Bài tập Ứng dụng của định lí Viète trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m – 2)x + 3m hay x² − (m – 2)x − 3m = 0. (*)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là −3m < 0, hay m > 0.>

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = mx + m + 1 hay x² – mx – m – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)² – 4.1.(–m – 1) = m² + 4m + 4 = (m + 2)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right..\)

Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung, tức là hoành độ hai giao điểm có giá trị âm và khác nhau, điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2}\; < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right.,\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right.,\) do đó m < –1 và m ≠ –2.

Vậy ta chọn phương án B.

>>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

mx² = –3x + 1 hay mx² + 3x – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = 3² – 4.m.(–1) = 9 + 4m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về một phía đối với trục tung thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ cùng dấu, tức là \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}9 + 4m > 0\\\frac{{ - 1}}{m} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{9}{4}\\m < 0\end{array} \right.\) do đó \( - \frac{9}{4} < m < 0.\)

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta có \( - \frac{9}{4} < m < 0.\)

Mà m là số nguyên nên ta có m ∈ {–2; –1}.

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2mx – 2m + 3 hay x² − 2mx + 2m – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)² – 1.(2m – 3) = m² – 2m + 3 = (m – 1)² + 2 > 0, với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt, hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Khi đó, ta có: \[{y_1} = x_1^2;\,\,{y_2} = x_2^2.\]

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right..\)

Theo bài, tung độ hai giao điểm không vượt quá 9 tức là y₁ + y₂ ≤ 9, suy ra \[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

Ta có:

\[x_1^2 + x_2^2 \le 9\]

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ ≤ 9

(2m)² – 2.(2m – 3) ≤ 9

4m² – 4m – 3 ≤ 0

(4m² – 6m) + (2m – 3) ≤ 0

2m(2m – 3) + (2m – 3) ≤ 0

(2m – 3)(2m + 1) ≤ 0

2m – 3 ≤ 0 và 2m + 1 ≥ 0 (do 2m – 3 < 2m + 1).

\(m \le \frac{3}{2}\) và \(m \ge - \frac{1}{2}\)

\( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{3}{2}\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2mx + 4 hay x² − 2mx – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−m)² – 1.(−4) = m² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt hay đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2}\; = 2m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right..\)

Theo bài, ta có:

\(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\)

\(\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\)

\(\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\)

\(\frac{{{{\left( {2m} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 4} \right)}}{{ - 4}} = - 3\)

4m² + 8 = 12

4m² = 4

m² = 1

m = 1 hoặc m = −1.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

\( - \frac{1}{4}{x^2} = - \frac{1}{2}x + m\) hay x² – 2x + 4m = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (−1)² – 1.4m = 1 – 4m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, tức là ∆' > 0, hay 1 – 4m > 0, nên \(m < \frac{1}{4}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = 4m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Từ (1), ta có x₂ = 2 – x₁, thay vào 3x₁ + 5x₂ = 5, ta được:

3x₁ + 5(2 – x₁) = 5

3x₁ + 10 – 5x₁ = 5

–2x₁ = –5

\({x_1} = \frac{5}{2}.\)

Khi đó, \({x_2} = 2 - {x_1} = 2 - \frac{5}{2} = - \frac{1}{2}.\)

Thay \({x_1} = \frac{5}{2}\) và \({x_2} = - \frac{1}{2}\) vào (2), ta được:

\(\frac{5}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 4m\) hay \(4m = - \frac{5}{4}\) nên \(m = - \frac{5}{{16}}\) (thỏa mãn \(m < \frac{1}{4}).\)

_{Vậy ta chọn phương án A.}

</></>

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = −2(m – 2)x + m² hay x² + 2(m – 2)x – m² = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = (m – 2)² – 1.(–m²) = m² – 4m + 4 + m²

= 2m² – 4m + 4 = 2(m – 1)² + 2 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (x₁; y₁) và (x₂; y₂).

Theo định lí Viète ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = - {m^2}\end{array} \right..\]

Mà –m² ≤ 0 với mọi m, nên x₁x₂ ≤ 0.

Lại có x₁ < x_2>

(theo đề bài) nên x₁ ≤ 0 và x₂ ≥ 0.

Do đó |x₁| = –x₁; |x₂| = x₂.

Khi đó: |x₁| – |x₂| = –x₁ – x₂ = –(x₁ + x₂).

Theo bài, |x₁| – |x₂| = 6 nên –(x₁ + x₂) = 6

Suy ra 2(m – 2) = 6 nên m – 2 = 3, do đó m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m + 2)x + 3 hay x² – (m + 2)x – 3 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m + 2)]² – 4.1.(–3) = (m + 2)² + 12 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ nên đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viète ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = - 3.\end{array} \right.\)

Theo bài, x₁ ∈ ℤ, x₂ ∈ ℤ nên x₁, x₂ ∈ Ư(–3) = {1; –1; 3; –3}.

Ta có bảng sau:

Từ bảng, ta có: m ∈ {0; –4}.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = 2(m – 1)x – m – 5 hay x² – 2(m – 1)x + m + 5 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = [–(m – 1)]² – 1.(m + 5) = m² – 2m + 1 – m – 5 = m² – 3m – 4.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, tức là ∆' > 0, hay m² – 3m – 4 > 0.

Giải bất phương trình:

m² – 3m – 4 > 0

m² – 4m + m – 4 > 0

m(m – 4) + (m – 4) > 0

(m – 4)(m + 1) > 0

⦁ Trường hợp 1. m – 4 > 0 và m + 1 > 0

Suy ra m > 4 và m > –1

Do đó m > 4.

⦁ Trường hợp 2. m – 4 < 0 và m + 1 < 0

Suy ra m < 4 và m < –1

Do đó m < –1.

Như vậy, với m < –1 hoặc m > 4 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.>

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = m + 5\end{array} \right..\)

Để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x₁ > 0 và x₂ > 0.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {m - 1} \right) > 0\\m + 5 > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m > - 5\end{array} \right.\) nên m > 1.

Kết hợp các điều kiện tìm được ở trên, ta có: m > 4.

Do x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có đường chéo là \(\sqrt {10} \) nên áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 10

[2(m – 1)]² – 2.(m + 5) = 10

4m² – 8m + 4 – 2m – 10 = 10

4m² – 10m – 16 = 0

2m² – 5m – 8 = 0

Phương trình trên có ∆_m = (–5)² – 4.2.(–8) = 89 > 0.

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({m_1} = \frac{{5 + \sqrt {89} }}{4};\,\,{m_2} = \frac{{5 - \sqrt {89} }}{4}.\)

Kết hợp điều kiện m > 4, ta thấy cả hai giá trị m tìm được ở trên đều không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) nếu có. Khi đó, ta có:

x² = (m – 3)x – m + 4 hay x² – (m – 3)x + m – 4 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = [–(m – 3)]² – 4.1.(m – 4) = m² – 6m + 9 – 4m + 16

= m² – 10m + 25 = (m – 5)² ≥ 0 với mọi m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt có hoành độ x₁, x₂, tức là ∆ > 0, hay (m – 5)² > 0, suy ra (m – 5)² ≠ 0, do đó m – 5 ≠ 0 nên m ≠ 5.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}{x_1} + {x_2} = m - 3\\{\rm{ }}{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right..\)

Để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác thì: x₁ > 0 và x₂ > 0.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 0\\m - 4 > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m > 4\end{array} \right.\) nên m > 4.

Vì ∆ = (m – 5)² nên hai nghiệm của phương trình (*) là:

\[x = \frac{{m - 3 - \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = 1;\,\,x = \frac{{m - 3 + \left( {m - 5} \right)}}{{2 \cdot 1}} = m - 4.\]

Do x₁ ≠ x₂ nên x₁, x₂ không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

Giả sử x₁ là độ dài cạnh huyền, x₂ là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Pythagore, ta có \(x_1^2 = {\rm{ }}x_2^2 + x_2^2\)

Suy ra \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2}\) (do x₁ > 0 và x₂ > 0).

⦁ Trường hợp 1.x₁ = 1 và x₂ = m – 4.

Thay vào \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},\) ta có:

\(1 = \sqrt 2 \left( {m - 4} \right),\) suy ra \(m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4\) (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

⦁ Trường hợp 2.x₁ = m – 4 và x₂ = 1.

Thay vào \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 {x_2},\) ta có:

\(m - {\rm{4 = }}\sqrt 2 \cdot 1,\) suy ra \(m = \sqrt 2 + 4\) (thỏa mãn m > 4 và m ≠ 5).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(m = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 4,\,\,m = \sqrt 2 + 4.\)

Đáp án đúng là: D

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở hai phía trục tung thì hoành độ của hai điểm đó trái dấu nhau, tức là phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu.

Phương trình (1) có: x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = –1 < 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.

Vậy có vô số giá trị m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm ở 2 phía trục tung.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\Delta\)’ = (–1)² – 1.m = 1 – m.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta\)’ = 1 – m > 0, suy ra m < 1 (1).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = m.

Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì x₁x₂ = m > 0 (2).

Từ (1) và (2) ta có: 0 < m < 1.

Vậy 2 giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) có hoành độ cùng dấu khi 0 < m < 1.

Đáp án đúng là: B

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x_1, x₂ thì \(\Delta\)’ = (–6)² – 2m > 0 nên 36 – 2m > 0 suy ra m < 18 (*).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 12; x₁x₂ = 2m.

Vì tổng hoành độ của các giao điểm gấp ba lần tích hoành độ của các giao điểm nên x₁ + x₂ = 3x₁x₂, suy ra 3.2m = 12, suy ra m = 2 (thỏa mãn (*)).

Vậy m = 2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x² = m nên x² – m = 0 (1).

Để đường thẳng (d): y = m cắt parabol (P): y = x² tại 2 điểm ở hai phía trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Suy ra –m < 0 nên m > 0.

Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = 4mx – m² nên x² – 4mx + m² = 0 (1).

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta\)’ = 4m² – m² > 0 nên 3m² > 0 suy ra m ≠ 0. (*).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 4m; x₁x₂ = m².

Theo đề bài ta có: x₁ + x₂ = 4 nên 4m = 4, suy ra m = 1 (thỏa mãn (*)).

Do đó, x₁x₂ = m² = 1² = 1.

Vậy tích các hoành độ của hai giao điểm bằng 1.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x² = x + m, suy ra 2x² – x – m = 0 (1).

Vậy số nghiệm của phương trình 2x² – x – m = 0 là số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

b) Sai.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra \(\Delta\) = (–1)² – 4.2.(–m) = 1 + 8m > 0 nên \({\rm{m}} > \frac{{ - 1}}{8}\;\,\left( * \right).\)

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ với \({\rm{m}} > \frac{{ - 1}}{8}.\)

c) Đúng.

Phương trình (1) có \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{2}\) (định lý Viète).

Theo đề bài ta có: 2(x₁ + x₂) = –x₁x₂ nên \(2 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{{ - {\rm{m}}}}{2}\) nên m = 2 (thỏa mãn (*)).

Vậy m = 2.

d) Sai.

Với m = 2 ta có: (d): y = x + 2.

Thay x = 1 vào (d) ta có: y = 1 + 2 = 3 ≠ 2.

Vậy đường thẳng (d) không đi qua điểm B(1; 2).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = 2x + m – 1, suy ra x² – 2x – m + 1 = 0 (1).

Vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² – 2x – m + 1 = 0.

b) Đúng.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–1)² – 1.(–m + 1) = 1 + m – 1 = m.

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ phân biệt.

Suy ra \(\Delta\)’ = m > 0 (*).

Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 0.

c) Đúng.

Phương trình (1) có: x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = –m + 1 (định lý Viète).

Vậy x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = –m + 1.

d) Sai.

Vì \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = 6\) nên (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 6 (2).

Thay x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = –m + 1 vào (2) ta có:

2² – 2(–m + 1) = 6

2m + 2 = 6

m = 4 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = (m – 2)x + 1, suy ra x² – (m – 2)x – 1= 0 (1).

Vì 1(–1) = –1 < 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về hai phía trục tung với mọi giá trị của m.

b) Đúng.

Phương trình (1) có: x₁ + x₂ = – [–(m – 2)] = m – 2, x₁x₂ = –1 (định lý Viète)

Vậy x₁ + x₂ = m – 2, x₁x₂ = –1.

c) Đúng.

Vì x₁, x₂ là các số nguyên nên x₁x₂ là số nguyên.

Theo b) ta có: x₁x₂ = –1 = (–1).1.

Mà x₁ > x₂ nên x₁ = 1; x₂ = –1.

Do đó, m – 2 = x₁ + x₂ = 1 + (–1) = 0, suy ra m = 2.

Vậy m = 2.

d) Đúng.

Thay x = 1 vào y = x² ta có y = 1.

Vậy điểm A(1; 1) là giao điểm của của đường thẳng (d) và parabol (P).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = –2x – 3m, suy ra x² + 2x + 3m = 0 (1).

Vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² + 2x + 3m = 0.

b) Sai.

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = 1² – 1.1.3m= 1 – 3m.

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂. Suy ra \(\Delta\)’ = 1 – 3m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{3}\;\,\left( * \right).\)

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ khi \({\rm{m}} < \frac{1}{3}.\)

c) Sai.

Phương trình (1) có x₁ + x₂ = –2, x₁x₂ = 3m (định lý Viète).

Vì x₁ + x₂ = –2 nên x₁ = –2 – x₂.

Thay x₁ = –2 – x₂ vào 2x₁ + 3x₂ = 6 ta có:

2(–2 – x₂) + 3x₂ = 6

x₂ – 4 = 6

x₂ = 10.

Vậy x₂ = 10.

d) Sai.

Với x₂ = 10 thì x₁ = –2 – 10 = –12.

Do đó: 3m = x₁x₂ = (–12).10, suy ra m = –40 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

2x² = 2mx – m + 1, suy ra 2x² – 2mx + m – 1 = 0 (1).

Ta có: \(\Delta\)’ = (–m)² – 2(m – 1) = m² – 2m + 2 = (m – 1)² + 1 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Sai.

Phương trình (1) có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right)}}{2} = {\rm{m}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2}\) (định lý Viète).

Vậy \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = {\rm{m}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2}\)

c) Sai.

|x₁ – x₂| = 1

(x₁ – x₂)² = 1

(x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 1 (2).

Thay \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = {\rm{m}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2}\) vào (2) ta có:

\({{\rm{m}}^2} - 4 \cdot \frac{{{\rm{m}} - 1}}{2} = 1\)

m² – 2m + 2 = 1

m² – 2m + 1 = 0

(m – 1)² = 0

m = 1.

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Đúng.

Thay m = 1 vào (1) ta có: 2x² – 2.1.x + 1 – 1 = 0 suy ra 2x² – 2x = 0 nên x(x – 1) = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 1.

Vậy hai giao điểm của (d) và (P) có hoành độ bằng 1 và 0.

Đáp án: 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x² = 2x – 8m nên x² – 2x + 8m = 0 (1).

Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = (–1)² – 1.1.8m= 1 – 8m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = 8m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt nằm ở bên phải trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ dương.

Do đó, \(\Delta\)’ > 0, x₁ + x₂ = 2 > 0 (LĐ); x₁x₂ > 0.

Với \(\Delta\)’ > 0 thì 1 – 8m > 0, suy ra \({\rm{m}} < \frac{1}{8}\;\,\left( 1 \right).\)

Với x₁x₂ > 0 thì 8m > 0 nên m > 0 (2).

Từ (1) và (2) ta có: \({\rm{0}} < {\rm{m}} < \frac{1}{8}.\)

Mà m là số nguyên nên không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x² = (m + 1)x + 2 nên x² – (m + 1)x – 2 = 0 (1).

Vì ac = 1(–2) = –2 < 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = m + 1; x₁x₂ = –2.

Vì A (x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thuộc (P): y = x² nên \({\rm{A}}\left( {{{\rm{x}}_1};\;\,{\rm{x}}_1^2} \right)\); \({\rm{B}}\left( {{{\rm{x}}_2};\;\,{\rm{x}}_2^2} \right)\).

Vì y₁ + y₂ = 2y₁y₂ nên \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = 2{\rm{x}}_1^2{\rm{x}}_2^2\) suy ra (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ – 2(x₁x₂)² = 0 (*).

Thay x₁ + x₂ = m + 1; x₁x₂ = –2 vào (*) ta có:

(m + 1)² – 2(–2) – 2(–2)² = 0

(m + 1)² = 4

m + 1 = 2 hoặc m + 1 = –2

m = 1 hoặc m = –3.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \(\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} = 2{\rm{x}} - {\rm{m}}\) nên x² – 4x + 2m = 0 (1).

Ta có: \(\Delta\)’ = (–2)² – 1.2m = 4 – 2m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.Suy ra \(\Delta\)’ = 4 – 2m > 0 nên m < 2 (*).

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = 4; x₁x₂ = 2m.

Vì A (x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thuộc (P): y = x² nên \({\rm{A}}\left( {{{\rm{x}}_1};\;\,\frac{1}{2}{\rm{x}}_1^2} \right)\); \({\rm{B}}\left( {{{\rm{x}}_2};\;\,\frac{1}{2}{\rm{x}}_2^2} \right)\).

Vì x₁x₂(y₁ + y₂) = –20 nên \(\frac{1}{2}{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right) = -20\) suy ra x₁x₂[(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂] = –40 (*).

Thay x₁ + x₂ = 4; x₁x₂ = 2m vào (*) ta có:

2m(4² – 2.2m) = –40

16m – 4m² = –20

m² – 4m – 5 = 0

m² + m – 5m – 5 = 0

m(m + 1) – 5(m + 1) = 0

(m + 1)(m – 5) = 0

m + 1 = 0 hoặc m – 5 = 0

m = –1 (thỏa mãn (*)) hoặc m = 5 (không thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x² = mx + 4 nên x² – mx – 4 = 0 (1).

Vì 1(–4) = –4 < 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Suy ra đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = –4.

\(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} + 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} + 1}} = 2\) (điều kiện: x₁ + 1 ≠ 0 và x₂ + 1 ≠ 0) 4 – 2 căm 5; 4 + 2 căn 5

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + 1 + {{\rm{x}}_1} + 1}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right)}} = 2\)

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} + 2}}{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}{{\rm{x}}_1} + 1}} = 2\;\,\left( 2 \right)\)

Thay x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = –4 vào (2) ta có:

\(\frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} - 4 + 1}} = 2\)

m + 2 = 2(m – 3) (điều kiện: m ≠ 3)

m + 2 = 2m – 6

m = 8 (thỏa mãn).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 4

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

mx² = 2x – m² nên mx² – 2x + m² = 0 (1).

Ta có: \(\Delta\)’ = (–1)² – m³ = 1 – m³.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.Suy ra \(\Delta\)’ = 1 – m³ > 0 nên 0 < m < 1(do m > 0).

Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{2}}}{{\rm{m}}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}} = {\rm{m}}\).

Do đó, \({\rm{A}} = \frac{8}{{\frac{2}{{\rm{m}}}}} + \frac{1}{{\rm{m}}} = 4{\rm{m}} + \frac{1}{{\rm{m}}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 4m và \(\frac{1}{{\rm{m}}}\) ta có:

\({\rm{A}} = 4{\rm{m}} + \frac{1}{{\rm{m}}} \ge 2\sqrt {4{\rm{m}} \cdot \frac{1}{{\rm{m}}}} = 4.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(4{\rm{m}} = \frac{1}{{\rm{m}}}\) nên 4m² = 1 nên \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\) (do 0 < m < 1).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 4 khi \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\).