Bài tập Ứng dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để ước lượng khoảng cách, chiều cao lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Đúng.           c) Sai.              d) Sai.      

a) Đúng.

Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng \(BH\).

Xét tam giác \(CAE\) vuông tại \(E\), ta có:

\(CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (1).

b) Đúng.

Xét tam giác \(BAE\) vuông ở \(E\), ta có:

\(BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) (2).

c) Sai.

Từ (1) và (2) suy ra \(BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ \)

                                \(BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)\)

                                \(5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)\)

                               \(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Sai.

Với \(AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}\) suy ra \(CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Chiều cao của tòa nhà là: \(5 + 11,9 + 7 \approx 23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy tòa nhà cao \(23,9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Sai.            c) Đúng.           d) Đúng.

a) Sai.

Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông \(ABC\), có:

\(AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272,22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

b) Sai.

Do người đó có tầm mắt \[1,65{\rm{ m}}\] nên chiều cao của tòa nhà là:

\[272,22 - 1,65 = 270,57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy tòa nhà cao \[270,57{\rm{ m}}\].

Do đó, ý b) là sai.

c) Đúng.

Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \[E\] đến chân tòa nhà là độ dài đoạn \[EA\].

Xét tam giác vuông \[EAD\], ta có:

\[EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Do đó, ý c) là đúng.

d) Đúng.

Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là \[93,26 - 48 = 45,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau \[45,26{\rm{ m}}\].

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Đúng.    c) Sai.           d) Sai.

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng \(CH.\)

• Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\)

Suy ra \(CH = AH \cdot \tan 43^\circ .\)

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}\) (2)

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) ta có:

\(AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)\)

Do đó_, ý c) là sai.

• Do đó, \(CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84,66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng \(84,66{\rm{ m}}\).

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Sai.        c) Sai.                 d) Đúng.

• Xét \[\Delta AKD\] vuông tại \[D\], ta có: O10-2024-GV154...........\[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}\] hay \[AK = AD \cdot \tan 36^\circ \].

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: O10-2024-GV154...........\[FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ \[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},\] ta có \[AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18,164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Ta có \[AH = AK + KH \approx 18,164 + 1,6 = 19,764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn \[AH\] và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét \[\Delta AFK\] vuông tại \[K\], ta có: O10-2024-GV154...........\[\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18,164}}{{20}}\], do đó \[\widehat {KFA} \approx 42^\circ .\]

Vậy góc nâng từ \[F\] đến nóc tòa nhà khoảng \[42^\circ \].

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Sai.        c) Đúng.             d) Đúng.

a) Đúng.

Xét tam giác ADC vuông tại C, ta có: AC = h.cot \(\widehat {DAC}\) = h.cot 60° (m)

b) Sai.

Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có: BC = h.cot \(\widehat {DBC}\) = h.cot 75° (m).

c) Đúng.

Do AC – BC = AB = 101 nên h.cot 60° − h.cot 75° = 101.

d) Đúng.

Vì h.cot 60° − h.cot 75° = 101

Suy ra h = \(\frac{{101}}{{\cot 60^\circ - \cot 75^\circ }} \approx 326\) (m).

Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng 326 (m).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 140

Gọi chiều cao tòa nhà là AB (m)

Bóng của tòa nhà trên mặt đất là AC (m).

Chiều cao của cột đèn là ED (m).

Bóng của cột đèn trên mặt đất là EF (m).

Xét tam giác EDF vuông tại E, ta có: tanF = \[\frac{{DE}}{{EF}} = \frac{7}{4}\], do đó \[\widehat F \approx 60^\circ 15'\].

Vì DF // BC (vì các tia nắng mặt trời)

Do đó, \[\widehat C = \widehat F \approx 60^\circ 15'\].

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\[\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\] nên AB = AC.tan C = \[80.\tan 60^\circ 15' \approx 140\] (m).

Vậy chiều cao tòa nhà khoảng 140 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 46

Ta có \[AB = 1,6 + 25 = 26,6{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Có \[\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\] nên \[AC = \frac{{AB}}{{\sin 35^\circ }} = \frac{{26,6}}{{\sin 35^\circ }} \approx 46{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy chiếc xe cách mắt người quan sát khoảng \(46{\rm{\;m}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án: 41,2.

Xét \[\Delta DHA\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{HA}}\] nên \[HA = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}}\].

Xét \[\Delta DHB\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{HB}}\] nên \[HB = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}}.\]

Ta có: \[HB - HA = AB\] suy ra \[\frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}} - \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}} = 56\]

\[x\left( {\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}} \right) = 56\]

\[x = \frac{{56}}{{\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}}} \approx 39,65\].

Khi đó \[CD = CH + DH \approx 1,5 + 39,65 \approx 41,2\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy chiều cao cột cờ Hà Nội khoảng 41,2 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 6 398

Theo đề, ta có \[\widehat {BAC} = 23^\circ \] và \[BC = 2\,\,500\] (m).

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[\sin \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}}.\]

Suy ra \[AC = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}\] hay \[x = \frac{{2\,\,500}}{{\sin 23^\circ }} \approx 6\,\,398\] (m).

Do đó muốn đạt độ cao \[2500\] m thì máy bay phải bay một đoạn đường \[x\] dài \[6\,\,398\] mét.

Đáp án: 1 841

Kẻ \[BH \bot AC\] tại \[H.\]

Tam giác \[ABC,\] có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 65^\circ } \right) = 40^\circ .\]

Vì tam giác \[BCH\] vuông tại \[H\] nên:

⦁ \[BH = BC \cdot \sin \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ \] (m);

⦁ \[CH = BC \cdot \cos \widehat {BCH} = 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \cos 65^\circ \] (m).

Vì tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] nên \(BH = AH \cdot \tan \widehat {BAH}\)

Suy ra \[AH = \frac{{BH}}{{\tan \widehat {BAH}}} = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }}\] (m).

Khi đó \[AC = AH + CH = \frac{{1{\rm{\;\;}}225 \cdot \sin 65^\circ }}{{\tan 40^\circ }} + 1{\rm{\;\;}}225 \cdot \cos 65^\circ \approx 1{\rm{\;\;}}841\] (m).

Do đó khoảng cách \[AC\] khoảng 1 841 m.