Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án

+) Ta có: $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$; $BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$

AC = AB + BC = $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{a}\right|=2.\left|\overrightarrow{a}\right|$

Có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Do đó: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=\left|\overrightarrow{AC}\right|\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}A}C=2.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vậy vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ có độ dài là $2.\left|\overrightarrow{a}\right|$ và có cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ (theo hướng đi từ trái qua phải).

+) Ta có: $DE=\left|\overrightarrow{DE}\right|=|-\overrightarrow{a}|=\left|\overrightarrow{a}\right|$; $EF=\left|\overrightarrow{EF}\right|=|-\overrightarrow{a}|=\left|\overrightarrow{a}\right|$

DF = DE + EF = $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{a}\right|=2.\left|\overrightarrow{a}\right|$

Có: $(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$

Do đó: $|(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})|=\left|\overrightarrow{DF}\right|=DF=2.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vậy vectơ $(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})$ có độ dài là $2.\left|\overrightarrow{a}\right|$ và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a}$ nên vectơ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $3.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ thỏa mãn MN = $3.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Lại có: $\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ và có độ dài bằng $|-3|.\left|\overrightarrow{b}\right|=3.\left|\overrightarrow{b}\right|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{b}$ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $MP=3.\left|\overrightarrow{b}\right|$.

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$.

Khi đó: 

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})$

$=3\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$ $=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là $\overrightarrow{a}$ và vectơ vận tốc của tàu B là $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ta có: $\left|\overrightarrow{a}\right|=20$ hải lí/giờ, $\left|\overrightarrow{b}\right|=50$ hải lí/giờ.

Suy ra: $\frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{5}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vì $\left|\overrightarrow{a}\right|\ge 0,\left|\overrightarrow{b}\right|>0$  (độ dài của vectơ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$).

Nên $\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}\ge 0$.

Mà $\overrightarrow{c}=\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}.\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$.

Do đó vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}$, mà vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$.

Nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương.

Ta lại có: $\left|\overrightarrow{c}\right|=|\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}.\overrightarrow{b}|=\frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}.\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng độ dài và cùng phương.

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$.

Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$.

Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Do đó:

$2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$$\iff 2(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ})=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GJ}$.

Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.

a) O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})$

$=4\overrightarrow{MO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})$

$=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MO}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: 

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA})+(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MB})$

$=(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})-(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})$$=(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD})-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=2\overrightarrow{MN}+(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND})=2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ $\iff \overrightarrow{MA}=-4\overrightarrow{MB}$.

Suy ra ba điểm M, A, B thẳng hàng và hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng và thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}\right|=4.\left|\overrightarrow{MB}\right|$ hay MA = 4MB.

Khi đó M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B thỏa mãn MA = 4MB.

Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$.

Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}$.

Mà G là trung điểm của EF nên $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$.

Do đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M tùy ý, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD})$

$=4\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$

$=4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MG}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Quan sát bản đồ về hướng sau:

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}$.

Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng thỏa mãn $\left|\overrightarrow{OA}\right|=3.\left|\overrightarrow{OB}\right|$.

Khi đó O nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn OA = 3OB.

a) Ta có: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BC}$ sao cho $\left|\overrightarrow{MB}\right|=\frac{1}{2}.\left|\overrightarrow{BC}\right|$ hay MB = $\frac{1}{2}$BC.

Lại có: $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{NB}$ sao cho $\left|\overrightarrow{AN}\right|=3\left|\overrightarrow{NB}\right|$ hay AN = 3NB.

Có:  

$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$$\iff \overrightarrow{PA}-\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{PA}+(-\overrightarrow{CP})=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.