Bài tập Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax^2 + bx + c thành nhân tử lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có thể viết đa thức ax2 + bx + c thành
a(x – x1)(x + x2).
a(x + x1)(x – x2).
a(x + x1)(x + x2).
a(x – x1)(x – x2).
Đáp án đúng là: D
Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có thể viết:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Biết phương trình x2 – 7x + 10 = 0 có hai nghiệm là 2 và 5. Khi đó, ta có thể phân tích đa thức x2 – 7x + 10 thành nhân tử là
(x – 2)(x + 5).
(x – 2)(x – 5).
(x + 2)(x + 5).
(x + 2)(x – 5).
Đáp án đúng là: B
Do phương trình x2 – 7x + 10 = 0 có hai nghiệm là 2 và 5 nên ta có:
x2 – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5).
Cho phương trình 2x2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm. Phân tích đa thức 2x2 – 5x + 2 thành nhân tử ta được
\(\left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right).\)
\(\left( {x + 2} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right).\)
(x – 2)(2x – 1).
(x + 2)(2x + 1).
Đáp án đúng là: C
Phương trình 2x2 – 5x + 2 = 0 có a = 2, b = –5, c = 2.
Ta có \( - \frac{b}{a} = \frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{2}\) và \(\frac{c}{a} = 1 = 2 \cdot \frac{1}{2}.\)
Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x1 = 2; x2 = \(\frac{1}{2}.\)
Khi đó, ta có:
\[2{x^2}--5x + 2 = 2\left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right).\]
Cho phương trình x2 – 4x – 12 = 0 có hai nghiệm. Phân tích đa thức –x2 + 4x + 12 thành nhân tử ta được
(x – 2)(x + 6).
(x + 2)(x – 6).
(2 – x)(x + 6)
(x + 2)(6 – x).
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình x2 – 4x – 12 = 0 viết thành –x2 + 4x + 12 = 0, phương trình này có a = –1, b = 4, c = 12.
Ta có \( - \frac{b}{a} = 4 = - 2 + 6\) và \(\frac{c}{a} = - 12 = \left( { - 2} \right) \cdot 6.\)
Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x1 = –2; x2 = 6.
Khi đó, ta có:
–x2 + 4x + 12 = –(x + 2)(x – 6) = (x + 2)(6 – x).
Cho phương trình \[\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = 0\] có hai nghiệm. Phân tích đa thức \(\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2\) thành nhân tử ta được
\[\left( {x - 2} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right).\]
\[\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt 2 x - 1} \right).\]
\[\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt 2 x + 1} \right).\]
\[\left( {x + 2} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right).\]
Đáp án đúng là: B
Phương trình \[\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = 0\] có \(a = \sqrt 2 ,\,\,b = - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right),\,\,c = 2.\)
Ta có \( - \frac{b}{a} = \frac{{2\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }} = 2 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) và \(\frac{c}{a} = \sqrt 2 = 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x1 = 2; x2 = \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Khi đó, ta có:
\[\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = \sqrt 2 \left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt 2 x - 1} \right).\]
Cho phương trình x2 – (m + 1)x + 3m = 0 có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm là x = 2. Khi đó đa thức x2 – (m + 1)x + 3m trở thành
(x + 3)(x – 2).
(x + 3)(2 – x).
(x – 3)(x – 2).
(x – 3)(2 – x).
Đáp án đúng là: A
Phương trình x2 – (m + 1)x + 3m = 0 có một nghiệm là x = 2 nên ta có:
22 – (m + 1).2 + 3m = 0 hay 4 – 2m – 2 + 3m = 0, suy ra m = –2.
Thay m = –2 vào phương trình đã cho, ta được:
x2 + x – 6 = 0.
Ta có \( - \frac{b}{a} = - 1 = - 3 + 2\) và \(\frac{c}{a} = - 6 = \left( { - 3} \right) \cdot 2.\)
Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x1 = –3; x2 = 2.
Khi đó, ta có:
x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2).
Cho phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2) luôn có hai nghiệm. Đa thức (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 có thể phân tích nhân tử thành
(m – 2)(x – 1)(x – m – 7).
(x – 1)(x – m – 7).
(x – 1)[(m – 2)x – m + 7].
(x – 1)[(m – 2)x – m – 7].
Đáp án đúng là: D
Phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.
Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\) (với m ≠ 2).
Khi đó, ta có:
(m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7
= (m – 2)(x – 1)(x – \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\))
= (x – 1)[(m – 2)x – m – 7].
Đa thức (m + 4)x2 – (2m + 1)x + m – 3 có thể phân tích nhân tử thành
7(x + 1) khi m = –4.
(x + 1)[(m + 4)x + m – 3) khi m ≠ –4.
(x – 1)[(m + 4)x + m – 3) khi m ≠ –4.
(x + 1)[(m + 4)x – m + 3) khi m ≠ –4.
Đáp án đúng là: B
Với m = –4, đa thức đã cho trở thành 7x – 7, ta có thể phân tích thành đa thức sau: 7(x – 1).
Với m ≠ –4, xét phương trình (m + 4)x2 – (2m + 1)x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn x có a = m + 4, b = – (2m + 1), c = m – 3.
Ta có: a – b + c = m + 4 + [–(2m + 1)] + m – 3 = 0.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = –1; x2 = \(\frac{{3 - m}}{{m + 4}}\) (với m ≠ –4).
Khi đó, ta có:
(m + 4)x2 – (2m + 1)x + m – 3
= (m + 4)(x + 1)(x – \(\frac{{3 - m}}{{m + 4}}\))
= (x + 1)[(m + 4)x + m – 3).
Đa thức x2 – 2mx + m2 – 1 có thể phân tích nhân tử thành
(x + m + 1)(x – m – 1).
(x – m + 1)(x – m – 1).
(x – m + 1)(x + m – 1).
(x + m + 1)(x + m – 1).
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 có:
∆' = (–m)2 – 1.(m2 – 1) = m2 – m2 + 1 = 1 > 0.
Do đó phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right..\)
Ta thấy rằng có hai số m – 1 và m + 1 thỏa mãn m – 1 + m + 1 = 2m và (m – 1).(m + 1) = m2 – 1.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = m – 1, x2 = m + 1.
Khi đó, ta có:
x2 – 2mx + m2 – 1
= [x – (m – 1)].[x – (m + 1)]
= (x – m + 1)(x – m – 1).
Đa thức –x2 + 3mx – 2m2 – 3m + 9 phân tích thành nhân tử ta được
(x – 2m + 3)(x – m – 3).
(x – 2m + 3)(m + 3 – x).
(2m – 3 – x)(x – m + 3)
(x – 2m – 3)(m + 3 – x).
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình –x2 + 3mx – 2m2 – 3m + 9 = 0 có:
∆ = (3m)2 – 4.(–1).(– 2m2 – 3m + 9 ) = 9m2 – 8m2 – 12m + 36
= m2 – 12m + 36 = (m – 6)2 ≥ 0 với mọi m.
Do đó phương trình –x2 + 3mx – 2m2 – 3m + 9 = 0 luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 3m - 9 = \left( {2m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\end{array} \right..\)
Ta thấy rằng có hai số 2m – 3 và m + 3 thỏa mãn 2m – 3 + m + 3 = 3m và (2m – 3).(m + 3) = 2m2 + 3m – 9.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 2m – 3, x2 = m + 3.
Khi đó, ta có:
–x2 + 3mx – 2m2 – 3m + 9
= –[x – (2m – 3)].[x – (m + 3)]
= –(x – 2m + 3)(x – m – 3)
= (2m – 3 – x)(x – m – 3)
= (x – 2m + 3)(m + 3 – x).
Vậy ta chọn phương án B.
Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
ax2 + bx + c = a(x + x1)(x – x2).
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
ax2 + bx + c = a(x + x1)(x + x2).
ax2 + bx + c = (ax + x1)(x – x2).
Đáp án đúng là: B
Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Biết rằng x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0, khi đó
x2 + ax + b = (x – x1)(x – x2).
x2 + ax + b = (x + x1)(x + x2).
x2 + ax + b = (x – x1)(x + x2).
x2 + ax + b = (x + x1)(x – x2).
Đáp án đúng là: A
Vì x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0 nên
x2 + ax + b = 1.(x – x1)(x – x2) = (x – x1)(x – x2).
Biết rằng phương trình 2x2 – x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 = –0,5 và x2 = 1, khi đó
2x2 – x – 1 = (x + 0,5)(x – 1).
2x2 – x – 1 = 2(x + 0,5)(x + 1).
2x2 – x – 1 = 2(x + 0,5)(x – 1).
2x2 – x – 1 = (x + 0,5)(x + 1).
Đáp án đúng là: C
Vì phương trình 2x2 – x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 = –0,5 và x2 = 1 nên
2x2 – x – 1 = 2[x – (–0,5)](x – 1) = 2(x + 0,5)(x – 1).
Biết rằng phương trình 0,25x2 – x – 1,25 = 0 có hai nghiệm là x1 = –1 và x2 = 5. Khi đó đa thức x2 – 4x – 5 phân tích thành nhân tử được 2 nhân tử là:
x – 1 và x – 5.
x + 1 và x + 5.
x – 1 và x + 5.
x + 1 và x – 5.
Đáp án đúng là: D
Vì 0,25x2 – x – 1,25 = 0 nên x2 – 4x – 5 = 0.
Do đó, phương trình x2 – 4x – 5 = 0 có hai nghiệm là x1 = –1 và x2 = 5.
Suy ra: x2 – 4x – 5 = [x – (–1)](x – 5) = (x + 1)(x – 5).
Vậy đa thức x2 – 4x – 5 phân tích thành nhân tử được 2 nhân tử là x + 1 và x – 5.
Biết rằng phương trình \(\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} - \frac{3}{4}{\rm{x}} - \frac{5}{4} = 0\) có hai nghiệm là x1 = –1 và \({{\rm{x}}_2} = \frac{5}{2}\). Khi đó phân tích đa thức A = 2x2 – 3x – 5 thành nhân tử ta được
\({\rm{A}} = 2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)\).
\({\rm{A}} = \left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)\).
\({\rm{A}} = 2\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)\).
\({\rm{A}} = \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} - \frac{3}{4}{\rm{x}} - \frac{5}{4} = 0\) nên 2x2 – 3x – 5 = 0.
Do đó, phương trình 2x2 – 3x – 5 = 0 có hai nghiệm là x1 = –1 và \({{\rm{x}}_2} = \frac{5}{2}\).
Suy ra \(2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 5 = 2\left[ {{\rm{x}} - \left( { - 1} \right)} \right]\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right) = 2\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)\).
Vậy \({\rm{A}} = 2\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)\).
Cho phương trình x2 – 8x + 12 = 0 (1), khi đó:
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 6 và x2 = 2.
Đa thức x2 – 8x + 12 phân tích thành nhân tử thành hai nhân tử là x – 6 và x – 2.
Đa thức 0,5x2 – 4x + 6 viết được thành 0,5(x – 6)(x – 2).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì \(\Delta\)’ = (–4)2 – 1.12 = 4 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Đúng.
Phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 6;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) - \sqrt 4 }}{1} = 2\).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 6 và x2 = 2.
c) Đúng.
Vì phương trình x2 – 8x + 12 = 0 có 2 nghiệm là x1 = 6 và x2 = 2 nên
x2 – 8x + 12 = (x – 6)(x – 2).
Vậy đa thức x2 – 8x + 12 phân tích thành nhân tử thành hai nhân tử là x – 6 và x – 2.
d) Đúng.
Vì x2 – 8x + 12 = 0 nên 0,5x2 – 4x + 6 = 0.
Do đó, phương trình 0,5x2 – 4x + 6 = 0 có hai nghiệm là x1 = 6 và x2 = 2.
Vậy 0,5x2 – 4x + 6 = 0,5(x – 6)(x – 2).
Vậy đa thức 0,5x2 – 4x + 6 viết được thành 0,5(x – 6)(x – 2).
Cho phương trình x2 – 5x + 4 = 0 (1), khi đó:
Phương trình (1) có tổng các hệ số khác 0.
Hai nghiệm của phương trình (1) là x1 = 1 và x2 =4.
Đa thức x2 – 5x + 4 phân tích thành nhân tử được 2 nhân tử là x – 1 và 4 – x.
Đa thức –x2 + 5x – 4 viết được thành tích của hai đa thức 1 – x và 4 – x.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai.
Ta có: a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0.
Vậy phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0.
b) Đúng.
Vì a + b + c = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 1 và \({{\rm{x}}_2} = \frac{4}{1} = 4.\)
Vậy hai nghiệm của phương trình (1) là x1 = 1 và x2 = 4.
c) Sai.
Vì phương trình x2 – 5x + 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = 4 nên ta có:
x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4).
Vậy đa thức x2 – 5x + 4 phân tích thành nhân tử được 2 nhân tử là x – 1 và x – 4.
d) Sai.
Vì x2 – 5x + 4 = 0 nên –x2 + 5x – 4 = 0.
Do đó, phương trình –x2 + 5x – 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = 4.
Suy ra, –x2 + 5x – 4 = –(x – 1)(x – 4) = (1 – x)(x – 4).
Vậy đa thức –x2 + 5x – 4 viết được thành tích của hai đa thức 1 – x và x – 4.
Cho phương trình \( - \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1 = 0\) (1).
Phương trình (1) có a – b + c > 0.
Phương trình (1) có hai nghiệm dương.
Đa thức \( - \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1\) viết được thành tích của hai đa thức x + 1 và \({\rm{x}} - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Đa thức \(\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1\) viết được thành tích của hai đa thức x + 1 và \(\sqrt 6 {\rm{x}} - 1.\)
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Ta có: \({\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = - \sqrt 6 + \left( {\sqrt 6 - 1} \right) + 1 = 0\).
Vậy phương trình (1) có a – b + c = 0.
b) Sai.
Vì a – b + c = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1}}{{ - \sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Sai.
Vì phương trình \( - \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1 = 0\) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) nên
\( - \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1 = - \sqrt 6 \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\).
d) Đúng.
Vì \( - \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1 = 0\) nên \(\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1 = 0\).
Do đó, phương trình \(\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}.\)
Suy ra: \(\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1 = \sqrt 6 \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {\sqrt 6 {\rm{x}} - 1} \right).\)
Vậy đa thức \(\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1\) viết được thành tích của hai đa thức x + 1 và \(\sqrt 6 {\rm{x}} - 1.\)
Cho phương trình (x – 1)2 + 2x = 6x – 7 (1) và đa thức A = –x2 + 6x – 8. Khi đó:
Phương trình (1) đưa được về phương trình x2 – 6x + 8 = 0.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có nghiệm lớn nhất là x = 2.
A = (4 – x)(x – 2).
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
(x – 1)2 + 2x = 6x – 7
x2 – 2x + 1 + 2x = 6x – 7
x2 – 6x + 8 = 0.
Vậy phương trình (1) đưa được về phương trình x2 – 6x + 8 = 0.
b) Đúng.
Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có \(\Delta\)’ = (–3)2 – 1.8 = 1 > 0.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Sai.
Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có hai nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = - \left( { - 3} \right) + \sqrt 1 = 4;\;\,{{\rm{x}}_2} = - \left( { - 4} \right) - \sqrt 1 = 2.\)
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là x = 4.
d) Đúng.
Vì x2 – 6x + 8 = 0 nên –x2 + 6x – 8 = 0.
Do đó, phương trình –x2 + 6x – 8 = 0 có hai nghiệm là x1 = 4; x2 = 2.
Do đó, –x2 + 6x – 8 = –(x – 4)(x – 2) = (4 – x)(x – 2).
Vậy A = (4 – x)(x – 2).
Cho phương trình x2 – (m – 1)x + 3m = 0 (1) có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm là x = 2 và đa thức A = –x2 – 7x + 18. Khi đó:
m = –6.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là x = 9.
Phương trình (1) là phương trình x2 – 7x – 18 = 0.
A = –(x + 9)(x – 2).
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì x = 2 là nghiệm của phương trình (1) nên 22 – 2(m – 1) + 3m = 0, suy ra m + 6 = 0.
Vậy m = –6.
b) Sai.
Với m = –6 thì phương trình (1) có tổng hai nghiệm bằng –7.
Vậy nghiệm còn lại của phương trình bằng –9.
c) Sai.
Với m = –6 thì phương trình (1) trở thành: x2 – (–6 – 1)x + 3(–6) = 0 hay x2 + 7x –18 = 0.
Vậy phương trình (1) là: x2 + 7x –18 = 0.
d) Đúng.
Vì phương trình x2 + 7x – 18 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2 và x2 = –9.
Do đó, A = –(x2 + 7x – 18) = –(x + 9)(x – 2).
Vậy A = –(x + 9)(x – 2).
Cho phương trình x2 + bx + c = 0 (1) có hai nghiệm là hai số tự nhiên nhỏ nhất. Phân tích đa thức A = x2 + bx + c thành nhân tử ta được 2 biểu thức là x + m và x + n (với m > n). Tính 2n + 5m.
Đáp án: –2
Vì hai số tự nhiên nhỏ nhất là 0 và 1 nên phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = 1.
Do đó ta có: x2 + bx + c = (x – 0)(x – 1).
Suy ra m = 0; n = –1.
Vậy 2n + 5m = –2.
Cho phương trình x2 + ax + 6 = 0 (1) có hai nghiệm là hai số tự nhiên liên tiếp. Đa thức A = x2 – 5x + 6 = (x – m)(x – p) (m > p). Tính 2m – p.
Đáp án: 4
Ta có: 6 = 1.6 = 2.3.
Vì phương trình (1) có hai nghiệm là hai số tự nhiên liên tiếp nên hai nghiệm của phương trình đó là 2 và 3.
Do đó, tổng hai nghiệm của phương trình (1) bằng 5.
Suy ra, phương trình (1) là phương trình x2 – 5x + 6 = 0.
Suy ra: A = x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) nên m = 3; p = 2.
Vậy 2m – p = 4.
Biết rằng phương trình x2 + ax + b = 0 (1) có tổng hai nghiệm bằng 7 và tích hai nghiệm bằng 6 và đa thức A = x2 + ax + b = (x – m)(x – n) (với m > n). Tính 2m + n.
Đáp án: 13
Vì phương trình (1) có tổng hai nghiệm bằng 7 và tích hai nghiệm bằng 6 nên ta có:
x2 – 7x + 6 = 0 (2).
Phương trình (2) có 1 – 7 + 6 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = 6.
Do đó, A = (x – 1)(x – 6) nên m = 6, n = 1.
Vậy 2m + n = 13.
Cho phương trình x2 – 2x + m = 0 (1) có một nghiệm là x = 3 và đa thức A = –x2 + 2x + 3 phân tích thành nhân tử được hai nhân tử là x + a (a > 0) và –x + b.
Tính a + b – m.
Đáp án: 7
Vì x = 1 là nghiệm của phương trình (1) nên 32 – 2.3 + m = 0, suy ra m = –3.
Với m = –3 thì phương trình (1) trở thành x2 – 2x – 3 = 0 (2).
Vì 1 – (–2) – 3 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = –1.
Vì x2 – 2x – 3 = 0 nên –x2 + 2x + 3 = 0.
Do đó, phương trình –x2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = –1.
Suy ra: A = –(x – 3)(x + 1) = (3 – x)(x + 1).
Do đó, a = 1, b = 3. Vậy a + b – m = 7.
Phân tích đa thức x2 + (2m – 1)x – 2m thành nhân tử ta được hai nhân tử là x – a và x + bm. Tính 2a + 7b.
Đáp án: 16
Phương trình x2 + (2m – 1)x – 2m = 0 có 1 + 2m – 1 – 2m = 0 nên phương trình đó có hai nghiệm là x = 1 và x = –2m.
Do đó x2 + (2m – 1)x – 2m = (x – 1)(x + 2m).
Suy ra a = 1 và b = 2.
Vậy 2a + 7b = 16.
