Bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
(x – 2)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 3;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x – 2)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4.
Cho A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). Mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng
\(\sqrt {\frac{6}{7}} \);
\(\frac{6}{7}\);
\(\frac{{49}}{{36}}\);
\(\frac{7}{6}\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
Có \(R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 8 = 0.
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 9.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\).
Do đó phương trình mặt cầu (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(−1; 1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – y – 3z – 5 = 0.
(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = \(\sqrt {14} \);
(x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 14;
(x + 1)2 − (y − 1)2 − (z − 2)2 = 14;
(x + 1) + (y + 2) + (z – 1) = 14.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1 - 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 14.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x – 2y – 2z – 2 = 0 là:
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 3;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 9;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 3;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 9.
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3; 4; 2). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz là
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 16;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 4;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 5;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 25.
Đáp án đúng là: D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz, suy ra H(0; 0; 2).
Ta có \(\overrightarrow {HI} = \left( {3;4;0} \right)\).
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc trục Oz có bán kính:
\(R = d\left( {I,Oz} \right) = HI = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5\).
Suy ra phương trình mặt cầu: (x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 25.
Phương trình mặt cầu (S) có tâm O, tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0 là
x2 + y2 + z2 – 3x = 9;
x2 + y2 + z2 = 3;
x2 + y2 + z2 = 81;
x2 + y2 + z2 = 9.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {75} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu cần lập là: x2 + y2 + z2 = 9.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(2; 1; −3) và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là:
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 4;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 13;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Gọi H là hình chiếu của I lên trục Oy H(0; 1; 0).
Khi đó R = d(I, Oy) = IH = \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 13.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; −1; 4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 16;
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 3)2 = 9;
(x + 3)2 + (y − 3)2 + (z + 3)2 = 36;
(x + 3)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 49.
Đáp án đúng là: B
Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu cần tìm.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right)\\d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = IA\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\\\left| a \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 3\\c = 3\end{array} \right.\].
Suy ra mặt cầu cần lập có tâm I(3; −3; 3) và R = 3 có phương trình là
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 3)2 = 9.
Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; 0; 1). Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với với mặt phẳng (Oxy) là
(x + 2)2 + y2 + z2 = 1;
(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 5;
(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 4;
(x + 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
Đáp án đúng là: D
Ta có R = d(A, (Oxy)) = 1.
Suy ra phương trình mặt cầu cần lập có phương trình là:
(x + 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 1; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0.
x2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 =\(\frac{2}{3}\).
x2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 =\(\frac{1}{6}\).
x2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 =\(\frac{2}{3}\).
x2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 =\(\frac{1}{6}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).
R = d(I, (P)) =\(\frac{{\left| {1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{2}{3}} \).
Phương trình mặt cầu tâm I(0; 1; 3), bán kính R =\(\sqrt {\frac{2}{3}} \) là:
x2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 =\(\frac{2}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0 và điểm I(2; -3; -1). Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình là:
(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 12.
(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 24.
(x + 2)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 12.
(x + 2)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 24.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: R = d(I, (P)) =\(\frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 3} \right) - \left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 6 \).
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (x – 2)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 24.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm A(-3; 2; -4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?
(x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 4)2 = 2.
(x + 3)2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 = 9.
(x + 3)2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 = 4.
(x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 4)2 = 16.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì mặt cầu tâm A(-3; 2; -4) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên R = 2.
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 3)2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 = 4.
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6), D(5; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
(x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 =\(\frac{2}{{223}}\).
(x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 =\(\frac{4}{{\sqrt {446} }}\).
(x + 5)2 + y2 + (z + 4)2 =\(\frac{8}{{223}}\).
(x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 =\(\frac{8}{{223}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\, - 5;\,\,1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,\, - 6;\,\,4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 14;\,\, - 13;\,\, - 9} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (ABC).
=>\(\overrightarrow n = \left( {14;\,\,13;\,\,9} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (ABC).
=> (ABC): 14(x – 1) + 13(y – 6) + 9(z – 2) = 0 Û 14x + 13y + 9z – 110 = 0.
=> R = d(D; (ABC)) =\(\frac{{\left| {14 \cdot 5 + 13 \cdot 0 + 9 \cdot 4 - 110} \right|}}{{\sqrt {{{14}^2} + {{13}^2} + {9^2}} }}\)=\(\frac{4}{{\sqrt {446} }}\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 =\(\frac{8}{{223}}\).
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (): 2x – y + 2z – 8 = 0. Tính diện tích mặt cầu (S).
16.
25.
100.
64.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: R = d(I, ()) =\(\frac{{\left| { - 2 - 2 + 6 - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\).
Diện tích mặt cầu (S) là S = 4R2 = 16.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 4.
Đường kính mặt cầu bằng 8.
Mặt cầu (S) đi qua điểm A(-1; 3; 0).
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Oyz) bằng 2.
Mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – 2z – 2 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
Mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; 0) và bán kính R = 2.
a) Sai. Đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.
b) Sai. Ta có: IA =\(\sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \) > R nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.
c) Đúng. Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = 0.
Khi đó d(I, (Oyz)) =\(\left| { - 2} \right|\)= 2.
d) Sai. Ta có: d(I, (P)) =\(\frac{{\left| { - 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R\) nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 2), B(3; 2; -3).
Mặt cầu đi qua B nhận A làm tâm có phương trình: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 30.
Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = 30\).
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 5 = 0 có phương trình:(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16.
Mặt cầu có tâm I thuộc trục Ox và đi qua hai điểm A, B có phương trình: x2 + y2 + z2 + 8x + 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,1;\,\, - 5} \right)\) Þ AB = \(\sqrt {30} \).
Mặt cầu qua B và nhận A làm tân nên AB làm bán kính.
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 30.
b) Sai. Gọi I là trung điểm AB =>\(I\left( {2;\,\,\frac{3}{2};\,\, - \frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên có tâm là trung điểm I và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {30} }}{2}\).
Vậy phương trình cần tìm là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).
c) Đúng. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 5 = 0 nên \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 4\) có phương trình:
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16.
d) Sai. Ta có: I Ox => I(a; 0; 0).
Vì mặt cầu qua A, B nên IA = IB
<=> (a – 1)2 + 1 + 4 = (a – 3)2 + 4 + 9
<=> 4a = 16 => a = 4
Do đó, I(4; 0; 0), R = IA =\(\sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu tâm I(4; 0; 0) và có bán kính R =\(\sqrt {14} \) là: x2 + y2 + z2 - 8x + 2 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; -2; 3).
Mặt cầu tâm I và bán kính bằng 3 có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 9z + 5 = 0.
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Ox có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 9z + 1 = 0.
Mặt cầu tâm I, cắt mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn có bán kính bằng 1 có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 9z + 10 = 0.
Mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB =\(2\sqrt 3 \) có phương trình: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 30.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Mặt cầu tâm I và bán kính bằng 3 có phương trình:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0.
b) Đúng. Gọi J là hình chiếu của I lên trục Ox => J(1; 0; 0).
Do mặt cầu tiếp xúc với trục Ox nên R = IJ = d(I, Ox) =\(\sqrt {13} \).
Mặt cầu tâm I và có bán kính R =\(\sqrt {13} \) có phương trình:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 13 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 1 = 0.
c) Sai. Ta có: d = d(I, (Oxy)) =\(\left| 3 \right|\)= 3.
Do mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn có bán kính bằng 1 nên bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{d^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Mặt cầu tâm I và bán kính R =\(\sqrt {10} \) có phương trình là:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 4 = 0.
d) Sai.
Gọi H là trung điểm AB => IH AB tại H => IH = d(I, AB) = d(I, Ox) =\(\sqrt {13} \)
Bán kính mặt cầu là R =\(\sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {13 + 3} = 4\).
Mặt cầu tâm I và bán kính R = 4 có phương trình là:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; -2; -1) và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 5 = 0. Gọi (S) có mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng \(\frac{7}{3}\).
Bán kính của mặt cầu (S) là R = 3.
Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) có hệ số tự do là \(\frac{5}{9}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Khoảng cách từ I đến (P) là:
d(I, (P)) =\(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{7}{3}\).
b) Sai. Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên: R = d(I, (P)) =\(\frac{7}{3}\).
c) Sai. Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R =\(\frac{7}{3}\).
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 =\(\frac{{49}}{9}\).
d) Đúng. Ta có: d = a2 + b2 + c2 – R2 = 12 + (-2)2 + (-1)2 -\(\frac{{49}}{9}\)=\(\frac{5}{9}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 1; 1), B(3; 1; 3), C(1; 3; 3) và D(1; 1; 5).
Phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và đi qua điểm A là: x2 + y2 + z2 = 3.
Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính R của mặt cầu (S) bằng 2.
Phương trình của mặt cầu (S') có tâm C và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 12 = 0 là: (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 25.
Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng (Oxy). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) bằng -2.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) và đi qua điểm A, ta có: R = OA =\(\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).
Phương trình cần tìm là: x2 + y2 + z2 = 3.
b) Đúng. Gọi tâm I(a; b; c) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 5} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} - 6b + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 10c + 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 3\end{array} \right.\).
Do đó, I(1; 1; 3), R = IA =\(\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 2\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 2.
c) Sai. Ta có: R' = d(I, (P)) =\(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{3}\).
Do đó, phương trình mặt cầu tâm C, bán kính R' =\(\frac{{17}}{3}\) là:
(x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 =\(\frac{{289}}{9}\).
d) Sai. Do điểm M di động trên mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ của M là (x; y; 0).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} \)= (1 – x: 1 – y; 1); \(\overrightarrow {MB} \)= (3 – x; 1 – y; 3).
T =\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \)= (1 – x)(3 – x) + (1 – y)(1 – y) + 1×3 = x2 – 4x + 3 + y2 – 2y + 1 + 3 = x2 – 4x + y2 – 2y + 7.
Để biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất thì:
T = (x2 – 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) + 2 = (x – 2)2 + (y – 1)2 + 2.
Vì (x – 2)2 0 và (y – 1)2 0, 
x, y ℝ nên ta có T 0 + 0 + 2 = 2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).
Do đó M(2; 1; 0) nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng 2.
Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 4; -3) và chứa trục Ox. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 1) và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = k. Tính giá trị T =\(\frac{{abc}}{k}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,5.
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;\,\,4;\,\, - 3} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;\,\, - 3;\,\, - 4} \right)\) khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 4; -3) và có \(\overrightarrow n = \left( {0;\,\,3;\,\,4} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (P) là: 3y + 4z = 0.
Lại có: R = d(I, (P)) =\(\frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 4.
Do đó, a = 1, b = 2, c = 1, k = 4 => T =\(\frac{{abc}}{k} = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 1}}{4}\)= 0,5.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; -1; 2). Gọi M, N, K là hình chiếu vuông góc của A lên ba trục tọa độ. Biết mặt cầu (S) có tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (MNK). Tìm bán kính R. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,67
Theo giả thiết, ta có:
M là hình chiếu vuông của A lên Ox => M(1; 0; 0).
N là hình chiếu vuông góc của A lên Oy => N(0; -1; 0).
K là hình chiếu vuông góc của A lên Oz => K(0; 0; 2).
Do đó, phương trình mặt phẳng (MNP) là: \(x - y + \frac{z}{2} = 1\)Û 2x – 2y + z – 2 = 0.
Lại có, R = d(O, (MNK)) =\(\frac{{\left| {2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\) 0,67.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1; 2; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 8 = 0 có dạng x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0. Tính giá trị của biểu thức a + b + c + 2d.
Hướng dẫn giải
Đáp án: -4
Bán kính mặt cầu là: R = d(I, (P)) =\(\frac{{\left| {2 - 4 + 1 - 8} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 9.
<=> x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z – 3 = 0.
Suy ra a = 1; b = 2; c =-1; d =-3 =>a + b + c + 2d = 1 + 2 + (-1) + 2×(-3) =-4.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. Tìm hoành độ của tâm mặt cầu (S).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Gọi I là tâm mặt cầu (S). Vì tâm I nằm trên tia Ox nên I(a; 0; 0), (a > 0).
Vì mặt cầu (S) có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) nên ta có:
d(I, (Oyz)) = 2 <=> \(\frac{{\left| a \right|}}{1} = 2 \Leftrightarrow \left| a \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\end{array} \right.\).
Do a > 0 nên ta nhận a = 2. Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 0).
Vậy hoành độ của tâm I bằng 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9. Tìm tổng tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với (S)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -3
Từ phương trình (S), ta có tâm I(1; -1; 1) và R = 3.
Để (P) tiếp xúc với (S) thì d(I, (P)) = R
<=> \(\frac{{\left| {1 - {m^2} - 3m} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 10 = 0\\{m^2} + 3m + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = 2\\{m_2} = - 5\end{array} \right.\) => m1 + m2 =-3.
