Trắc nghiệm Định lí Viète và ứng dụng lớp 9 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: B

Định lí Viète: Nếu \({x_1};\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)

Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)

Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}.\)

Đáp án đúng là: B

Nếu hai số có tổng bằng \(S\) và tích bằng \(P\) thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai

\({x^2} - Sx + P = 0.\)

Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0.\)

Đáp án đúng là: A

Theo định lí Viète, ta có: \[{x_1} + {x_2} = 3;\,\,\,{x_1}{x_2} = 2.\]

Đáp án đúng là: A

Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có \(a = 1\,;\,\,b = - 3\,;\,\,c = 2\).

Ta có \(a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = 2.\)

Đáp án đúng là: A

Phương trình \(\sqrt 2 {x^2} + x - \sqrt 2 + 1 = 0\) có \(a = \sqrt 2 \,;\,\,b = 1\,;\,\,c = - \sqrt 2 + 1\).

Ta có \(a - b + c = \sqrt 2 - 1 + \left( { - \sqrt 2 + 1} \right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 }}.\)

Đáp án đúng là: A

Xét điều kiện để có hai số đó là \[{\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 8} \right) = 78 > 0\] (thỏa mãn).

Vậy hai số có \(S = {x_1} + {x_2} = - 6;\,\,P = {x_1}{x_2} = - 8\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 6x - 8 = 0.\)

Đáp án đúng là: B

Tổng của hai nghiệm là \(3 + \sqrt 2 + 3 - \sqrt 2 = 6\) và tích của hai nghiệm là \(\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right) = 9 - 2 = 7.\)

Do đó \(3 + \sqrt 2 \)và \(3 - \sqrt 2 \)là nghiệm của phương trình \({x^2} - 6x + 7 = 0.\)

Đáp án đúng là: B

Phương trình \({x^2} - 5mx - 2 = 0\)có \(\Delta = {\left( { - 5m} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25{m^2} + 8 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};\,{x_2}.\)

Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5m\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right.\).

Ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {5m} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 25{m^2} + 4.\)

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng.

Nhận thấy phương trình (1) có biệt thức là \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4m + 1 = {m^2} - 2m + 2\).

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Sai.

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 1\end{array} \right.\) .

c) Sai.

Theo đề, ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\(x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\(4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)

\(4{m^2} + 8m + 4 - 8m + 2 - 10 = 0\)

\(4{m^2} - 4 = 0\)

\({m^2} = 1\)

\(m = 1\) hoặc \(m = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 1\) và \(m = - 1\) là giá trị cần tìm.

d) Đúng.

Từ hệ thức Viète ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\) hay \({x_1} + {x_2} = 2m + 2\) suy ra \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\) (*)

Thay (*) vào \({x_1}{x_2} = 4m - 1\), ta được: \({x_1}{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right) - 1\) suy ra \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)

Vậy biểu thức \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m\).

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.        c) Đúng.     d) Đúng.

a) Đúng.

Với \[m = 3\], ta có phương trình: \[{x^2} - 10x + 16 = 0\].

Ta có: \[{x^2} - 10x + 16 = 0\] hay \[{x^2} - 2x - 8x + 16 = 0\] suy ra \[x\left( {x - 2} \right) - 8\left( {x - 2} \right) = 0\],

Do đó \[\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\] nên \[x = 2\] hoặc \[x = 8\].

b) Sai.

Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\].

Ta có: \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - {m^2} - 3m + 2 = m + 6 > 0\] suy ra \[m > - 6\].

c) Đúng.

Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì theo định lí Viète, có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.\].

d) Đúng.

Ta có: \[A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\]

           \[A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - \left( {2{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2} \right)\]

           \[A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\]

          \[A = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - {\left[ {2\left( {m + 2} \right)} \right]^2}\]

          \[A = 2018 + {m^2} + 7m - 18\]

         \[A = {m^2} + 7m + 2000\]

         \[A = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7591}}{4} \ge \frac{{7591}}{4}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[m + \frac{7}{2} = 0\] hay \[m = - \frac{7}{2}\] (thỏa mãn).

Vậy biểu thức \[A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{{7591}}{4}\] khi \[m = - \frac{7}{2}\].

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.    c) Đúng.     d) Sai.

a) Đúng.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\].

Ta có: \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} + 4m - 3 = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 4m - 3 = 6m - 2\]

Suy ra \[6m - 2 > 0\], do đó \[m > \frac{1}{3}\].

b) Đúng.

Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt, theo định lí Viète, có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m + 3\end{array} \right.\].

c) Đúng.

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \[ac < 0\] hay \[{m^2} - 4m + 3 < 0\] hay \[\left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) < 0\]

Do đó, giải bất phương trình suy ra \[1 < m < 3\].

d) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm thì ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\].

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\2\left( {m + 1} \right) < 0\\{m^2} - 4m + 3 > 0\end{array} \right.\], do đó \[\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\m < - 1\\\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\].

Kết hợp điều kiện nhận thấy không có giá trị nào của \[m\] thỏa mãn để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng.

Với \[m = 1\] thì ta có phương trình \[{x^2} + 3 = 0\].

Vì \[{x^2} + 3 > 0\] với mọi \[x\].

Do đó, với \[m = 1\] thì phương trình vô nghiệm.

b) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\]

Do đó, \[{\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} - 2 > 0\] hay \[ - 2m - 1 > 0\] suy ra \[m < - \frac{1}{2}\].

c) Sai.

Khi phương trình có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] phân biệt thì ta có định lí Viète, có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.\].

d) Đúng.

Theo định lí Viète, có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.\].

Ta có: \[{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\]

           \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2}\]

           \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4{m^2} - 8m + 4\]

           \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4\left( {{m^2} + 2} \right) - 8\left( {m - 1} \right) - 12\]

           \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 12\]

           \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 12\]

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.        c) Đúng.     d) Sai.

a) Đúng.

Với \[m = 2\] thì ta có phương trình: \[{x^2} - 2x = 0\] hay \[x\left( {x - 2} \right) = 0\]

Suy ra \[x = 0\] hoặc \[x = 2\].

b) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta ' > 0\]

Ta có: \[\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - {m^2} + 4 = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 = - 2m + 5\]

Suy ra \[ - 2m + 5 > 0\], do đó \[m < \frac{5}{2}\].

c) Đúng.

Khi phương trình có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\]phân biệt thì theo định lí Viète, có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\end{array} \right.\].

d) Sai.

Ta có: \[{x_1}\left( {{x_1} - 3} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 3} \right) = 6\]

           \[x_1^2 - 3{x_1} + x_2^2 - 3{x_2} = 6\]

           \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = 6\]

           \[4{\left( {m - 1} \right)^2} - 6\left( {m - 1} \right) - 2\left( {{m^2} - 4} \right) = 6\]

          \[4{m^2} - 8m + 4 - 6m + 6 - 2{m^2} + 8 - 6 = 0\]

           \[2{m^2} - 14m + 12 = 0\]

           \[{m^2} - 7m + 6 = 0\]

           \[\left( {m - 1} \right)\left( {m - 6} \right) = 0\]

Do đó, \[m = 1\] (thỏa mãn) hoặc \[m = 6\] (loại do \[m < \frac{5}{2}\]).

Vậy có giá trị \[m = 1\] thỏa mãn.

Lời giải

Đâp án: 6

Phương trình \( - 2{x^2} - 6x - 1 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 28 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};\,{x_2}\)

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Ta có \(N = \frac{1}{{{x_1} + 3}} + \frac{1}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}} = \frac{{ - 3 + 6}}{{\frac{1}{2} + 3.\left( { - 3} \right) + 9}} = 6.\)

Đáp án: 35

Phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m.\)

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\) hay \(4 - 4m > 0\) hay \(m < 1.\)

Theo định lí Viète,ta có\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có \(3x{}_1 + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\3x{}_1 + 2{x_2} = 1\end{array} \right.\)suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = - 7\end{array} \right.\)

Thay \({x_1} = 5\) và \({x_2} = - 7\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được \(m = 5.\left( { - 7} \right) = - 35\)

Vậy \(m = - 35\) thì phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(3x{}_1 + \,2{x_2} = 1.\)

Đáp án: −3

Phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\)có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta = 25 - 4\left( {m + 4} \right) = 9 - 4m.\)

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\) hay \(9 - 4m > 0\) hay \(m < \frac{9}{4}.\)

Theo định lí Viète ta có\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.\).

Xét \(x_1^2 + x_2^2 = 23\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 23\)

\(25 - 2m - 8 = 23\)

\(m = - 3\)(thỏa mãn)

Vậy \(m = - 3\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 23.\)

Đáp án: 1

Phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' = 2 - m > 0\) hay \(m < 2.\)

Ta có \(\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 1\)

\(\left| {m - 1} \right| = 1\)

\(m = 0\) hoặc \(m = 2.\)

Vậy \(m = 0\) thỏa mãn.

Đáp án: 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) có:

\({x^2} = \left( {m + 1} \right)x - m\)

\({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\)

\({x^2} - mx - x + m = 0\)

\(\left( {x - m} \right)x - \left( {x - m} \right) = 0\)

\(\left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = m\).

Vì \({x_1};\,\,{x_2}\) có vai trò như nhau nên

Mà \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2022\) hay \(\left| 1 \right| + \left| m \right| = 2022\).

Do đó, \(\left| m \right| = 2021\), suy ra \(m = 2021\) hoặc \(m = - 2021\).

Vậy tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn là \(2021 + \left( { - 2021} \right) = 0\).