Bài tập Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0. Khi đó
Phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
Phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}.\)
Phương trình có một nghiệm x1 = –1, nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
Phương trình có một nghiệm x1 = –1, nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}.\)
Đáp án đúng là: D
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = –1, nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}.\)
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0. Khi đó
Phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
Phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}.\)
Phương trình có một nghiệm x1 = –1, nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
Phương trình có một nghiệm x1 = –1, nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}.\)
Đáp án đúng là: A
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
Phương trình \[\left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} + 2x - \sqrt 3 = 0\] có nghiệm là
\({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).\)
\({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).\)
\({x_1} = 1;\,\,{x_2} = - \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).\)
\({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình \[\left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} + 2x - \sqrt 3 = 0\] có \(a = \sqrt 3 - 2,\,\,b = 2,\,\,c = - \sqrt 3 .\)
Ta có \(a + b + c = \sqrt 3 - 2 + 2 + \left( { - \sqrt 3 } \right) = 0.\)
Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là
\[{x_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 2}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{3 - 4}} = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).\]
Cho phương trình x2 – 5x + 6 = 0. Phương trình đã cho có hai nghiệm là
x1 = 1, x2 = 6.
x1 = –1, x2 = –6.
x1 = 2, x2 = 3.
x1 = –2, x2 = –3.
Đáp án đúng là: C
Phương trình x2 – 5x + 6 = 0 có a = 1, b = –5, c = 6.
Ta có: \( - \frac{b}{a} = 5 = 2 + 3\) và \(\frac{c}{a} = 6 = 2 \cdot 3\) nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 2; x2 = 3.
Cho phương trình 2x2 – (m – 1)x + m – 3 = 0. Một nghiệm của phương trình đã cho là
\(\frac{{m + 3}}{2}.\)
\( - \frac{{m - 3}}{2}.\)
\(\frac{{ - m - 3}}{2}.\)
\(\frac{{m - 3}}{2}.\)
Đáp án đúng là: D
Phương trình 2x2 – (m – 1)x + m – 3 = 0 có a = 2, b = – (m – 1), c = m – 3.
Ta có a + b + c = 2 – (m – 1) + m – 3 = 0.
Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm kia là \({x_2} = \frac{{m - 3}}{2}.\)
Phương trình mx2 + (2m + 1)x + m + 1 = 0 (m ≠ 0) có nghiệm là
\({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{m + 1}}{m}.\)
\({x_1} = 1;\,\,{x_2} = - \frac{{m + 1}}{m}.\)
\({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{m + 1}}{m}.\)
\({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{{m + 1}}{m}.\)
Đáp án đúng là: D
Phương trình mx2 + (2m + 1)x + m + 1 = 0 (m ≠ 0) có a = m, b = 2m + 1, c = m + 1.
Ta có: a – b + c = m – (2m + 1) + m + 1 = 0.
Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x1 = –1 và nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{{m + 1}}{m}.\)
Biết phương trình x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 có hai nghiệm với mọi m. Nhẩm nhanh nghiệm của phương trình ta được:
x1 = 1, x2 = 3m + 3.
x1 = –1, x2 = –3m – 3.
x1 = 3, x2 = m + 1.
x1 = –3, x2 = –m – 1.
Đáp án đúng là: C
Do phương trình x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 có hai nghiệm với mọi m nên theo hệ thức Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 4\\{x_1}{x_2} = 3m + 3\end{array} \right.\)
Ta thấy rằng có hai số m + 1 và 3 thỏa mãn m + 1 + 3 = m + 4 và (m + 1).3 = 3m + 3.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 3, x2 = m + 1.
Cho phương trình x2 – 6x + m2 – 4m = 0 có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm x1 = 1. Nghiệm còn lại của phương trình là
x2 = 5.
x2 = –5.
x2 = 2.
x2 = –2.
Đáp án đúng là: A
Phương trình x2 – 6x + m2 – 4m = 0 có hai nghiệm x1, x2 nên theo định lí Viète, ta có:
x1 + x2 = 6.
Mà x1 = 1 nên x2 = 6 – 1 = 5.
Cho phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2) luôn có hai nghiệm. Có bao nhiêu giá trị của nguyên m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên?
0.
1.
4.
6.
Đáp án đúng là: D
Phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.
Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\) (với m ≠ 2).
Để phương trình đã cho có các nghiệm đều là số nguyên thì \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\) phải là số nguyên.
Ta có: \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}} = 1 + \frac{9}{{m - 2}}.\)
Với m là số nguyên khác 2, để \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\) là số nguyên thì \(\frac{9}{{m - 2}},\) tức là 9 ⋮ (m – 2), hay m – 2 ∈ Ư(9) = {1; –1; 3; –3; 9; –9}.
Suy ra m ∈ {3; 1; 5; –1; 11; –7} (thỏa mãn).
Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biết rằng phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m là
2m2 – 2m – 1.
2m2 + 2m – 1.
2m2 + 2m + 1.
2m2 – 2m + 1.
Đáp án đúng là: C
Do phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m\end{array} \right..\)
Cách 1. Ta thấy rằng có hai số m và m + 1 thỏa mãn m + m + 1 = 2m + 1 và m.(m + 1) = m2 + m.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = m, x2 = m + 1.
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m là:
\(x_1^2 + x_2^2 = {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2m + 1.\)
Cách 2. Ta có:
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)
\( = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{m^2} + m} \right)\)
\( = 4{m^2} + 4m + 1 - 2{m^2} - 2m = 2{m^2} + 2m + 1.\)
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = 1 khi
a + b + c = 0.
a + b + c = 1.
a + b + c = –1.
a – b + c = 0.
Đáp án đúng là: A
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = 1 khi a + b + c = 0.
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = –1 khi
a + b + c = 0.
a + b + c = 1.
a – b – c = 0.
a – b + c = 0.
Đáp án đúng là: D
Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = –1 khi a – b + c = 0.
Biết rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = 1, nghiệm còn lại của phương trình đó là
\({\rm{x}} = \frac{{ - {\rm{c}}}}{{\rm{a}}}\).
\({\rm{x}} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}.\)
\({\rm{x}} = \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}.\)
\({\rm{x}} = \frac{{ - {\rm{a}}}}{{\rm{b}}}.\)
Đáp án đúng là: B
Vì phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = 1 nên nghiệm còn lại của phương trình đó là \({\rm{x}} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}.\)
Cho phương trình: x2 – 3x + 2 = 0 (1). Khi đó:
Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = 3; c = 2.
a + b + c > 0.
Phương trình (1) có một nghiệm là x = –1.
Phương trình (1) có một nghiệm là x = 1.
Đáp án đúng là: D
Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = –3; c = 2 nên A sai.
Vì a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm là x = 1.
Suy ra B sai, D đúng.
Nghiệm còn lại của phương trình là: \({\rm{x}} = \frac{2}{1} = 2\) nên C sai.
Phương trình 4x2 – 7x – 11 = 0 có:
Hai nghiệm đều là số nguyên dương.
Hai nghiệm đều là số nguyên âm.
Một nghiệm là số nguyên âm, một nghiệm là số nguyên dương.
Một nghiệm là số nguyên âm.
Đáp án đúng là: D
Vì 4 – (–7) – 11 = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là \({{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right)}}{4} = \frac{{11}}{4}\).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là số nguyên âm.
Gọi x1, x2 (x1 > x2) là nghiệm của phương trình x2 – 9x – 10 = 0 (1). Khi đó:
Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = 9; c = 10.
Phương trình (1) có một nghiệm bằng –1.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) bằng 10.
2x1 + x2 > 0.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = –9; c = –10.
b) Đúng.
Ta có: a – b + c = 1 – (–9) – 10 = 0. Vậy phương trình (1) có một nghiệm bằng –1.
c) Đúng.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là: \({\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 10} \right)}}{1} = 10\).
Vậy nghiệm còn lại của phương trình (1) bằng 10.
d) Đúng.
Vì phương trình (1) có x1 > x2 nên x1 = 10; x2 = –1.
Do đó, 2x1 + x2 = 2.10 – 1 = 19 > 0.
Vậy 2x1 + x2 > 0.
Cho phương trình x2 + 15x + 14 = 0 (1). Khi đó:
a – b + c < 0.
Phương trình (1) có 1 nghiệm là –1.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là –14.
Nghiệm lớn lớn hơn nghiệm nhỏ 15 đơn vị.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Ta có: a – b + c = 1 – 15 + 14 = 0. Vậy a – b + c = 0.
b) Đúng.
Vì a – b + c = 0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm là x = –1.
c) Đúng.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là \({\rm{x}} = \frac{{ - 14}}{1} = - 14.\)
Vậy nghiệm còn lại của phương trình (1) là –14.
d) Sai.
Ta có: (–1) – (–14) = 13.
Vậy nghiệm lớn lớn hơn nghiệm nhỏ là 13 đơn vị.
Gọi x1, x2 (x1 > x2) là nghiệm của phương trình \(\sqrt 2 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 2 + 3} \right){\rm{x}} + 3 = 0\;\,\left( 1 \right)\) và biểu thức \({\rm{B}} = \sqrt 2 {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}.\)
\({\rm{a}} = \sqrt 2 ;\;\,{\rm{b}} = - \sqrt 2 - 3;\;\,{\rm{c}} = 3.\)
Phương trình (1) có 1 nghiệm là 1.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là \(3\sqrt 2 .\)
B < 4.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \({\rm{a}} = \sqrt 2 ;\;\,{\rm{b}} = - \left( {\sqrt 2 + 3} \right) = - \sqrt 2 - 3;\;\,{\rm{c}} = 3.\) Vậy \({\rm{a}} = \sqrt 2 ;\;\,{\rm{b}} = - \sqrt 2 - 3;\;\,{\rm{c}} = 3.\)
b) Đúng.
Vì \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} = \sqrt 2 + \left( { - \sqrt 2 - 3} \right) + 3 = 0\) nên phương trình (1) có một nghiệm là x= 1.
Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm là 1.
c) Sai.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là \({\rm{x}} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy nghiệm còn lại của phương trình (1) là \({\rm{x}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)
d) Sai.
Theo b) và c) và kết hợp với x1 > x2 ta có: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = 1.\)
Do đó, \({\rm{B}} = \sqrt 2 {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 2 }}{2} + 1 = 3 + 1 = 4.\) Vậy B > 4.
Gọi x1, x2 (x1 < x2) là nghiệm của phương trình 199x2 + 21x – 220 = 0 (1). Khi đó:
Phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 1.
Phương trình (1) có một nghiệm bằng 1.
199x1 = 200.
\({\rm{x}}_2^2 - 199{{\rm{x}}_1} < 220.\)
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Phương trình (1) có: a + b + c = 199 + 21 – 220 = 0.
Vậy phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0.
b) Đúng.
Vì a + b + c = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm bằng 1.
c) Đúng.
Nghiệm còn lại của phương trình là: \(\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 220}}{{199}}\).
Vì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < x2 nên \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 220}}{{199}};\;\,{{\rm{x}}_2} = 1.\)
Vậy 199x1 = –220.
d) Sai.
Theo c) ta có: \({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 220}}{{199}};\;\,{{\rm{x}}_2} = 1\) nên \({\rm{x}}_2^2 - 199{{\rm{x}}_1} = {1^2} - \left( { - 220} \right) = 221 > 220.\)
Vậy \({\rm{x}}_2^2 - 199{{\rm{x}}_1} > 220.\)
Cho hai phương trình 2x2 – 3x – 5 = 0 (1) và –x2 + 4x + 5 = 0 (2).
Phương trình (1) có một nghiệm là x = –1.
Phương trình (2) có một nghiệm là x = 1.
Nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là \(\frac{5}{2}.\)
Tổng nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và nghiệm bé nhất của phương trình (2) lớn hơn 0.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Phương trình (1) có 2 – (–3) – 5 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm là x = –1.
Vậy phương trình (1) có một nghiệm là x = –1.
b) Sai.
Phương trình (2) có (–1) – 4 + 5 = 0 nên phương trình (2) có một nghiệm là x = –1.
Nghiệm còn lại của phương trình (2) là: \(\frac{{ - {\rm{c}}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = 5.\)
Vậy phương trình (2) không có nghiệm x = 1.
c) Đúng.
Nghiệm còn lại của phương trình (1) là: \(\frac{{ - {\rm{c}}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - \left( { - 5} \right)}}{2} = \frac{5}{2}.\)
Theo a), phương trình (1) có nghiệm là x = –1.
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là \(\frac{5}{2}.\)
d) Đúng.
Theo b) và c) ta có nghiệm bé nhất của phương trình (2) là –1 và nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là \(\frac{5}{2}.\)
Ta có: \(\frac{5}{2} + \left( { - 1} \right) = \frac{3}{2} > 0\).
Vậy tổng nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và nghiệm bé nhất của phương trình (2) lớn hơn 0.
Biết rằng x = a là nghiệm lớn nhất của phương trình \(\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} - \frac{3}{4}{\rm{x}} + \frac{1}{4} = 0\). Tính giá trị của biểu thức M = a2 – 7a.
Đáp án: –6
Phương trình (1) có \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{{ - 3}}{4}} \right) + \frac{1}{4} = 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm là
\({{\rm{x}}_1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\).
Do đó, a = 1.
Thay a = 1 vào M ta có: M = 12 – 7.1 = –6.
Vậy giá trị biểu thức M bằng –6.
Gọi x1; x2 (x1 < x2) là nghiệm của phương trình \(\sqrt 5 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 5 + 4} \right){\rm{x}} + 4 = 0\). Tính \(5{\rm{x}}_2^2 - 2{\rm{x}}_1^2\).
Đáp án: 14
Ta có: \(\sqrt 5 - \sqrt 5 - 4 + 4 = 0\) nên nên phương trình đã cho có hai nghiệm là
\({{\rm{x}}_1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\) (do x1 < x2).
Do đó, \(5{\rm{x}}_2^2 - 2{\rm{x}}_1^2 = 5 \cdot {\left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} - 2 \cdot {1^2} = 16 - 2 = 14\). Vậy \(5{\rm{x}}_2^2 - 2{\rm{x}}_1^2 = 14.\)
Tìm số nghiệm chung của 2 phương trình 0,25x2 – x – 1,25 = 0 và x2 – 20x – 21 = 0.
Đáp án: 1
Phương trình 0,25x2 – x – 1,25 = 0 có 0,25 – (–1) – 1,25 = 0 nên phương trình đó có hai nghiệm là x1 = –1 và \({{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1,25} \right)}}{{0,25}} = 5\).
Phương trình x2 – 20x – 21 = 0 có 1 – (–20) – 21 = 0 nên phương trình đó có hai nghiệm là x1 = –1 và \({{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 21} \right)}}{1} = 21\).
Vậy hai phương trình đã cho có 1 nghiệm chung.
Gọi a, b lần lượt là nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất của phương trình 2x3 – 3x2 + x= 0. Tính 4a – b.
Đáp án: 4
2x3 – 3x2 + x= 0
x(2x2 – 3x + 1)= 0
x = 0 hoặc 2x2 – 3x + 1 = 0.
Phương trình 2x2 – 3x + 1 = 0 có 2 + (–3) + 1 = 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm x1 = 1 và \({{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2}\).
Do đó, a = 1; b = 0.
Ta có: 4a – b = 4.1 – 0 = 4. Vậy 4a – b = 4.
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 15x – 16 = 0. Tính giá trị của biểu thức \({\rm{E}} = \sqrt {{{\rm{x}}_1}} - {{\rm{x}}_2}.\) (Kết quả viết dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 5
Điều kiện: x1 ≥ 0.
Vì 1 – (–15) – 16 = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 16 và x2 = –1 (do x1 ≥ 0).
Do đó, \({\rm{E}} = \sqrt {16} - \left( { - 1} \right) = 5.\)
Vậy giá trị biểu thức E bằng 5.
