Bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Thay x₁ = 3 vào phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0, ta được:

3² + (2m + 1).3 + 3m = 0

9 + 6m + 3 + 3m = 0

9m = –12

\(m = \frac{{ - 4}}{3}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \[{x_1}{x_2} = 3m = 3 \cdot \frac{{ - 4}}{3} = - 4.\]

Hay 3.x₂ = –4 nên \[{x_2} = - \frac{4}{3}.\]

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mx² – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai khi m ≠ 0.

Thay x = –2 vào phương trình, ta được:

m.(–2)² – 2.(m + 1).(–2) + m + 3 = 0

4m + 4m + 4 + m + 3 = 0

9m = –7

\(m = - \frac{7}{9}\) (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Vì x = –2 là nghiệm của phương trình x² – 3mx + m = 0 nên ta có:

(–2)² – 3m.(–2) + m = 0

4 + 6m + m = 0

7m = –4

\(m = - \frac{4}{7}.\)

Theo định lí Viète, ta có: tích hai nghiệm của phương trình là \( - 2 \cdot a = m,\) suy ra \( - 2a = - \frac{4}{7},\) nên \(a = \frac{2}{7}.\)

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – mx + m – 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (–m)² – 4.1.(m – 2) = m² – 4m + 8 = (m – 2)² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right..\)

Theo bài, \(x_1^2 + x_2^2 = 7\)

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 7

m² – 2.(m – 2) = 7

m² – 2m + 4 = 7

m² – 2m – 3 = 0

m = –1 hoặc m = 3.

Tổng các giá trị của m bằng (–1) + 3 = 2.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [– (m – 2)]² – 1.(2m – 5) = m² – 4m + 4 – 2m + 5

= m² – 6m + 9 = (m – 3)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)

Theo bài, x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) < 4

x₁ – x₁x₂ + x₂ – x₁x₂ < 4

(x₁ + x₂) – 2x₁x₂ < 4

2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4

2m – 4 – 4m + 10 < 4

–2m < –2

m > 1.

Vậy ta chọn phương án B.

>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + 2(m – 1)x – m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x, có:

∆' = (m – 1)² – 1.(–m) = m² – 2m + 1 + m

= m² – m + 1 = \({\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right..\)

Khi đó,

\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

= [–2(m – 1)]² – 3.(–m)

= 4m² – 8m + 4 + 3m

= 4m² – 5m + 4

\[ = {\left( {2m} \right)^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{5}{4} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]

\[ = {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]

Với mọi m ta luôn có \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} \ge 0,\] suy ra \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.\]

Do đó \(A \ge \frac{{39}}{{16}}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} = 0,\] hay \(2m - \frac{5}{4} = 0,\) nên \(m = \frac{5}{8}.\)

Vậy \(m = \frac{5}{8}\) thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{39}}{{16}}.\)

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 1)]² – 1.4m = m² + 2m + 1 – 4m

= m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 với mọi m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là (m – 1)² > 0, nên (m – 1)² ≠ 0, suy ra m ≠ 1.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.\)

Trường hợp 1. Xét x₁ = 2m và x₂ = 2, thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét x₁ = 2 và x₂ = 2m thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2 = –3.2m. suy ra \(m = - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Do đó \(m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – (2m – 1)x + m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = [–(2m – 1)]² – 4.1.(m² – 1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4 = 5 – 4m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆ > 0, tức là 5 – 4m > 0, hay \[m < \frac{5}{4}.\]

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Ta có (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂

= (2m – 1)² – 4.(m² – 1)

= 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4

^{= 5 – 4m.}

Theo bài, (x₁ – x₂)² = x₁ – 3x₂ nên x₁ – 3x₂ = 5 – 4m, suy ra x₁ = 3x₂ + 5 – 4m.

Thay vào (1), ta được:

3x₂ + 5 – 4m + x₂ = 2m – 1 hay 4x₂ = 6m – 6 nên \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}.\)

Từ đó ta có \[{x_1} = 3 \cdot \frac{{3m - 3}}{2} + 5 - 4m = \frac{{9m - 9}}{2} + \frac{{10 - 8m}}{2} = \frac{{m + 1}}{2}.\]

Thay \[{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\] và \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}\) vào (2) ta được:

\(\frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3m - 3}}{2} = {m^2} - 1\)

3m² – 3m + 3m – 3 = 4m² – 4

m² = 1

m = 1 hoặc m = –1 (thỏa mãn điều kiện).

Mà m là số nguyên dương, nên ta chọn m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = (–1)² – 1.(m – 3) = 1 – m + 3 = 4 – m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là 4 – m > 0, hay m < 4.

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Do x₁ là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_1^2 - 2{x_1} + m - 3 = 0,\) suy ra \(x_1^2 = 2{x_1} - m + 3.\)

Thay \(x_1^2 = 2{x_1} - m + 3\) vào biểu thức \(x_1^2 + {x_1}{x_2} = 2{x_2} - 12,\) ta được:

2x₁ – m + 3 + x₁x₂ = 2x₂ – 12

2(x₁ – x₂) = –x₁x₂ + m – 15

2(x₁ – x₂) = –(m – 3) + m – 15

2(x₁ – x₂) = –12

x₁ – x₂ = –6

x₁ = x₂ – 6.

Thay x₁ = x₂ – 6 vào (1), ta được:

x₂ – 6 + x₂ = 2, hay 2x₂ = 8, nên x₂ = 4.

Suy ra x₁ = x₂ – 6 = 4 – 6 = –2.

Thay x₁ = –2 và x₂ = 4 vào (2), ta được:

–2.4 = m – 3, hay m – 3 = –8 nên m = –5 (thõa mãn).

Vậy có 1 giá trị của m là m = –5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

</>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2mx + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right..\)

⦁ Để tồn tại \(\sqrt {{x_1}} ,\,\,\sqrt {{x_2}} \) thì ta cần có \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 0\\m - 1 \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \ge 1\end{array} \right.\) nên m ≥ 1.

⦁ Với m ≥ 1, ta có:

\(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 2\) nên \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4\) hay \({x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4\)

Suy ra:

\(2m + 2\sqrt {m - 1} = 4\)

\(2\sqrt {m - 1} = 4 - 2m\)

\(\sqrt {m - 1} = 2 - m\,\,\,\left( * \right)\)

Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là 2 – m ≥ 0 hay m ≤ 2.

Kết hợp 2 điều kiện, ta được: 1 ≤ m ≤ 2.

Với 1 ≤ m ≤ 2, bình phương hai vế phương trình (*) ta được:

m – 1 = (2 – m)²

m – 1 = 4 – 4m + m²

m² – 5m + 5 = 0 (**)

Phương trình (**) có ∆_m = (–5)² – 4.1.5 = 25 – 20 = 5 > 0.

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

\[m = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2};\,\,m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]

Kết hợp điều kiện 1 ≤ m ≤ 2, ta có \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]

Vậy có 1 giá trị của m là \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3 < 0\) nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = –m; x₁x₂ = –3.

Vì x₁ + x₂ = 3x₁x₂ nên–m = 3.(–3), suy ra m = 9.

Vậy m = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\Delta\) = (–m)² – 4.1.(–1) = m² + 4 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = –1.

Vì x₁ + x₂ + 4x₁x₂ = 0 nên m + 4.(–1) = 0, suy ra m = 4.

Vậy m = 4 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\Delta\) = (–3)² – 4.1.1 = 5 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 3; x₁x₂ = 1.

Vì x₁ + x₂ – mx₁x₂ = m + 1 nên m + 1 = 3 – m.1, suy ra m = 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\Delta\) = (–1)² – 4.2.m = 1 – 8m.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\) = 1 – 8m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)

Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{m}}}{2}.\)

Vì x₁ + mx₁x₂ > –x₂ nên x₁ + x₂ + mx₁x₂ > 0 (2).

Thay \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{m}}}{2}\) vào (2) ta có: \(\frac{1}{2} + {\rm{m}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{2} > 0\), suy ra m² + 1 > 0 (luôn đúng).

Vậy với \({\rm{m}} < \frac{1}{8}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\Delta\)’ = (–m)² – (–m²) = 2m².

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\)’ = 2m² > 0, suy ra m ≠ 0 (*).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 2m, x₁x₂ = –m².

Vì x₁ = 2 – x₂ nên x₁ + x₂ = 2. Suy ra 2m = 2 nên m = 1 (thỏa mãn (*)).

Vậy x₁x₂ = –1.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì a – b + c = 1 – (3m² + 1) + 3m² = 0 nên phương trình (1) có nghiệm là x = –1.

Vậy phương trình (1) luôn có một nghiệm là x = –1.

b) Sai.

Nghiệm còn lại của phương trình (1) là \({\rm{x}} = - \frac{{3{{\rm{m}}^2}}}{1} = - 3{{\rm{m}}^2} \le 0\) với mọi m.

Theo a), phương trình (1) luôn có một nghiệm là x = –1.

Vậy phương trình (1) không có hai nghiệm trái dấu.

c) Đúng.

Vì x₁ ≠ –1 nên phương trình (1) có x₁ = –3m² và x₂ = –1.

d) Đúng.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì –3m² ≠ –1 nên \({\rm{m}} \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) và \({\rm{m}} \ne \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\) (*).

Thay x₁ = –3m² và x₂ = –1 vào \({\rm{x}}_2^2 - {{\rm{x}}_1} = 5\) ta có:

(–1)² – (–3m²) = 5

3m² = 4

\({\rm{m}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \({\rm{m}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\) (thỏa mãn (*)).

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\) = (–m)² – 4.1.(m – 1) = m² – 4m + 4 = (m – 2)².

Để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\) = (m – 2)² > 0, suy ra m – 2 ≠ 0 nên m ≠ 2.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 2 (*).

b) Đúng.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = –(–m) = m; x₁x₂ = m – 1.

Vậy phương trình (1) có x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = m – 1.

c) Đúng.

2(x₁ + x₁x₂) = 8 – 2x₂

2x₁ + 2x₂ + x₁x₂ = 8

2(x₁ + x₂) + x₁x₂ = 8 (3).

Vậy phương trình (2) đưa được về phương trình 2(x₁ + x₂) + x₁x₂ = 8.

d) Sai.

Thay x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = m – 1 vào (3) ta có:

2m + m – 1 = 8

3m = 9

m = 3 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {{\rm{m}} - 1} \right)^2} - 1\left( {{\rm{m}} - 9} \right) = {{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} + 10 = {\left( {{\rm{m}} - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0\;\,\forall {\rm{m}}{\rm{.}}\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Sai.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = – [–2(m – 1)] = 2m – 2, x₁x₂ = m – 9.

Vậy phương trình (1) có x₁ + x₂ = 2m – 2, x₁x₂ = m – 9.

c) Đúng.

Ta có: M = x₁ – x₁x₂ + x₂ – x₁x₂ = x₁ + x₂ – 2x₁x₂.

Vậy M = x₁ + x₂ – 2x₁x₂.

d) Đúng.

Thay x₁ + x₂ = 2m – 2, x₁x₂ = m – 9 vào M ta có:

M = 2m – 2 – 2(m – 9) = 2m – 2 – 2m + 18 = 16.

Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào tham số m.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Ta có \(\Delta\)’ = 1² – 1.1.3m= 1 – 3m.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thì 1 – 3m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{3}\;\,\left( * \right).\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \({\rm{m}} < \frac{1}{3}.\)

b) Sai.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = –2, x₁x₂ = 3m.

Vậy phương trình (1) có x₁ + x₂ = –2, x₁x₂ = 3m.

c) Sai.

Theo b) ta có: x₁ + x₂ = –2 nên x₁ = –2 – x₂.

Thay x₁ = –2 – x₂ vào 2x₁ + 3x₂ = 3 ta có:

2(–2 – x₂) + 3x₂ = 3

x₂ – 4 = 3

x₂ = 7.

Với x₂ = 7 thì x₁ = –2 – 7 = –9.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x₁ = –9; x₂ = 7.

d) Đúng.

Theo c) ta có: x₁ = –9; x₂ = 7 nên 3m = (–9).7, suy ra m = –21 (thỏa mãn (*)).

Vậy m = –21 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn \(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = 6\) nên x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.

b) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = [–(m + 1)]² – 4m = m² + 2m + 1 – 4m = (m – 1)².

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm thì \(\Delta\)’ > 0; x₁ + x₂ ≥ 0; x₁.x₂ ≥ 0.

+ Với \(\Delta\)’ > 0 thì (m – 1)² > 0 nên m – 1 ≠ 0, suy ra m ≠ 1 (*).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 2m + 2; x₁x₂ = 4m.

+ Với x₁ + x₂ ≥ 0 thì 2m + 2 ≥ 0 nên m ≥ –1 (**).

+ Với x₁x₂ ≥ 0 thì 4m ≥ 0 nên m ≥ 0 (***).

Từ (*), (**) và (***) ta có: m ≥ 0, m ≠ 1 (3).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt không âm khi m ≥ 0, m ≠ 1.

c) Đúng.

\(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = \sqrt 2 \)

\({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 2\)

\({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).

Vậy phương trình (2) biến đổi được về phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).

d) Đúng.

Thay x₁ + x₂ = 2m + 2; x₁x₂ = 4m vào phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\) ta có:

\(2{\rm{m}} + 2 + 2\sqrt {4{\rm{m}}} - 2 = 0\)

\({\rm{m}} + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\)

\(\sqrt {\rm{m}} \left( {1 + 2\sqrt {\rm{m}} } \right) = 0\)

m = 0 (thỏa mãn (3)) hoặc \(1 + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\) (vô lí vì m ≥ 0, m ≠ 1).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1

Ta có: \(\Delta\)’ = 1² – 1.8m = 1 – 8m.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì \(\Delta\)’ = 1 – 8m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{8}\;\,\left( * \right).\)

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = –2; x₁x₂ = 8m.

Vì |x₁| + |x₂| = 4 nên \({\rm{x}}_1^{\rm{2}} + {\rm{x}}_2^2 + 2\left| {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} \right| = 16\), suy ra (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ + 2|x₁x₂| = 16 (2).

Thay x₁ + x₂ = –2; x₁x₂ = 8m vào (2) ta có

(–2)² – 2.8m + 2|8m| = 16, suy ra 4|m| – 4m – 3 = 0 (3).

Với m < 0 thì |m| = –m nên (3) trở thành: –4m – 4m – 3 = 0 nên \({\rm{m}} = \frac{{ - 3}}{8}\) (thỏa mãn (*)).

Với \({\rm{0}} < {\rm{m}} < \frac{1}{8}\) thì |m| = –m nên (3) trở thành: 4m – 4m – 3 = 0, suy ra 0 = 3 (vô lý).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 2

Ta có: \(\Delta\)’ = [–(m – 4)]² – 1.(–8m) = m² – 8m + 16 + 8m = m² + 16 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 2(m – 4) = 2m – 8; x₁x₂ = –8m.

Ta có: \({\rm{A}} = {\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}.\)

Thay x₁ + x₂ = 2m – 8; x₁x₂ = –8m vào A ta có:

A = (2m – 8)² – 2(–8m)

= 4m² – 32m + 64 + 16m

= 4m² – 16m + 64 = (2m – 4)² + 48 ≥ 48 với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi 2m – 4 = 0, suy ra m = 2.

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 2

Ta có: \(\Delta\)’ = [–2(m + 1)]² – 1.(8m + 3) = 4m² + 8m + 4 – 8m – 3 = 4m² + 1 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 4m + 4; x₁x₂ = 8m + 3.

Thay x₁ = 3x₂ vào x₁ + x₂ = 4m + 4 ta có: 4x₂ = 4m + 4 nên x₂ = m + 1.

Với x₂ = m + 1 thì x₁ = 3m + 3.

Thay x₂ = m + 1, x₁ = 3m + 3 vào x₁x₂ = 8m + 3 ta có:

(m + 1)(3m + 3) = 8m + 3

3m² + 6m + 3 – 8m – 3 = 0

3m² – 2m = 0.

m(3m – 2) = 0

m = 0 hoặc 3m – 2 = 0

m = 0 hoặc \({\rm{m}} = \frac{2}{3}\).

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 2

Ta có: \(\Delta\) = [–(m – 4)]² – 4. (–3) = (m – 4)² + 12 > 0 với mọi giá trị của m.

Suy ra, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = m – 4; x₁x₂ = –3.

Vì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ là các số nguyên nên x₁x₂ là các số nguyên.

Ta có: –3 = (–3).1 = (–1).3.

TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm là x = 1; x = –3 ta có: m – 4 = 1 + (–3) nên m = 2.

TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm là x = –1; x = 3 ta có: m – 4 = (–1) + 3 nên m = 6.

Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1

Ta có: \(\Delta\) = (m – 1)² + 4(2m + 3) = m² – 2m + 1 + 8m + 12 = m² + 6m + 13 = (m + 3)² + 4.

Vì (m + 3)² + 4 > 0 với mọi giá trị m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vì a + b + c = 1 + m – 1 – 2m – 3 = –m – 3 ≠ 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x₁ ≠ 0, x₂ ≠ 0.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 1 – m; x₁x₂ = –2m – 3.

Ta có: \(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} - 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} - 1 + {{\rm{x}}_1} - 1}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} - 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} - 1} \right)}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} - 2}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} - \left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\;\,\left( 2 \right)\)

Thay x₁ + x₂ = 1 – m; x₁x₂ = –2m – 3 vào (2) ta có:

\(\frac{{1 - {\rm{m}} - 2}}{{ - 2{\rm{m}} - 3 - \left( {1 - {\rm{m}}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)

\(\frac{{ - 1 - {\rm{m}}}}{{ - {\rm{m}} - 3}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\) (với m ≠ –3 (*))

\(\frac{{1 + {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 3}} - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2} = 0\)

2(m + 1) – (m + 1)(m + 3) = 0

(m +1)(m + 3 – 2) = 0

(m +1)² = 0

m = –1 (thỏa mãn (*)).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.