Bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
\[{x_2} = \frac{4}{3}.\]
\[{x_2} = - \frac{4}{3}.\]
\[{x_2} = \frac{3}{4}.\]
\[{x_2} = - \frac{3}{4}.\]
Đáp án đúng là: B
Thay x1 = 3 vào phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = 0, ta được:
32 + (2m + 1).3 + 3m = 0
9 + 6m + 3 + 3m = 0
9m = –12
\(m = \frac{{ - 4}}{3}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \[{x_1}{x_2} = 3m = 3 \cdot \frac{{ - 4}}{3} = - 4.\]
Hay 3.x2 = –4 nên \[{x_2} = - \frac{4}{3}.\]
Vậy ta chọn phương án B.
\(m = - \frac{7}{9}.\)
\(m = - \frac{7}{5}.\)
\(m = - \frac{7}{8}.\)
\(m = - \frac{7}{4}.\)
Đáp án đúng là: A
Phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai khi m ≠ 0.
Thay x = –2 vào phương trình, ta được:
m.(–2)2 – 2.(m + 1).(–2) + m + 3 = 0
4m + 4m + 4 + m + 3 = 0
9m = –7
\(m = - \frac{7}{9}\) (thỏa mãn m ≠ 0).
Vậy ta chọn phương án A.
\( - \frac{2}{7}.\)
\(\frac{2}{7}.\)
\(\frac{4}{7}.\)
\( - \frac{4}{7}.\)
Đáp án đúng là: B
Vì x = –2 là nghiệm của phương trình x2 – 3mx + m = 0 nên ta có:
(–2)2 – 3m.(–2) + m = 0
4 + 6m + m = 0
7m = –4
\(m = - \frac{4}{7}.\)
Theo định lí Viète, ta có: tích hai nghiệm của phương trình là \( - 2 \cdot a = m,\) suy ra \( - 2a = - \frac{4}{7},\) nên \(a = \frac{2}{7}.\)
Vậy ta chọn phương án B.
–4.
–2.
2.
4.
Đáp án đúng là: C
Phương trình x2 – mx + m – 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆ = (–m)2 – 4.1.(m – 2) = m2 – 4m + 8 = (m – 2)2 + 4 > 0 với mọi m.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right..\)
Theo bài, \(x_1^2 + x_2^2 = 7\)
(x1 + x2)2 – 2x1x2 = 7
m2 – 2.(m – 2) = 7
m2 – 2m + 4 = 7
m2 – 2m – 3 = 0
m = –1 hoặc m = 3.
Tổng các giá trị của m bằng (–1) + 3 = 2.
m < 0.
>
m > 1.
m > 2.
m < 3.
>
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆' = [– (m – 2)]2 – 1.(2m – 5) = m2 – 4m + 4 – 2m + 5
= m2 – 6m + 9 = (m – 3)2 ≥ 0 với mọi m.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)
Theo bài, x1(1 – x2) + x2(1 – x1) < 4
x1 – x1x2 + x2 – x1x2 < 4
(x1 + x2) – 2x1x2 < 4
2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4
2m – 4 – 4m + 10 < 4
–2m < –2
m > 1.
Vậy ta chọn phương án B.
>>>>>>
\(m = \frac{{39}}{{16}}.\)
m = 1.
\(m = \frac{5}{8}.\)
Không có giá trị m.
Đáp án đúng là: C
Phương trình x2 + 2(m – 1)x – m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x, có:
∆' = (m – 1)2 – 1.(–m) = m2 – 2m + 1 + m
= m2 – m + 1 = \({\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right..\)
Khi đó,
\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)
= [–2(m – 1)]2 – 3.(–m)
= 4m2 – 8m + 4 + 3m
= 4m2 – 5m + 4
\[ = {\left( {2m} \right)^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{5}{4} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]
\[ = {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]
Với mọi m ta luôn có \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} \ge 0,\] suy ra \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.\]
Do đó \(A \ge \frac{{39}}{{16}}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} = 0,\] hay \(2m - \frac{5}{4} = 0,\) nên \(m = \frac{5}{8}.\)
Vậy \(m = \frac{5}{8}\) thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{39}}{{16}}.\)
0.
1.
2.
Vô số.
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆' = [–(m + 1)]2 – 1.4m = m2 + 2m + 1 – 4m
= m2 – 2m + 1 = (m – 1)2 ≥ 0 với mọi m.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ∆' > 0, tức là (m – 1)2 > 0, nên (m – 1)2 ≠ 0, suy ra m ≠ 1.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.\)
Trường hợp 1. Xét x1 = 2m và x2 = 2, thay vào x1 = –3x2, ta được:
2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).
Trường hợp 2. Xét x1 = 2 và x2 = 2m thay vào x1 = –3x2, ta được:
2 = –3.2m. suy ra \(m = - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).
Do đó \(m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình x2 – (2m – 1)x + m2 – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆ = [–(2m – 1)]2 – 4.1.(m2 – 1) = 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 4 = 5 – 4m.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ∆ > 0, tức là 5 – 4m > 0, hay \[m < \frac{5}{4}.\]
Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
= (2m – 1)2 – 4.(m2 – 1)
= 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 4
= 5 – 4m.
Theo bài, (x1 – x2)2 = x1 – 3x2 nên x1 – 3x2 = 5 – 4m, suy ra x1 = 3x2 + 5 – 4m.
Thay vào (1), ta được:
3x2 + 5 – 4m + x2 = 2m – 1 hay 4x2 = 6m – 6 nên \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}.\)
Từ đó ta có \[{x_1} = 3 \cdot \frac{{3m - 3}}{2} + 5 - 4m = \frac{{9m - 9}}{2} + \frac{{10 - 8m}}{2} = \frac{{m + 1}}{2}.\]
Thay \[{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\] và \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}\) vào (2) ta được:
\(\frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3m - 3}}{2} = {m^2} - 1\)
3m2 – 3m + 3m – 3 = 4m2 – 4
m2 = 1
m = 1 hoặc m = –1 (thỏa mãn điều kiện).
Mà m là số nguyên dương, nên ta chọn m = 1.
Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
>
0.
1.
2.
Vô số.
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆' = (–1)2 – 1.(m – 3) = 1 – m + 3 = 4 – m.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ∆' > 0, tức là 4 – m > 0, hay m < 4.
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
Do x1 là nghiệm của phương trình nên ta có:
\(x_1^2 - 2{x_1} + m - 3 = 0,\) suy ra \(x_1^2 = 2{x_1} - m + 3.\)
Thay \(x_1^2 = 2{x_1} - m + 3\) vào biểu thức \(x_1^2 + {x_1}{x_2} = 2{x_2} - 12,\) ta được:
2x1 – m + 3 + x1x2 = 2x2 – 12
2(x1 – x2) = –x1x2 + m – 15
2(x1 – x2) = –(m – 3) + m – 15
2(x1 – x2) = –12
x1 – x2 = –6
x1 = x2 – 6.
Thay x1 = x2 – 6 vào (1), ta được:
x2 – 6 + x2 = 2, hay 2x2 = 8, nên x2 = 4.
Suy ra x1 = x2 – 6 = 4 – 6 = –2.
Thay x1 = –2 và x2 = 4 vào (2), ta được:
–2.4 = m – 3, hay m – 3 = –8 nên m = –5 (thõa mãn).
Vậy có 1 giá trị của m là m = –5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
</>
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình x2 – 2mx + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right..\)
⦁ Để tồn tại \(\sqrt {{x_1}} ,\,\,\sqrt {{x_2}} \) thì ta cần có \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 0\\m - 1 \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \ge 1\end{array} \right.\) nên m ≥ 1.
⦁ Với m ≥ 1, ta có:
\(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 2\) nên \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4\) hay \({x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4\)
Suy ra:
\(2m + 2\sqrt {m - 1} = 4\)
\(2\sqrt {m - 1} = 4 - 2m\)
\(\sqrt {m - 1} = 2 - m\,\,\,\left( * \right)\)
Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là 2 – m ≥ 0 hay m ≤ 2.
Kết hợp 2 điều kiện, ta được: 1 ≤ m ≤ 2.
Với 1 ≤ m ≤ 2, bình phương hai vế phương trình (*) ta được:
m – 1 = (2 – m)2
m – 1 = 4 – 4m + m2
m2 – 5m + 5 = 0 (**)
Phương trình (**) có ∆m = (–5)2 – 4.1.5 = 25 – 20 = 5 > 0.
Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:
\[m = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2};\,\,m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]
Kết hợp điều kiện 1 ≤ m ≤ 2, ta có \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]
Vậy có 1 giá trị của m là \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
m = 1.
m = –1.
m = –9.
m = 9.
Đáp án đúng là: D
Vì \(\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3 < 0\) nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = –m; x1x2 = –3.
Vì x1 + x2 = 3x1x2 nên–m = 3.(–3), suy ra m = 9.
Vậy m = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
m = 4.
m = –4.
m = 2.
m = –2.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Delta\) = (–m)2 – 4.1.(–1) = m2 + 4 > 0 với mọi giá trị của m.
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = m; x1x2 = –1.
Vì x1 + x2 + 4x1x2 = 0 nên m + 4.(–1) = 0, suy ra m = 4.
Vậy m = 4 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
m = 2.
m = 1.
m = –1.
m = –2.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\Delta\) = (–3)2 – 4.1.1 = 5 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 3; x1x2 = 1.
Vì x1 + x2 – mx1x2 = m + 1 nên m + 1 = 3 – m.1, suy ra m = 1.
\({\rm{m}} > \frac{1}{8}.\)
\({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)
Với mọi giá trị của m.
m ≤ 2.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\Delta\) = (–1)2 – 4.2.m = 1 – 8m.
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\) = 1 – 8m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{m}}}{2}.\)
Vì x1 + mx1x2 > –x2 nên x1 + x2 + mx1x2 > 0 (2).
Thay \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{m}}}{2}\) vào (2) ta có: \(\frac{1}{2} + {\rm{m}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{2} > 0\), suy ra m2 + 1 > 0 (luôn đúng).
Vậy với \({\rm{m}} < \frac{1}{8}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
x1.x2 = 1.
x1.x2 = 0.
x1.x2 = –1.
x1.x2 = 2.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\Delta\)’ = (–m)2 – (–m2) = 2m2.
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\)’ = 2m2 > 0, suy ra m ≠ 0 (*).
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 2m, x1x2 = –m2.
Vì x1 = 2 – x2 nên x1 + x2 = 2. Suy ra 2m = 2 nên m = 1 (thỏa mãn (*)).
Vậy x1x2 = –1.
Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = –1.
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Phương trình (1) có x1 = –3m2.
Có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì a – b + c = 1 – (3m2 + 1) + 3m2 = 0 nên phương trình (1) có nghiệm là x = –1.
Vậy phương trình (1) luôn có một nghiệm là x = –1.
b) Sai.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là \({\rm{x}} = - \frac{{3{{\rm{m}}^2}}}{1} = - 3{{\rm{m}}^2} \le 0\) với mọi m.
Theo a), phương trình (1) luôn có một nghiệm là x = –1.
Vậy phương trình (1) không có hai nghiệm trái dấu.
c) Đúng.
Vì x1 ≠ –1 nên phương trình (1) có x1 = –3m2 và x2 = –1.
d) Đúng.
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì –3m2 ≠ –1 nên \({\rm{m}} \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) và \({\rm{m}} \ne \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\) (*).
Thay x1 = –3m2 và x2 = –1 vào \({\rm{x}}_2^2 - {{\rm{x}}_1} = 5\) ta có:
(–1)2 – (–3m2) = 5
3m2 = 4
\({\rm{m}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \({\rm{m}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\) (thỏa mãn (*)).
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với mọi giá trị của m thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có x1 + x2 = m; x1x2 = m – 1.
Phương trình (2) đưa được về phương trình 2(x1 + x2) + x1x2 = 8.
Có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Phương trình (1) có \(\Delta\) = (–m)2 – 4.1.(m – 1) = m2 – 4m + 4 = (m – 2)2.
Để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\) = (m – 2)2 > 0, suy ra m – 2 ≠ 0 nên m ≠ 2.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 2 (*).
b) Đúng.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = –(–m) = m; x1x2 = m – 1.
Vậy phương trình (1) có x1 + x2 = m; x1x2 = m – 1.
c) Đúng.
2(x1 + x1x2) = 8 – 2x2
2x1 + 2x2 + x1x2 = 8
2(x1 + x2) + x1x2 = 8 (3).
Vậy phương trình (2) đưa được về phương trình 2(x1 + x2) + x1x2 = 8.
d) Sai.
Thay x1 + x2 = m; x1x2 = m – 1 vào (3) ta có:
2m + m – 1 = 8
3m = 9
m = 3 (thỏa mãn (*)).
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với mọi giá trị của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có x1 + x2 = 2m – 1, x1x2 = m – 9.
M = x1 + x2 – 2x1x2.
Giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào tham số m.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có: \(\Delta ' = {\left( {{\rm{m}} - 1} \right)^2} - 1\left( {{\rm{m}} - 9} \right) = {{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} + 10 = {\left( {{\rm{m}} - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0\;\,\forall {\rm{m}}{\rm{.}}\)
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Sai.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = – [–2(m – 1)] = 2m – 2, x1x2 = m – 9.
Vậy phương trình (1) có x1 + x2 = 2m – 2, x1x2 = m – 9.
c) Đúng.
Ta có: M = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = x1 + x2 – 2x1x2.
Vậy M = x1 + x2 – 2x1x2.
d) Đúng.
Thay x1 + x2 = 2m – 2, x1x2 = m – 9 vào M ta có:
M = 2m – 2 – 2(m – 9) = 2m – 2 – 2m + 18 = 16.
Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào tham số m.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m > 0.
Phương trình (1) có x1 + x2 = 2, x1x2 = 3m.
Phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 3; x2 = –1.
m = –21 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Ta có \(\Delta\)’ = 12 – 1.1.3m= 1 – 3m.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thì 1 – 3m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{3}\;\,\left( * \right).\)
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \({\rm{m}} < \frac{1}{3}.\)
b) Sai.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = –2, x1x2 = 3m.
Vậy phương trình (1) có x1 + x2 = –2, x1x2 = 3m.
c) Sai.
Theo b) ta có: x1 + x2 = –2 nên x1 = –2 – x2.
Thay x1 = –2 – x2 vào 2x1 + 3x2 = 3 ta có:
2(–2 – x2) + 3x2 = 3
x2 – 4 = 3
x2 = 7.
Với x2 = 7 thì x1 = –2 – 7 = –9.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = –9; x2 = 7.
d) Đúng.
Theo c) ta có: x1 = –9; x2 = 7 nên 3m = (–9).7, suy ra m = –21 (thỏa mãn (*)).
Vậy m = –21 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm khi m ≥ 0.
Phương trình (2) biến đổi được về phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).
Có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = 6\) nên x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
b) Sai.
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = [–(m + 1)]2 – 4m = m2 + 2m + 1 – 4m = (m – 1)2.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm thì \(\Delta\)’ > 0; x1 + x2 ≥ 0; x1.x2 ≥ 0.
+ Với \(\Delta\)’ > 0 thì (m – 1)2 > 0 nên m – 1 ≠ 0, suy ra m ≠ 1 (*).
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 2m + 2; x1x2 = 4m.
+ Với x1 + x2 ≥ 0 thì 2m + 2 ≥ 0 nên m ≥ –1 (**).
+ Với x1x2 ≥ 0 thì 4m ≥ 0 nên m ≥ 0 (***).
Từ (*), (**) và (***) ta có: m ≥ 0, m ≠ 1 (3).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt không âm khi m ≥ 0, m ≠ 1.
c) Đúng.
\(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = \sqrt 2 \)
\({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 2\)
\({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).
Vậy phương trình (2) biến đổi được về phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).
d) Đúng.
Thay x1 + x2 = 2m + 2; x1x2 = 4m vào phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\) ta có:
\(2{\rm{m}} + 2 + 2\sqrt {4{\rm{m}}} - 2 = 0\)
\({\rm{m}} + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\)
\(\sqrt {\rm{m}} \left( {1 + 2\sqrt {\rm{m}} } \right) = 0\)
m = 0 (thỏa mãn (3)) hoặc \(1 + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\) (vô lí vì m ≥ 0, m ≠ 1).
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 1
Ta có: \(\Delta\)’ = 12 – 1.8m = 1 – 8m.
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì \(\Delta\)’ = 1 – 8m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{8}\;\,\left( * \right).\)
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = –2; x1x2 = 8m.
Vì |x1| + |x2| = 4 nên \({\rm{x}}_1^{\rm{2}} + {\rm{x}}_2^2 + 2\left| {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} \right| = 16\), suy ra (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2|x1x2| = 16 (2).
Thay x1 + x2 = –2; x1x2 = 8m vào (2) ta có
(–2)2 – 2.8m + 2|8m| = 16, suy ra 4|m| – 4m – 3 = 0 (3).
Với m < 0 thì |m| = –m nên (3) trở thành: –4m – 4m – 3 = 0 nên \({\rm{m}} = \frac{{ - 3}}{8}\) (thỏa mãn (*)).
Với \({\rm{0}} < {\rm{m}} < \frac{1}{8}\) thì |m| = –m nên (3) trở thành: 4m – 4m – 3 = 0, suy ra 0 = 3 (vô lý).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 2
Ta có: \(\Delta\)’ = [–(m – 4)]2 – 1.(–8m) = m2 – 8m + 16 + 8m = m2 + 16 > 0 với mọi m.
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 2(m – 4) = 2m – 8; x1x2 = –8m.
Ta có: \({\rm{A}} = {\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}.\)
Thay x1 + x2 = 2m – 8; x1x2 = –8m vào A ta có:
A = (2m – 8)2 – 2(–8m)
= 4m2 – 32m + 64 + 16m
= 4m2 – 16m + 64 = (2m – 4)2 + 48 ≥ 48 với mọi m.
Dấu “=” xảy ra khi 2m – 4 = 0, suy ra m = 2.
Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 2
Ta có: \(\Delta\)’ = [–2(m + 1)]2 – 1.(8m + 3) = 4m2 + 8m + 4 – 8m – 3 = 4m2 + 1 > 0 với mọi m.
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 4m + 4; x1x2 = 8m + 3.
Thay x1 = 3x2 vào x1 + x2 = 4m + 4 ta có: 4x2 = 4m + 4 nên x2 = m + 1.
Với x2 = m + 1 thì x1 = 3m + 3.
Thay x2 = m + 1, x1 = 3m + 3 vào x1x2 = 8m + 3 ta có:
(m + 1)(3m + 3) = 8m + 3
3m2 + 6m + 3 – 8m – 3 = 0
3m2 – 2m = 0.
m(3m – 2) = 0
m = 0 hoặc 3m – 2 = 0
m = 0 hoặc \({\rm{m}} = \frac{2}{3}\).
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 2
Ta có: \(\Delta\) = [–(m – 4)]2 – 4. (–3) = (m – 4)2 + 12 > 0 với mọi giá trị của m.
Suy ra, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = m – 4; x1x2 = –3.
Vì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là các số nguyên nên x1x2 là các số nguyên.
Ta có: –3 = (–3).1 = (–1).3.
TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm là x = 1; x = –3 ta có: m – 4 = 1 + (–3) nên m = 2.
TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm là x = –1; x = 3 ta có: m – 4 = (–1) + 3 nên m = 6.
Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 1
Ta có: \(\Delta\) = (m – 1)2 + 4(2m + 3) = m2 – 2m + 1 + 8m + 12 = m2 + 6m + 13 = (m + 3)2 + 4.
Vì (m + 3)2 + 4 > 0 với mọi giá trị m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vì a + b + c = 1 + m – 1 – 2m – 3 = –m – 3 ≠ 0.
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x1 ≠ 0, x2 ≠ 0.
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 1 – m; x1x2 = –2m – 3.
Ta có: \(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} - 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)
\(\frac{{{{\rm{x}}_2} - 1 + {{\rm{x}}_1} - 1}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} - 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} - 1} \right)}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)
\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} - 2}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} - \left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\;\,\left( 2 \right)\)
Thay x1 + x2 = 1 – m; x1x2 = –2m – 3 vào (2) ta có:
\(\frac{{1 - {\rm{m}} - 2}}{{ - 2{\rm{m}} - 3 - \left( {1 - {\rm{m}}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\)
\(\frac{{ - 1 - {\rm{m}}}}{{ - {\rm{m}} - 3}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\) (với m ≠ –3 (*))
\(\frac{{1 + {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 3}} - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2} = 0\)
2(m + 1) – (m + 1)(m + 3) = 0
(m +1)(m + 3 – 2) = 0
(m +1)2 = 0
m = –1 (thỏa mãn (*)).
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
