Chủ đề 2: Phương trình bậc hai, hệ thức vi-ét và ứng dụng có đáp án

Giải chi tiết

Phương trình $x^2-2\left(m-2\right)x-6=0$ có $ac<0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-2\right)\\ x_1{x}_2=-6\end{array}\right.$

Đặt $u=\frac{x_2}{x_1}$ và $v=\frac{x_1}{x_2}$

Ta có: $S=u+v=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1{x}_2}=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}=\frac{{\left[2\left(m-2\right)\right]}^2+12}{-6}=\frac{-2m^2+8m-14}{3}$ 

$P=u.v=\frac{x_2}{x_1}.\frac{x_1}{x_2}=1$

Phương trình có hai nghiệm $\frac{x_2}{x_1}$ và $\frac{x_1}{x_2}$là:

$X^2-\frac{-2m^2+8m-14}{3}X+1=0\iff 3X^2+\left(2m^2-8m+14\right)X+3=0$

Giải chi tiết

a) Phương trình có một nghiệm bằng 2 khi và chỉ khi $2^2-5.2+m+1=0\iff m=5$

Vậy với $m=5$ thì phương trình có một nghiệm bằng 2.

b) Phương trình có nghiệm kép $\iff \Delta =0\iff {\left(-5\right)}^2-4\left(m+1\right)=0\iff 21-4m\iff m<\frac{21}{4}$ 

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta >0\iff {\left(-5\right)}^2-4\left(m+1\right)>0\iff 21-4m>0\iff m<\frac{21}{4}$

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\\ x_1{x}_2=m+1\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có:

$\left|x_1-x_2\right|<5\iff {\left(x_1-x_2\right)}^2<25\iff {x_1}^2+{x_2}^2-2x_1{x}_2<25\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2<25$

$\iff 25-4\left(m+1\right)<25\iff -4\left(m+1\right)<0\iff m+1>0\iff m>-1$

Kết hợp hai điều kiện ta được $-1<m<\frac{21}{4}$ 

Vậy $-1<m<\frac{21}{4}$

Giải chi tiết

a) Với $m=-1$thì phương trình (1) trở thành $x^2-x-6=0$ 

Ta có: $\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-6\right)=25$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=3;x_2=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-2$ 

Vậy với $m=-1$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=3;x_2=-2$

b) Yêu cầu của bài toán là tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 tức ${x_1}^2+{x_2}^2=5^2$ .

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ dương khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ m+2>0\\ 3m-3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-4\right)}^2>0\\ m>-2\\ m>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 4\\ m>1\end{array}\right.$ 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=3m-3\end{array}\right.$

Ta có: ${x_1}^2+{x_2}^2=5^2\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=25$

$\iff {\left(m+2\right)}^2-2\left(3m-3\right)=25$

$\iff m^2-2m-15=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=5\left(thoûamaõn\right)\\ m=-3\left(loaïi\right)\end{array}\right.$

Vậy $m=5$ 

Một số đẳng thức cần nhớ

${x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

${x_1}^3+{x_2}^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)$

Giải chi tiết

a) Với $m=-1$ thì phương trình (1) trở thành $x^2-2x=0\iff x(x-2)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$ 

Vậy $m=-1$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\mathrm{0,}{x}_2=2$ 

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\Delta >0\iff m^2-\left(m^2+m\right)>0\iff -m>0\iff m<0$ 

Vậy với $m<0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với $m<0$thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=m^2+m\end{array}\right.$

Ta có: $\left(x_1-x_2\right)\left({x_1}^2-{x_2}^2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)$

$={\left(x_1-x_2\right)}^2\left(x_1+x_2\right)$

$=\left({x_1}^2+{x_2}^2-2x_1{x}_2\right)\left(x_1+x_2\right)$

$=\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\right]\left(x_1+x_2\right)$

$=\left[{\left(-2m\right)}^2-4\left(m^2+m\right)\right]\left(-2m\right)$

$=\left(-4m\right)\left(-2m\right)=8m^2$

Theo đề bài, ta có: $\left(x_1-x_2\right)\left({x_1}^2-{x_2}^2\right)=32\iff 8m^2=32\iff m^2=4\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.$

Mà $m<0$ nên $m=-2$thỏa mãn

Vậy với  $m=-2$thì phương trình thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết

a) Với $m=8$thì phương trình (1) trở thành $x^2-8x+4=0$ 

Ta có: $\Delta \text{'}={\left(-4\right)}^2-4=12$. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $x_1=4+\sqrt{12};x_2=4-\sqrt{12}$

Vậy với m=8 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $x_1=4+\sqrt{12};x_2=4-\sqrt{12}$

b) Phương trình (1) có $\Delta ={\left(-m\right)}^2-4\left(m-4\right)=m^2-4m+16=m^2-4m+4+12={\left(m-2\right)}^2+12$ $\Rightarrow \Delta >\mathrm{0,}\forall m$. Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1{x}_2=m-4\end{array}\right.$

Ta có: $\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)=25x_1{x}_2-5x_1-5x_2+1$

$=25x_1{x}_2-5\left(x_1+x_2\right)+1$

$=25\left(m-4\right)-5m+1=20m-99$

Theo đề bài, ta có: $\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)<0\iff 20m-99<0\iff m<\frac{99}{20}$

Mà m là số nguyên dương nên $m\in \left\{1;2;3;4\right\}$ 

Vậy $m\in \left\{1;2;3;4\right\}$.

Mở rộng:

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để $x_1<a<x_2$ thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1<a\\ x_2>a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-a<0\\ x_2-a>0\end{array}\right.\iff \left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)<0$ 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để $x_1<x_2<a$ thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1<a\\ x_2<a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-a<0\\ x_2-a<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)>0\\ x_1+x_2<2a\end{array}\right.$ 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để $x_2>x_1>a$ thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1>a\\ x_2>a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-a>0\\ x_2-a>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)>0\\ x_1+x_2>2a\end{array}\right.$ 

Các bước giải tiếp theo ta áp dụng định lí Vi – ét làm tương tự Ví dụ 4.

Giải chi tiết

a) Trường hợp 1: $m=0$ thì $\left(1\right)\iff -2x-4=0\iff x=-2$ 

Với  $m=0$thì phương trình có nghiệm.

Trường hợp 2: $m\ne 0$thì (1) là phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta \text{'}\ge 0\iff \left[-{\left(m+1\right)}^2\right]-m\left(m-4\right)\ge 0\iff 6m+1\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{6}$ 

Kết hợp 2 trường hợp thì $m\ge -\frac{1}{6}$

Vậy với $m\ge -\frac{1}{6}$ thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta \text{'}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 6m+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m>-\frac{1}{6}\end{array}\right.$ 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2\left(m+1\right)}{m}\left(2\right)\\ x_1{x}_2=\frac{m-4}{m}\left(3\right)\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $4x_1+x_2=3\Rightarrow x_2=3-4x_1$(4)

Thay (4) vào (2) ta được:

$x_1+3-4x_1=\frac{2\left(m+1\right)}{m}\iff -3x_1=\frac{2\left(m+1\right)}{m}-3\iff x_1=\frac{m-2}{3m}$

$\Rightarrow x_2=3-\frac{4\left(m-2\right)}{3m}=\frac{5m+8}{3m}$

Thay $x_1=\frac{m-2}{3m}$; $x_2=\frac{5m+8}{3m}$vào (3) ta được

$\frac{m-2}{3m}.\frac{5m+8}{3m}=\frac{m-4}{m}$

$\Rightarrow \left(m-2\right)\left(5m+8\right)=9m\left(m-4\right)\iff 2m^2-17m+8=0\iff \left[\begin{array}{l}m=8\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện suy ra $m=8$ hoặc $m=\frac{1}{2}$.

Vậy với $m=8$ hoặc $m=\frac{1}{2}$thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $4x_1+x_2=3$ 

* Bài toán tìm m để để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn $x_1=k{x}_2$ hoặc $x_1=k{x_2}^2$,…(*) thì ta đi giải hệ

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\mathrm{...}\\ x_1{x}_2=\mathrm{...}\\ \mathrm{...}=(*)\end{array}\right.$ 

Giải 2 trong 3 phương trình trong hệ trên tìm x₁, x₂ theo m rồi thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình chỉ còn tham số m. Giải tìm được m.

a) Ta có: $\Delta \text{'}={\left(4-\sqrt{5}\right)}^2-\left(\sqrt{5}-1\right)=22-9\sqrt{5}=\sqrt{484}-\sqrt{405}>0$ 

$S=\frac{-2\left(4-\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}-1}<0;P=\frac{1}{\sqrt{5}-1}>0$

Vậy phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.

a) Ta có: $\Delta \text{'}={\left(4-\sqrt{5}\right)}^2-\left(\sqrt{5}-1\right)=22-9\sqrt{5}=\sqrt{484}-\sqrt{405}>0$ 

$S=\frac{-2\left(4-\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}-1}<0;P=\frac{1}{\sqrt{5}-1}>0$

Vậy phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.

b) Phương trình có $ac=-6<0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Giải chi tiết

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

$ac<0\iff 2m-3<0\iff m<\frac{3}{2}$ 

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.

$\left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ P>0\\ S>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(-5\right)}^2-4\left(2m-3\right)\ge 0\\ 2m-3>0\\ 5>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}37-8m\ge 0\\ m>\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le \frac{37}{8}\\ m>\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \frac{3}{2}<m\le \frac{37}{8}$

Vậy với $\frac{3}{2}<m\le \frac{37}{8}$thì phương trình có 2 nghiệm dương.

Giải chi tiết

Ta có: $\Delta ={\left[-\left(m-5\right)\right]}^2-4\left(-3m+6\right)=m^2-10m+25+12m-24=m^2+2m+1={\left(m+1\right)}^2$ 

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ P>0\\ S<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m+1\right)}^2>0\\ -3m+6>0\\ m-5<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m<2\\ m<5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m<2\end{array}\right.$

Vậy với $m<2$ và $m\ne -1$ thì phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.

Giải chi tiết

Ta có: $\Delta =\left[-{\left(2m+1\right)}^2\right]-4\left(m-7\right)=4m^2+4m+1-4m+28=4m^2+29>\mathrm{0,}\forall m$ 

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+1\\ x_1{x}_2=m-7\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+1\\ 2x_1{x}_2=2m-14\end{array}\right.\Rightarrow x_1+x_2-2x_1{x}_2=15$

Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào tham số m là $x_1+x_2-2x_1{x}_2=15$

Giải chi tiết

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \text{'}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m-2\ne 0\\ {\left(-m\right)}^2-\left(m+1\right)\left(m-2\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m>-2\end{array}\right.$ 

b) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2m}{m-2}\\ x_1{x}_2=\frac{m+1}{m-2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2m-4+4}{m-2}=\frac{2\left(m-2\right)}{m-2}+\frac{4}{m-2}=2+\frac{4}{m-2}\\ x_1{x}_2=\frac{m-2+3}{m-2}=\frac{m-2}{m-2}+\frac{3}{m-2}=1+\frac{3}{m-2}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3\left(x_1+x_2\right)=6+\frac{12}{m-2}\\ 4x_1{x}_2=4+\frac{12}{m-2}\end{array}\right.$

Trừ từng vế ta có $3\left(x_1+x_2\right)-4x_1{x}_2=2$

Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào tham số m là$3\left(x_1+x_2\right)-4x_1{x}_2=2$.

a)$\Delta =25$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=2;x_2=\frac{1}{3}$

b) $\Delta \text{'}=1$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=-\sqrt{3}+1;x_2=-\sqrt{3}-1$

c) $a+b+c=0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=1;x_2=5x_1$

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-\left(-1\right)}{3}=\frac{1}{3}\\ x_1{x}_2=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Ta có: $A={x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{9}$

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:$A=x_1+x_2=\frac{2}{3};x_1{x}_2=\frac{-2}{3}$

Ta có: $B={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-2.\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{9}$

Vậy $A=\frac{2}{3}$, $B=\frac{16}{9}$

$B={x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=14$

Muốn tính $C={x_1}^5+{x_2}^5$thì cần tính ${x_1}^3+{x_2}^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)=38$

$C={x_1}^5+{x_2}^5=\left({x_1}^2+{x_2}^2\right)\left({x_1}^3+{x_2}^3\right)-{x_1}^2{x_2}^2\left(x_1+x_2\right)=482$

$\Delta \text{'}={\left(m-2\right)}^2\ge \mathrm{0,}\forall m$ 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=2m-3\end{array}\right.$

Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ của phương trình không phụ thuộc vào tham số m là $x_1+x_2-x_1{x}_2=1$