Bài tập Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right..\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right..\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{a}{c}}\end{array}} \right..\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = - \frac{c}{a}}\end{array}} \right..\)
Đáp án đúng là: B
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right..\)
x1 + x2 = –5, x1x2 = 3.
x1 + x2 = –5, x1x2 = –3.
x1 + x2 = 5, x1x2 = –3.
x1 + x2 = 3, x1x2 = –5.
Đáp án đúng là: A
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình –x2 – 5x – 3 = 0 thì theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = - 5}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3}\end{array}} \right..\)
4.
7.
11.
18.
Đáp án đúng là: D
Do phương trình x2 – 7x + 11 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = 7\\P = 11\end{array} \right.\)
Do đó S + P = 7 + 11 = 18.
10 100,25.
20 150,25.
25 150,25.
40 200,25.
Đáp án đúng là: C
Do phương trình –2x2 – 100x + 301 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}S = - \frac{{ - 100}}{{ - 2}} = - 50\\P = \frac{{301}}{{ - 2}} = - 150,5\end{array} \right..\)
Do đó S2 + P2 = (–50)2 + (–150,5)2 = 25 150,25.
\[\frac{{22}}{{421}}.\]
\(\frac{{ - 11}}{{290}}.\)
\(\frac{7}{{145}}.\)
\[\frac{{ - 28}}{{421}}.\]
Đáp án đúng là: D
Do phương trình –x2 – 50x + 1001 = 0 có hai nghiệm x1, x2 nên theo định lí Viète, ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 50}}{{ - 1}} = 50\\{x_1}{x_2} = \frac{{1001}}{{ - 1}} = - 1001\end{array} \right..\]
Ta có \[A = \frac{1}{{{x_1} + 3}} + \frac{1}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_2} + 3 + {x_1} + 3}}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}\]
\[ = \frac{{50 + 6}}{{ - 1001 + 3 \cdot 50 + 9}} = \frac{{ - 28}}{{421}}.\]
\(\frac{{995}}{{11}}.\)
\[\frac{{955\sqrt {130} }}{{351}}\]
\(\frac{{235\sqrt {85} }}{{459}}.\)
\(\frac{{955}}{{117}}.\)
Đáp án đúng là: B
Do phương trình 9x2 – 100x + 25 = 0 có hai nghiệm dương x1, x2 nên theo định lí Viète, ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{100}}{9}\\{x_1}{x_2} = \frac{{25}}{9}\end{array} \right..\]
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{100}}{9}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{{25}}{9} = \frac{{9550}}{{81}}.\)
\({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = \frac{{100}}{9} + 2\sqrt {\frac{{25}}{9}} = \frac{{130}}{9}\)
Suy ra \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {\frac{{130}}{9}} = \frac{{\sqrt {130} }}{3}\) (vì \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} > 0)\)
Vậy \[B = \frac{{\frac{{9550}}{{81}}}}{{\frac{{\sqrt {130} }}{3}}} = \frac{{955\sqrt {130} }}{{351}}.\]
\(2\sqrt {10001} .\)
\(\frac{{\sqrt {10001} }}{2}.\)
\(\frac{{\sqrt {10001} }}{{100}}.\)
\(\sqrt {10001} .\)
Đáp án đúng là: D
Do phương trình x2 + 200x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 nên theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 200\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)
Ta có:
⦁ |x1 – x2|2 = (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = (–200)2 – 4.(–1) = 40004.
Suy ra \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt {10001} .\)
⦁ \(x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 1 \cdot \left( { - 200} \right) = 200.\)
Vậy \(C = \frac{{100 \cdot 2\sqrt {10001} }}{{200}} = \sqrt {10001} .\)
\(\sqrt 3 .\)
3.
\(\sqrt 5 .\)
5.
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 – x – 2 = 0 có ∆ = (–1)2 – 4.1.(–2) = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right..\)
Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình trên trục số bằng
\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{1^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right)} = \sqrt 9 = 3.\)
Vậy ta chọn phương án B.
\(2\sqrt 5 .\)
\(3\sqrt 5 .\)
\(3\sqrt 2 .\)
\(5\sqrt 2 .\)
Đáp án đúng là: D
Phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có ∆' = (–1)2 – 1.(–1) = 2 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right..\)
Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn x1 và x2 trên Ox.
Ta có x1x2 = –1 < 0 nên hai nghiệm x1>
, x2 trái dấu nhau, do đó hai điểm A(x1; 0) và B(x2; 0) biểu diễn hai nghiệm x1, x2 nằm trên trục Ox và nằm về hai phía của trục Oy.
Ta có AB = |x1 – x2|.
Suy ra AB2 = |x1 – x2|2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 22 – 4.(–1) = 8.
Do đó \(AB = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .\)
Gọi H là hình chiếu của điểm C(1; 5) trên Ox, khi đó CH = |yC| = 5.
Vậy diện tích tam giác ABC là:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \) (đơn vị diện tích).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
100.
10.
\(5\sqrt 2 .\)
50.
Đáp án đúng là: C
Phương trình 2x2 – x – 100 = 0 có ∆ = (–1)2 – 4.2.(–100) = 801 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète, ta có: x1x2 = –50.
Gọi M và P lần lượt là điểm biểu diễn x1 và x2 trên Ox.
Ta thấy x1x2 = –50 < 0 nên hai nghiệm x1>
, x2 trái dấu nhau, do đó hai điểm M(x1; 0) và N(x2; 0) biểu diễn hai nghiệm x1, x2 nằm trên trục Ox và nằm về hai phía của trục Oy.
Xét ∆OMN và ∆ONP có:
\(\widehat {MON} = \widehat {NOP} = 90^\circ \) và \(\widehat {OMN} = \widehat {ONP}\) (cùng phụ với \(\widehat {ONM}).\)
Do đó ∆OMN ᔕ ∆ONP (g.g)
Suy ra \(\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OP}}\) nên ON2 = OM.OP.
Do M(x1; 0) nên OM = |x1|.
Do N(x2; 0) nên ON = |x2|.
Khi đó, ON2 = OM.OP = |x1|.|x2| = |x1x2| = |–50| = 50.
Suy ra \(b = ON = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \) (do b > 0).
Vậy ta chọn phương án C.
8.
–8.
4.
–8.
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 + 4x + 3 = 0 có \(\Delta\)’ = 22 – 1.3 = 1 > 0 nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 4}}{1} = - 4\).
Ta có: 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2) = 2(–4) = –8.
Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng –8.
–2.
–16.
4.
–18.
Đáp án đúng là: D
Phương trình x2 – 2x – 3 = 0 có \(\Delta\)’ = (–1)2 – 1.(–3) = 4 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3\), suy ra 6x1x2 = –18.
Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng –18.
3.
16.
4.
9.
Đáp án đúng là: D
Phương trình x2 – 4x + 3 = 0 có \(\Delta\)’ = (–2)2 – 1.3 = 1 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{3}{1} = 3\).
Ta có: \({\rm{x}}_1^2{\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {3^2} = 9\).
Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng 9.
Số nguyên tố.
Ước của 16.
Số chính phương.
Số chia hết cho 3.
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 + 3x + 1 = 0 có \(\Delta\) = 32 – 4.1.1 = 5 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{1} = 1\).
Ta có: x2 – (x1x2 – x1) = (x1 + x2) – x1x2 =(–3)2 – 1 = 8.
Vậy giá trị biểu thức đã cho là ước của 16.
2.
–2.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{ - 1}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} > 0\) nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{\frac{1}{4}}} = 8;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4\).
Vì x1x2 = 4 ≠ 0 nên x1 ≠ 0 và x2 ≠ 0.
Ta có: \(\frac{1}{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}} = \frac{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}} = \frac{8}{4} = 2\).
Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng 2.
x1 + x2 > 0, x1x2 < 0.
Giá trị biểu thức \({\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2}\) lớn hơn 80.
Giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2\) bằng 65.
Giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^3 + {\rm{x}}_2^3\) lớn hơn –500.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì \(\Delta\) = 92 – 4.1.8 = 49 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 9}}{1} = - 9;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{8}{1} = 8\).
Vậy x1 + x2 < 0, x1x2 > 0.
b) Đúng.
Vì x1 + x2 = –9 nên \({\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\left( { - 9} \right)^2} = 81.\) Vậy giá trị biểu thức \({\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2}\) lớn hơn 80.
c) Đúng.
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 81 - 2 \cdot 8 = 65\).
Vậy giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2\) bằng 65.
d) Sai.
Ta có: \({\rm{x}}_1^3 + {\rm{x}}_2^3 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^3} - 3{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) = {\left( { - 9} \right)^3} - 3 \cdot 8 \cdot \left( { - 9} \right) = - 513\).
Vậy giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^3 + {\rm{x}}_2^3\) nhỏ hơn –500.
x1 + x2 = 10, x1x2 = 7.
Giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2\) bằng 86.
Giá trị biểu thức x1 – x2 bằng \( - 6\sqrt 2 \).
Giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^2 - {\rm{x}}_2^2\) nhỏ hơn 100.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì \(\Delta\)’ = 52 – 1.7 = 18 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 10}}{1} = - 10;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{7}{1} = 7\).
Vậy x1 + x2 = –10, x1x2 =7.
b) Đúng.
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( { - 10} \right)^2} - 2 \cdot 7 = 86\).
Vậy giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2\) bằng 86.
c) Đúng.
Ta có: \({\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\rm{x}}_1^2 - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 4{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( { - 10} \right)^2} - 4 \cdot 7 = 72\).
Suy ra: \(\left| {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right| = \sqrt {72} = 6\sqrt 2 \).
Vì x1 < x2 nên \({{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2} = - 6\sqrt 2 \).
Vậy \({{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2} = - 6\sqrt 2 \).
d) Đúng.
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 - {\rm{x}}_2^2 = \left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) = - 6\sqrt 2 \cdot \left( { - 10} \right) = 60\sqrt 2 \).
Vậy giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^2 - {\rm{x}}_2^2\) nhỏ hơn 100.
x1 + x2 = –2, x1x2 = –5.
Giá trị của \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2\) bằng 10.
\({\rm{A}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) + 9}}\).
Giá trị biểu thức A là số nguyên.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì \(\Delta\)’ = 12 – 1.(–5) = 6 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5\).
Vậy x1 + x2 = –2, x1x2 = –5.
b) Sai.
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( { - 2} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 5} \right) = 14\).
Vậy giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2\) bằng 14.
c) Đúng.
Ta có: \({\rm{A}} = \frac{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}\left( {{{\rm{x}}_1} + 3} \right) + {{\rm{x}}_{\rm{2}}}\left( {{{\rm{x}}_2} + 3} \right)}}{{\left( {{{\rm{x}}_2} + 3} \right)\left( {{{\rm{x}}_1} + 3} \right)}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) + 9}}\).
Vậy \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) + 9}}\).
d) Đúng.
Thay x1 + x2 = –2, x1x2 = –5 vào A ta có: \({\rm{A}} = \frac{{14 + 3\left( { - 2} \right)}}{{ - 5 + 3\left( { - 2} \right) + 9}} = \frac{8}{{ - 2}} = - 4\).
Vậy giá trị biểu thức A là số nguyên.
x1x2 = 3(x1 + x2).
(x1 – x2)2 > 10.
x1 – x2 < –3.
\({\rm{x}}_1^3 - {\rm{x}}_2^3 < - 10.\)
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì \(\Delta\) = 12 – 4.2.(–5) = 41 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1}}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 5}}{2}\).
Vậy x1x2 = 5(x1 + x2).
b) Đúng.
Ta có: \({\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\rm{x}}_1^2 - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 4{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{{ - 5}}{2} = \frac{{41}}{4} = 10,25\).
Vậy (x1 – x2)2 > 10.
c) Đúng.
Vì (x1 – x2)2 = 10,25 nên \(\left| {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right| = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\).
Vì x1 < x2 nên \({{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \sqrt {41} }}{2}\). Vậy x1 – x2 < –3.
d) Sai.
Ta có: \({\rm{x}}_1^3 - {\rm{x}}_2^3 = {\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)^3} + 3{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right) = {\left( {\frac{{ - \sqrt {41} }}{2}} \right)^3} + 3 \cdot \frac{{ - 5}}{2}\frac{{ - \sqrt {41} }}{2} = \frac{{ - 11\sqrt {41} }}{8} > - 10\).
Vậy \({\rm{x}}_1^3 - {\rm{x}}_2^3 > - 10.\)
x1 > 0, x2 > 0.
\({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 3\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} .\)
\({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 10.\)
\(\left| {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} - \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right| > 2.\)
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì \(\Delta\)’ = (–3)2 – 1.4 = 5 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{2} = 6 > 0;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{4}{1} = 4 > 0\).
Vậy x1 > 0, x2 > 0.
b) Đúng.
Theo a) ta có: x1x2 = 4 nên \(\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} = \sqrt 4 = 2\).
Vậy \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 3\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} .\)
c) Đúng.
Ta có: \({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = {{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} = \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} = 6 + 2 \cdot 2 = 10.\)
Vậy \({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 10.\)
d) Sai.
Ta có: \({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} - \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = {{\rm{x}}_1} - 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} = \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) - 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} = 6 - 2 \cdot 2 = 2.\)
Suy ra \(\left| {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} - \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right| = \sqrt 2 .\) Vậy \(\left| {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} - \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right| < 2.\)
Đáp án: 1649
Vì \(\Delta\) = (–7)2 – 4.1.4 = 33 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{4}{1} = 4\).
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {7^2} - 2 \cdot 4 = 41\).
Lại có: \({\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right)^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 2{\left( {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 2 \cdot {4^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 32.\)
Suy ra: \({\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 = {\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right)^2} - 32 = {41^2} - 32 = 1649.\)
Vậy giá trị biểu thức \({\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4\) bằng 1649.
Đáp án: –25
Vì \(\Delta\)’ = 12 – 1.(–4) = 5 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 4}}{1} = - 4\).
Ta có: P = (x1 + 1)(x2 + 1) – (x1 – x2)2
\( = {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{1}} - \left[ {\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right) - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right]\)
\( = {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + 5{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{1}} - {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2}\).
= (–2) + 5.(–4) + 1 – (–2)2 = –25.
Vậy giá trị biểu thức P bằng –25.
Đáp án: 88
Vì \(\Delta\)’ = (–5)2 – 1.6 = 19 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 10} \right)}}{1} = 10 > 0;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{6}{1} = 6 > 0\).
Do đó, x1 > 0; x2 > 0.
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {10^2} - 2 \cdot 6 = 88\).
\({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}} + \sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} } \right)^2} = {{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} = 10 + 2 \cdot 6 = 22\) nên \(\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}} + \sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} = \sqrt {22} \).
Do đó \({\rm{A}} = \frac{{88\sqrt {22} }}{{\sqrt {22} }} = 88.\)
Vậy giá trị biểu thức A bằng 88.
Đáp án: 198
Vì \(\Delta\) = (–6)2 – 4.1.1 = 32 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{1} = 6;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{1} = 1.\)
Vì x1x2 = 1 ≠ 0 nên x1 ≠ 0; x2 ≠ 0.
Ta có: \({\rm{B}} = \frac{1}{{{\rm{x}}_1^3}} + \frac{1}{{{\rm{x}}_2^3}} = \frac{{{\rm{x}}_1^3 + {\rm{x}}_2^3}}{{{\rm{x}}_1^3 \cdot {\rm{x}}_2^3}} = \frac{{{{\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}^3} - 3{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}}{{{{\left( {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right)}^3}}}\).
Thay \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 6;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 1\) vào B ta có: \({\rm{B}} = \frac{{{6^3} - 3 \cdot 1 \cdot 6}}{{{1^3}}} = 198.\)
Vậy giá trị của biểu thức B bằng 198.
Đáp án: 0,7
Vì \(\Delta\)’ = (–3)2 – 2.3 = 3 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{2} = 3 > 0;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{3}{2} > 0.\)
Do đó, x1 > 0 và x2 > 0. Suy ra \({\rm{3}}{{\rm{x}}_1} + {\rm{x}}_2^2 + {{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} \ne 0.\)
Thay x1 + x2 = 3 vào E ta có: \({\rm{E}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right){{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right){{\rm{x}}_1} + {\rm{x}}_2^2 + {{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2}}{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 + 2{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}}.\)
Ta có: \({\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {3^2} - 2 \cdot \frac{3}{2} = 6\).
Do đó: \({\rm{E}} = \frac{6}{{6 + 2 \cdot \frac{3}{2}}} = \frac{2}{3} \approx 0,7.\)
Vậy E ≈ 0,7.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
