Bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(−1; 1; 2), D(1; −1; 2). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
(x – 1)2 + (y − 1)2 + (z – 2)2 = 4;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 4;
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 2;
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 4.
Đáp án đúng là: D
A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
B. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2a + 2b - d = 2\\6a + 2b + 4c - d = 14\\ - 2a + 2b + 4c - d = 6\\2a - 2b + 4c - d = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = 2\end{array} \right.\).
Vậy (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 4.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(−2; 1; 3), B(1; −1; 0), C(2; 0; 1).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x + \frac{{15}}{7}y - \frac{{37}}{7}z = 0\);
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{{14}}x + \frac{{15}}{{14}}y - \frac{{37}}{{14}}z = 0\);
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x - \frac{{15}}{7}y + \frac{{37}}{7}z = 0\);
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{{14}}x - \frac{{15}}{{14}}y + \frac{{37}}{{14}}z = 0\).
Đáp án đúng là: A
D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:
A. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
B. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\4a - 2b - 6c + d = - 14\\ - 2a + 2b + d = - 2\\ - 4a - 2c + d = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{14}}\\b = - \frac{{15}}{{14}}\\c = \frac{{37}}{{14}}\\d = 0\end{array} \right.\).
Vậy phương trình mặt cầu cần lập: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x + \frac{{15}}{7}y - \frac{{37}}{7}z = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ).
x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z = 0;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 4)2 + (z − 4)2 = 20;
x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 4z = 9.
Đáp án đúng là: B
C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:
D. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
A. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 8c + d = - 16\\d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\).
Bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 3\).
Do đó (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(6; −2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; −1), D(4; 1; 0). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
x2 + y2 + z2 + 4x − 2y + 6z – 3 = 0;
2x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z – 3 = 0;
x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z – 3 = 0;
x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z + 3 = 0.
Đáp án đúng là: C
B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
C. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 12a + 4b - 6c + d = - 49\\ - 2b - 12c + d = - 37\\ - 4a + 2c + d = - 5\\ - 8a - 2b + d = - 17\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 3\\d = - 3\end{array} \right.\).
Vậy phương trình mặt cầu: x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z – 3 = 0.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:
\({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\);
\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\);
\({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: C
A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
B. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\ - 2c + d = 1\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = 0\end{array} \right.\).
Bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy phương trình mặt cầu: \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; −1), D(2; −1; 1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
x2 + y2 + z2 + 5x + 5y − 5z – 6 = 0;
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{5}{2}z - 6 = 0\);
x2 + y2 + z2 +5x + 5y − 5z + 6 = 0;
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{5}{2}z + 6 = 0\).
Đáp án đúng là: A
D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
A. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
B. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\2c + d = - 1\\ - 4a + 2b - 2c + d = - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{2}\\b = - \frac{5}{2}\\c = \frac{5}{2}\\d = - 6\end{array} \right.\).
Vậy mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 5x + 5y − 5z – 6 = 0.
Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1;1; 1). Khẳng định nào sau đây là sai?
x2 + y2 + z2 + 3x + y − z – 6 = 0;
(S) có tâm \(I\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\);
(S) có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\);
(S) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt {35} }}{2}\).
Đáp án đúng là: C
C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
D. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
A. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b + d = - 2\\ - 4b - 2c + d = - 5\\ - 2a - 4c + d = - 5\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = - \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = - 6\end{array} \right.\).
Do đó mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{{\sqrt {35} }}{2}\).
Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là x2 + y2 + z2 + 3x + y − z – 6 = 0.
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 6z = 0;
x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z = 0;
x2 + y2 + z2 − x − 2y − 3z = 0;
x2 + y2 + z2 + x + 2y + 3z = 0.
Đáp án đúng là: B
B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
C. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right.\).
Do đó (S): x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z = 0.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(1; 1; 2) là
x2 + y2 + z2 + x + y + z – 2 = 0;
x2 + y2 + z2 − x − y – z + 2 = 0;
x2 + y2 + z2 − x − y – z − 2 = 0;
x2 + y2 + z2 + x + y + z − 6 = 0.
Đáp án đúng là: C
A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
B. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 4b + d = - 4\\ - 4c + d = - 4\\ - 2a - 2b - 4c + d = - 6\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = - 2\end{array} \right.\].
Vậy phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − x − y – z − 2 = 0.
Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(0; 1; 0), B(4; 1; 0), C(2; 3; 0), D(2; 1; −2). Khẳng định nào sau đây là đúng?
(x + 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 4;
(S) có tâm là I(2;1; 0);
(S) có tâm là I(−2; −1; 0);
(x − 2)2 + (y − 1)2 + z2 = 2.
Đáp án đúng là: B
D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
A. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
B. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + d = - 1\\ - 8a - 2b + d = - 17\\ - 4a - 6b + d = - 13\\ - 4a - 2b + 4c + d = - 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 0\\d = 1\end{array} \right.\).
Vậy I(2; 1; 0), R = 2.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) qua bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3). Phương trình mặt cầu (S) là:
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
\({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Gọi phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
Vì mặt cầu đi qua 4 điểm:
\(\left\{ \begin{array}{l}18 - 6a - 6b + d = 0\\18 - 6a - 6c + d = 0\\18 - 6b - 6c + d = 0\\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a - 6b + d = - 18\\ - 6a - 6c + d = - 18\\ - 6b - 6c + d = - 18\\ - 6a - 6b - 6c + d = - 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 0\end{array} \right.\).
Suy ra tâm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\), bán kính R =\(\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\).
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 1; -1), B(4; 1; 1), C(0; 1; 1), D(2; -1; 1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 4.
(x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 16.
(x – 2)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 16.
(x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 0} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {c^2} + 2c + 1 = {a^2} - 8a + 16 + {c^2} - 2c + 1\\{a^2} - 4a + 4 + {c^2} + 2c + 1 = {a^2} + {c^2} - 2c + 1\\{b^2} - 2b + 1 + {c^2} + 2c + 1 = {b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.\].
Do đó, I(2; 1; 1), R2 = IA2 = (2 – 2)2 + (1 – 1)2 + (1 + 1)2 = 4.
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 4.
Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A(-1; -1; 0), B(1; -1; -2), C(-3; -1; -2), D(-1; 1; -2).
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 4.
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 4.
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 2.
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2a + 1 + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4\\{a^2} + 2a + 1 + {c^2} = {a^2} + 6a + 9 + {c^2} + 4c + 4\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} = {b^2} - 2b + 1 + {c^2} + 4c + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\\c = - 2\end{array} \right.\].
Do đó, I(-1; -1; -2), R2 = IA2 = (-1 + 1)2 + (-1 + 1)2 + (-2 – 0)2 = 4.
Vậy phương trình cần tìm là: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 4.
Cho bốn điểm A(3; -1; 1), B(6; -1; 4), C0; -1; 4), D(3; -4; 4). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:
(x – 3)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2 = 3.
(x + 3)2 + (y - 1)2 + (z + 4)2 = 9.
(x – 3)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2 = 9.
(x + 3)2 + (y - 1)2 + (z + 4)2 = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 0} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 4} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} - 12a + 36 + {c^2} - 8c + 16\\{a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} + {c^2} - 8c + 16\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + 8b + 16 + {c^2} - 8c + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\\c = 4\end{array} \right.\].
Do đó, I(3; -1; 4), R2 = IA2 = (3 – 3)2 + (-1 + 1)2 + (4 – 1)2 = 9.
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 3)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2 = 9.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; -2; -2), B(5; -2; 6), C(-3; -2; 6), D(1; -6; 6). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 5.
(x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 25.
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 25.
(x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 6} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4 = {a^2} - 10a + 25 + {c^2} - 12c + 36\\{a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4 = {a^2} + 6a + 9 + {c^2} - 12c + 36\\{b^2} + 4b + 4 + {c^2} + 4c + 4 = {b^2} + 12b + 36 + {c^2} - 12c + 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.\].
Do đó, I(1; -2; 3), R2 = IA2 = (1 – 1)2 + (-2 + 2)2 + (3 + 2)2 = 25.
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 25.
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; -4; 2), B(1; 1; -3), C(2; 3; 2), D(1;4;0). Khi đó:
Mặt cầu tâm A và đi qua B có bán kính R =\(5\sqrt 2 \).
Phương trình mặt cầu tâm A đi qua B là: (x – 1)2 + (y + 4)2 + (z – 2)2 = 10.
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là: (x + 2)2 + y2 + (z – 1)2 = 26.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Mặt cầu tâm A đi qua B có bán kính
R = AB = \(\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 2} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \).
b) Sai. Phương trình mặt cầu tâm A đi qua B là: (x – 1)2 + (y + 4)2 + (z – 2)2 = 50.
c) Đúng. Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z = - 1\\x + 7y = - 2\\ - 4y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\\z = 1\end{array} \right.\).
Do đó, tâm I(-2; 0; 1), R = IA = \(\sqrt {26} \).
Vậy (S): (x + 2)2 + y2 + (z – 1)2 = 26.
d) Sai. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng \(\sqrt {26} \).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4) và D(0; 0; 0).
Phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B là: (x – 2)2 + y2 + z2 = 20.
Phương trình mặt cầu với BC là đường kính có dạng khai triển là: x2 + y2 + z2 – 4y – 4z = 0.
Tập hợp tất cả các điểm M(x; y; z) thỏa mãn biểu thức \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\) là một mặt cầu có bán kính R = 2.
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 9.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: R2 = AB2 = (0 – 2)2 + (4 – 0)2 + 02 = 20.
Vậy phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B là: (x – 2)2 + y2 + z2 = 20.
b) Đúng. Gọi tâm I là trung điểm của BC => I(0; 2; 2).
Ta có: R2 = IB2 = (0 – 0)2 + (4 – 2)2 + (0 – 2)2 = 8.
Vậy phương trình mặt cầu với BC là đường kính có dạng khai triển là: x2 + y2 + z2 – 4y – 4z = 0.
c) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\, - y;\,\, - z} \right)\), \(\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,4 - y;\,\, - z} \right)\).
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( { - y} \right)\left( {4 - y} \right) + \left( { - z} \right)\left( { - z} \right) = 0\)
<=> x2 + y2 + z2 – 2x – 4y = 0.
<=>(x2 – 2x) + (y2 – 4y) + z2 = 0
<=> (x – 1)2 – 1 + (y – 2)2 – 4 + z2 = 0.
<=> (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 5.
Vậy bán kính R =\(\sqrt 5 \).
d) Đúng. Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}IA = ID\\IB = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{D^2}\\I{B^2} = I{D^2}\\I{C^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + 4 = 0\\ - 8b + 16 = 0\\ - 8c + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\)
Do đó, tâm I(1; 2; 2), R2 = ID2 = 12 + 22 + 22 = 9.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 9.
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; -1), B(0; 3; 1), C(1; -1; 2) và D(1; 1; 1).
Gọi M(x; y; z). Khi đó \(\overrightarrow {MD} = \left( {x - 1;\,\,y - 1;\,\,z - 1} \right)\).
Phương trình mặt cầu đường kính AB có tọa độ tâm I(1; 2; 0) và bán kính bình phương bằng 3.
Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, Dlà: x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – z – 1 = 0.
Bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D là 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {MD} = \left( {1 - x;\,\,1 - y;\,\,1 - z} \right)\).
b) Đúng. I là trung điểm của AB => I(1; 2; 0).
Ta có: R2 = IA2 = (2 – 1)2 + (1 – 2)2 + (-1 – 0)2 = 3.
Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB có tọa độ tâm I(1; 2; 0) và bán kính bình phương bằng 3.
c) Sai.
Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}IA = ID\\IB = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{D^2}\\I{B^2} = I{D^2}\\I{C^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 4c + 4 = {b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4c = 3\\2a - 4b = - 7\\4b - 2c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{23}}{2}\\b = - 4\\c = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right.\).
Vậy phương trình cần tìm là: x2 + y2 + z2 + 23x + 8y + 13z – 47 = 0.
d) Sai. Bán kính của mặt cầu là
\(R = IA = \sqrt {{{\left( { - \frac{{23}}{2} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{13}}{2} + 1} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt {38} }}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 6) và D(6; 6; 6).
Tọa độ tâm I của mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D có tọa độ trùng với trọng tâm của tứ diện ABCD.
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là (x – 3)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 27.
Phương trình mặt cầu đường kính AB có hệ số tự do d = 18.
Tập hợp các điểm M(x; y; z) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = 0\) là một mặt cầu có bán kính R = 18.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Trọng tâm tứ diện ABCD là: G(3; 3; 3).
Khoảng cách từ G đến A là: GA2 = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (0 – 3)2 = 27.
Khoảng cách từ G đến B là: GB2 = (0 – 3)2 + (6 – 3)2 + (0 – 3)2 = 27.
Khoảng cách từ G đến C là: GC2 = (0 – 3)2 + (0 – 3)2 + (6 – 3)2 = 27.
Khoảng cách từ G đến D là: GD2 = (6 – 3)2 + (6 – 3)2 + (6 – 3)2 = 27.
Ta có: GA = GB = GC = GD.
Vậy G chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
b) Đúng. Với tâm G(3; 3; 3), R2 = GA2 = 27, ta có phương trình mặt cầu là:
(x – 3)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 27.
c) Sai.
Tâm I là trung điểm của AB => I(3; 3; 0).
Ta có: R2 = IA2 = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (0 – 0)2 = 18.
d = a2 + b2 + c2 – R2 = 32 + 32 + 02 – 18 = 0.
Vậy hệ số tự do d = 0.
d) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {6 - x;\,\, - y;\,\, - z} \right)\), \(\overrightarrow {MC} = \left( { - x;\,\, - y;\,\,6 - z} \right)\)
\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {6 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( { - y} \right)\left( { - y} \right) + \left( { - z} \right)\left( {6 - z} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 6x + {x^2} + {y^2} - 6z + {z^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right) + {y^2} + \left( {{z^2} - 6z} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - 9 + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).
Vậy R =\(\sqrt {18} = 3\sqrt 2 \).
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm M(1; 1; 1), N(1; 2; 1), P(1; 1; 2) và Q(2; 2; 1). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ.
Phương trình mặt cầu (S) có hệ số tự do d = 4.
Tọa độ tâm của mặt cầu là \(I\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right)\).
Thể tích khối cầu là \(V = \frac{{\sqrt 3 \pi }}{2}\).
Phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Vì mặt cầu đi qua M, N, P, Q, thay vào phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2a - 2b - 2c + d = 0\\{1^2} + {2^2} + {1^2} - 2a - 4b - 2c + d = 0\\{1^2} + {1^2} + {2^2} - 2a - 2b - 4c + d = 0\\{2^2} + {2^2} + {1^2} - 4a - 4b - 2c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b - 2c + d = - 3\\ - 2a - 4b - 2c + d = - 6\\ - 2a - 2b - 4c + d = - 6\\ - 4a - 4b - 2c + d = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 6\end{array} \right.\).
Vậy hệ số tự do d = 6.
b) Đúng. Tọa độ tâm của mặt cầu là \(I\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right)\).
c) Đúng. Ta có: R =\(\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - 6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 \pi }}{2}\).
d) Đúng. Phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A(2; 0; 0), B(1; 3; 0), C(-1; 0; 3), D(1; 2; 3). Tính bán kính R của (S). (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,45
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b = - 3\\a - c = - 1\\a - 2b - 3c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right..\)
Do đó, I(0; 1; 1), bán kính R = IA = \(\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \approx 2,45\).
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 1; 1), B(3; 1; 1), C(1; 3; 1), D(1; 1; 3). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Biết bán kính của mặt cầu (S) có dạng R = \(a\sqrt n \) (với n là số nguyên dương). Tính giá trị T = a + n.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Vì mặt cầu đi qua A, B, C, D, thay vào phương trình ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2a - 2b - 2c + d = 0\\{3^2} + {1^2} + {1^2} - 6a - 2b - 2c + d = 0\\{1^2} + {3^2} + {1^2} - 2a - 6b - 2c + d = 0\\{1^2} + {1^2} + {3^2} - 2a - 2b - 6c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b - 2c + d = - 3\\ - 6a - 2b - 2c + d = - 11\\ - 2a - 6b - 2c + d = - 11\\ - 2a - 2b - 6c + d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\\d = 9\end{array} \right.\).
Ta có: R =\(\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 9} = \sqrt 3 \). Do đó, a = 1; n = 3 => T = 1 + 3 = 4.
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm M(2; -1; 3), N(4; -1; 3), P(2; 3; 3) và Q(2; -1; 9). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ. Hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ H(x; y; z). Tính giá trị x + y + z.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IM = IN = IP = IQ.
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{M^2} = I{N^2}\\I{M^2} = I{P^2}\\I{M^2} = I{Q^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 9} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 = {a^2} - 8a + 16\\{b^2} + 2b + 1 = {b^2} - 6b + 9\\{c^2} - 6c + 9 = {c^2} - 18c + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\\c = 6\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó, I(3; 1; 6).
Hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oxy) là H(3; 1; 0).
=> x = 3, y = 1, z = 0 => x + y + z = 3 + 1 + 0 = 4.
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh lần lượt là A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tính khoảng cách từ tâm I đến trục Oy (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3,16
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {b^2} = {a^2} + {b^2} - 8b + 16\\{a^2} - 4a + 4 + {c^2} = {a^2} + {c^2} - 12c + 36\\{b^2} + {c^2} = {b^2} - 8b + 16 + {c^2} - 12c + 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Khoảng cách từ điểm I(1; 2; 3) đến trục Oy là:
\(d = \left( {I,Oy} \right) = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \approx 3,16\).
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tạo độ các đỉnh lần lượt là A(1; 1; 1), B(5; 1; 1), C(1; 5; 1) và D(1; 1; 7). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Gọi A'(x; y; z) là điểm sao cho AA' là một đường kính của mặt cầu (S). Tính T = (x + y)z.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 70
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 = {a^2} - 10a + 25\\{b^2} - 2b + 1 = {b^2} - 10b + 25\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 14c + 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra I(3; 3; 4).
Vì AA' là đường kính của mặt cầu nên I là trung điểm AA'.
Khi đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + x}}{2} = 3\\\frac{{1 + y}}{2} = 3\\\frac{{1 + z}}{2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\\z = 7\end{array} \right.\).
Do đó, A'(5; 5; 7) Þ x = 5, y = 5, z = 7 Þ T = (x + y)z = (5 + 5)7 = 70.
Bạn có thích hoạt động này không?
