Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án
13 câu hỏi
Cho vectơ a→. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ a→+a→, (−a→)+(−a→) (Hình 1).
+) Ta có: AB=|AB→|=|a→|; BC=|BC→|=|a→|
AC = AB + BC = |a→|+|a→|=2.|a→|
Có: a→+a→=AB→+BC→=AC→
Do đó: |a→+a→|=|AC→| = AC=2.|a→|.
Vậy vectơ a→+a→ có độ dài là 2.|a→| và có cùng hướng với vectơ a→ (theo hướng đi từ trái qua phải).
+) Ta có: DE=|DE→|=|−a→|=|a→|; EF=|EF→|=|−a→|=|a→|
DF = DE + EF = |a→|+|a→|=2.|a→|
Có: (−a→)+(−a→)=DE→+EF→=DF→
Do đó: |(−a→)+(−a→)|=|DF→|=DF=2.|a→|.
Vậy vectơ (−a→)+(−a→) có độ dài là 2.|a→| và ngược hướng với vectơ a→.
Cho hai vectơ a→, b→ và một điểm M như Hình 3.
a) Hãy vẽ các vectơ MN→=3a→, MP→=−3b→.
b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: |3b→|, |−3b→|, |2a→+2b→|.
a) Ta có: MN→=3a→ nên vectơ MN→ cùng hướng với vectơ a→ và có độ dài bằng 3.|a→|.
Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ a→ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ a→ thỏa mãn MN = 3.|a→|.
Lại có: MP→=−3b→ nên vectơ MP→ ngược hướng với vectơ b→ và có độ dài bằng |−3|.|b→|=3.|b→|.
Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ b→ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ b→ thỏa mãn MP=3.|b→|.
b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là 2.
Ta có vectơ a→ có độ dài là |a→|=2, vectơ b→ có độ dài là |b→|=2.
Ta có: |3b→|=3.|b→|=3.2=32; |−3b→|=|−3|.|b→|=32.
Lại có: 2a→+2b→=2(a→+b→) (1).
Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với b→=BA→, a→=AC→.
Ta có: a→+b→=AC→+BA→=BA→+AC→=BC→ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: 2a→+2b→=2BC→.
Nên |2a→+2b→|=|2BC→|=2|BC→|=2BC.
Ta có: BAC^=45°+90°=135°
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cosA
= (2)2 + 22 – 2 . 2 . 2 . cos135° = 10
Suy ra BC = 10.
Vậy |2a→+2b→|=|2BC→|=2|BC→|=2BC=210.
Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA→+MB→+MC→=3MG→.
+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh MA→+MB→+MC→=3MG→.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→.
Với điểm M bất kì ta có: MA→=MG→+GA→, MB→=MG→+GB→, MC→=MG→+GC→.
Khi đó:
MA→+MB→+MC→=(MG→+GA→)+(MG→+GB→)+(MG→+GC→)
=3MG→+(GA→+GB→+GC→) =3MG→+0→=3MG→.
Vậy MA→+MB→+MC→=3MG→.
+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn MA→+MB→+MC→=3MG→, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có: MA→+MB→+MC→=3MG→
⇔MA→+MB→+MC→−3MG→=0→
⇔(MA→−MG→)+(MB→−MG→)+(MC→−MG→)=0→
⇔GA→+GB→+GC→=0→
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc b→ của tàu B theo vectơ vận tốc a→ của tàu A.
Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là a→ và vectơ vận tốc của tàu B là b→ là hai vectơ ngược hướng.
Ta có: |a→|=20 hải lí/giờ, |b→|=50 hải lí/giờ.
Suy ra: |b→||a→|=5020=52⇒|b→|=52|a→|.
Vì hai vectơ a→ và b→ ngược hướng và |b→|=52|a→|.
Do vậy b→=−52a→.
Cho hai vectơ a→ và b→ cùng phương, b→ khác 0→ và cho c→=|a→||b→|.b→. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ a→ và c→
Vì |a→|≥0, |b→|>0 (độ dài của vectơ và b→ khác 0→).
Nên |a→||b→|≥0.
Mà c→=|a→||b→|.b→ nên vectơ c→ cùng hướng với vectơ b→.
Do đó vectơ c→ cùng phương với b→, mà vectơ a→ và b→ cùng phương và b→ khác 0→.
Nên hai vectơ a→ và c→ cùng phương.
Ta lại có: |c→|=||a→||b→|.b→|=|a→||b→|.|b→|=|a→|.
Vậy hai vectơ a→ và c→ cùng độ dài và cùng phương.
Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn GA→+GB→+GC→+GD→=0→. Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.
Vì I là trung điểm của AB nên với điểm G bất kì ta có: GA→+GB→=2GI→.
Vì J là trung điểm của CD nên với điểm G bất kì ta có: GC→+GD→=2GJ→.
Mà GA→+GB→+GC→+GD→=0→
Do đó:
2GI→+2GJ→=0→⇔2(GI→+GJ→)=0→⇔GI→+GJ→=0→⇔GI→=−GJ→.
Vậy ba điểm G, I, J thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:
a) MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→;
b) AB→+AC→+AD→=2AC→.
a) O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Khi đó: OA→+OC→=0→, OB→+OD→=0→.
Theo quy tắc ba điểm, ta có: MA→+MB→+MC→+MD→
=(MO→+OA→)+(MO→+OB→)+(MO→+OC→)+(MO→+OD→)
=4MO→+(OA→+OC→)+(OB→+OD→)
=4MO→+0→+0→=4MO→
Vậy MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→.
b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: AB→+AD→=AC→.
Khi đó ta có:
AB→+AC→+AD→=(AB→+AD→)+AC→=AC→+AC→=2AC→.
Vậy AB→+AC→+AD→=2AC→.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:
a) AC→+BD→=2MN→;
b) AC→+BD→=BC→+AD→.
a) Do M là trung điểm của AB nên MA→+MB→=0→.
Do N là trung điểm của CD nên NC→+ND→=0→.
Theo quy tắc ba điểm ta có:
AC→+BD→=(MC→−MA→)+(MD→−MB→)
=(MC→+MD→)−(MA→+MB→)=(MC→+MD→)−0→=MC→+MD→
=2MN→+(NC→+ND→)=2MN→+0→=2MN→.
Vậy AC→+BD→=2MN→.
b) Ta có:
BC→+AD→=(BN→+NC→)+(AN→+ND→)=(BN→+AN→)+(NC→+ND→)
=(BN→+AN→)+0→=BN→+AN→ =(MN→−MB→)+(MN→−MA→)
=2MN→−(MA→+MB→)=2MN→−0→=2MN→
Do đó: BC→+AD→=2MN→
Mà theo câu a, ta có: AC→+BD→=2MN→.
Vậy AC→+BD→=BC→+AD→.
Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho MA→+4MB→=0→.
Ta có: MA→+4MB→=0→ ⇔MA→=−4MB→.
Suy ra ba điểm M, A, B thẳng hàng và hai vectơ MA→ và MB→ ngược hướng và thỏa mãn |MA→|=4.|MB→| hay MA = 4MB.
Khi đó M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B thỏa mãn MA = 4MB.
Vậy điểm M thỏa mãn MA→+4MB→=0→ là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA = 4MB.
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng MA→+MB→+MC→+MD→=4MG→.
Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: GA→+GB→=2GE→.
Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: GC→+GD→=2GF→.
Mà G là trung điểm của EF nên GE→+GF→=0→.
Do đó: GA→+GB→+GC→+GD→=2GE→+2GF→=2(GE→+GF→)=0→.
Với điểm M tùy ý, ta có: MA→+MB→+MC→+MD→
=(MG→+GA→)+(MG→+GB→)+(MG→+GC→)+(MG→+GD→)
=4MG→+(GA→+GB→+GC→+GD→)
=4MG→+0→=4MG→.
Vậy MA→+MB→+MC→+MD→=4MG→.
Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc b→ của máy bay B theo vectơ vận tốc a→ của máy bay A.
Quan sát bản đồ về hướng sau:
Ta thấy hướng đông bắc ngược hướng với hướng tây nam.
Do đó vectơ vận tốc b→ của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc a→ của máy bay A. (1)
Theo bài ra ta có: |a→|=600 km/h, |b→|=800 km/h.
Suy ra: |b→||a→|=800600=43⇒|b→|=43.|a→|. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: b→=−43a→.
Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Xác định điểm O sao cho OA→+3OB→=0→.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có MA→+3MB→=4MO→.
a) Ta có: OA→+3OB→=0→⇔OA→=−3OB→.
Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và hai vectơ OA→ và OB→ ngược hướng thỏa mãn |OA→|=3.|OB→|.
Khi đó O nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn OA = 3OB.
b) Với điểm M bất kì ta có: MA→+3MB→=(MO→+OA→)+3(MO→+OB→)
=MO→+OA→+3MO→+3OB→
=4MO→+(OA→+3OB→)=4MO→+0→=4MO→.
Vậy với mọi điểm M bất kì ta có MA→+3MB→=4MO→.
Cho tam giác ABC.
a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: MB→=12BC→, AN→=3NB→, CP→=PA→.
b) Biểu thị mỗi vectơ MN→, MP→ theo hai vectơ BC→, BA→.
c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
a) Ta có: MB→=12BC→ nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ MB→ cùng hướng với vectơ BC→ sao cho |MB→|=12.|BC→| hay MB = 12BC.
Lại có: AN→=3NB→ nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ AN→ cùng hướng với vectơ NB→ sao cho |AN→|=3|NB→| hay AN = 3NB.
Có:
CP→=PA→⇔PA→−CP→=0→⇔PA→+(−CP→)=0→⇔PA→+PC→=0→
⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.
b) Vì AN = 3NB nên BN = 14BA, do đó: BN→=14BA→.
Ta có: MN→=MB→+BN→=12BC→+14BA→.
Vì MB = 12BC nên MC=32BC, do đó: MC→=32BC→.
P là trung điểm của AC nên CP→=12CA→.
Nên ta có: MP→=MC→+CP→=32BC→+12CA→
=(32−12)BC→+12BA→=BC→+12BA→.
Vậy MN→=12BC→+14BA→ và MP→=BC→+12BA→.
c) Theo câu b ta có:
MN→=12BC→+14BA→=12(BC→+12BA→)=12MP→.
Do đó: MN→=12MP→.
Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.
