12;−1.

Giải chi tiết

xy+5+2y=xy+93x+12y−1=6xy⇔xy+5x+2y=xy+96xy−3x+2y−1=6xy⇔5x+2y=9   (1)−3x+2y=1 (2).

Trừ các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 8x=8⇔x=1.

Thay x = 1 vào phương trình thứ nhất: 5.1+2y=9⇔y=2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là x;y=1;2.

* Hệ phương trình chưa có dạng bậc nhất hai ẩn nên bước đầu tiên chúng ta rút gọn các phương trình của hệ đưa về phương trình bậc nhất hai ẩn. Rút gọn xy ở cả hai vế của hai phương trình.

Giải chi tiết

Đặt t=y+2 (điều kiện: t≥0)

Ta có hệ: 4x−t=3x+2t=3⇔8x−2t=6x+2t=3⇔9x=9x+2t=3⇔x=1t=1 (thỏa mãn).

Với t = 1 thì y+2=1⇔y+2=1y+2=−1⇔y=−1y=−3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;−1,1;−3.

* Vì cả hai phương trình đều có y+2 nên ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ phương trình có trị tuyệt đối nên ta có thể chia hai trường hợp dể phá dấu trị tuyệt đối để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (nhưng cách này sẽ dài hơn cách đặt ẩn phụ).

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: x≥1; y≥−2.

Đặt a=x−1; b=y+2a≥0; b≥0.

Ta có hệ: a−3b=22a+5b=15⇔2a−6b=42a+5b=15⇔11b=11a−3b=2⇔b=1a=5 (thỏa mãn).

a=5b=1⇒x−1=5y+2=1⇔x−1=25y+2=1⇔x=26y=−1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 26;−1.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: x≠−3; y≠±2.

Đặt a=1x+3; b=2y−2a>0; b>0 .

Ta có hệ: 2+2b=1165a−b=116⇔a+2b=11610a−2b=226⇔11a=112a+2b=116⇔a=122b=116−12⇔a=12b=23 (thỏa mãn).

a=12⇔x+3=2⇔x+3=2x+3=−2⇔x=−1x=−5

b=23⇔y−2=3⇔y=5⇔y=5y=−5.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là −1;5,−1;−5,−5;5,−5;−5.

Giải chi tiết

Nhận xét: Cả hai phương trình đều có 12x−y nên đặt được ẩn phụ.

Ta biến đổi: 7−x−yx+y=7−x+yx+y=7x+y−1. Vậy đặt 7x+y=b, 12x−y=a.

Điều kiện xác định: 2x>y và x≠−y.

42x−y−21x+y=1232x−y+7−x−yx+y=1⇔42x−y−21x+y=1232x−y+7−x+yx+y=1⇔42x−y−21x+y=1232x−y+7x+y−1=1⇔42x−y−21x+y=1232x−y+7x+y=2

Đặt a=12x−y; b=7x+y, a>0.

Ta có hệ: 4a−3b=123a+b=2⇔4a−3b=129a+3b=6⇔13a=1323a+b=2⇔a=1232+b=2⇔a=12b=12 (thỏa mãn).

a=12b=12⇒12x−y=127x+y=12⇔2x−y=4x+y=14⇔3x=18y=14−x⇔x=6y=8 (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 6;8.

Giải chi tiết

Với m = 0 thì hệ ⇔x=2y=12, hệ có nghiệm.

Với m≠0. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔1m≠−m2⇔−m2≠2⇔m2≠−2 (luôn đúng).

Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

* Khi lập tỉ số aa'≠bb' nếu a' hoặc b' có tham số m thì ta phải xét thêm trường hợp a'= 0 hoặc b'=0.

Giải chi tiết

Hệ mx−2y=2m   (1)−2x+y=m+1 (2).

Hệ có nghiệm duy nhất ⇔m−2≠−21⇔m≠4.

Từ phương trình (2) ta có: y=2x+m+1. Thay vào phương trình (1) ta được:

            mx−22x+m+1=2m⇔m−4x=4m+2⇔x=4m+2m−4,m≠4

⇒y=2.4m+2m−4+m+1=m2+5mm−4.

Vậy với m≠4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x;y=4m+2m−4;m2+5mm−4.

Giải chi tiết

a) Với m = 2, ta có hệ:

            3x−y=7x+2y=7⇔6x−2y=14x+2y=7⇔7x=213x−y=7⇔x=3y=2

Vậy với m=2  hệ phương trình có nghiệm là 3;2.

b) Vì 31≠−12 nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x;y.

3x−y=2m+3x+2y=3m+1⇔6x−2y=4m+6x+2y=3m+1⇔7x=7m+73x−y=2m+3⇔x=m+1y=3m+1−2m−3=m

Hệ phương trình có nghiệm x;y=m+1;m.

Theo đề bài, ta có: x2+y2=5

⇔m+12+m2=5⇔2m2+2m−4=0⇔2m−1m+2=0⇔m=1m=−2.

Vậy m= 1 hoặc m = -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết

Hệ mx−2y=2m   (1)−2x+y=m+1 (2).

Hệ có nghiệm duy nhất ⇔m−2≠−21⇔m≠4.

Từ phương trình (2) ta có: y=2x+m+1. Thay vào phương trình (1) ta được:

          mx−22x+m+1=2m⇔m−4x=4m+2⇔x=4m+2m−4,m≠4

⇒y=2.4m+2m−4+m+1=m2+5mm−4.

Vậy với m≠4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x;y=4m+2m−4;m2+5mm−4.

Giải chi tiết

a) Với m=2, ta có hệ:

          3x−y=7x+2y=7⇔6x−2y=14x+2y=7⇔7x=213x−y=7⇔x=3y=2

Vậy với m=2 hệ phương trình có nghiệm là 3;2.

b) Vì 31≠−12 nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x;y.

3x−y=2m+3x+2y=3m+1⇔6x−2y=4m+6x+2y=3m+1⇔7x=7m+73x−y=2m+3⇔x=m+1y=3m+1−2m−3=m

Hệ phương trình có nghiệm x;y=m+1;m.

Theo đề bài, ta có: x2+y2=5

3x−y=2m+3x+2y=3m+1⇔6x−2y=4m+6x+2y=3m+1⇔7x=7m+73x−y=2m+3⇔x=m+1y=3m+1−2m−3=m.

Vậy m=1 hoặc m= -2  thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết

a) Với a=1, ta có hệ: x+y=3−x+y=1⇔2y=4x=3−y⇔y=2x=1

Vậy với a=1 hệ phương trình có nghiệm là 1;2.

b) Với a=0thì hệ ⇔x=0y=2, hệ có nghiệm.

Với a≠0. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔1−a≠a1⇔−a2≠1⇔a2≠−1 (luôn đúng).

Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi a.

x+ay=3a−ax+y=2−a2⇔x=3a−ay−a3a−ay+y=2−a2⇔x=3a−aya2+1y=2a2+2⇔y=2x=a.

(Vì a2+1>0 nên rút gọn được ta có y=2).

Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x;y=a;2.

Xét: A=2yx2+3=4a2+3

Ta có: a2+3≥3, ∀a⇒4a2+3≤43, ∀a⇒0<A≤43.

Mà theo đề bài để A∈ℤ thì A=1⇒a2+3=4⇔a2=1⇔a=1a=−1.

Vậy a=1  hoặc a= -1 thỏa mãn đề bài.

Lưu ý: Đối với bài toán tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì ta đi tìm khoảng giá trị của biểu thức A, tìm các giá trị nguyên của A trong khoảng này rồi thay vào tìm a. Phân biệt với bài toán tìm a là số nguyên để A nhận giá trị nguyên thì khi đó mới có Ư (4).

Giải chi tiết

Với m=0, ta có hệ: y=−3x=0. Hệ có nghiệm duy nhất.

Với m≠0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔m1≠−1−m⇔m2≠1⇔m≠±1.

Vậy với m≠±1thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

mx−y=3−mx−my=2m⇔y=mx+m−3x−mmx+m−3=2m⇔y=mx+m−31−m2x=m2−m⇔x=−mm+1y=−m2m+1+m−3

⇔x=−mm+1y=−2m−3m+1⇔x=−1+1m+1y=−2−1m+1.

Cộng hai vế của hai phương trình ta khử được tham số m. Hệ thức cần tìm là x+y=−3.

1) Nghiệm của hệ phương trình là (4,1).

2) Nghiệm của hệ phương trình là (1,2).

3) 2x+y+3x−y=4x+y+2x−y=5⇔5x−y=43x−y=5⇔x=−12y=−132

Nghiệm của hệ phương trình là: −12;−132.

4) 3x+1+2x+2y=44x+1−x+2y=9⇔5x+4y=13x−2y=5⇔x=1y=−1

Nghiệm của hệ phương trình là: 1;−1.

5) 3x2y−3+4y=6xy+14x+5y−5=4xy⇔−9x+4y=6−20x+5y=25⇔x=−2y=−3

Nghiệm của hệ phương trình là: −2;−3.

6) x+3y−2=yx+12x−1y+1=2xy⇔−2x+2y=62x−y=1⇔x=4y=7

Nghiệm của hệ phương trình là: 4;7.

7) Nghiệm của hệ phương trình là −6+28;1+24.

1) Điều kiện: x≥0; y≥1

Đặt a=x; b=y−1a≥0; b≥0

Ta có hệ: a+2b=54a−b=2⇔a=1b=2⇔x=1y=5 (thỏa mãn điều kiện).

2) Điều kiện: y≥−6

Đặt b=y+6b≥0

Ta có hệ: 3x+b=115x−b=13⇔x=3b=2⇔x=3y=−2 (thỏa mãn điều kiện).

Nghiệm của hệ phương trình là: 3;−2.

3) Điều kiện: x≠0; y≠−1

Đặt a=1x; b=1y+1

Ta có hệ: a+2b=42a−b=3⇔a=2b=1⇔x=12y=0 

Nghiệm của hệ phương trình là: 1;5.

4) Điều kiện: x≠−y; y≥0 và y≠4

Đặt a=1x+y; b=1y−2

Ta có hệ: 3a−5b=−15a+1+7b=7⇔3a−5b=−15a+7b=6⇔a=12b=12⇔x+y=2y−2=2⇔x=−14y=16

Nghiệm của hệ phương trình là: −14;16.

5) Điều kiện: xy>0

xy−4xy=3    (1)x1−y+15=0  (2)

Từ (1) ta có: xy−3xy−4=0⇔xy+1xy−4=0⇔xy=4⇔xy=16

Từ (2) ta có: x−xy+15=0⇒x−16+15=0⇔x=1⇒y=16.

6) Điều kiện: y≥−1

Đặt a=x+y; b=y+1b≥0

Ta có hệ: 2a+b=4a−3b=−5⇔a=1b=2⇔x+y=1y+1=2⇔x=−2y=3

Nghiệm của hệ phương trình là: −2;3.

x=2mx+y=m2+3⇔x=22m+y=m2+3⇔x=2y=m2−2m+3

Hệ phương trình có nghiệm với mọi m.

Ta có: A=x+y=m2−2m+5=m−12+4

⇒A≥4,∀m.

Giá trị nhỏ nhất của x+y là 4 đạt được khi m=1 .

a) Khi m=−12, n=13 thì nghiệm của hệ là: x;y=107;−2221.

b) Hệ có nghiệm là −1;3⇔−m−3=n−n+3m=1⇔m+n=−33m−n=1⇔m=−2+3n=2−23.

3x−y=2m−1x+2y=3m+2⇔6x−2y=4m−2x+2y=3m+2⇔x=my=m+1

Theo đề bài x2+y2=13⇔2m2+2m+1=13⇔m2+m−6=0⇔m=2m=−3

a) Với m=2 thì nghiệm của hệ là x;y=5;2.

b) Ta thấy: 12≠−21 nên hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất.

x−2y=3−m2x+y=3m+2⇔2x−4y=6−2m2x+y=3m+6⇔5y=5mx−2y=3−m⇔y=mx=m+3

c) Ta có: A=x2+y2=m2+m+32=2m2+6m+9=2m+322+92

2m+322+92≥92,∀m⇒A≥92,∀m.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 92 đạt được khi m=−32.

Với m =0 thì ta có hệ: −2y=32x=0⇔x=0y=−32. Hệ có nghiệm duy nhất.

Với m≠0, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m2≠−2−m⇔m2≠4⇔m≠±2.

Khi đó: mx−2y=3−m2x−my=2m⇔2mx−4y=6−2m2mx−m2y=2m2⇔m2−4y=6−2m−2m22x−my=2m⇔y=−2m2−2m+6m2−4x=−m2−mm2−4

⇒A=y−2x=6m2−4

Với m nguyên, đề A nhận giá trị nguyên thì m2−4∈ Ư (6).

Ta có các trường hợp sau:

m2−4=6m2−4=−6⇔m2=10m2=−2 (loại).

m2−4=3m2−4=−3⇔m2=7m2=1⇔m=±1.

m2−4=2m2−4=−2⇔m2=6m2=2    (loại).

m2−4=1m2−4=−1⇔m2=5m2=3     (loại).

Vậy m=±1 là giá trị cần tìm.