Bài tập Tích phân của các hàm số cơ bản lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{5^x}dx} \) bằng
\(I = \frac{4}{{\ln 5}}\);
I = 4ln5;
I = 5ln5;
\(I = \frac{5}{{\ln 5}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {{5^x}dx} = \left. {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^1 = \frac{5}{{\ln 5}} - \frac{1}{{\ln 5}} = \frac{4}{{\ln 5}}\).
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}dx} \) bằng
−ln3;
ln3;
1 – ln3;
ln3 – ln2.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}dx} = \left. {\ln \left| {x + 2} \right|} \right|_0^1 = \ln 3 - \ln 2\).
Tích phân \(\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} \) bằng
\({e^3} + \frac{1}{2}\);
e – 1;
\(\frac{{{e^3} - 1}}{3}\);
e3 – 1.
Đáp án đúng là: C
\(\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x}}} \right|_0^1 = \frac{{{e^3} - 1}}{3}\).
Cho biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx} = a\pi + b\) với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a + b bằng
1;
–4;
6;
3.
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx = \left. {\left( {4x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} = 2\pi - 1\).
Suy ra a = 2; b = −1. Vậy a + b = 1.
Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)dx} \) bằng
12;
9;
5;
6.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right)dx} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\).
\(I = \frac{1}{e}\);
\(I = \frac{1}{e} + 1\);
I = 1;
I = e.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^e = \frac{1}{e}\).
Biết \[\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx} = \frac{{\frac{e}{a} + b}}{{1 - \ln a}}\] (a, b ℝ). Khi đó giá trị của P = a + b là
−3;
1;
−1;
3.
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \left. {\left( {\frac{{{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{e}{2}}}} \right)} \right|} } _0^1 = \frac{{\frac{e}{2} - 1}}{{1 - \ln 2}}\). Suy ra a = 2; b = −1.
Do đó a + b = 1.
Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = a\sqrt 3 + b + \frac{\pi }{c}\) (a, b, c ℝ). Khi đó giá trị của P = a + b + c là
6;
−4;
4;
−6.
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {3\left( {\tan x - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = 3\sqrt 3 - 3 - \frac{\pi }{4}} \).
Do đó P = a + b + c = −4.
Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = \frac{{a\sqrt 3 }}{b}} \) (a, b ℤ). Tính \(P = \frac{{a - 2b}}{b}\).
\(P = \frac{4}{3}\);
\(P = - \frac{4}{3}\);
\(P = - \frac{2}{3}\);
\(P = \frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = } \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = } \)\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\tan x - \cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(P = \frac{{2 - 2.3}}{3} = - \frac{4}{3}\).
Tính tích phân \(\int\limits_{ - 4}^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)dx} \).
126;
\( - \frac{9}{2}\);
\( - \frac{3}{2}\);
\( - 210\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_{ - 4}^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 4}^2 = - \frac{{22}}{3} + \frac{{400}}{3} = 126\).
5.
12.
9.
6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta tìm nguyên hàm của hàm đa thức 3x2 + 10x + 3 là x3 + 5x2 + 3x.
Khi đó, = (13 + 5·12 + 3·1) − 0 = 9.
Kết quả của tích phân là
I = 4ln6.
\(I = \frac{5}{{\ln 6}}\).
\(I = \frac{6}{{\ln 6}}\).
I = 6ln6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
.
Tính tích phân \(I = \int_1^e {\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)} dx\).
\(I = \frac{1}{e}\).
\(I = 1 + \frac{1}{e}\).
I = 1.
I = e.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\(I = \int_1^e {\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + x} \right)} \right|_1^e = 1 + e - 1 = e\).
Tích phân \(I = \int_0^1 {{e^{4x}}} dx\) có giá trị bằng
e4 + 1.
e4 − 1.
\(\frac{{{e^4} + 1}}{4}\).
\(\frac{{{e^4} - 1}}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
\[I = \int_0^1 {{e^{4x}}} dx = \left. {\left( {\frac{1}{4}{e^{4x}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{4}{e^4} - \frac{1}{4}{e^0} = \frac{{{e^4} - 1}}{4}\]
Tính tích phân \(I = \int_0^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)} dx\).
\( - \frac{{22}}{3}\).
\(\frac{{22}}{3}\).
−14.
126.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta tìm nguyên hàm của hàm số 4x2 − 7x − 2 là \(\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2} - 2x\).
Khi đó,
\[I = \int_0^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_0^2 = \left( {\frac{{4 \cdot 8}}{3} - \frac{{7 \cdot 4}}{2} - 2 \cdot 2} \right) - 0 = - \frac{{22}}{3}\]
Xét các tính chất cơ bản của tích phân đối với các hàm số liên tục f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
\(\int_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int_a^b f (x)dx - \int_a^b g (x)dx\).
Với mọi hằng số k, ta luôn có \(\int_a^b {kf(x)} dx = k\int_a^b f (x)dx\).
Nếu đổi cận tích phân thì giá trị tích phân không đổi: \(\int_a^b f (x)dx = \int_b^a f (x)dx\).
Tích phân của một hàm số không phụ thuộc vào ký hiệu biến số: \(\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Đây là tính chất hiệu của hai tích phân.
b) Đúng. Hằng số k có thể đưa ra ngoài dấu tích phân.
c) Sai. Theo tính chất, khi đổi cận thì tích phân đổi dấu: \(\int_a^b f (x)dx = - \int_b^a f (x)dx\).
d) Đúng. Giá trị tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận.
Xét tích phân \(I = \int_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}} dx\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm số f(x) = \(\frac{1}{{x + 2}}\) liên tục trên đoạn [0; 1].
Một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [0; 1] là F(x) = ln(x + 2).
\(\int_0^1 {\frac{2}{{x + 2}}} dx = \ln \left( {\frac{9}{4}} \right)\).
Giá trị của tích phân I là ln3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Hàm số f(x) = \(\frac{1}{{x + 2}}\) xác định khi x ≠ −2. Do đó hàm số hoàn toàn xác định và liên tục trên đoạn [0; 1].
b) Đúng. Vì x thuộc [0; 1] nên x + 2 > 0. Nguyên hàm của hàm số là ln|x + 2| = ln(x + 2).
c) Đúng. Ta có
\[\int_0^1 {\frac{2}{{x + 2}}} dx = 2\int_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}} dx = \left. {2\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 = 2\left( {\ln 3 - \ln 2} \right) = 2\ln \left( {\frac{3}{2}} \right) = \ln \left( {\frac{9}{4}} \right)\].
d) Sai. Giá trị của I là \(I = \left. {\ln (x + 2)} \right|_0^1 = \ln 3 - \ln 2\), không phải là ln3.
Xét các tích phân của hàm số lượng giác cơ bản. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
\(\int_0^\pi {\sin x} dx = 2\).
Một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x là F(x) = −sin x.
Tích phân \(\int_0^\pi {\cos x} dx\) có giá trị bằng 0.
Giá trị của \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx\) bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\int_0^\pi {\sin x} dx = \left. { - \cos x} \right|_0^\pi = - \cos \pi - \left( { - \cos 0} \right) = - \left( { - 1} \right) + 1 = 2\).
b) Sai. Nguyên hàm của cos x là sin x.
c) Đúng. \(\int_0^\pi {\cos x} dx = \left. {\sin x} \right|_0^\pi = \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0\).
d) Đúng. \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \tan \frac{\pi }{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1\).
Cho hàm số f(x) = \(\frac{2}{x}\) xác định trên tập số thực bỏ đi giá trị 0. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; e].
Một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (0; +∞) là F(x) = 2ln x.
Giá trị của tích phân \(I = \int_1^e {\frac{2}{x}} dx\) bằng 2.
Tích phân \(J = \int_{ - 1}^1 {\frac{2}{x}} dx\) có giá trị bằng 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Đoạn [1; e] không chứa điểm gián đoạn x = 0.
b) Đúng. Ta có \(\int {\frac{2}{x}} dx = 2\ln \left| x \right| + C\). Với x > 0 thì 2ln|x| = 2ln x.
c) Đúng. \(I = \left. {2\ln x} \right|_1^e = 2\ln e - 2\ln 1 = 2 \cdot 1 - 0 = 2\).
d) Sai. Hàm số không liên tục trên đoạn [−1; 1] do gián đoạn tại x = 0, nên tích phân này không xác định.
Xét tích phân của hàm số mũ cơ bản \(I = \int_0^1 {\left( {{e^x} + {2^x}} \right)} dx\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Có thể tách thành \(I = \int_0^1 {{e^x}} dx + \int_0^1 {{2^x}} dx\).
Giá trị của \(\int_0^1 {{e^x}} dx\) bằng e.
\(\int_0^1 {{2^x}} dx = \frac{1}{{\ln 2}}\).
Giá trị của I là \(e - 1 + \frac{1}{{\ln 2}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Đây là tính chất tổng của hai tích phân.
b) Sai. \(\int_0^1 {{e^x}} dx = \left. {{e^x}} \right|_0^1 = {e^1} - {e^0} = e - 1\).
c) Đúng. \(\int_0^1 {{2^x}} dx = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^1 = \frac{2}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{1}{{\ln 2}}\).
d) Đúng. Kết hợp kết quả từ câu b và c ta được I = \(e - 1 + \frac{1}{{\ln 2}}\).
Tính giá trị của tích phân \(I = \int_0^2 3 {x^2}dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
\(I = \int_0^2 3 {x^2}dx = \left. {{x^3}} \right|_0^2 = {2^3} - {0^3} = 8\).
Tính giá trị của tích phân \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Nguyên hàm của hàm số lượng giác sinx là −cosx.
Áp dụng định nghĩa tích phân, ta có: \[I = \left. { - \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = - \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \left( { - \cos 0} \right) = \;0 - \left( { - 1} \right) = 1.\]
Biết \[\int_1^2 {\left( {4{x^3} - 2x + 1} \right)} dx\] có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 13
Ta có: \(\int_1^2 {\left( {4{x^3} - 2x + 1} \right)} dx = \left. {\left( {{x^4} - {x^2} + x} \right)} \right|_1^2 = 14 - 1 = 13\).
Tính giá trị của tích phân \(I = \int_0^1 {{e^x}} dx\). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười (biết e 2,718).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,7
Ta có: \(I = \int_0^1 {{e^x}} dx = \left. {{e^x}} \right|_0^1 = {e^1} - {e^0} = e - 1 \approx 2,718 - 1 = 1,718\).
Làm tròn số thập phân này đến hàng phần mười ta thu được kết quả là 1,7.
Tính giá trị của tích phân \(I = \int_1∫4 {\left( {x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5,5
Ta có: \(I = \int_1^4 {\left( {x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt x } \right)} \right|_1^4 = 5,5\).
Bạn có thích hoạt động này không?
