Bài tập Toán 8: Phân thức đại số

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{1}{\mathrm{x}+2}=\frac{2\mathrm{x}-1}{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2}$ với x $\ne$ -2 và x $\ne$ $\frac{1}{2}$

b) $\frac{{\mathrm{y}}^2-5\mathrm{y}+4}{\mathrm{y}-4}=\frac{{\mathrm{y}}^2-3\mathrm{y}+2}{\mathrm{y}-2}$ với y $\ne$ 2 và y $\ne$ 4.

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{3{\mathrm{a}}^2-10\mathrm{a}+3}{2(\mathrm{a}-3)}=\frac{3}{2}\mathrm{a}-\frac{1}{2}$ với a $\ne$ 3;

b) $\frac{{\mathrm{b}}^2+3\mathrm{b}+9}{{\mathrm{b}}^3-27}=\frac{\mathrm{b}-2}{{\mathrm{b}}^2-5\mathrm{b}+6}$ với b $\ne$ 2 và b $\ne$ 3.

Tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{\mathrm{A}}{2\mathrm{x}-3}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}}{4{\mathrm{x}}^2-9}$ với x $\ne \pm \frac{3}{2}$;           

b) $\frac{{\mathrm{b}}^2-3\mathrm{b}}{2{\mathrm{b}}^2-3\mathrm{b}-9}=\frac{{\mathrm{b}}^2+3\mathrm{b}}{\mathrm{A}}$ với $\mathrm{b}\ne -\frac{3}{2}$ và $\mathrm{b}\ne \pm 3$.

Tìm đa thức B trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{2\mathrm{y}-1}{(\mathrm{y}-3)\mathrm{B}}=\frac{1}{{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}+3}$ với $\mathrm{y}\ne \frac{1}{2};\mathrm{y}\ne 1$ và $\mathrm{y}\ne 3;$

b) $\frac{\mathrm{a}-1}{{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+4}=\frac{\mathrm{B}}{{\mathrm{a}}^3-8}$ và $\mathrm{a}\ne 2$.

Tìm một cặp đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức:

$\frac{(\mathrm{x}+1)\mathrm{P}}{{\mathrm{x}}^2-4}=\frac{(\mathrm{x}-1)\mathrm{Q}}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 2.$

Cho đẳng thức: $\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1)}=\frac{\mathrm{x}+1}{({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-6)\mathrm{B}}$ với $\mathrm{x}\ne -2;1;3.$ 

Hãy tìm một cặp đa thức A và B thỏa mãn đẳng thức trên.

Cho hai phân thức $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}$ và $\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{S}}$ thỏa mãn $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}$ = $\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{S}}$ và P $\ne$ Q.

Chứng minh: R $\ne$ S và $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}+\mathrm{P}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{S}+\mathrm{R}}.$

Chứng minh đẳng thức $\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}}=\frac{\mathrm{R}-\mathrm{S}}{\mathrm{S}}$ và hai phân thức $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}$ và $\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{S}}$ thỏa mãn $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}$ = $\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{S}}$.

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+1}=\frac{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2}{{\mathrm{x}}^2-1}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 1;$

b) $\frac{4{\mathrm{y}}^3-\mathrm{y}}{5-10\mathrm{y}}=\frac{-2{\mathrm{y}}^2-\mathrm{y}}{5}$ với $\mathrm{y}\ne \frac{1}{2}.$

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{-{\mathrm{u}}^2+3\mathrm{u}-2}{(\mathrm{u}+2)(\mathrm{u}-1)}=\frac{{\mathrm{u}}^2-4\mathrm{u}+4}{4-{\mathrm{u}}^2}$ với $\mathrm{u}\ne \pm 2$ và $\mathrm{u}\ne 1;$

b) $\frac{{\mathrm{v}}^3+27}{{\mathrm{v}}^2-3\mathrm{v}+9}=\mathrm{v}+3$.

Trong mỗi đẳng thức sau, hãy tìm đa thức M:

a) $\frac{3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{\mathrm{M}}=\frac{3\mathrm{x}-5}{2\mathrm{x}-3}$ với $\mathrm{x}\ne -1$ và $\mathrm{x}\ne \frac{3}{2};$

b) $\frac{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^2-4}=\frac{\mathrm{M}}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 2.$

Tìm đa thức N thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{N}}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+4}{{\mathrm{x}}^3+8}$ với $\mathrm{x}\ne -1$ và $\mathrm{x}\ne -2$

b) $\frac{(\mathrm{x}-3)\mathrm{N}}{3+\mathrm{x}}=\frac{2{\mathrm{x}}^3-8{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+36}{2+\mathrm{x}}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 3$ và $\mathrm{x}\ne -2.$

Cho đẳng thức $\frac{(\mathrm{x}+3)\mathrm{M}}{\mathrm{x}-3}=\frac{(\mathrm{x}-1)\mathrm{N}}{{\mathrm{x}}^2-9}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 3$. Tìm một cặp đa thức M và N thỏa mãn đẳng thức đã cho.

Ba phân thức $\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}},\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}}$ và $\frac{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}}$ có bằng nhau không ? Tại sao?

Cho hai phân thức $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$ và $\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}$ thỏa mãn $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}$ và $\mathrm{A}\ne \mathrm{B}.$

Chứng minh: $\mathrm{M}\ne \mathrm{N}$ và $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{\mathrm{M}+\mathrm{N}}=\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{N}}.$ 

Cho hai phân thức $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}},\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}$ và $\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}$ thỏa mãn $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{F}}.$

Chứng minh: $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}-\mathrm{E}}{\mathrm{B}+\mathrm{D}-\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}.$