Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
20 câu hỏi
A. Trắc nghiệm
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
\(y = - 3x + 2\).
\(y = \frac{{1 - x}}{2}\).
\(y = \frac{x}{3} - 1\).
\(y = 1 - 2x\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = \frac{x}{3} - 1\) có hệ số \(a = \frac{1}{3} > 0\) nên hàm số đồng biến.
Cho hàm số \[y = a{x^2}\] có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đó là
\[y = 2{x^2}.\]
\[y = - 2{x^2}.\]
\[y = - {x^2}.\]
\[y = {x^2}.\]
Đáp án đúng là: A
Nhìn vào đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số \[y = a{x^2}\] và khi \[x = 1\] thì \[y = 2.\]
Thay \[x = 1\]; \[y = 2\] vào \[y = a{x^2}\] ta được \[2 = a \cdot {\rm{ }}{1^2}.\] Suy ra \[a = 2.\]
Do đó trong hình vẽ trên biểu diễn hàm số \[y = 2{x^2}.\]
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
\[\frac{1}{{{x^2}}} + 2026\,x + 2025 = 0\].
\({x^4} + 2026\,{x^2} - 2025 = 0\).
\({x^2} + 2026\,{x^3} + 2025 = 0\).
\({x^2} - 2025\,x + 2026 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0,\) trong đó \(x\) là ẩn; \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).
Do đó, phương trình \({x^2} - 2025\,x + 2026 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn.
Gọi \({x_1},\,x{}_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\), khi đó ta có
\({x_1} + {x_2} = \frac{{11}}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}.\)
\({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}.\)
\({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{11}}{2}.\)
\({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2};\,\,{x_1}{x_2} = - \frac{{11}}{2}.\)
Đáp án đúng là: B
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}.\)
Trục ngang của biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột xác định
tần số tương đối của nhóm số liệu.
đơn vị độ dài phù hợp với các tần số tương đối.
các nhóm số liệu cần biểu diễn.
tiêu đề cho biểu đồ.
Đáp án đúng là: C
Trục ngang của biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột xác định các nhóm số liệu cần biểu diễn.
Do đó ta chọn phương án C.
Gieo một con xúc xắc 45 lần cho kết quả như sau:
Số chấm xuất hiện | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
Tần số | \(5\) | \(?\) | \(8\) | \(7\) | \(6\) | \(10\) |
Tần số xuất hiện của mặt \(2\) chấm là
7.
8.
9.
10.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(n = {m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} + {m_6}\)
Do đó \(45 = 5 + {m_2} + 8 + 7 + 6 + 10\) nên \({m_2} = 45 - \left( {5 + 8 + 7 + 6 + 10} \right) = 9\).
Vậy tần số xuất hiện của mặt hai chấm là 9.
Biểu đồ hình quạt tròn dưới đây biểu diễn tần số tương đối của các ngôn ngữ lập trình được sử dụng khi viết 200 phần mềm của một công ty công nghệ. Biết rằng, mỗi phần mềm được viết bằng đúng một ngôn ngữ lập trình.
Ngôn ngữ lập trình nào được sử dụng phổ biến nhất trong công ty trên khi viết 200 phần mềm?
Python.
JavaScript.
Java.
Ruby.
Đáp án đúng là: A
Quan \[\left[ {25;31} \right)\]sát biểu đồ, ta thấy ngôn ngữ lập trình được sử dụng phổ biến nhất khi viết 200 phần mềm là Python (chiếm 35%).
Do đó ta chọn phương án A.
Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi. Số khả năng xảy ra của biến cố A là
3.
4.
5.
6.
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu là \(\Omega = \left\{ {\left( {1\,;\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {3\,;\,\,4} \right)} \right\}\).
Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 3”.
Có 4 khả năng xảy ra biến cố A là\(\,\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {2\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {3\,;\,\,4} \right)\).
Trong các hình dưới đây, đường tròn \[\left( O \right)\] ở hình nào là đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC?\]
Hình a.
Hình b.
Hình c.
Hình d.
Đáp án đúng là: D
⦁ Ở Hình a, đường tròn \[\left( O \right)\] là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC,\] vì đường tròn \[\left( O \right)\] đi qua cả ba đỉnh \[A,\,\,B,\,\,C\] của tam giác \[ABC.\] Do đó, đường tròn \[\left( O \right)\] không là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] vì nó không đi qua đỉnh \[C\] của tam giác \[ABC.\]
⦁ Ở Hình b, đường tròn \[\left( O \right)\] không là đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] vì nó không đi qua đỉnh C của tam giác \[ABC.\]
⦁ Ở Hình c, đường tròn \[\left( O \right)\] không là đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC,\] vì nó không tiếp xúc với cạnh \[BC.\]
⦁ Ở Hình d, đường tròn \[\left( O \right)\] là đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC,\] vì nó tiếp xúc với ba cạnh \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CA\] của tam giác \[ABC.\]
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Mọi tứ giác luôn nội tiếp đường tròn.
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \[90^\circ \].
Tổng số đo hai góc đối của một tứ giác nội tiếp luôn bằng \[180^\circ \].
Tất cả các hình thang đều là tứ giác nội tiếp.
Đáp án đúng là: C
Phát biểu “Tổng số đo hai góc đối của một tứ giác nội tiếp luôn bằng đây là dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp.
Cho các hình dưới đây:
Trong các hình trên, hình nào có dạng là đa giác đều?
Hình \(a,\,\,b\).
Hình \(b,\,\,d\).
Hình \[c,\,\,e\].
Hình \(d,\,\,e\).
Đáp án đúng là: B
Các hình \(a,\,\,c,\,\,e\) không là đa giác đều vì các hình này không phải đa giác lồi.
Hình \[b\] là hình vuông (tứ giác đều), hình \[d\] là lục giác đều.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] và góc tại \[A\] bằng \(60^\circ \). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều \[ACD\]. Phép quay tâm \[A\] góc \(60^\circ \) biến \[BC\] thành
\[AD\].
\[DK\] với K là trung điểm của \[AC\].
\[CJ\] với \[J\] là trung điểm của \[AD\].
\[AI\] với \[I\] là trung điểm của \[CD\].
Đáp án đúng là: B
Từ giả thiết suy ra \[ABC\] là tam giác vuông có góc \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) nên \[AC = 2AB\].
Xép phép quay tâm \[A\] góc quay \(60^\circ \) ta có:
Biến \[B\] thành \[K\]; biến \[C\] thành \[D\].
Vậy phép quay tâm \[A\] góc \(60^\circ \) biến \[BC\] thành \[KD\].
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 8 = 0\) (\[m\] là tham số, \[x\] là biến số).
a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
b) Với \[m = 2\] ta có phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = 3\).
c) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).
d) Tổng hai nghiệm của phương trình là \( - 2m - 2.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Sai.
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 8 = 0\) (\[m\] là tham số, \[x\] là biến số).
⦁ Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn \(x\) có \(a = 1 \ne 0\,;\,\,b = - 2\left( {m - 1} \right)\,;\,\,c = 2m - 8.\) Do đó ý a) là đúng.
⦁ Với \[m = 2\] ta có phương trình: \[{x^2} - 2x - 3 = 0\].
Ta có: \(a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0\)
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 3\). Do đó ý b) là sai.
⦁ Phương trình có biệt thức \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - \left( {2m - 8} \right) = {m^2} - 4m + 9 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 5 > 0\] với mọi \[m\] nên phương trình luôn có nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \[m\]. Do đó ý c) là đúng.
⦁ Theo định lí Viète, ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\]. Do đó ý d) là sai.
Một chi tiết xây dựng bằng bê tông có kích thước như hình vẽ bên, gồm:
− Phía trên là một hình trụ có chiều cao \(2\,\,{\rm{m}},\) đường kính đáy \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)
− Phía dưới là nửa hình cầu có đường kính \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)
Mỗi xe trộn bê tông cung cấp được \(6\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) bê tông. Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết như ở câu a thì cần ít nhất bao nhiêu xe để đáp ứng được nhu cầu?
a) Thể tích hình cầu có bán kính đáy \(R,\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)
b) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)
c) Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là: \(\frac{{13\pi }}{{96}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\)
d) Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết xây dựng bằng bê tông như ở hình trên thì cần ít nhất 2 xe để đáp ứng được nhu cầu.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Sai.d) Đúng.
⦁ Thể tích hình cầu có bán kính đáy \(R,\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Do đó ý a) là đúng.
⦁ Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là: \({R_{tru}} = \frac{{0,5}}{2} = 0,25\,\,\left( {\rm{m}} \right).\) Do đó ý b) là sai.
⦁ Thể tích của hình trụ là: \({V_{tru}} = \pi {R^2}h = \pi \cdot 0,{25^2} \cdot 2 = \frac{\pi }{8}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)
Vì bán kính của đường tròn đáy hình trụ cũng chính là bán kính của hình cầu nên thể tích của nửa hình cầu là:
\(\frac{1}{2}{V_{cau}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = \,\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 0,{25^3} = \frac{\pi }{{96}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)
Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là: \(V = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{{96}} = \frac{{13\pi }}{{96}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\)
Do đó ý c) là sai.
⦁ Thể tích của 40 chi tiết xây dựng bằng bê tông là: \(40 \cdot 0,425 = 17\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)
Số lượng ít nhất để đáp ứng được nhu cầu là: \(\frac{{17}}{6} = 2,833... \approx 3\) (xe).
Vậy cần ít nhất 3 xe để đáp ứng được nhu cầu. Do đó ý d) là đúng.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất \(1\,505\) sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó vượt mức \(86\) sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là \(2\) ngày. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 215.
Gọi số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[x\] (sản phẩm).
Điều kiện: \[x \in \mathbb{N}\,;\,\,x > 0\].
Thời gian sản xuất theo kế hoạch là \[\frac{{1505}}{x}\] (ngày)
Thực tế mỗi ngày phân xưởng sản được số sản phẩm là: \[x + 86\] (sản phẩm)
Thời gian sản xuất thực tế là \[\frac{{1505}}{{x + 86}}\] (ngày)
Vì phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày nên ta có phương trình: \[\frac{{1505}}{x} - \frac{{1505}}{{x + 86}} = 2\]
\[1505\left( {x + 86} \right) - 1505x = 2x\left( {x + 86} \right)\]
\[2{x^2} + 172x - 129\,\,430 = 0\]\[{x^2} + 86x - 64\,\,715 = 0\]
\[x = - 301\] (loại) hoặc \[x = 215\] (TMĐK).
Vậy số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[215\] sản phẩm.
Tập hợp A có 30 số chẵn và một số số lẻ. Bạn An chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp \(A.\) Biết rằng xác suất của biến cố “Chọn được số chia hết cho 2” là \[0,4.\] Hỏi tập hợp \(A\) có bao nhiêu phần tử?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 75.
Gọi \(n\) là số phần tử của tập \(A\).
Xác suất của biến cố “Chọn được số chia hết cho 2” là \(\frac{{30}}{n} = 0,4\).
Do đó \(n = \frac{{30}}{{0,4}} = 75\).
Vậy tập hợp \(A\) có 75 phần tử.
Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính \[R = 3{\rm{ cm}}.\] Tính diện tích hình vuông đó.
Hướng dẫn giải
Đáp số: 18.
Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông suy ra độ dài đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.
Độ dài của đường chéo hình vuông là: \[d = 2R = 2 \cdot 3 = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\]
Độ dài cạnh hình vuông là: \[a = \sqrt {\frac{{{d^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{{6^2}}}{2}} = 3\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\]
Diện tích hình vuông là: \[3\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 2 = 18\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\]
Vậy diện tích hình vuông là \[18{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\]
Nón Huế là một hình nón có đường kính đáy bằng \[40\,\,{\rm{cm,}}\] độ dài đường sinh là \[30\,\,{\mathop{\rm cm}\nolimits} \]. Người ta lát mặt xung quanh hình nón bằng ba lớp lá khô. Tính diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế như vậy (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị với đơn vị \[{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\]
![Nón Huế là một hình nón có đường kính đáy bằng \[40\,\,{\rm{cm,}}\] độ dài đường sinh là \[30\,\,{\mathop{\rm cm}\nolimits} \]. Người ta lát mặt xung quanh hình nón bằng ba lớp lá khô. Tính d (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/blobid0-1741012868.png)
Hướng dẫn giải
Đáp số: 5656.
Chiếc nón Huế là một hình nón có đường kính đáy
\(d = 40\,\,{\rm{cm}}\) nên độ dài bán kính đáy là:
\(R = \frac{d}{2} = \frac{{40}}{2} = 20\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Độ dài đường sinh \(l = 30\,\,cm\).
Diện tích xung quanh của hình nón này là: \[S = \pi Rl = \pi \cdot 20 \cdot 30 = 600\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Vì người ta lợp nón bằng 3 lớp lá, nên diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế sẽ là:
\(600\pi \cdot 3 = 1800\pi \approx 5655\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Vậy diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế khoảng \(5655\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)
B. Tự luận
1. Sau khi điều tra về số học sinh trong \[100\] lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có bảng tần số ghép nhóm như ở bảng sau:
Nhóm | \[\left[ {36\,\,;\,\,38} \right)\] | \[\left[ {38\,\,;\,\,40} \right)\] | \[\left[ {40\,\,;\,\,42} \right)\] | \[\left[ {42\,\,;\,\,44} \right)\] | \[\left[ {44\,\,;\,\,46} \right)\] |
Tần số \[\left( n \right)\] | \[20\] | \[15\] | \[25\] | \[30\] | \[10\] |
a) Tìm tần số tương đối của mỗi nhóm đó.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm và vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
2. Viết một số tự nhiên có chẵn có ba chữ số. Xét biến cố \(A:\) “Số tự nhiên là bội của 11”. Tính xác suất của biến cố \(A.\)
Hướng dẫn giải
1. a) Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là: \[{f_1} = \frac{{20}}{{100}} \cdot 100\% = 20\% \]; \[{f_2} = \frac{{15}}{{100}} \cdot 100\% = 15\% \];
\[{f_3} = \frac{{25}}{{100}} \cdot 100\% = 25\% \];\[{f_4} = \frac{{30}}{{100}} \cdot 100\% = 30\% \]; \[{f_5} = \frac{{10}}{{100}} \cdot 100\% = 10\% \]
b) Bảng tần số tương đối của mỗi nhóm
Nhóm | \[\left[ {36\,;\,38} \right)\] | \[\left[ {38\,;40} \right)\] | \[\left[ {40\,;42} \right)\] | \[\left[ {42\,;\,44} \right)\] | \[\left[ {44\,;46} \right)\] |
Tần số tương đối \[\left( n \right)\] | \[20\] | \[15\] | \[25\] | \[30\] | \[10\] |
Biểu đồ cột của mẫu số liệu ghép nhóm:
2. a) Số cách viết chữ số hàng trăm là 9 cách (các số từ 1 đến 9).
Số cách viết chữ số hàng chục là 10 cách (các số từ 0 đến 0).
Số cách viết các chữ hàng đơn vị để là số chẵn 5 cách (các số 0; 2; 4; 6; 8).
Vậy số phần tử của tập hợp \(\Omega \) là: \(9.10.5 = 450\) (phần tử)
b) Các số là bội của 11 là \(\left\{ {110\,;\,\,132\,;\,\,154\,;\,\, \ldots ;\,\,990} \right\}\).
Số phần tử tập hợp các số chia hết cho 11 gồm 3 chữ số chẵn là \(\left( {990 - 110} \right):22 + 1 = 41\).
Xác suất để số viết ra là số chia hết cho 11 là \(\frac{{41}}{{450}}\).
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB.\] Gọi \[H\] là điểm nằm giữa \[O\] và \[B.\] Kẻ dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[H.\] Trên cung nhỏ \[AC\] lấy điểm \[E\] bất kỳ \[\left( E \right.\] khác \[A\] và \[\left. C \right).\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[AE\] tại \[K.\] Đường thẳng \[DE\] cắt \[CK\] tại \[F.\]
a) Chứng minh tứ giác \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \[KH\] song song với \[ED\] và tam giác \[ACF\] là tam giác cân.
c) Tìm vị trí của điểm \[E\] để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Vì \(CK \bot AK\) nên \(\widehat {AKC} = 90^\circ .\) Vì \(CH \bot AB\) tại \[H\] nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ .\)
Gọi \(I\)là trung điểm \(AC\).
\(\Delta AKC\)có \(KI\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(KI = OA = OC = \frac{1}{2}AC.\)
\(\Delta AHC\) có \(HI\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền\(AC\) nên \(HI = IA = IC = \frac{1}{2}AC.\)
Do đó \(IA = IK = IC = IH.\)
Vậy bốn điểm
\(A,\,\,H,\,\,C,\,\,K\) cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm \(I\) hay tứ giác \[AHCK\] nội tiếp.
b) Vì \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {CHK} = \widehat {CAK} = \widehat {CAE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[KC).\]
Lại có \[ADCE\]nội tiếp nên \(\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[EC).\]
Từ đó suy ra \(\widehat {CHK} = \widehat {CDE}\) nên \(HK\,{\rm{//}}\,DE\) (đpcm).
Do \(HK\,{\rm{//}}\,DE\), mà \[H\] là trung điểm \[CD\] (quan hệ vuông góc của đường kính \[AB\] với dây \[CD\] tại \[H).\]
Suy ra \[HK\] là đường trung bình của tam giác \[CDF\] nên \[K\] là trung điểm \[FC\].
Tam giác \[AFC\] có \[AK\] là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.
Do đó tam giác \[CAF\]là tam giác cân tại \[K\] (đpcm).
c) Tam giác \[FAC\] cân tại \[A\] nên \[AF = AC.\]
Dễ thấy tam giác \[ACD\] cân tại \[A\] nên \[AC = AD\].
Từ đó suy ra \[AF = AD\] hay tam giác \[AFD\] cân tại \[A\], hạ \[DI \bot AF\] .
Ta có \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC\).
Do \[AC\] không đổi nên \({S_{AFD}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \[DI\] lớn nhất.
Trong tam giác vuông \[AID\] ta có:
\(ID \le AD = AC\) hay \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC \le \frac{{A{C^2}}}{2}\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(I \equiv A\), khi đó \[\widehat {DAF} = 90^\circ \] nên tam giác \[ADF\] vuông cân tại \[A\], suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {EDA} = 45^\circ \) hay \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]
Vậy để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất thì \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]
