Chủ đề 2: Một số hệ phương trình quy về hệ bậc nhất có đáp án

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

x2+y2+xy=3x+y=2⇔x+y2−2xy+xy=3x+y=2⇔x+y2−xy=3x+y=2

 

Đặt S=x+y; P=xy. Điều kiện: S2≥4P.

Ta có hệ: S2−P=3S=2⇔S=24−P=3⇔S=2P=1 (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: X2−2X+1=0⇔X−12=0⇔X=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;1.

Giải chi tiết

x2+y2=10x+1y+1=8⇔x+y2−2xy=10xy+x+y+1=8

Đặt S=x+y; P=xy. Điều kiện: S2≥4P.

Ta có hệ: S2−2P=10P+S+1=8⇔S2−2P=10P=7−S⇔S2−27−S=10P=7−S⇔S2+2S−24=0P=7−S

⇔S=4P=3 hoặc S=−6P=13.

Mà S2≥4P⇒S=4, P=3 thỏa mãn.

Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình bậc hai

                    X2−4X+3=0⇔X−1X−3=0⇔X=1X=3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;3,3;1.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: x≥0; y≥0.

Đặt S=x+y; P=xy. Điều kiện: S2≥4P và S≥0; P≥0.

Ta có hệ: S+4P=16S2−2P=10⇔S+4P=162S2−4P=20⇔S+4P=162S2+S−36=0 

⇔S=4P=3  (thỏa mãn ) hoặc S=−92P=418  (loại).

Khi đó x và y là nghiệm của phương trình bậc hai.

X2−4X+3=0⇔X−1X−3=0⇔X=1X=3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;9,9;1.

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

x2−y2−3x+3y=−2y+2x⇔x−yx+y−5x−y=0⇔x−yx+y−5=0

⇔x=yx=5−y

Với x=y thay vào (1) ta được: y2−y=0⇔yy−1=0⇔y=0⇒x=0y=1⇒x=1.

Với x=5−y thay vào (1) ta được: y2−3y=−25−y⇔y2−3y=−10+2y                               ⇔y2−5y+10=0 (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x;y∈0;0,1;1.

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

x3−y3+3x−3y=0⇔x−yx2+y2+xy+3=0                                ⇔x−yx+y22+3y24+3=0⇔y=x

Với y=x thay vào (1) ta được: x3+x=0⇔x=0.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;0 ).

Giải chi tiết

Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có x>0y>0 .

Ta có: 3x=x2+2y23y=y2+2x2⇔3xy2=x2+2   (1)3yx2=y2+2   (2).

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

3xy2−3yx2=x2−y2⇔3xyy−x=x−yx+y⇔x−y3xy+x+y=0

Vì x>0,y>0⇒3xy+x+y>0

⇒x=y.

Với x=y  thay vào (1) ta được: 3x3−x2−2=0⇔x−13x2+2x+2=0⇔x=1⇒y=1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).

Giải chi tiết

Nhận xét: x+y=mx2+y2=−m2+6 là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Đặt S=x+y; P=xy. Điều kiện: S2≥4P.

⇒x2+y2=x+y2−2xy=S2−2P.

Ta có hệ: S=mS2−2P=−m2+6⇔S=mP=m2−3

Hệ phương trình có nghiệm x;y khi và chỉ khi

S2≥4P⇔m2≥4m2−12⇔3m2≤12⇔m2≤4⇔−2≤m≤2.

Ta có: A=xy+2x+y=m2−3+2m=m2+2m+1−4=m+12−4.

Vì −2≤m≤2⇔−1≤m+1≤3⇔0≤m+12≤9

⇒−4≤A≤5.

Giá trị nhỏ nhất của A là -4  đạt được khi m+1=0⇔m=−1.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: a≠0; b≠0.

Ta có: 3a2b2+1b3=13b2a2+1a3=1⇔3a2b+1=b33ab2+2=a3⇔b3−3a2b=1a3−3ab2=2⇔b3−3a2b2=1a3−3ab22=4

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

          b6−6a2b4+9a4b2+a6−6a4b2+9a2b4=5

⇔b6+3a2b4+3a4b2+a6=5⇔a2+b23=5

⇒a2+b2=53

Vậy M=53.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: x≠0 và y≠−1.

2x+3y=xy+51x+1y+1=1⇔2x+3y=xy+5y+1+x=xy+1⇔xy=2x+3y−5  (1)xy=y+1            (2)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có: 2x+2y−6=0⇔x=3−y

Thay x=3−y vào phương trình (2) ta được:

3−yy=y+1⇔y2−2y+1=0⇔y−12=0⇔y=1

⇒x=2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2;1.

Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ từng vế của hai phương trình ta được

          x−yx+y−1=0⇔x=yx=1−y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 0;0,3;3,1+52;1−52,1−52;1+52.

Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ từng vế của hai phương trình ta được

          x−yx2+xy+y2+1=0⇔x=y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 0;0,3;3,−3;−3.

Hệ phương trình đối xứng loại I.

Đặt S=x+y;P=xy (điều kiện: S2≥4P), ta được

          P+S=3S.P=2⇔S=1;P=2S=2;P=1

Kết hợp điều kiện ⇒S=2;P=1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1;1.

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

          4x2+9y2+12xy=25⇔2x+3y2=25⇔2x+3y=52x+3y=−5

Với 2x+3y=5⇔y=5−2x3 thay vào x2+y2=2 ta được x=1;y=1x=713;y=173.

Với 2x+3y=−5⇔y=−5−2x3 thay vào x2+y2=2 ta được x=−1;y=−1x=−713;y=−173

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1;1,−1;−1,713;173,−713;−173.

x2+4y2=5x+2y5+4xy=27⇔x2+2y2=5x+2y5+2.x.2y=27⇔x+2y2−22xy=5x+2y5+2.2xy=27

 

Đặt a=x+2;b=2xy (điều kiện: a2≥4b) ta được

          a2−2b=5a5+2b=27⇔a=3;b=2.

x và 2y là nghiệm của hai phương trình bậc hai: X2−3X+2=0⇔X=1X=2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1;1,2;12.

Ta có: x2+1y2+xy=27⇔x+1y2−xy=27

Điều kiện: y≠0

Đặt a=x+1y,b=xy (điều kiện: a2≥4b) ta được a2−b=27a+b=15⇔a=6;b=9a=−7;b=22.

Kết hợp điều kiện ⇒a=6;b=9.

x và 1y là nghiệm của phương trình bậc hai: X2−6X+9=0⇔X=3.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3;13.

Điều kiện: x≠0;y≠0.

1x+1y=56x2y+xy2=30⇔6x+y=5xyxyx+y=30

Đặt S=x+y;P=xy (điều kiện: S2≥4P) ta được

          6S=5PS.P=30⇔S=5;P=6S=−5;P=−6 (thỏa mãn điều kiện).

Với S=5;P=6⇒x=2;y=3x=3;y=2

Với S=−5;P=−6⇒x=1;y=−6x=−6;y=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2;3,3;2,1;−6,−6;1.

Đặt t=2x−3y+5t>0.

Ta có phương trình: t+1t=2⇔t−12=0⇔t=1⇒2x−3y+5=1⇔2x−y=8 

Ta có hệ: 2x−y=83x+2y=19⇔x=5y=2 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 5;2.

Điều kiện xác định: x≠0 và y≠0

Đặt x=ky (điều kiện:k≠0 )

Ta có hệ: k2y2y+ky=2y2ky+y=12⇔k2y+ky=2y2ky+y=12⇔kyk+1=2yk1+k=12

Nếu k+1=0⇔k=−1 thì hệ vô nghiệm.

Nếu k+1≠0⇔k≠−1, chia theo vế của hai phương trình ta được: k2=4⇔k=±2.

Với k=2⇒22+2y=2⇔y=13⇒x=23

Với k=−2⇒−22−2y=2⇔y=1⇒x=−2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 23;13,−2;1.