Bài tập Phương trình Claperon – Mendeleev lớp 12 (có lời giải)

Từ phương trình Claperon - Mendeleev: \({\rm{pV}} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }{\rm{RT}} \Rightarrow {\rm{V}} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }\frac{{{\rm{RT}}}}{{\rm{p}}}\).

Với: \({\rm{m}} = 10\;{\rm{g}};\mu = 32\;{\rm{g}};{\rm{R}} = 0,082\left( {\frac{{{\rm{atm}}.{\rm{l}}}}{{{\rm{mol}}.{\rm{K}}}}} \right);{\rm{T}} = 288\;{\rm{K}};{\rm{p}} = 738{\rm{mmHg}} = 0,98\;{\rm{atm}}\).

\( \Rightarrow {\rm{V}} = \frac{{10}}{{32}} \cdot \frac{{0,082 \cdot 288}}{{0,98}} = 7,6\) lít.

Với khí hydrogen: \({{\rm{p}}_1}\;{\rm{V}} = \frac{{{{\rm{m}}_1}}}{{{\mu _1}}}{\rm{R}}{{\rm{T}}_1}\); với khí X: \({{\rm{p}}_2}\;{\rm{V}} = \frac{{{{\rm{m}}_2}}}{{{\mu _2}}}{\rm{R}}{{\rm{T}}_2}.\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\rm{p}}_1}}}{{{{\rm{p}}_2}}} = \frac{{{{\rm{m}}_1}}}{{\;{{\rm{m}}_2}}} \cdot \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}} \cdot \frac{{{{\rm{T}}_1}}}{{\;{{\rm{T}}_2}}} \Rightarrow {\mu _2} = \frac{{{{\rm{m}}_2}}}{{\;{{\rm{m}}_1}}} \cdot \frac{{{{\rm{p}}_1}}}{{{{\rm{p}}_2}}} \cdot \frac{{{{\rm{T}}_2}}}{{\;{{\rm{T}}_1}}} \cdot {\mu _1}.\)

Trong đó: \({m_1} = 4,0\;{\rm{g}};{{\rm{T}}_1} = 53 + 273 = 326\;{\rm{K}};{{\rm{p}}_1} = 44,{4.10^5}\;{\rm{N}}/{{\rm{m}}^2};{\mu _1} = 2;{{\rm{m}}_2} = 8,0\;{\rm{g}}\);

\({{\rm{T}}_2} = 27 + 273 = 300\;{\rm{K}};{{\rm{p}}_2} = 5,{0.10^5}\;{\rm{N}}/{{\rm{m}}^2} \Rightarrow {\mu _2} = \frac{8}{4} \cdot \frac{{44,4 \cdot {{10}^5}}}{{5,0 \cdot {{10}^5}}} \cdot \frac{{300}}{{326}} \cdot 2 = 32.{\rm{ }}\)

Vậy đơn chất có \(\mu = 32\) chính là oxygen \(\left( {{{\rm{O}}_2}} \right).\)

Từ phương trình Claperon - Mendeleev: \({\rm{pV}} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }{\rm{RT}} \Rightarrow {{\rm{V}}_1} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }\frac{{{\rm{R}}{{\rm{T}}_1}}}{{{{\rm{p}}_1}}}.\)

Với: \({\rm{m}} = 10\;{\rm{g}};\mu = 32;{{\rm{T}}_1} = 47 + 273 = 320\;{\rm{K}};{{\rm{p}}_1} = 2,1\) atm; \({\rm{R}} = 0,084\) (atm.lít \(/{\rm{mol}}.{\rm{K}}\))

\( \Rightarrow {{\rm{V}}_1} = \frac{{10}}{{32}} \cdot \frac{{0,084 \cdot 320}}{{2,1}} = 4\) lít.

Từ phương trình Claperon – Mendeleev, ta có: \({\rm{pV}} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }{\rm{RT}} \Rightarrow {\rm{p}} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }\frac{{{\rm{RT}}}}{{\rm{V}}}\)

Để bình không vỡ:

\({\rm{p}} \le 2,1 \Rightarrow \frac{{\rm{m}}}{\mu }\frac{{{\rm{RT}}}}{{\rm{V}}} \le 2,1 \Rightarrow {\rm{T}} \le \frac{{2,1\mu {\rm{V}}}}{{{\rm{mR}}}} \Rightarrow {\rm{T}} \le \frac{{2,1 \cdot 32 \cdot 2,2}}{{5 \cdot 0,084}} = 352\;{\rm{K hay }}{79^\circ }{\rm{C}}{\rm{. }}\)

Từ phương trình Claperon – Mendeleev, ta có: \({\rm{pV}} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }{\rm{RT}} \Rightarrow \frac{{\rm{m}}}{{\rm{V}}} = \frac{{\mu {\rm{p}}}}{{{\rm{RT}}}}\).

Khối lượng riêng của khí: \({\rm{D}} = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{V}}} = \frac{{\mu {\rm{p}}}}{{{\rm{RT}}}}\). Với:

\(\mu = 2(\;{\rm{kg}}/{\rm{kmol}});{\rm{p}} = 99720\left( {\;{\rm{N}}/{{\rm{m}}^2}} \right);{\rm{R}} = 8,31 \cdot {10^3}(\;{\rm{kJ}}/{\rm{kmol}}.{\rm{K}});{\rm{T}} = 27 + 273 = 300\;{\rm{K}}\)

\( \Rightarrow {\rm{D}} = \frac{{\mu {\rm{p}}}}{{{\rm{RT}}}} = \frac{{2.99720}}{{8,31 \cdot {{10}^3} \cdot 300}} = 0,08\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}.\)

Trên mặt đất, khối lượng riêng của không khí là: \({{\rm{D}}_1} = \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{V}}_1}}} = \frac{{\mu {{\rm{p}}_1}}}{{{\rm{R}}{{\rm{T}}_1}}}.\)

Ở độ cao h, khối lượng riêng của không khí là: \({D_2} = \frac{m}{{{V_2}}} = \frac{{\mu {p_2}}}{{R{T_2}}}.\)

\( \Rightarrow {{\rm{D}}_2} = \frac{{{{\rm{p}}_2}}}{{{{\rm{p}}_1}}} \cdot \frac{{{{\rm{T}}_1}}}{{\;{{\rm{T}}_2}}} \cdot {{\rm{D}}_1}\) với \({{\rm{p}}_2} = 230{\rm{mmHg}},{{\rm{T}}_2} = - 43 + 273 = 230\;{\rm{K}};{{\rm{p}}_2} = 760{\rm{mmHg}};\)

\({{\rm{T}}_1} = 15 + 273 = 288\;{\rm{K}},{{\rm{D}}_1} = 1,22\left( {\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}} \right) \Rightarrow {{\rm{D}}_2} = \frac{{230}}{{760}} \cdot \frac{{288}}{{230}} \cdot 1,22 = 0,46\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}.\)

Vậy khối lượng riêng của không khí ở độ cao nói trên là \(0,46\;{\rm{kg}}/{{\rm{m}}^3}.\)

Từ phương trình Claperon - Mendeleev: \({\rm{pV}} = {\rm{nRT}} \Rightarrow {\rm{n}} = \frac{{{\rm{pV}}}}{{{\rm{RT}}}}\).

• Số mol trong bình trước khi rò rỉ là: \({{\rm{n}}_1} = \frac{{{{\rm{p}}_1}\;{\rm{V}}}}{{{\rm{RT}}}}\).

• Số mol sau khi rò rỉ là \({{\rm{n}}_2} = \frac{{{p_2}\;{\rm{V}}}}{{{\rm{RT}}}}\).

• Khi khí thoát ra ngoài thì thể tích và nhiệt độ của lượng khí còn lại không thay đổi. Do đó số mol khí thoát ra ngoài là:

\(\Delta n = {n_1} - {n_2} = \frac{{\left( {{p_1} - {p_2}} \right) v}}{{RT}} = \frac{{(500 - 325) \cdot {{10}^3} \cdot 4 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{8,31 \cdot 300}} = 0,28\;{\rm{mol}}.\)

Ở nhiệt độ \({{\rm{T}}_1} = 17 + 273 = 290\;{\rm{K}}\), khối lượng khí trong phòng là: \({{\rm{m}}_1} = \frac{{\mu {\rm{pV}}}}{{{\rm{R}}{{\rm{T}}_1}}}.\)

Ở nhiệt độ \({{\rm{T}}_2} = 27 + 273 = 300\;{\rm{K}}\), khối lượng khí trong phòng là: \({{\rm{m}}_2} = \frac{{\mu {\rm{pV}}}}{{{\rm{R}}{{\rm{T}}_2}}}.\)

Độ biến thiên khối lượng khí là: \(\Delta {\rm{m}} = {{\rm{m}}_2} - {{\rm{m}}_1} = \left( {\frac{{\mu {\rm{pV}}}}{{{\rm{R}}{{\rm{T}}_2}}} - \frac{{\mu {\rm{pV}}}}{{{\rm{R}}{{\rm{T}}_1}}}} \right).\)

\( \Rightarrow \Delta {\rm{m}} = \frac{{\mu {\rm{pV}}}}{{\rm{R}}}\left( {\frac{1}{{\;{{\rm{T}}_2}}} - \frac{1}{{\;{{\rm{T}}_1}}}} \right) = \frac{{29 \cdot 1 \cdot 30 \cdot {{10}^3}}}{{0,084}}\left( {\frac{1}{{300}} - \frac{1}{{290}}} \right) = - 1200\;{\rm{g}} = - 1,2\;{\rm{kg}}{\rm{. }}\)

Vậy: Độ biến thiên khối lượng không khí trong phòng là \(\Delta {\rm{m}} = - 1,2\;{\rm{kg}}.\)

Trạng thái 1: \({{\rm{m}}_1},\;{{\rm{V}}_1},\;{{\rm{T}}_1} = 27 + 273 = 300\;{\rm{K}},{{\rm{p}}_1} = 40\) atm: \({{\rm{p}}_1}\;{{\rm{V}}_1} = \frac{{{{\rm{m}}_1}}}{\mu }{\rm{R}}{{\rm{T}}_1}\)

Trạng thái 2: \({{\rm{m}}_2} = \frac{{{{\rm{m}}_1}}}{2},\;{{\rm{V}}_2} = {{\rm{V}}_1},\;{{\rm{T}}_2} = 12 + 273 = 285\;{\rm{K}},{{\rm{p}}_2}\;{{\rm{V}}_2} = \frac{{{{\rm{m}}_2}}}{\mu }{\rm{R}}{{\rm{T}}_2}\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\rm{p}}_2}\;{{\rm{V}}_2}}}{{{{\rm{p}}_1}\;{{\rm{V}}_1}}} = \frac{{{{\rm{m}}_2}}}{{\;{{\rm{m}}_1}}} \cdot \frac{{{{\rm{T}}_2}}}{{\;{{\rm{T}}_1}}} \Rightarrow {{\rm{p}}_2} = \frac{{{{\rm{m}}_2}}}{{\;{{\rm{m}}_1}}} \cdot \frac{{{{\rm{T}}_2}}}{{\;{{\rm{T}}_1}}} \cdot \frac{{{{\rm{V}}_1}}}{{\;{{\rm{V}}_2}}} \cdot {{\rm{p}}_1} \Rightarrow {{\rm{p}}_2} = 0,5 \cdot \frac{{285}}{{300}} \cdot 1 \cdot 40 = 19\) atm

Gọi m là khối lượng khí đã bơm vào khí cầu.

Từ phương trình Claperon – Mendeleev, ta có: \({\rm{pV}} = \frac{{\rm{m}}}{\mu }{\rm{RT}} \Rightarrow {\rm{m}} = \frac{{\mu {\rm{pV}}}}{{{\rm{RT}}}}.\)

\({\rm{V}} = 328\;{{\rm{m}}^3} = {328.10^3}\ell ;{\rm{T}} = 27 + 273 = 300\;{\rm{K}};{\rm{p}} = 0,9\;{\rm{atm}};\)

\({\rm{R}} = 0,082(\;{\rm{atm}}.\ell /{\rm{mol}}.{\rm{K}});\mu = 2(\;{\rm{g}}/{\rm{mol}}) \Rightarrow {\rm{m}} = \frac{{2.0,9.328 \cdot {{10}^3}}}{{0,082.300}} = 24000\;{\rm{g}}\)

Thời gian bơm: \({\rm{t}} = \frac{{\rm{m}}}{{2,5}} = \frac{{24000}}{{2,5}} = 9600\;{\rm{s}} = 2\;{\rm{h}}40\) phút.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Phương trình Claperon – Mendeleev của khí lí tưởng là \(pV = nRT\), nên phát biểu a đúng.

Trong hệ SI, đơn vị của áp suất là pascal (Pa), nên phát biểu b đúng.

Đại lượng \(n\) là số mol của lượng khí đang xét, nên phát biểu c đúng.

Hằng số khí \(R = 8,31{\rm{\;J/mol}}{\rm{.K}}\) là hằng số chung cho mọi khí lí tưởng, không phụ thuộc vào loại khí. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(V = \frac{{nRT}}{p} = \frac{{0,50 \times 8,31 \times 300}}{{2,49 \times {{10}^5}}} = 5,0 \times {10^{ - 3}}{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3} = 5,0\) l.

Vì vậy phát biểu a và b đúng.

Khi áp suất và nhiệt độ không đổi, phương trình cho thấy thể tích tỉ lệ thuận với số mol, nên phát biểu c đúng.

Nếu nhiệt độ tăng trong khi áp suất không đổi thì thể tích phải tăng, không thể không đổi. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Khối lượng khí là \(m = nM = 2,0 \times 28 = 56\) g.

Do lượng khí không thay đổi nên số mol và khối lượng đều không đổi.

Khối lượng mol của nitơ là \(28{\rm{\;g/mol}} = 0,028{\rm{\;kg/mol}}\).

Khối lượng khí không phải 28 g mà là 56 g. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(p = \frac{{nRT}}{V} = \frac{{0,80 \times 8,31 \times 350}}{{7,75 \times {{10}^{ - 3}}}} \approx 3,00 \times {10^5}\) Pa.

Suy ra áp suất bằng \(300\) kPa.

Nếu thể tích giảm một nửa, áp suất tăng gấp đôi theo phương trình \(pV = nRT\).

Nếu nhiệt độ giảm một nửa thì áp suất cũng giảm một nửa, không tăng gấp đôi. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(V = \frac{{1,20 \times 8,31 \times 400}}{{4,0 \times {{10}^5}}} = 9,97 \times {10^{ - 3}}{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3} \approx 1,0 \times {10^{ - 2}}{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Đổi đơn vị được \(V \approx 10\) l.

Khi nhiệt độ và thể tích không đổi, áp suất tỉ lệ thuận với số mol.

Số mol tăng từ \(1,20\) lên \(1,50\) mol nên áp suất tăng theo tỉ số \(\frac{{1,50}}{{1,20}} = 1,25\).

Do đó \({p_2} = 1,25 \times 4,0 \times {10^5} = 5,0 \times {10^5}\) Pa.

Nếu số mol giảm còn một nửa thì áp suất cũng giảm còn một nửa, không tăng gấp đôi. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(p = \frac{{nRT}}{V} = \frac{{1,00 \times 8,31 \times 400}}{{8,31 \times {{10}^{ - 3}}}} = 4,0 \times {10^5}\) Pa.

Đổi đơn vị: \(400\) kPa.

Nếu nhiệt độ tăng lên 500 K thì áp suất tăng theo tỉ lệ \(\frac{{500}}{{400}}\), nên \({p_2} = 5,0 \times {10^5}\) Pa.

Nếu số mol giảm còn một nửa thì áp suất cũng giảm còn một nửa, không tăng gấp đôi. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có: \(V = \frac{{2,0 \times 8,31 \times 300}}{{4,986 \times {{10}^5}}} = 0,010{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Khối lượng khí: \(m = nM = 2,0 \times 4,0 = 8,0\) g.

Khi số mol tăng từ \(2,0\) lên \(3,0\) mol, áp suất tăng theo cùng tỉ lệ:

\({p_2} = \frac{{3,0}}{{2,0}} \times 4,986 \times {10^5} = 7,479 \times {10^5}\) Pa.

Nếu số mol giảm còn một nửa thì áp suất cũng giảm còn một nửa. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Đổi \(15,0\) l = \(0,015{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Áp suất ban đầu: \(p = \frac{{3,0 \times 8,31 \times 300}}{{0,015}} = 4,986 \times {10^5}\) Pa.

Nếu tăng nhiệt độ lên 360 K: \({p_2} = 4,986 \times {10^5} \times \frac{{360}}{{300}} = 5,983 \times {10^5}\) Pa.

Nếu tăng số mol lên 4,5 mol: \({p_3} = 4,986 \times {10^5} \times \frac{{4,5}}{{3,0}} = 7,479 \times {10^5}\) Pa.

Nếu đồng thời tăng số mol và nhiệt độ: \({p_4} = 4,986 \times {10^5} \times \frac{{4,5}}{{3,0}} \times \frac{{360}}{{300}} = 8,9748 \times {10^5}\) Pa.

Giá trị này lớn hơn \(8,0 \times {10^5}\) Pa nên phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Đổi \(20,0\) l = \(0,020{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Số mol khí: \(n = \frac{{pV}}{{RT}} = \frac{{3,0 \times {{10}^5} \times 0,020}}{{8,31 \times 400}} \approx 1,80\) mol.

Nếu tăng nhiệt độ lên 500 K: \({p_2} = 3,0 \times {10^5} \times \frac{{500}}{{400}} = 3,75 \times {10^5}\) Pa.

Nếu số mol tăng gấp đôi thì áp suất cũng tăng gấp đôi.

Nếu giảm thể tích còn một nửa thì áp suất phải tăng gấp đôi, không giảm còn một nửa. Vì vậy phát biểu d sai.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Đổi \(12,0\) l = \(0,012{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Áp suất ban đầu: \({p_1} = \frac{{1,50 \times 8,31 \times 320}}{{0,012}} = 3,324 \times {10^5}\) Pa.

Áp suất cuối: \({p_2} = \frac{{2,00 \times 8,31 \times 400}}{{0,012}} = 5,540 \times {10^5}\) Pa.

Tỉ số: \(\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{2,00}}{{1,50}} \times \frac{{400}}{{320}} = 1,667\).

Như vậy áp suất tăng khoảng \(66,7\% \).

Nếu không bơm thêm khí: \(p = \frac{{1,50 \times 8,31 \times 400}}{{0,012}} = 4,155 \times {10^5}\) Pa.

Do đó phát biểu d đúng.

Đáp án: 2,00.10⁵

Đổi \(8,31\) l = \(8,31 \times {10^{ - 3}}\,{{\rm{m}}^3}\). Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(p = \frac{{nRT}}{V} = \frac{{0,50 \times 8,31 \times 400}}{{8,31 \times {{10}^{ - 3}}}} = 2,00 \times {10^5}{\rm{\;Pa}}.\)

Vậy áp suất của khí là \(2,00 \times {10^5}\) Pa.

Đáp án: 1,00

Đổi \(10,0\) l = \(0,0100\,{{\rm{m}}^3}\). Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(n = \frac{{pV}}{{RT}} = \frac{{2,494 \times {{10}^5} \times 0,0100}}{{8,31 \times 300}} = 1,00{\rm{\;mol}}.\)

Vậy số mol khí trong bình là 1,00 mol.

Đáp án: 110

Áp dụng công thức \(m = nM\): \(m = 2,50 \times 44 = 110\) g. Vậy khối lượng khí trong bình là 110 g.

Đáp án: 3,99.10⁵

Đổi \(15,0\) l = \(0,0150\,{{\rm{m}}^3}\). Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(p = \frac{{nRT}}{V} = \frac{{2,00 \times 8,31 \times 360}}{{0,0150}} = 3,99 \times {10^5}{\rm{\;Pa}}.\)

Vậy áp suất của khí là \(3,99 \times {10^5}\) Pa.

Đáp án: 400

Đổi \(12,0\) l = \(0,0120\,{{\rm{m}}^3}\). Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(T = \frac{{pV}}{{nR}} = \frac{{3,324 \times {{10}^5} \times 0,0120}}{{1,20 \times 8,31}} = 400{\rm{\;K}}.\)

Vậy nhiệt độ của khí là 400 K.

Đáp án: 1,00

Đổi \(16,62\) l = \(1,662 \times {10^{ - 2}}\,{{\rm{m}}^3}\). Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(n = \frac{{pV}}{{RT}} = \frac{{3,00 \times {{10}^5} \times 1,662 \times {{10}^{ - 2}}}}{{8,31 \times 600}} = 1,00{\rm{\;mol}}.\)

Vậy số mol khí trong bình là 1,00 mol.

Đáp án: 84

Áp dụng công thức \(m = nM\): \(m = 3,00 \times 28 = 84\) g. Vậy khối lượng khí trong bình là 84 g.

Đáp án: 3,74.10⁵

Đổi \(20,0\) l = \(0,0200\,{{\rm{m}}^3}\). Sau khi bơm thêm, số mol khí là \(3,00\) mol. Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev:

\(p = \frac{{nRT}}{V} = \frac{{3,00 \times 8,31 \times 300}}{{0,0200}} = 3,74 \times {10^5}{\rm{\;Pa}}.\)

Vậy áp suất sau khi bơm thêm là \(3,74 \times {10^5}\) Pa.

Đáp án: 2,0

Khối lượng khí được bơm thêm là \(m = nM = 0,50 \times 4,0 = 2,0\) g. Vậy khối lượng khí được bơm thêm là 2,0 g.

Đáp án: 5,61.10⁵

Đổi \(10,0\) l = \(0,0100\,{{\rm{m}}^3}\).

Sau khi bơm thêm, số mol khí là \(1,50\) mol. Áp dụng phương trình Claperon – Mendeleev: \(p = \frac{{nRT}}{V} = \frac{{1,50 \times 8,31 \times 450}}{{0,0100}} = 5,61 \times {10^5}{\rm{\;Pa}}.\)

Vậy áp suất của khí ở trạng thái cuối là \(5,61 \times {10^5}\) Pa.