Bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Phương trình x² + 2(m +1)x – m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có \(\frac{c}{a} = - {m^2} - 1.\)

Với mọi m, ta có: m² ≥ 0, nên –m² – 1 < 0, hay \(\frac{c}{a} < 0.\)

Vậy phương trình này có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

>

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² – 2(m – 3)x + 8 – 4m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 3)]² – 1.(8 – 4m) = m² – 6m + 9 – 8 + 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)².

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\left( {m - 3} \right) < 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\8 - 4m > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)>>

⦁ Giải (1):

(m – 1)² > 0

(m – 1)² ≠ 0

m – 1 ≠ 0

m ≠ 1.

⦁ Giải (2):

2(m – 3) < 0

m – 3 < 0

m < 3.

⦁ Giải (3):

8 – 4m > 0

– 4m > –8

m < 2.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m < 2 và m ≠ 1.

Vậy ta chọn phương án A.

>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – 6x + 2m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = (–3)² – 1.(2m + 1) = 9 – 2m – 1 = 8 – 2m.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}8 - 2m > 0\\6 > 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - 2m > - 8\\2m > - 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m > - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) nên \( - \frac{1}{2} < m < 4.\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1; 2; 3}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² + (3m – 1)x + m² = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = (3m – 1)² – 4.1.m² = 9m² – 6m + 1 – 4m² = 5m² – 6m + 1.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}5{m^2} - 6m + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - \left( {3m - 1} \right) < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{m^2} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)>>

Giải (3):

m² > 0

m≠ 0.

Giải (2):

–(3m – 1) < 0

3m – 1 > 0

\(m > \frac{1}{3}.\)

Giải (1):

5m² – 6m + 1 > 0

(5m – 1)(m – 1) > 0

5m – 1 < 0 hoặc m – 1 > 0>

\(m < \frac{1}{5}\) hoặc m > 1.>

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m ≠ 0, \(m < \frac{1}{5}\) hoặc m > 1.>

Mà m là số nguyên nhỏ nhất nên m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

>

Đáp án đúng là: C

Để phương trình mx² – 2(m – 2)x + 3(m – 2) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = m \ne 0\\\Delta ' > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\P > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

⦁ Giải (1): Với m ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 2)]² – m.3(m – 2) = m² – 4m + 4 – 3m² + 6m

= –2m² + 2m + 4 = –2(m² – m – 2) = –(m – 2)(m + 1).

Ta có: ∆' > 0 thì

–(m – 2)(m + 1) > 0

(m – 2)(m + 1) < 0

m – 2 < 0 và m + 1 > 0 (do m – 2 < m + 1)

m < 2 và m > –1>

–1 < m < 2.

⦁ Giải (2):

P > 0

\(\frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} > 0\)

m < 0 (do ở điều kiện (1), ta đã kết luận m – 2 < 0).

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: –1 < m < 0.

Vậy ta chọn phương án C.

>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn, có hai nghiệm trái dấu khi \(P = \frac{{m - 1}}{2} < 0,\) tức là m < 1.

Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau, tức chúng là số đối của nhau nên \(S = - \frac{{2m - 1}}{2} = 0,\) suy ra 2m – 1 = 0 nên \(m = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn).

>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – (m – 3)x – m + 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có a = 1, b = – (m – 3), c = – m + 2.

Ta có: a – b + c = 1 – [– (m – 3)] + (–m + 2) = 1 + m – 3 – m + 2 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là: x₁ = –1, x₂ = m – 2.

Khi đó, để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm thì x₂ ≥ 0, tức là m – 2 ≥ 0, hay m ≥ 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x⁴ – 6x² + m = 0.

Đặt x² = t (t ≥ 0) ta có phương trình t² – 6t + m = 0 (với m là tham số) là phương trình bậc hai ẩn t có:

∆' = (–3)² – m = 9 – m.

Phương trình x⁴ – 6x² + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t² – 6t + m = 0 có hai nghiệm dương t₁, t₂ phân biệt, tức là \[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}9 - m > 0\\6 > 0\\m > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m < 9\\m > 0\end{array} \right.\] nên 0 < m < 9.

Mà m là số nguyên nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x² – (2m – 3)x + m² – 3m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = [–(2m – 3)]² – 4.1.(m² – 3m) = 4m² – 12m + 9 – 4m² + 12m = 9 > 0 với mọi m.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi tích hai nghiệm nhỏ hơn 0 nên \(\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} < 0.\)

Đáp án đúng là: C

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì \(\Delta\) > 0 và P > 0.

Đáp án đúng là: C

Phương trình đã cho tích hai nghiệm là –m² – 1 < 0 với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu.

Đáp án đúng là: B

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi \(\frac{{\rm{m}}}{2} < 0\) suy ra m < 0.

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – 8mx + 5m² = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ dương khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}} > 0\\{{\rm{x}}_1} \cdot {{\rm{x}}_2} > 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 4{\rm{m}}} \right)^2} - 1 \cdot 5{{\rm{m}}^2} > 0\\ - \left( { - 4{\rm{m}}} \right) > 0\\5{{\rm{m}}^2} > 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{11}}{{\rm{m}}^2} > 0\\{\rm{4m}} > 0\\{\rm{m}} \ne 0\end{array} \right.\), suy ra m > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi m > 0.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình (1) có a + b + c = 1 – (2m + 1) + 2m = 1 – 2m – 1 + 2m = 0.

Vậy phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0.

b) Sai.

Phương trình (1) có a + b + c = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = 2m.

Vậy phương trình (1) luôn có một nghiệm bằng 1.

c) Đúng.

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi 2m < 0, suy ra m < 0.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi m < 0.

d) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm khi 2m ≥ 0 và 2m ≠ 1.

Suy ra m ≥ 0 và \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm không âm khi m ≥ 0 và \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}.\)

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–m)² – 1.(2m – 1) = m² – 2m + 1 = (m – 1)².

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta\)’ = (m – 1)² > 0 nên m – 1 ≠ 0 nên m ≠ 1.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 1.

b) Đúng.

Theo định lý Viète ta có: \({\rm{S}} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right)}}{1} = 2{\rm{m}};\;\,{\rm{P}} = \frac{{2{\rm{m}} - 1}}{1} = 2{\rm{m}} - 1.\)

Vậy phương trình (1) có tổng hai nghiệm S = 2m, tích hai nghiệm P = 2m – 1.

c) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi P = 2m – 1 < 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi \({\rm{m}} < \frac{1}{2}.\)

d) Sai.

Theo a) ta có: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 1 (1).

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm thì S < 0 và P > 0.

Với P > 0 ta có: 2m – 1 > 0, suy ra \({\rm{m}} > \frac{1}{2}\;\,\left( 2 \right).\)

Với S < 0 ta có: 2m < 0, suy ra m < 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt âm.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x khi 2m – 1 ≠ 0 nên \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\).

Vậy với \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\) thì phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x.

b) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–m)² – 1.(2m – 1) = m² – 2m + 1 = (m – 1)².

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi (m – 1)² > 0, suy ra (m – 1)² ≠ 0 nên m ≠ 1.

Theo a), phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x khi \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\).

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 1 và \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\).

c) Sai.

Theo b) ta có phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khi m ≠ 1 và \({\rm{m}} \ne \frac{1}{2}\) (1).

Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right)}}{{2{\rm{m}} - 1}} = \frac{{2{\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{1}{{2{\rm{m}} - 1}}.\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì \({{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{1}{{2{\rm{m}} - 1}} > 0\), suy ra 2m – 1 > 0 nên \({\rm{m}} > \frac{1}{2}.\)

Kết hợp với (1): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1.

d) Đúng.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương thì x₁ + x₂ > 0, x₁x₂ > 0 và \(\Delta\)’ > 0.

Với x₁x₂ > 0 và \(\Delta\)’ > 0 thì \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1.

Với x₁ + x₂ > 0 thì \(\frac{{2{\rm{m}}}}{{2{\rm{m}} - 1}} > 0\).

TH1: 2m > 0 và 2m – 1 > 0, suy ra m > 0 và \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) suy ra \({\rm{m}} > \frac{1}{2}.\)

Kết hợp với \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1 ta có: \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1.

TH2: 2m < 0 và 2m – 1 < 0, suy ra m < 0 và \({\rm{m}} < \frac{1}{2},\) suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{2}.\)

Kết hợp với \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1 thì không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Vậy với \({\rm{m}} > \frac{1}{2},\) m ≠ 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

x² + 2mx + m² = x

x² + 2mx – x + m² = 0

x² + (2m – 1)x + m² = 0.

Vậy phương trình (1) đưa về được phương trình x² + (2m – 1)x + m² = 0 (2).

b) Đúng.

Phương trình (2) có \(\Delta\) = (2m – 1)² – 4.1.m² = 4m² – 4m + 1 – 4m² = 1 – 4m.

Để phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thì 1 – 4m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{4}.\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \({\rm{m}} < \frac{1}{4}.\)

c) Sai.

Xét phương trình (2):

Theo định lý Viète ta có: x₁x₂ = m²; x₁ + x₂ = –(2m – 1) = –2m + 1.

Để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu thì x₁x₂ < 0, suy ra m² < 0.

Vì m² ≥ 0 với mọi giá trị m nên phương trình (2) không có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

d) Sai.

Phương trình (2) có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt cùng dấu thì \(\Delta\) > 0 và x₁x₂ > 0.

Theo b) ta có: \(\Delta\) > 0 khi \({\rm{m}} < \frac{1}{4}.\)

Với x₁x₂ > 0 thì m² > 0 nên m ≠ 0.

Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì \({\rm{m}} < \frac{1}{4}\) và m ≠ 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình (1) có \(\Delta\) = (m – 1)² – 4.1.(–m) = m² – 2m + 1 + 4m = (m + 1)².

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (m + 1)² > 0 nên m + 1 ≠ 0, suy ra m ≠ –1.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ –1 (*).

b) Sai.

Theo định lý Viète ta có: x₁x₂ = –m; x₁ + x₂ = –(m – 1) = –m + 1.

Vậy x₁x₂ = –m; x₁ + x₂ = –m + 1.

c) Sai.

Vì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho hai nghiệm này bằng nhau về trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau nên hai nghiệm này là hai số đối nhau.

Vậy phương trình (1) có tổng hai nghiệm bằng 0.

d) Sai.

Theo b) ta có: x₁ + x₂ = –m + 1.

Theo c) ta có: x₁ + x₂ = 0.

Do đó: –m + 1 = 0 nên m = 1 (thỏa mãn (*)).

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 0

Ta có: \(\Delta\)’ = a² – 6a.

Theo định lý Viète ta có: x₁x₂ = –6a.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi \(\Delta\)’ > 0 và x₁x₂ > 0.

Suy ra a² – 6a > 0 và –6a > 0.

Vì –6a > 0 nên a < 0 (1).

Vì a² – 6a > 0 nên a(a – 6) > 0.

TH1: a > 0 và a – 6 > 0, suy ra a > 0 và a > 6 nên a > 6 (loại vì không thỏa mãn (1)).

TH2: a < 0 và a – 6 < 0, suy ra a < 0 và a < 6. Suy ra a < 0 (thỏa mãn (1)).

Theo giả thiết, a là số nguyên dương nên không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 7

Phương trình (1) có: 1 – [–(m – 4)] – m + 3 = 1 + m – 4 – m + 3 = 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm là x₁ = –1 và x₂ = –(–m + 3) = m – 3.

Khi đó, phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm khi x₂ ≥ 0.

Do đó, m – 3 ≥ 0 nên m ≥ 3.

Mà m là số nguyên nhỏ hơn 10 nên m {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Đáp án: 1

Ta có: \(\Delta\) = (m + 1)² – 4.1.(–m – 2) = m² + 2m + 1 + 4m + 8 = m² + 6m + 9 = (m + 3)².

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\) = (m + 3)² > 0, suy ra m + 3 ≠ 0, suy ra m ≠ –3 (2).

TH1: x₂ = 0 thay vào phương trình (1) ta có: 0² + (m + 1).0 – m – 2 = 0 nên m = –2.

Thay m = –2 vào phương trình (1) ta có: x² + (–2 + 1)x – (–2) – 2 = 0

x² – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 hoặc x = 1.

Khi đó, x₁ = 0, x₂ = 1 không thỏa mãn x₁ < 0 ≤ x₂.

TH2: x₁ < 0 < x₂ suy ra x₁x₂ < 0.

Theo định lý Viète ta có: x₁x₂ = –m – 2.

Để x₁x₂ < 0 thì –m – 2 < 0 nên m > –2.

Theo giả thiết, m là số nguyên âm nên m = –1.

Vậy có 1 giá trị nguyên âm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 0

Ta có: \(\Delta\)’ = (–1)² – m = 1 – m.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\)’ = 1 – m > 0, suy ra m < 1 (2).

Theo định lý Viète ta có: x₁x₂ = m; x₁ + x₂ = –(–2) = 2.

Vì x₁ < 3 < x₂ nên x₁ – 3 < 0 và x₂ – 3 > 0.

Suy ra (x₁ – 3)(x₂ – 3) < 0, do đó x₁x₂ – 3(x₁ + x₂) + 9 < 0 (3).

Thay x₁x₂ = m; x₁ + x₂ = 2 vào (2) ta có:

m – 3.2 + 9 < 0

m < –3 (2).

Từ (2) và (3) ta có: m < –3.

Mà m là số tự nhiên nên không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Vậy không có số tự nhiên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 0

Ta có: \(\Delta\) = (m – 1)² + 4(2m + 3) = m² – 2m + 1 + 8m + 12 = m² + 6m + 13 = (m + 3)² + 4.

Vì (m + 3)² + 4 > 0 với mọi giá trị của m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 1 – m; x₁x₂ = –2m – 3.

Vì x₁ > 4, x₂ > 4 nên x₁ – 4 > 0 và x₂ – 4 > 0.

Do đó x₁ + x₂ – 8 > 0 và (x₁ – 4)(x₂ – 4) > 0.

Với x₁ + x₂ – 8 > 0 suy ra x₁ + x₂ > 8 nên 1 – m > 8, suy ra m < –7 (1).

Với (x₁ – 4)(x₂ – 4) > 0 nên x₁x₂ – 4(x₁ + x₂) + 16 > 0 nên –2m – 3 – 4(1 – m) + 16 > 0, suy ra 2m + 9 > 0, suy ra \({\rm{m}} > \frac{{ - 9}}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: Không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.