Bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
(x – 2)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 3;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x – 2)2 + (y − 1)2 + (z – 1)2 = 4.
\(\sqrt {\frac{6}{7}} \);
\(\frac{6}{7}\);
\(\frac{{49}}{{36}}\);
\(\frac{7}{6}\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\) 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
Có \(R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}\).
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 3;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9;
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 9.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\).
Do đó phương trình mặt cầu (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9.
(x − 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = \(\sqrt {14} \);
(x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 14;
(x + 1)2 − (y − 1)2 − (z − 2)2 = 14;
(x + 1) + (y + 2) + (z – 1) = 14.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1 - 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 14.
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 3;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 9;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 3;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 9.
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 16;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 4;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 5;
(x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 25.
Đáp án đúng là: D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz, suy ra H(0; 0; 2).
Ta có \(\overrightarrow {HI} = \left( {3;4;0} \right)\).
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc trục Oz có bán kính:
\(R = d\left( {I,Oz} \right) = HI = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5\).
Suy ra phương trình mặt cầu: (x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 25.
x2 + y2 + z2 – 3x = 9;
x2 + y2 + z2 = 3;
x2 + y2 + z2 = 81;
x2 + y2 + z2 = 9.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {75} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu cần lập là: x2 + y2 + z2 = 9.
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 4;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 13;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 9;
(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 9.
Đáp án đúng là: B
Gọi H là hình chiếu của I lên trục Oy H(0; 1; 0).
Khi đó R = d(I, Oy) = IH = \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 13.
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 16;
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 3)2 = 9;
(x + 3)2 + (y − 3)2 + (z + 3)2 = 36;
(x + 3)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 49.
Đáp án đúng là: B
Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu cần tìm.
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right)\\d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = IA\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\\\left| a \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 3\\c = 3\end{array} \right.\].
Suy ra mặt cầu cần lập có tâm I(3; −3; 3) và R = 3 có phương trình là
(x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 3)2 = 9.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
(x + 2)2 + y2 + z2 = 1;
(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 5;
(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 4;
(x + 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
Đáp án đúng là: D
Ta có R = d(A, (Oxy)) = 1.
Suy ra phương trình mặt cầu cần lập có phương trình là:
(x + 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 1.
x2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = \(\frac{2}{3}\).
x2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = \(\frac{1}{6}\).
x2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 = \(\frac{2}{3}\).
x2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = \(\frac{1}{6}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).
R = d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{2}{3}} \).
Phương trình mặt cầu tâm I(0; 1; 3), bán kính R = \(\sqrt {\frac{2}{3}} \) là:
x2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = \(\frac{2}{3}\).
(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 12.
(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 24.
(x + 2)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 12.
(x + 2)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 24.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: R = d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 3} \right) - \left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 6 \).
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (x – 2)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 24.
(x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 4)2 = 2.
(x + 3)2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 = 9.
(x + 3)2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 = 4.
(x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 4)2 = 16.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì mặt cầu tâm A(-3; 2; -4) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên R = 2.
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 3)2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 = 4.
(x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 = \(\frac{2}{{223}}\).
(x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 = \(\frac{4}{{\sqrt {446} }}\).
(x + 5)2 + y2 + (z + 4)2 = \(\frac{8}{{223}}\).
(x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 = \(\frac{8}{{223}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\, - 5;\,\,1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,\, - 6;\,\,4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 14;\,\, - 13;\,\, - 9} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (ABC).
=> \(\overrightarrow n = \left( {14;\,\,13;\,\,9} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (ABC).
=> (ABC): 14(x – 1) + 13(y – 6) + 9(z – 2) = 0 Û 14x + 13y + 9z – 110 = 0.
=> R = d(D; (ABC)) = \(\frac{{\left| {14 \cdot 5 + 13 \cdot 0 + 9 \cdot 4 - 110} \right|}}{{\sqrt {{{14}^2} + {{13}^2} + {9^2}} }}\) = \(\frac{4}{{\sqrt {446} }}\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 5)2 + y2 + (z – 4)2 = \(\frac{8}{{223}}\).
16.
25.
100.
64.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: R = d(I, ()) = \(\frac{{\left| { - 2 - 2 + 6 - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\).
Diện tích mặt cầu (S) là S = 4R2 = 16.
Đường kính mặt cầu bằng 8.
Mặt cầu (S) đi qua điểm A(-1; 3; 0).
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Oyz) bằng 2.
Mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – 2z – 2 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
Mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; 0) và bán kính R = 2.
a) Sai. Đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.
b) Sai. Ta có: IA = \(\sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \) > R nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.
c) Đúng. Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = 0.
Khi đó d(I, (Oyz)) = \(\left| { - 2} \right|\) = 2.
d) Sai. Ta có: d(I, (P)) = \(\frac{{\left| { - 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R\) nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).
Mặt cầu đi qua B nhận A làm tâm có phương trình: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 30.
Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình:\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = 30\).
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 5 = 0 có phương trình:(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16.
Mặt cầu có tâm I thuộc trục Ox và đi qua hai điểm A, B có phương trình: x2 + y2 + z2 + 8x + 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,1;\,\, - 5} \right)\) Þ AB = \(\sqrt {30} \).
Mặt cầu qua B và nhận A làm tân nên AB làm bán kính.
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 30.
b) Sai. Gọi I là trung điểm AB => \(I\left( {2;\,\,\frac{3}{2};\,\, - \frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên có tâm là trung điểm I và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {30} }}{2}\).
Vậy phương trình cần tìm là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}\).
c) Đúng. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 5 = 0 nên \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 4\) có phương trình:
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16.
d) Sai. Ta có: I Ox => I(a; 0; 0).
Vì mặt cầu qua A, B nên IA = IB
<=> (a – 1)2 + 1 + 4 = (a – 3)2 + 4 + 9
<=> 4a = 16 => a = 4
Do đó, I(4; 0; 0), R = IA = \(\sqrt {14} \).
Phương trình mặt cầu tâm I(4; 0; 0) và có bán kính R = \(\sqrt {14} \) là: x2 + y2 + z2 - 8x + 2 = 0.
Mặt cầu tâm I và bán kính bằng 3 có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 9z + 5 = 0.
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Ox có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 9z + 1 = 0.
Mặt cầu tâm I, cắt mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn có bán kính bằng 1 có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 9z + 10 = 0.
Mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB = \(2\sqrt 3 \) có phương trình: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 30.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Mặt cầu tâm I và bán kính bằng 3 có phương trình:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 5 = 0.
b) Đúng. Gọi J là hình chiếu của I lên trục Ox => J(1; 0; 0).
Do mặt cầu tiếp xúc với trục Ox nên R = IJ = d(I, Ox) = \(\sqrt {13} \).
Mặt cầu tâm I và có bán kính R = \(\sqrt {13} \) có phương trình:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 13 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 1 = 0.
c) Sai. Ta có: d = d(I, (Oxy)) = \(\left| 3 \right|\) = 3.
Do mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn có bán kính bằng 1 nên bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{d^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \).
Mặt cầu tâm I và bán kính R = \(\sqrt {10} \) có phương trình là:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 4 = 0.
d) Sai.
Gọi H là trung điểm AB => IH AB tại H => IH = d(I, AB) = d(I, Ox) = \(\sqrt {13} \)
Bán kính mặt cầu là R = \(\sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {13 + 3} = 4\).
Mặt cầu tâm I và bán kính R = 4 có phương trình là:
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16 <=> x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0.
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng \(\frac{7}{3}\).
Bán kính của mặt cầu (S) là R = 3.
Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 9.
Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) có hệ số tự do là \(\frac{5}{9}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Khoảng cách từ I đến (P) là:
d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{7}{3}\).
b) Sai. Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên: R = d(I, (P)) = \(\frac{7}{3}\).
c) Sai. Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = \(\frac{7}{3}\).
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = \(\frac{{49}}{9}\).
d) Đúng. Ta có: d = a2 + b2 + c2 – R2 = 12 + (-2)2 + (-1)2 - \(\frac{{49}}{9}\)= \(\frac{5}{9}\).
Phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và đi qua điểm A là: x2 + y2 + z2 = 3.
Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính R của mặt cầu (S) bằng 2.
Phương trình của mặt cầu (S') có tâm C và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 12 = 0 là: (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 25.
Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng (Oxy). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) bằng -2.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai . d) Sai.
a) Đúng. Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) và đi qua điểm A, ta có: R = OA = \(\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).
Phương trình cần tìm là: x2 + y2 + z2 = 3.
b) Đúng. Gọi tâm I(a; b; c) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 5} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} - 6b + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 10c + 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 3\end{array} \right.\).
Do đó, I(1; 1; 3), R = IA = \(\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 2\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 2.
c) Sai. Ta có: R' = d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{3}\).
Do đó, phương trình mặt cầu tâm C, bán kính R' = \(\frac{{17}}{3}\) là:
(x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 =\(\frac{{289}}{9}\).
d) Sai. Do điểm M di động trên mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ của M là (x; y; 0).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} \) = (1 – x: 1 – y; 1); \(\overrightarrow {MB} \) = (3 – x; 1 – y; 3).
T = \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \)= (1 – x)(3 – x) + (1 – y)(1 – y) + 1×3 = x2 – 4x + 3 + y2 – 2y + 1 + 3 = x2 – 4x + y2 – 2y + 7.
Để biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất thì:
T = (x2 – 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) + 2 = (x – 2)2 + (y – 1)2 + 2.
Vì (x – 2)2 0 và (y – 1)2 0, 
x, y ℝ nên ta có T 0 + 0 + 2 = 2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).
Do đó M(2; 1; 0) nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,5.
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;\,\,4;\,\, - 3} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;\,\, - 3;\,\, - 4} \right)\) khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 4; -3) và có \(\overrightarrow n = \left( {0;\,\,3;\,\,4} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (P) là: 3y + 4z = 0.
Lại có: R = d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).
Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 4.
Do đó, a = 1, b = 2, c = 1, k = 4 => T = \(\frac{{abc}}{k} = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 1}}{4}\)= 0,5.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,67
Theo giả thiết, ta có:
M là hình chiếu vuông của A lên Ox => M(1; 0; 0).
N là hình chiếu vuông góc của A lên Oy => N(0; -1; 0).
K là hình chiếu vuông góc của A lên Oz => K(0; 0; 2).
Do đó, phương trình mặt phẳng (MNP) là: \(x - y + \frac{z}{2} = 1\) Û 2x – 2y + z – 2 = 0.
Lại có, R = d(O, (MNK)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\) 0,67.
Hướng dẫn giải
Đáp án: -4
Bán kính mặt cầu là: R = d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {2 - 4 + 1 - 8} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3\).
Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 9.
<=> x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z – 3 = 0.
Suy ra a = 1; b = 2; c = -1; d = -3 => a + b + c + 2d = 1 + 2 + (-1) + 2×(-3) = -4.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Gọi I là tâm mặt cầu (S). Vì tâm I nằm trên tia Ox nên I(a; 0; 0), (a > 0).
Vì mặt cầu (S) có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) nên ta có:
d(I, (Oyz)) = 2 <=> \(\frac{{\left| a \right|}}{1} = 2 \Leftrightarrow \left| a \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\end{array} \right.\).
Do a > 0 nên ta nhận a = 2. Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 0).
Vậy hoành độ của tâm I bằng 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -3
Từ phương trình (S), ta có tâm I(1; -1; 1) và R = 3.
Để (P) tiếp xúc với (S) thì d(I, (P)) = R
<=> \(\frac{{\left| {1 - {m^2} - 3m} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 10 = 0\\{m^2} + 3m + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = 2\\{m_2} = - 5\end{array} \right.\) => m1 + m2 = -3.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
