Chủ đề 2: Phương trình bậc hai, hệ thức vi-ét và ứng dụng có đáp án

Giải chi tiết

Cách 1: Ta có: a=1;b'=−2;c=4;Δ'=−22−4=0 

Vậy phương trình có nghiệm kép x=−−21=2 

Cách 2: x2−4x+4=0⇔x−22=0⇔x−2=0⇔x=2

Vậy phương trình có nghiệm x=2

Giải chi tiết

Ta có Δ=−72−4.3.2=25>0 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=−−7+252.3=2;x2=−−7−252.3=13 

Giải chi tiết

Ta có: a=2;b=2−3;c=−3 

Nhận thấy a−b+c=2−2+3−3=0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−1;x2=32

Giải chi tiết

a) Ta có: Δ=−72−4.4.−1=65>0 

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt

b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1+x2=74x1x2=−14 

A=x1+x2=74

B=x12+x22=x12+x22+2x1x2−2x1x2=x1+x22−2x1x2=742−2.−14=5716

C=x1−4x2−4=x1x2−4x1−4x2+16=x1x2−4x1+x2+16=−14−4.74+16=354

D=1x1+1x2=x1+x2x1x2=74−14=−7  

E=x13+x23=x1+x23−3x12x2−3x1x22=x1+x23−3x1x2x1+x2=743−3.−14.74=42764 

Giải chi tiết

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1+x2=10x1x2=−8 

Ta có x12+x22=x1+x22−2x1x2=102−2−8=116

Khi đó

A=1x12+1x22=x12+x22x1x22=116−82=2916

 C=x1−x2x12−x22=x1−x2x1−x2x1+x2=x1−x22x1+x2

     =x12+x22−2x1x2x1+x2=116−2.−8.10=1320

D=x1−x2⇒D2=x1−x22=x12+x22−2x1x2⇒D2=132⇒D=233(Vì D>0)

E=x14+x24

x14+x24+2x12x22−2x12x22=x12+x222−2x1x22=1162−2.−82=13328         

F=x15+x25=x13+x23=x1+x23−3x1x2x1+x2=103−3.10(−8)=1240

F=x15+x25=x12+x22x13+x23−x12x23−x13x22

=x12+x22x13+x23−x12x22x1+x2=116.1240−−82.10=143200

Ta có: S=x1+x2=2+3+2−3=4

P=x1x2=2+3.2−3=4−3=1

Phương trình có hai nghiệm 2+3 và 2-3là x2−4x+1=0 

Giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Vi-ét đảo thì u, v là nghiệm của phương trình: x2−5x+4=0

Δ=−52−4.4=9>0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=5+32=4;x2=5−32=1 

Vậy các cặp số u;v thỏa mãn là 4;1,1;4

b) Ta có u2+v2=34⇔u+v2−2uv=34⇔u+v2=34+2uv=64⇔u+v=8u+v=−8

Trường hợp 1: u+v=8 và uv=15

Áp dụng định lí Vi-ét đảo thì  u;v là nghiệm của phương trình:x2−8x+15=0

Δ=−82−4.15=4>0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=8+22=5;x2=8−22=3 

Các cặp số u;v thỏa mãn là 5;3,3;5

Trường hợp 2: u+v=−8 và uv=15

Áp dụng định lí Vi-ét đảo thì  u;v là nghiệm của phương trình:x2+8x+15=0

Δ=82−4.15=4>0 suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−8+22=−3;x2=−8−22=−5 

Các cặp số u;v thỏa mãn là −5;−3,−3;−5

Vậy các cặp số u;v thỏa mãn là 5;3,3;5,−5;−3,−3;−5

Giải chi tiết

Phương trình x2−2m−2x−6=0 có ac<0 nên phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta được: x1+x2=2m−2x1x2=−6

Đặt u=x2x1 và v=x1x2

Ta có: S=u+v=x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=x1+x22−2x1x2x1x2=2m−22+12−6=−2m2+8m−143 

P=u.v=x2x1.x1x2=1

Phương trình có hai nghiệm x2x1 và x1x2là:

X2−−2m2+8m−143X+1=0⇔3X2+2m2−8m+14X+3=0

Giải chi tiết

a) Phương trình có một nghiệm bằng 2 khi và chỉ khi 22−5.2+m+1=0⇔m=5

Vậy với m=5 thì phương trình có một nghiệm bằng 2.

b) Phương trình có nghiệm kép ⇔Δ=0⇔−52−4m+1=0⇔21−4m⇔m<214 

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0⇔−52−4m+1>0⇔21−4m>0⇔m<214

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=5x1x2=m+1

Theo đề bài ta có:

x1−x2<5⇔x1−x22<25⇔x12+x22−2x1x2<25⇔x1+x22−4x1x2<25

⇔25−4m+1<25⇔−4m+1<0⇔m+1>0⇔m>−1

Kết hợp hai điều kiện ta được −1<m<214 

Vậy −1<m<214

Giải chi tiết

a) Với m=−1thì phương trình (1) trở thành x2−x−6=0 

Ta có: Δ=−12−4.1.−6=25 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=1+252=3;x2=1−252=−2 

Vậy với m=−1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=3;x2=−2

b) Yêu cầu của bài toán là tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 tức x12+x22=52 .

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ dương khi và chỉ khi

Δ>0m+2>03m−3>0⇔m−42>0m>−2m>1⇔m≠4m>1 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=m+2x1x2=3m−3

Ta có: x12+x22=52⇔x1+x22−2x1x2=25

⇔m+22−23m−3=25

⇔m2−2m−15=0

⇔m=5(thoûa  maõn)m=−3  (loaïi)

Vậy m=5 

Một số đẳng thức cần nhớ

x12+x22=x1+x22−2x1x2

x13+x23=x1+x23−3x1x2x1+x2

Giải chi tiết

a) Với m=−1 thì phương trình (1) trở thành x2−2x=0⇔x(x−2)=0⇔x=0x=2 

Vậy m=−1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1=0, x2=2 

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Δ>0⇔m2−m2+m>0⇔−m>0⇔m<0 

Vậy với m<0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với m<0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=−2mx1x2=m2+m

Ta có: x1−x2x12−x22=x1−x2x1−x2x1+x2

=x1−x22x1+x2

=x12+x22−2x1x2x1+x2

=x1+x22−4x1x2x1+x2

=−2m2−4m2+m−2m

=−4m−2m=8m2

Theo đề bài, ta có: x1−x2x12−x22=32⇔8m2=32⇔m2=4⇔m=2m=−2

Mà m<0 nên m=−2thỏa mãn

Vậy với  m=−2 thì phương trình thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết

a) Với m=8 thì phương trình (1) trở thành x2−8x+4=0 

Ta có: Δ'=−42−4=12. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x1=4+12;x2=4−12

Vậy với m=8 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x1=4+12;x2=4−12

b) Phương trình (1) có Δ=−m2−4m−4=m2−4m+16=m2−4m+4+12=m−22+12 ⇒Δ>0,∀m. Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=mx1x2=m−4

Ta có: 5x1−15x2−1=25x1x2−5x1−5x2+1

=25x1x2−5x1+x2+1

=25m−4−5m+1=20m−99

Theo đề bài, ta có: 5x1−15x2−1<0⇔20m−99<0⇔m<9920

Mà m là số nguyên dương nên m∈1;2;3;4 

Vậy m∈1;2;3;4.

Mở rộng:

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để x1<a<x2 thì

x1<ax2>a⇔x1−a<0x2−a>0⇔x1−ax2−a<0 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để x1<x2<a thì

x1<ax2<a⇔x1−a<0x2−a<0⇔x1−ax2−a>0x1+x2<2a 

* Bài toán tìm điều kiện của tham số m để x2>x1>a thì

x1>ax2>a⇔x1−a>0x2−a>0⇔x1−ax2−a>0x1+x2>2a 

Các bước giải tiếp theo ta áp dụng định lí Vi – ét làm tương tự Ví dụ 4.

Giải chi tiết

a) Trường hợp 1: m=0 thì 1⇔−2x−4=0⇔x=−2 

Với  m=0 thì phương trình có nghiệm.

Trường hợp 2: m≠0thì (1) là phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi

Δ'≥0⇔−m+12 −mm−4≥0⇔6m+1≥0⇔m≥−16 

Kết hợp 2 trường hợp thì m≥−16

Vậy với m≥−16 thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

⇔m≠0Δ'>0⇔m≠06m+1>0⇔m≠0m>−16 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=2m+1m  (2)x1x2=m−4m  (3)

Theo đề bài ta có: 4x1+x2=3⇒x2=3−4x1(4)

Thay (4) vào (2) ta được:

x1+3−4x1=2m+1m⇔−3x1=2m+1m−3⇔x1=m−23m

⇒x2=3−4m−23m=5m+83m

Thay x1=m−23m; x2=5m+83mvào (3) ta được

m−23m.5m+83m=m−4m

⇒m−25m+8=9mm−4⇔2m2−17m+8=0⇔m=8m=12

Kết hợp điều kiện suy ra m=8 hoặc m=12.

Vậy với m=8 hoặc m=12 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn 4x1+x2=3 

* Bài toán tìm m để để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn x1=kx2 hoặc x1=kx22,…(*) thì ta đi giải hệ

x1+x2=...x1x2=......=(*) 

Giải 2 trong 3 phương trình trong hệ trên tìm x₁, x₂ theo m rồi thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình chỉ còn tham số m. Giải tìm được m.

a) Ta có: Δ'=4−52−5−1=22−95=484−405>0 

S=−24−55−1<0;P=15−1>0

Vậy phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.

a) Ta có: Δ'=4−52−5−1=22−95=484−405>0 

S=−24−55−1<0;P=15−1>0

Vậy phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.

b) Phương trình có ac=−6<0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Giải chi tiết

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

ac<0⇔2m−3<0⇔m<32 

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.

Δ≥0P>0S>0⇔−52−42m−3≥02m−3>05>0⇔37−8m≥0m>32⇔m≤378m>32⇔32<m≤378

Vậy với 32<m≤378thì phương trình có 2 nghiệm dương.

Giải chi tiết

Ta có: Δ=−m−52−4−3m+6=m2−10m+25+12m−24=m2+2m+1=m+12 

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

Δ>0P>0S<0⇔m+12>0−3m+6>0m−5<0⇔m≠−1m<2m<5⇔m≠−1m<2

Vậy với m<2 và m≠−1 thì phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.

Giải chi tiết

Ta có: Δ=−2m+12−4m−7=4m2+4m+1−4m+28=4m2+29>0,∀m 

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

x1+x2=2m+1x1x2=m−7⇒x1+x2=2m+12x1x2=2m−14⇒x1+x2−2x1x2=15

Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào tham số m là x1+x2−2x1x2=15

Giải chi tiết

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

a≠0Δ'>0⇔m−2≠0−m2−m+1m−2>0⇔m≠2m+2>0⇔m≠2m>−2 

b) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=2mm−2x1x2=m+1m−2

⇒x1+x2=2m−4+4m−2=2m−2m−2+4m−2=2+4m−2x1x2=m−2+3m−2=m−2m−2+3m−2=1+3m−2⇒3x1+x2=6+12m−24x1x2=4+12m−2

Trừ từng vế ta có 3x1+x2−4x1x2=2

Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào tham số m là3x1+x2−4x1x2=2.

a)Δ=25 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=2;x2=13

b) Δ'=1 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−3+1;x2=−3−1

c) a+b+c=0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=1;x2=5x1

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=−−13=13x1x2=−13

Ta có: A=x12+x22=x1+x22−2x1x2=132−2.−13=79

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:A=x1+x2=23;x1x2=−23

Ta có: B=x1+x22−2x1x2=232−2.−23=169

Vậy A=23, B=169

B=x12+x22=x1+x22−2x1x2=14

Muốn tính C=x15+x25thì cần tính x13+x23=x1+x23−3x1x2x1+x2=38

C=x15+x25=x12+x22x13+x23−x12x22x1+x2=482

Δ'=m−22≥0,∀m 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=2m−2x1x2=2m−3

Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x₂ của phương trình không phụ thuộc vào tham số m là x1+x2−x1x2=1

Phương trình có 2 nghiệm ⇔Δ'≥0⇔m≤1 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=2m−1x1x2=m2−m

Ta có:

1+x12+1+x22=2+2x1+x2+x12+x22=2+2x1+x2+x1+x22−2x1x2=2m2−m+1

1+x12+1+x22=6⇔m2−m−2=0⇔m=−1m=2

Kết hợp điều kiện m≤1

Vậy m = -1

Câu 8:

a) Δ=m2−2m+9=(m−1)2+8>0,∀m . Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Lưu ý: Bài toán yêu cầu tìm m∈ℤ để x∈ℤ. Ta đưa về bài toán tìm x nguyên để m nguyên. Vậy từ phương trình ta tìm m theo x.

x2−m+1x+m−2=0⇔m1−x=−x2+x+2 

Nếu x=1 là nghiệm thay vào suy ra vô lí, vậy x≠1

⇒m=x2−x−2x−1=x−2x−1 

Vì m∈ℤ nên x−2x−1∈ℤ

Vì m∈ℤ nên 2x−1∈ℤ⇒x−1∈Ö2

Vậy với m=2 hoặc m=0 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a) Thay m = 3 vào (1) ta được x2−10x+16=0 

Δ'=9, phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1=2;x2=8

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔Δ>9⇔m+6>0⇔m>−6

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=2m+2x1x2=m2+3m−2

A=2018+3x1x2−x12−x22=2018+5x1x2−x1+x22=m2−m+1992=m−122+79674

Vì nên m−122+79674≥79674,∀m

m−122≥0,∀mVậy giá trị nhỏ nhất của A là 79674 đạt được khi m=12 (thỏa mãn m>−6)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0⇔33−16m>0⇔m<3316 

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=52x1x2=2m−12

 Ta có: 1x1+1x2=x1+x2x1x2=52m−1m≠12

Từ đề bài ⇒52m−1=52⇔m=32(thỏa mãn)

Vậy m=32

a) Phương trình có nghiệm bằng -2 nên −22−3.−2+m=0⇔m=−10 

Theo định lí Vi-ét, ta có: x1+x2=−ba⇒−2+x2=3⇒x2=5

Vậy với m= -10 thì phương trình có nghiệm -2 và nghiệm còn lại là 5.

b) Phương trình có 2 nghiệm khi và chỉ khi Δ≥0⇔−32−4m≥0⇔m≤94 

Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (1): x1+x2=3x1x2=m

Ta có: A=x12+x22−3x1x2=x1+x22−2x1x2−3x1x2=x1+x22−5x1x2=9−5m

Ta lại có: m≤94⇒−5m≥−454⇔9−5m≥−94⇒A≥−94 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là −94 đạt được khi m=94

a) Thay m=−3 vào (1) ta được phương trình x2+5x−3=0

Δ=52−4.−3=37 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=−5+372;x2=−5−372

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=−5+372;−5−372

b) Phương trình (*) có hai nghiệm ⇔Δ≥0⇔52−4m≥0⇔4m≤25⇔m≤254 

Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (*), ta có: x1+x2=−5(1)x1x2=m(2)

Theo đề bài 9x1+2x2=18

Giải hệ: x1+x2=−59x1+2x2=18⇔2x1+2x2=−109x1+2x2=18⇔7x1=28x1+x2=−5⇔x1=4x2=−9

Thay x1=4;x2=−9 vào (2) ta được m=−36 (thỏa mãn)

Vậy m=−36.

a) Thay m= 2 vào (1) ta được phương trình x2−4x+3=0⇔x−1x−3=0⇔x=1x=3

vậy tập nghiệm của phương trình là S=1;3 

b) Phương trình 1⇔Δ'=m2−2m+1=m−12≥0 có hai nghiệm  (luôn đúng). Phương trình ¹ luôn có 2 nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Vì x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

x12−2mx1+2m−1=0x22−2mx2+2m−1=0⇔x12−2mx1+3=4−2mx22−2mx2−2=−1−2m

Theo đề bài x12−2mx1+3x22−2mx2−2=50⇔4−2m−1−2m=50

⇔4m2−6m−54=0⇔m=−3m=92 

Vậy m=−3 hoặc m=92 thỏa mãn yêu cầu đề bài

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

a≠0Δ>0⇔m≠02m+32−4mm+1>0⇔m≠08m+9>0⇔m≠0m>−98 

Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình, ta có: x1+x2=2m+3m=2+3mx1x2=m+1m=1+1m⇒x1+x2=2+3m3x1x2=3+3m

Vậy hệ thức giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m là:x1+x2−3x1x2=−1