Bài tập Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \) bằng
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: A
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \) bằng
4;
3;
2;
1.
Đáp án đúng là: D
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{6} - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = 1\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin 2x} \right|dx} \) bằng
0;
3;
2;
1.
Đáp án đúng là: D
+) \(\frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} \le 2x \le \pi \Rightarrow \sin 2x \ge 0\).
+) \(\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \pi \le 2x \le \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin 2x \le 0\).
Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sin 2xdx} \)\( = \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 1\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^a {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \) ta được kết quả \(I = \frac{{11}}{6}\). Khi đó
a = 1;
a = 2;
a = 3;
a = 4.
Đáp án đúng là: B
Từ đáp án ta thấy a ≥ 1.
\(I = \int\limits_{ - 1}^a {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^a {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^a\)\( = \frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2}\).
Theo đề có \(\frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{11}}{6}\) 2a3 – 3a2 – 4 = 0 (a − 2)(2a2 + a + 2) = 0 a = 2.
Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|dx} \) ta được kết quả \(I = \frac{a}{b}\), khi đó tổng a + b là:
7;
3;
5;
9.
Đáp án đúng là: A
Do x3 + x2 – x – 1 = (x – 1)(x + 1)2 ≤ 0, ∀x [−1; 1].
Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|dx} \)\( = - \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}\).
Suy ra a = 4; b = 3. Do đó a + b = 7.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\);
\(\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left| x \right|}^3}dx} = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx} } \right|\);
\(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {{e^x}\left( {x + 1} \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {{e^x}\left( {x + 1} \right)dx} } \right|\);
\(\int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx} \).
Đáp án đúng là: D
Vì x4 + x2 + 1 ≥ 0, ∀x [−1; 2018] \( \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx} \).
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} \) bằng
\(\frac{1}{2}\);
1;
\(\frac{3}{2}\);
2.
Đáp án đúng là: C
Do x – 2 < 0, ∀x [0; 1].
Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {x - 2} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}\).
</>
Tính \(\int\limits_0^2 {\sqrt {{x^2} - 2x + 1} } dx\).
\(\frac{1}{2}\);
2;
\(\frac{5}{2}\);
1.
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_0^2 {\sqrt {{x^2} - 2x + 1} } dx\)\( = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|} dx\)\[ = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int\limits_0^2 {\left( {x - 1} \right)} dx\]\[ = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1\].
Tính tích phân \(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \).
\(\frac{{152}}{3}\);
\(\frac{{64}}{3}\);
\(\frac{{ - 64}}{3}\);
\(\frac{{ - 152}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right)dx} + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^6 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_6^8 = \frac{{152}}{3}\).
Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left| {2x - 2} \right|dx} \).
0;
2;
1;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(I = \int\limits_0^2 {\left| {2x - 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {2 - 2x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x - 2} \right)dx} \)\[ = \left. {\left( {2x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right|_1^2 = 2\].
Tích phân \(I = \int_0^1 {\left| {x - 2} \right|} dx\) có giá trị bằng bao nhiêu?
1,5.
0,5.
2.
2,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta thấy với mọi x thuộc đoạn [0; 1], biểu thức x − 2 < 0.
Do đó, |x − 2| = 2 − x trên toàn bộ khoảng lấy tích phân này.
Khi đó, tích phân trở thành:\(I = \int_0^1 {\left( {2 - x} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = (2 \cdot 1 - 0,5) - 0 = 2 - 0,5 = 1,5.\)
Cho tích phân \(I = \int_0^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx\). Tính giá trị của I.
0.
2.
\(\frac{5}{2}\).
3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
\(I = \int_0^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}.\)
Tính giá trị của tích phân \(I = \int_0^1 {\left| {2x - 2} \right|} dx\).
0.
1.
3.
2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[I = \int_0^1 {\left( {2 - 2x} \right)} dx = \left. {\left( {2x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 = 1.\]
Tính tích phân \(I = \int_0^2 {\left| {2{x^2} - 6x + 4} \right|} dx\).
6.
2.
4.
8.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Có \(I = \int_0^2 {\left| {2{x^2} - 6x + 4} \right|} dx = 2\int_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|} dx\).
Xét phương trình x2 − 3x + 2 = 0, ta được các nghiệm x = 1 và x = 2. Lập bảng xét dấu, ta thấy x2 − 3x + 2 ≥ 0 trên đoạn [0; 1] và x² − 3x + 2 ≤ 0 trên đoạn [1; 2].
Do đó, ta tách tích phân thành hai phần để phá dấu giá trị tuyệt đối:
\[I = 2\int_0^1 {({x^2} - 3x + 2)} dx - 2\int_1^2 {({x^2} - 3x + 2)} dx = 2\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - 2\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2\]
\( = 2\left( {\frac{5}{6} - 0} \right) - 2\left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{6}} \right) = \frac{5}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{6}{3} = 2\).
Cho tích phân \[I = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\sin x} \right|} dx.\] Giá trị của I là
1.
0.
2.
0,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[I = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\sin x} \right|} dx = \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin x} dx - \int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sin x} dx = \left. { - \cos x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi + \left. {\cos x} \right|_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} = 1 + 1 = 2.\]
Xét tích phân \(I = \int_0^4 {\sqrt {{x^2} - 4x + 4} } dx\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Biểu thức dưới dấu căn có thể viết lại thành bình phương (x − 2)2.
Tích phân I có thể viết gọn thành \(I = \int_0^4 {(x - 2)} dx\).
Trên đoạn [0; 2], biểu thức x − 2 nhận giá trị không âm.
Giá trị của tích phân I bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, x2 − 4x + 4 = (x − 2)2.
b) Sai. Khi khai căn bậc hai của một bình phương, ta phải sử dụng dấu giá trị tuyệt đối: \(\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = \left| {x - 2} \right|\). Do đó tích phân đúng phải là \(\int_0^4 {\left| {x - 2} \right|} dx\).
c) Sai. Trên đoạn [0; 2], ta có x ≤ 2 nên biểu thức x − 2 ≤ 0 (nhận giá trị không dương).
d) Đúng. Ta có:\[\int_0^4 {\left| {x - 2} \right|} dx = \int_0^2 {\left( {2 - x} \right)} dx + \int_2^4 {\left( {x - 2} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_2^4 = 4\]
Xét tích phân \(I = \int_0^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Biểu thức 2x − 2 nhận giá trị không âm khi x ≥ 1.
Một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là F(x) = \({2^x} \cdot \ln 2\).
Giá trị của tích phân \(\int_0^1 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx\) bằng \(2 - \frac{1}{{\ln 2}}\).
Giá trị của tích phân I bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta xét bất phương trình 2x − 2 ≥ 0 Û 2x ≥ 2 Û x ≥ 1.
b) Sai. Công thức tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là F(x) = \(\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\). Đạo hàm của hàm số f(x) = 2x mới là \(f'(x) = {2^x} \cdot \ln 2\).
c) Đúng. Trên đoạn [0; 1], ta có x ≤ 1 nên 2x − 2 ≤ 0, suy ra |2x − 2| = 2 − 2x.
Khi đó, ta có:\(\int_0^1 {\left( {2 - {2^x}} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^1 = \left( {2 - \frac{2}{{\ln 2}}} \right) - \left( {0 - \frac{1}{{\ln 2}}} \right) = 2 - \frac{1}{{\ln 2}}\).
d) Sai. Trên đoạn [1; 2], ta có x ≥ 1 nên 2x − 2 ≥ 0, suy ra |2x − 2| = 2x − 2.
Ta tính tích phân trên đoạn [1; 2] như sau:
\(\int_1^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2x} \right)} \right|_1^2 = \left( {\frac{4}{{\ln 2}} - 4} \right) - \left( {\frac{2}{{\ln 2}} - 2} \right) = \frac{2}{{\ln 2}} - 2\).
Tổng hợp hai kết quả, giá trị của tích phân I là:
\(I = \int_0^1 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx = \left( {2 - \frac{1}{{\ln 2}}} \right) + \left( {\frac{2}{{\ln 2}} - 2} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\).
Vậy giá trị của tích phân I khác 1.
Cho tích phân \(I = \int_0^\pi {\left| {\cos x} \right|} dx\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm số f(x) = cos x luôn không âm trên đoạn \([0;\pi ]\).
Tích phân I có thể tính bằng \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x} dx - \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x} dx\).
Giá trị của tích phân I là 2.
Tích phân của |cos x| trên đoạn [0; 2p] gấp 4 lần tích phân I.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Hàm cosx âm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).
b) Đúng.\(I = \int_0^\pi {\left| {\cos x} \right|} dx\)\(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|} dx + \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|} dx\)\( = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x} dx - \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x} dx\).
c) Đúng.\(I = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = (1 - 0) - (0 - 1) = 2\).
d) Sai. Tích phân trên [0; 2p] của |cos x| bằng 4. Tích phân I (trên [0; p]) bằng 2. Vậy nó chỉ gấp 2 lần.
Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} \). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau về tích phân \(I = \int_0^2 f (x)dx\):
Hàm số \(f(x)\) có thể viết lại thành \(f(x) = \left| {2x - 1} \right|\).
Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), hàm số \(f(x)\) luôn đồng biến.
Tích phân I có thể được tách thành \(I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx\).
Giá trị của tích phân I bằng \(\frac{5}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có biến đổi: \(f(x) = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = \left| {2x - 1} \right|\).
b) Sai. Hàm số \(f(x) = \left| {2x - 1} \right|\) nghịch biến trên khoảng \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};2} \right]\), do đó không thể luôn đồng biến trên toàn bộ đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
c) Đúng. Xét phương trình \(2x - 1 = 0\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\). Điểm \(x = \frac{1}{2}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
Sử dụng tính chất cộng đoạn của tích phân, ta có: \(I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx\)
Trên đoạn \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\), ta có \(2x - 1 \le 0\) nên \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\).
Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\), ta có \(2x - 1 \ge 0\) nên \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\).
Do đó: \(I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx\).
d) Đúng. Ta có: \[I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2\]
\[ = \left( {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - 0} \right) + \left( {\left( {4 - 2} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}\].
Cho tích phân \(I(m) = \int_0^2 {\left| {x - m} \right|} dx\) với m là tham số. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Nếu m = 1 thì I(1) = 1.
Nếu m ≤ 0 thì \(I(m) = \int_0^2 {\left( {x - m} \right)} dx\).
Nếu m ≥ 2 thì \(I(m) = \int_0^2 {\left( {m - x} \right)} dx\).
Hàm số I(m) đạt giá trị nhỏ nhất khi m = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.\(I(1) = \int_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} = 0,5 + 0,5 = 1\).
b) Đúng. Khi m ≤ 0 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≥ 0.
c) Đúng. Khi m ≥ 2 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≤ 0.
d) Sai. Ta xét các trường hợp của tham số m để tìm giá trị nhỏ nhất của \(I(m)\):
- Trường hợp 1: m ≤ 0.
Theo câu b, \(I(m) = \int_0^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_0^2 = 2 - 2m\). Vì m ≤ 0 nên I(m) ≥ 2.
- Trường hợp 2: m ≥ 2. Theo câu c, \(I(m) = \int_0^2 {\left( {m - x} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2m - 2\).
Vì m ≥ 2 nên I(m) ≥ 2.
- Trường hợp 3: 0 < m < 2. Tích phân được tách thành hai phần:
\(I(m) = \int_0^m {\left( {m - x} \right)} dx + \int_m^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^m + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_m^2\)
\( = \left( {{m^2} - \frac{{{m^2}}}{2}} \right) + \left( {\left( {2 - 2m} \right) - \left( {\frac{{{m^2}}}{2} - {m^2}} \right)} \right) = \frac{{{m^2}}}{2} + 2 - 2m + \frac{{{m^2}}}{2} = {m^2} - 2m + 2\)
Ta biến đổi: \(I(m) = {m^2} - 2m + 1 + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\).
Dấu "=" xảy ra khi \(m = 1\).
So sánh ba trường hợp, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(I(m)\) là 1, đạt được khi \(m = 1\). Do đó mệnh đề d là sai.
Tính giá trị của tích phân \(I = \int_0^4 {\left| {0,5x - 1} \right|} dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Xét phương trình 0,5x − 1 = 0, ta tìm được nghiệm x = 2.
\(I = \int_0^4 {\left| {0,5x - 1} \right|} dx = \int_0^2 {\left( {1 - 0,5x} \right)} dx + \int_2^4 {\left( {0,5x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - 0,25{x^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {0,25{x^2} - x} \right)} \right|_2^4\)
= (2 − 1) − 0 + (4 − 4) − (1 − 2) = 1 + 1 = 2.
Tính tích phân \(I = \int_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|} dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6,75
Ta tìm nghiệm của x3 − 3x − 2 = 0 bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử:
(x − 2)(x + 1)2 = 0.
Hàm số có hai nghiệm là x = 2 và nghiệm kép x = −1.
Với mọi x thuộc đoạn [−1; 2], ta có (x + 1)² ≥ 0 và x − 2 ≤ 0,
nên tích của chúng x3 − 3x − 2 ≤ 0.
Do đó:
\(I = \int_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|} dx = - \int_{ - 1}^2 {({x^3} - 3x - 2)} dx = \left. {\left( {2x + \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_{ - 1}^2 = 6 - ( - 0,75) = 6,75.\)
Tính tích phân \(I = \int_{ - 1}^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4,5
Nghiệm của 2x − 1 = 0 là x = 0,5. Cận này chia đoạn lấy tích phân thành hai nửa.
\(I = \int_{ - 1}^{0,5} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{0,5}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx\left. { = \left( {x - {x^2}} \right)} \right|_{ - 1}^{0,5} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{0,5}^2\)
= 0,25 - (-2) + 2 - (-0,25) = 4,5.
Cho tích phân \(I = \int_0^m {\left| {x - 1} \right|} dx = 2,5\) với tham số m > 1. Tính giá trị của m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Vì m > 1, ta tách tích phân I thành hai đoạn trên [0; 1] và [1; m]:
\(I = \int_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int_1^m {\left( {x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^m = (1 - 0,5) - 0 + \left( {\frac{{{m^2}}}{2} - m} \right) - (0,5 - 1)\)
\(I = 0,5 + \frac{{{m^2}}}{2} - m + 0,5 = \frac{{{m^2}}}{2} - m + 1\).
Theo giả thiết, I = 2,5 nên ta có phương trình: \(\frac{{{m^2}}}{2} - m + 1 = 2,5\)
Û m² − 2m + 2 = 5 Û m² − 2m − 3 = 0 Û (m + 1)(m − 3) = 0 Û m = −1 hoặc m = 3.
Kết hợp điều kiện m > 1, ta nhận giá trị m = 3.
Tính giá trị của tích phân \(I = \int_{ - 2}^3 {\left| {x - 0,5} \right|} dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6,25
Biểu thức x − 0,5 đổi dấu tại x = 0,5. Ta tiến hành chèn cận:
\(I = \int_{ - 2}^{0,5} {\left( {0,5 - x} \right)} dx + \int_{0,5}^3 {\left( {x - 0,5} \right)} dx\)
\(I = \left. {\left( {0,5x - 0,5{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^{0,5} + \left. {\left( {0,5{x^2} - 0,5x} \right)} \right|_{0,5}^3\)
I = (0,25 − 0,125) − (−1 − 2) + (4,5 − 1,5) − (0,125 − 0,25)
I = 0,125 − (−3) + 3 − (−0,125) = 3,125 + 3,125 = 6,25.
Bạn có thích hoạt động này không?
