Bài tập Tính cạnh, góc và diện tích tam giác lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 30 cm và tanB = \(\frac{5}{{12}}\). Độ dài cạnh BC là
12,5 cm.
32,5 cm.
30 cm.
22,5 cm.
Đáp án đúng là: B
Ta có:
tanB = \(\frac{5}{{12}}\) hay \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}\) suy ra AC = \(\frac{5}{{12}}\).BA = 12,5 cm.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:
AB2 + AC2 = BC2
302 + 12,52 = BC2
Suy ra BC =32,5 cm.
Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 5 cm và cotB = \(\frac{5}{8}\). Độ dài đoạn thắng AC là (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
4,24 cm.
4,20 cm,
4,23 cm.
4,25 cm.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:
cotB = \(\frac{5}{8}\) hay \(\frac{{CB}}{{AC}} = \frac{5}{8}\) suy ra CB = \(\frac{5}{8}\)AC.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta được:
CB2 + CA2 = AB2
\(\frac{{25}}{{64}}\)AC2 + AC2 = 52
Suy ra \(\frac{{89}}{{64}}\)AC2 = 52, do đó AC ≈ 4,24 cm.
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 3, 4.
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 38^\circ ,\widehat C = 30^\circ \) và BC = 11 cm. Gọi N là chân đường cao vuông góc từ A xuống BC.
Độ dài đoạn thrẳng AN là (kết quả làm tròn đến hàng phầm trăm)
3,65 cm.
3,56 cm.
3,25 cm.
3,52 cm.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác ABN vuông tại N, ta có: AN = tan38°.NB hay BN = \(\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}\).
Xét tam giác ANC vuông tại N, ta có: AN = tan30°.NC hay NC = \(\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}\).
Mà BC = BN + NC = \(\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}\) + \(\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}\) = AN.\(\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)\)
Suy ra AN = \(\frac{{BC}}{{\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)}} = \frac{{11}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}}} \approx 3,65\) cm.
Độ dài đoạn thẳng AC là (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
3,6 cm.
7,3 cm.
7,2 cm.
7,5 cm.
Đáp án đúng là: B
Trong tam giác vuông ANC vuông tại N, \(\widehat C = 30^\circ \).
Ta có: AN = AC.sin 30°, suy ra \(AC = \frac{{AN}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{3,65}}{{0,5}} = 7,3\) (cm).
Tính diện tích tam giác ABC là
20 cm2.
21 cm2.
20,1 cm2.
20,075 cm2
Đáp án đúng là: D
Ta có: SABC = \(\frac{1}{2}AN.BC = \frac{1}{2}.3,65.11 = 20,075\) cm2.
Cho tam giác ABC, đường cao AH = 5 cm có \(\widehat B = 70^\circ ,\widehat C = 35^\circ \). Diện tích tam giác ABC là (Các kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
8,96 cm2.
22,4 cm2.
15 cm2.
20 cm2.
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
BH = AH.cot B = 5.cot70° ≈ 1,82 cm.
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
HC = AH.cot 35° = 5.cot 35° ≈ 7,14 cm.
Ta có: BC = BH + HC = 1,82 + 7,14 = 8,96 cm.
Diện tích tam giác ABC là:
S = \(\frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.5.8,96 = 22,4\) cm2.
Cho hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích của hình bình hành (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
14.
14,6.
14,5.
14,9.
Đáp án đúng là: B
Xét ∆ADC vuông tại A, ta có: AC = AD.tan\(\widehat {ADC}\) = 3,5.tan 50°.
Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành, ta có:
S = AD.AC = 3,5.3,5.tan 50° ≈ 14,6.
Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng 54 cm2 và 96 cm2. Độ dài cạnh huyền bằng
27 cm.
48 cm.
25 cm.
21 cm.
Đáp án đúng là: C
Ta có: SABH.SACH = 54.96
Suy ra \(\frac{1}{4}\)AB2.BH.CH = 54.96
AH4 = 4.54.96 = 124
Suy ra AH = 12.
Lại có SABC = \(\frac{1}{2}AH.BC\)
Suy ra BC = \(\frac{{2{S_{ABC}}}}{{AH}} = \frac{{2\left( {54 + 96} \right)}}{{12}} = 25\) (cm).
Cho tam giác BAC là tam giác đều cạnh 8 cm và \(\widehat {AMB} = 42^\circ \). Tính AM (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
10,3 cm.
6,9 cm.
10,34 cm.
6,93 cm.
Đáp án đúng là: C
Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).
Do ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.
Suy ra BH = HC = 4 cm.
Từ ∆ABH vuông tại H, ta có:
sin M = \(\frac{{AH}}{{AM}}\) suy ra \(AM = \frac{{AH}}{{\sin \widehat M}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{0,669}} \approx 10,34\) (cm).
Cho tam giác như hình vẽ dưới đây. Tính diện tích tam giác OMN (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị).
10,79 cm2.
11 cm2.
10,8 cm2.
10,795 cm2.
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác OPN vuông tại P nên ta có:
OP = ON.sin\(\widehat N\) = 9.sin 38° ≈ 5,54 (cm).
NP = ON.cos\(\widehat N\) = 9.cos 38° ≈ 7,09 (cm).
Xét tam giác OPM vuông tại P nên ta có:
MP = \(\frac{{OP}}{{\tan \widehat M}} = \frac{{5,54}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5,54}}{{\sqrt 3 }} = 3,2\) (cm).
Ta có: MN = NP – MP = 7,09 – 3,2 – 3,89 (cm).
Do đó, SOMN = \(\frac{1}{2}OP.MN = \frac{1}{2}.5,55.3,89 \approx 11\) cm2.
Cho hình vẽ:
Khi đó:
NC = \(\sqrt 2 \) cm.
AN = 1 cm.
AB = \(2\sqrt 2 \) cm.
Diện tích tam giác ABC bằng \(2\sqrt 3 \) cm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì ΔACN vuông tại N nên NC = AC.cos C = AC.cos 45o = \(\sqrt 2 \) cm. Vậy a) đúng.
b) Sai.
Vì ΔANC vuông cân tại N nên AN = NC = \(\sqrt 2 \) cm. Vậy b) sai.
c) Đúng.
Vì ΔABN vuông tại N nên AN = AB.sin B, suy ra AB = \(\frac{{{\rm{AN}}}}{{\sin {\rm{B}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sin 30^\circ }} = 2\sqrt 2 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy c) đúng.
d) Sai.
Vì ΔABN vuông tại N nên BN = AB.cos B = \(2\sqrt 2 \).cos 30o = \(\sqrt 6 \) (cm).
Diện tích tam giác ABC là: \({\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{AN}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right) = 1 + \sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy d) sai.
AK = 8cos 40o m.
IK = 8sin 40o m.
IN = \(\frac{8}{{\cos 40^\circ }}\) m.
Diện tích tam giác AIN bằng khoảng 27 m2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì ΔIKA vuông tại K nên AK = AI.sin I = 8sin 40o m. Vậy a) sai.
b) Sai.
Vì ΔIKA vuông tại K nên IK = AI.cos I = 8cos 40o m. Vậy b) sai.
c) Đúng.
Vì ΔAIN vuông tại A nên IN = AI.cos I, suy ra IN = \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{\cos {\rm{I}}}} = \frac{8}{{\cos 40^\circ }}\) m. Vậy c) đúng.
d) Đúng.
Diện tích ΔAIN vuông tại A là: \({\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{AK}} \cdot {\rm{IN}} = \frac{1}{2} \cdot 8\sin 40^\circ \cdot \frac{8}{{\cos 40^\circ }} \approx 27\;\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy d) đúng.
Cho hình vẽ:
Khi đó:
AB = 16cot 40o cm.
AD = 16tan 55o cm.
Diện tích DBCD lớn hơn 330 cm2.
Diện tích DADC lớn hơn diện tích DABC khoảng 40 cm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì DABC vuông tại A nên AB = AC. cot B = 16cot 40o (cm). Vậy a) đúng.
b) Đúng.
Vì DADC vuông tại A nên AD = AC. tan \(\widehat {{\rm{ACD}}}\) = 16tan 55o (cm). Vậy b) đúng.
c) Đúng.
Diện tích DBCD là: \({\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{CA}} \cdot {\rm{BD}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \left( {16\cot 40^\circ + 16\tan 55^\circ } \right) \approx 335\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Do đó, diện tích DBDC lớn hơn 330 cm2. Vậy c) đúng.
d) Sai.
Diện tích DADC là: \({{\rm{S}}_1} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{CA}} \cdot {\rm{AD}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16\tan 55^\circ = 128\tan 55^\circ \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích DABC là: \({{\rm{S}}_2} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{CA}} \cdot {\rm{AB}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16\cot 40^\circ = 128\cot 40^\circ \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Ta có: S1 – S2 ≈ 30 cm2 nên diện tích DADC lớn hơn diện tích DABC khoảng 30 cm2.
Vậy d) sai.
Cho hình vẽ:
Khi đó:
BC = 20.sin 34o cm.
BD = 20.tan 34o cm.
AB ≈ 27,94 cm.
Chu vi tứ giác ABCD bằng khoảng 123 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì DDBC vuông tại C nên BC = CD.cot \(\widehat {{\rm{CBD}}}\) = 20.cot 34o (cm). Vậy a) sai.
b) Sai.
Vì DDBC vuông tại C nên CD = BD.sin \(\widehat {{\rm{CBD}}}\), suy ra \({\rm{BD}} = \frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }}\) (cm). Vậy b) sai.
c) Đúng.
Vì DADB vuông tại B nên AB = BD.tan \(\widehat {{\rm{BDA}}}\)\( = \frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }} \cdot \tan 38^\circ \approx 27,94\) (cm).
Vậy c) đúng.
d) Đúng.
Vì DADB vuông tại B nên BD = AD.\(\cos \widehat {{\rm{BDA}}}\) nên \(AD = \frac{{\frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }}}}{{\cos 38^\circ }}\) (cm).
Chu vi tứ giác ABCD là:
\(AB + AD + CD + BC = \frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }} \cdot \tan 38^\circ + \frac{{\frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }}}}{{\cos 38^\circ }} + 20 + 20{\rm{cot }}34^\circ \approx 123\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Vậy d) đúng.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có \(\widehat {\rm{D}} = 90^\circ {\rm{, }}\widehat {\,{\rm{C}}}{\rm{ = 38}}^\circ \), AB = 3,5 và AD = 3,1. Kẻ BH ⊥ CD tại H.
Khi đó:
ABHD là hình chữ nhật.
HC = 4. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Độ dài của CD nhỏ hơn 7,5.
Diện tích hình thang ABCD lớn hơn 17.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì tức giác ABHD có 3 góc có số đo bằng 90° nên ABHD là hình chữ nhật.
b) Đúng.
Vì ABHD là hình chữ nhật nên AD = BH = 3,1.
Xét tam giác BHC vuông tại H, có: \(\tan C = \frac{{BH}}{{HC}}\) nên \(HC = \frac{{BH}}{{\tan C}} = \frac{{3,1}}{{\tan 38^\circ }} \approx 4\).
c) Sai.
Có CD = DH + HC = 3,5 + 4 = 7,5.
d) Đúng.
Diện tích hình thang ABCD là: \(\frac{{\left( {3,5 + 7,5} \right) \cdot 3,1}}{2} = 17,05\).
Trong hình vẽ dưới đây, độ dài PC bằng bao nhiêu cm? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Vì ΔABC vuông tại A nên AB = BC.cos\(\widehat {{\rm{ABC}}}\) nên \({\rm{BC}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{\cos \widehat {{\rm{ABC}}}}} = \frac{2}{{\cos 60^\circ }} = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vì ΔPBC vuông tại P nên PC = BC.cos\(\widehat {{\rm{BCP}}}\) = 4cos 50o ≈ 3 (cm).
Vậy PC ≈ 3 cm.
Cho hình vẽ:
Khi đó: BC – PA = ….cm. Hãy điền số thích hợp vào dấu “…..”. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Vì ΔABC vuông tại A nên \(\widehat {\rm{C}} + \widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 40^\circ .\) Do đó, \(\widehat {{\rm{PBA}}} = 20^\circ \).
Vì ΔPAB vuông tại A nên
+ PA = PB.\(\sin \widehat {{\rm{PBA}}}\) = 6.sin 20o (cm).
+ AB = PB.\(\cos \widehat {{\rm{PBA}}}\) = 6.cos 20o (cm).
Vì ΔABC vuông tại A nên AB = BC.sin C, suy ra \({\rm{BC}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{\sin {\rm{C}}}} = \frac{{6\cos 20^\circ }}{{\sin 50^\circ }}.\)
Ta có: BC – PA \( = \frac{{6\cos 20^\circ }}{{\sin 50^\circ }} - 6\sin 20^\circ \approx 5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Cho hình thang ABDC như hình vẽ:
Tính độ dài đoạn thẳng BD. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 11
Vì ΔAPC vuông tại P nên CP = AC.sin\(\widehat {{\rm{CAP}}}\) = 10.sin 30o = 5 (cm).
Kẻ BM ⊥ CD tại M.
Vì tứ giác ABDC là hình thang nên AB // CD.
Lại có: AP // BM (cùng vuông góc với CD).
Do đó, tứ giác ABMP là hình bình hành. Do đó, AB = PM = 12 cm.
Ta có: MD = CD – CP – PM = 24 – 5 – 12 = 7 (cm).
Vì ΔBMD vuông tại M nên MD = BD.cos D, suy ra \({\rm{BD}} = \frac{{{\rm{MD}}}}{{\cos {\rm{D}}}} = \frac{7}{{\cos 50^\circ }} \approx 11\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy BD ≈ 11 cm.
Cho tam giác ABC có \(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{{18}} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{5} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{{13}}\) và AB = 7 cm. Tính AC.
(Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 15
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{{18}} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{5} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{{13}} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{B}}}}{{18 + 5 + 13}} = \frac{{180^\circ }}{{36}} = 5^\circ .\)
Suy ra: \(\widehat {\rm{A}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {\rm{B}} = 65^\circ .\) Do đó, tam giác ABC vuông tại A.
Suy ra, AC = AB.tan B = 7.tan 65o ≈ 15 (cm).
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 100^\circ \). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Biết rằng AH = 5 cm. Tính BC. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác đó. Suy ra, \(\widehat {{\rm{HAB}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}} = 50^\circ \) và BC = 2HB.
Tam giác AHB vuông tại H nên BH = AH.tan 50o = 5tan 50o (cm).
Do đó, BC = 2BH = 2.5.tan 50o ≈ 12 (cm). Vậy BC ≈ 12 cm.
