Chủ đề 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Giải chi tiết

Với m = 0 thì hệ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$, hệ có nghiệm.

Với $m\ne 0$. Hệ có nghiệm duy nhất $\iff \frac{1}{m}\ne \frac{-m}{2}\iff -m^2\ne 2\iff m^2\ne -2$ (luôn đúng).

Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

* Khi lập tỉ số $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$ nếu $a^{\text{'}}$ hoặc $b^{\text{'}}$ có tham số m thì ta phải xét thêm trường hợp $a^{\text{'}}= 0$ hoặc $b^{\text{'}}=0$.

Giải chi tiết

Hệ $\left\{\begin{array}{l}m\text{x}-2y=2m\left(1\right)\\ -2\text{x}+y=m+1\left(2\right)\end{array}\right.$.

Hệ có nghiệm duy nhất $\iff \frac{m}{-2}\ne \frac{-2}{1}\iff m\ne 4$.

Từ phương trình (2) ta có: $y=2\text{x}+m+1$. Thay vào phương trình (1) ta được:

            $m\text{x}-2\left(2\text{x}+m+1\right)=2m\iff \left(m-4\right)x=4m+2\iff x=\frac{4m+2}{m-4},\left(m\ne 4\right)$

$\Rightarrow y=2.\left(\frac{4m+2}{m-4}\right)+m+1=\frac{m^2+5m}{m-4}$.

Vậy với $m\ne 4$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(x;y\right)=\left(\frac{4m+2}{m-4};\frac{m^2+5m}{m-4}\right)$.

Giải chi tiết

a) Với m = 2, ta có hệ:

            $\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=7\\ x+2y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=14\\ x+2y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7\text{x}=21\\ 3\text{x}-y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy với m=2  hệ phương trình có nghiệm là $\left(3;2\right)$.

b) Vì $\frac{3}{1}\ne \frac{-1}{2}$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=2m+3\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=4m+6\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7\text{x}=7m+7\\ 3\text{x}-y=2m+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1\\ y=3\left(m+1\right)-2m-3=m\end{array}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(m+1;m\right)$.

Theo đề bài, ta có: $x^2+y^2=5$

$\iff {\left(m+1\right)}^2+m^2=5\iff 2m^2+2m-4=0\iff 2\left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}\right.$.

Vậy m= 1 hoặc m = -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết

Hệ $\left\{\begin{array}{l}m\text{x}-2y=2m\left(1\right)\\ -2\text{x}+y=m+1\left(2\right)\end{array}\right.$.

Hệ có nghiệm duy nhất $\iff \frac{m}{-2}\ne \frac{-2}{1}\iff m\ne 4$.

Từ phương trình (2) ta có: $y=2\text{x}+m+1$. Thay vào phương trình (1) ta được:

          $m\text{x}-2\left(2\text{x}+m+1\right)=2m\iff \left(m-4\right)x=4m+2\iff x=\frac{4m+2}{m-4},\left(m\ne 4\right)$

$\Rightarrow y=2.\left(\frac{4m+2}{m-4}\right)+m+1=\frac{m^2+5m}{m-4}$.

Vậy với $m\ne 4$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(x;y\right)=\left(\frac{4m+2}{m-4};\frac{m^2+5m}{m-4}\right)$.

Giải chi tiết

a) Với m=2, ta có hệ:

          $\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=7\\ x+2y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=14\\ x+2y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7\text{x}=21\\ 3\text{x}-y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy với m=2 hệ phương trình có nghiệm là $\left(3;2\right)$.

b) Vì $\frac{3}{1}\ne \frac{-1}{2}$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=2m+3\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=4m+6\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7\text{x}=7m+7\\ 3\text{x}-y=2m+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1\\ y=3\left(m+1\right)-2m-3=m\end{array}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(m+1;m\right)$.

Theo đề bài, ta có: $x^2+y^2=5$

$\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=2m+3\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=4m+6\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7\text{x}=7m+7\\ 3\text{x}-y=2m+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1\\ y=3\left(m+1\right)-2m-3=m\end{array}\right.$.

Vậy m=1 hoặc m= -2  thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết

a) Với a=1, ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ -x+y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2y=4\\ x=3-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2\\ x=1\end{array}\right.$

Vậy với a=1 hệ phương trình có nghiệm là $\left(1;2\right)$.

b) Với a=0thì hệ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$, hệ có nghiệm.

Với $a\ne 0$. Hệ có nghiệm duy nhất $\iff \frac{1}{-a}\ne \frac{a}{1}\iff -a^2\ne 1\iff a^2\ne -1$ (luôn đúng).

Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi a.

$\left\{\begin{array}{l}x+ay=3a\\ -ax+y=2-a^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3a-ay\\ -a\left(3a-ay\right)+y=2-a^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3a-ay\\ \left(a^2+1\right)y=2a^2+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2\\ x=a\end{array}\right.$.

(Vì $a^2+1>0$ nên rút gọn được ta có y=2).

Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(a;2\right)$.

Xét: $A=\frac{2y}{x^2+3}=\frac{4}{a^2+3}$

Ta có: $a^2+3\ge \mathrm{3,}\forall \text{a}\Rightarrow \frac{4}{a^2+3}\le \frac{4}{3},\forall \text{a}\Rightarrow 0<A\le \frac{4}{3}$.

Mà theo đề bài để $A\in \mathbb{Z}$ thì $A=1\Rightarrow a^2+3=4\iff a^2=1\iff \left[\begin{array}{l}a=1\\ a=-1\end{array}\right.$.

Vậy a=1  hoặc a= -1 thỏa mãn đề bài.

Lưu ý: Đối với bài toán tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì ta đi tìm khoảng giá trị của biểu thức A, tìm các giá trị nguyên của A trong khoảng này rồi thay vào tìm a. Phân biệt với bài toán tìm a là số nguyên để A nhận giá trị nguyên thì khi đó mới có Ư (4).

Giải chi tiết

Với m=0, ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}y=-3\\ x=0\end{array}\right.$. Hệ có nghiệm duy nhất.

Với $m\ne 0$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{m}{1}\ne \frac{-1}{-m}\iff m^2\ne 1\iff m\ne \pm 1$.

Vậy với $m\ne \pm 1$thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

$\left\{\begin{array}{l}m\text{x}-y=3-m\\ x-my=2m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=m\text{x}+m-3\\ x-m\left(m\text{x}+m-3\right)=2m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx+m-3\\ \left(1-m^2\right)x=m^2-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{m}{m+1}\\ y=\frac{-m^2}{m+1}+m-3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{m}{m+1}\\ y=\frac{-2m-3}{m+1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{m+1}\\ y=-2-\frac{1}{m+1}\end{array}\right.$.

Cộng hai vế của hai phương trình ta khử được tham số m. Hệ thức cần tìm là $x+y=-3$.

1) Nghiệm của hệ phương trình là (4,1).

2) Nghiệm của hệ phương trình là (1,2).

3) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\ \left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5\text{x}-y=4\\ 3\text{x}-y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=-\frac{13}{2}\end{array}\right.$

Nghiệm của hệ phương trình là: $\left(-\frac{1}{2};-\frac{13}{2}\right)$.

4) $\left\{\begin{array}{l}3\left(x+1\right)+2\left(x+2y\right)=4\\ 4\left(x+1\right)-\left(x+2y\right)=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5\text{x}+4y=1\\ 3\text{x}-2y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$

Nghiệm của hệ phương trình là: $\left(1;-1\right)$.

5) $\left\{\begin{array}{l}3\text{x}\left(2y-3\right)+4y=6\left(xy+1\right)\\ \left(4\text{x}+5\right)\left(y-5\right)=4\text{x}y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-9x+4y=6\\ -20\text{x}+5y=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-3\end{array}\right.$

Nghiệm của hệ phương trình là: $\left(-2;-3\right)$.

6) $\left\{\begin{array}{l}\left(x+3\right)\left(y-2\right)=y\left(x+1\right)\\ \left(2\text{x}-1\right)\left(y+1\right)=2\text{x}y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2\text{x}+2y=6\\ 2\text{x}-y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=7\end{array}\right.$

Nghiệm của hệ phương trình là: $\left(4;7\right)$.

7) Nghiệm của hệ phương trình là $\left(\frac{-6+\sqrt{2}}{8};\frac{1+\sqrt{2}}{4}\right)$.

1) Điều kiện: $x\ge 0;\text{ y}\ge 1$

Đặt $a=\sqrt{x};\text{ b}=\sqrt{y-1}\left(a\ge 0;\text{ b}\ge 0\right)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}a+2b=5\\ 4\text{a}-b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

2) Điều kiện: $y\ge -6$

Đặt $b=\sqrt{y+6}\left(b\ge 0\right)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}3\text{x}+b=11\\ 5\text{x}-b=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-2\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Nghiệm của hệ phương trình là: $\left(3;-2\right)$.

3) Điều kiện: $x\ne 0;\text{ y}\ne -1$

Đặt $a=\frac{1}{x};\text{ b}=\frac{1}{y+1}$

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}a+2b=4\\ 2\text{a}-b=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=0\end{array}\right.$ 

Nghiệm của hệ phương trình là: $\left(1;5\right)$.

5) Điều kiện: $xy>0$

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{xy}-\frac{4}{\sqrt{xy}}=3\left(1\right)\\ x\left(1-y\right)+15=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) ta có: $xy-3\sqrt{xy}-4=0\iff \left(\sqrt{xy}+1\right)\left(\sqrt{xy}-4\right)=0\iff \sqrt{xy}=4\iff xy=16$

Từ (2) ta có: $x-xy+15=0\Rightarrow x-16+15=0\iff x=1\Rightarrow y=16$.

6) Điều kiện: $y\ge -1$

Đặt $a=x+y;b=\sqrt{y+1}\left(b\ge 0\right)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}2\text{a}+b=4\\ a-3b=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ \sqrt{y+1}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.$

Nghiệm của hệ phương trình là: $\left(-2;3\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ m\text{x}+y=m^2+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2m+y=m^2+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=m^2-2m+3\end{array}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm với mọi m.

Ta có: $A=x+y=m^2-2m+5={\left(m-1\right)}^2+4$

$\Rightarrow A\ge \mathrm{4,}\forall m$.

Giá trị nhỏ nhất của $x+y$ là 4 đạt được khi m=1 .

b) Hệ có nghiệm là $\left(-1;\sqrt{3}\right)\iff \left\{\begin{array}{l}-m-\sqrt{3}=n\\ -n+\sqrt{3}m=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+n=-\sqrt{3}\\ \sqrt{3}m-n=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-2+\sqrt{3}\\ n=2-2\sqrt{3}\end{array}\right.$.

$\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=2m-1\\ x+2y=3m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=4m-2\\ x+2y=3m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m\\ y=m+1\end{array}\right.$

a) Với $m=2$ thì nghiệm của hệ là $\left(x;y\right)=\left(5;2\right)$.

b) Ta thấy: $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{1}$ nên hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất.

$\left\{\begin{array}{l}x-2y=3-m\\ 2\text{x}+y=3\left(m+2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2\text{x}-4y=6-2m\\ 2\text{x}+y=3m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5y=5m\\ x-2y=3-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=m\\ x=m+3\end{array}\right.$

c) Ta có: $A=x^2+y^2=m^2+{\left(m+3\right)}^2=2m^2+6m+9=2{\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{9}{2}$

$2{\left(m+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{9}{2}\ge \frac{9}{2},\forall m\Rightarrow A\ge \frac{9}{2},\forall m$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{9}{2}$ đạt được khi $m=-\frac{3}{2}$.