Bài tập Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (có lời giải chi tiết)

Ta có $x^2$– 6x + 8

= $x^2$ – 4x – 2x + 8

= x(x – 4) – 2(x – 4)

= (x – 4)(x – 2)

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $x^2$ – 7x + 10

= $x^2$ – 2x – 5x + 10

= x(x – 2) – 5(x – 2) = (x – 5)(x – 2)

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} 25 – a^2 + 2ab – b^2 \\ = 25 – (a^2 – 2ab + b^2) \\ = 5^2 – {(a – b)}^2 \\ = (5 + a – b)(5 – a + b) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

$$\begin{gathered} m.n^3 – 1 + m – n^3 \\ = (m{n}^3 – n^3) + (m -1) \\ = n^3(m – 1) + (m – 1) \\ =\left(n^3+1\right)\left(m-1\right) \\ = (n + 1)(n^2 – n + 1)(m – 1) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} x^{4 }+ 64 = {\left(x^2\right)}^2 + 16x^2 + 64 – 16x^2 \\ = {\left(x^2\right)}^2 + 2.8.x + 8^2 – {\left(4x\right)}^2 \\ = {(x^2 + 8)}^2 – {\left(4x\right)}^2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} x^8+4 \\ ={\left(x^4\right)}^2+4x^4+4-4x^4 \\ ={\left(x^4\right)}^2+2.2.x^2+2^2-{\left(2x^2\right)}^2 \\ ={\left(x^4+2\right)}^2-{\left(2x^2\right)}^2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} x^2 – 7xy + 10y^2 \\ = x^2 – 2xy – 5xy + 10y^2 \\ = (x^2 – 2xy) – (5xy – 10y^2) \end{gathered}$$

= x(x – 2y) – 5y(x – 2y)

= (x – 2y)(x – 5y)

Vậy ta cần điền x – 5y

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} 4x^2 + 4x – y^2 + 1 \\ = ({\left(2x\right)}^2 + 2.2x + 1) – y^2 \\ = {(2x + 1)}^2 – y^2 \end{gathered}$$

= (2x + 1 – y)(2x + 1 + y)

= (2x – y + 1)(2x + y + 1)

Vậy đa thức trong chỗ trống là 2x – y + 1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

+) 3$x^2$ – 5x – 2 = 3$x^2$+ x – 6x – 2 = x(3x + 1) – 2(3x + 1) = (x – 2)(3x + 1) nên A đúng.

+) $x^2$ + 5x + 4 = $x^2$ + x + 4x + 4 = x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 4)(x + 1) nên B đúng

+) $x^2$ – 9x + 8 = $x^2$– x – 8x + 8 = x(x – 1) – 8(x – 1) = (x – 8)(x – 1) nên C sai

+) $x^2$ + x – 6 = $x^2$+ 3x – 2x – 6 = x(x + 3) – 2(x + 3) = (x – 2)(x + 3) nên D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} x^3 + x^2 – 4x – 4 \\ = (x^3 + x^2) – (4x + 4) \\ = x^2(x + 1) – 4(x + 1) \\ = (x^2 – 4)(x + 1) \end{gathered}$$

= (x – 2)(x + 2)(x + 1) nên A đúng

$x^2 + 10x + 24 = x^2 + 6x + 4x + 24$

= x(x + 6) + 4(x + 6) = (x + 4)(x + 6) nên B đúng

Vậy cả A, B đều đúng

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

+)

$$\begin{gathered} x^4 + 4x^2 – 5 \\ = x^4 – x^2 + 5x^2 – 5 \\ = x^2(x^2 – 1) + 5(x^2 – 1) \\ = (x^2 + 5)(x^2 – 1) \end{gathered}$$

= ($x^2$ + 5)(x – 1)(x + 1) nên A đúng

+) $x^2$+ 5x + 4 = $x^2$ + x + 4x + 4 = x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 4)(x + 1) nên B sai

+) $x^2$ – 9x + 8 = $x^2$ – x – 8x + 8 = x(x – 1) – 8(x – 1) = (x – 1)(x – 8) nên C sai

+) $x^2$ + x – 6 = $x^2$– 2x + 3x – 6 = x(x – 2) + 3(x – 2) = (x – 2)(x + 3) nên D sai

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

+) Đáp án A đúng vì:

$$\begin{gathered} 16x^3 – 54y^3 = 2(8x^3 – 27y^3) \\ = 2[{\left(2x\right)}^3 – {\left(3y\right)}^3] \\ = 2(2x – 3y)[{\left(2x\right)}^2 + 2x.3y + {\left(3y\right)}^2] \\ = 2(2x – 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2) \end{gathered}$$

+) Đáp án B đúng vì:

$$\begin{gathered} x^2 – 9 + (2x + 7)(3 – x) \\ = (x^2 – 9) + (2x + 7)(3 – x) \end{gathered}$$

= (x – 3)(x + 3) – (2x + 7)(x – 3)

= (x – 3)(x + 3 – 2x – 7)

= (x – 3)(-x – 4)

+) Đáp án C đúng vì:

$$\begin{gathered} x^4 – 4x^3 + 4x^2 \\ = x^2(x^2 – 4x + 4) \\ = x^2(x^2 – 2.2.x + 2^2) \\ = x^2{(x – 2)}^2. \end{gathered}$$

+) Đáp án D sai vì:

$$\begin{gathered} 4x^3 – 4x^2 – x + 1 \\ = (4x^3 – 4x^2) – (x – 1) \\ = 4x^2(x – 1) – (x – 1) \\ = (4x^2 – 1)(x – 1) \\ = ({\left(2x\right)}^2 – 1)(x – 1) \end{gathered}$$

= (2x – 1)(2x + 1)(x – 1)

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

(I): $$\begin{gathered} 4x^2 + 4x – 9y^2 + 1 \\ = (4x^2 + 4x + 1) – 9y^2 \\ = {(2x + 1)}^2 – {\left(3y\right)}^2 \end{gathered}$$

= (2x + 1 + 3y)(2x + 1 – 3y) nên (I) đúng

Và

(II):

$$\begin{gathered} 5x^2 – 10xy + 5y^2 – 20z^2 \\ = 5(x^2 – 2xy + y^2 – 4z^2) \\ = 5[{(x – y)}^2 – {\left(2z\right)}^2] \end{gathered}$$

= 5(x – y – 2z)(x – y + 2z) nên (II) sai

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

(A):

$$\begin{gathered} 16x^4(x – y) – x + y \\ = 16x^4(x – y) – (x – y) \\ = (16x^4 – 1)(x – y) \\ = [{\left(2x\right)}^4 – 1](x – y) \\ = [{\left(2x\right)}^2 – 1][{\left(2x\right)}^2 + 1](x – y) \\ = (2x – 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)(x – y) \end{gathered}$$

Nên (A) sai

Và (B):

$$\begin{gathered} 2x^{3}y – 2x{y}^3 – 4x{y}^2 – 2xy \\ = 2xy(x^2 – y^2 – 2y – 1) \\ = 2xy[x^2 – (y^2 + 2y + 1\left)\right] \\ = 2xy[x^2 – {(y + 1)}^2] \\ = 2xy(x – y – 1)(x + y + 1). \end{gathered}$$

Nên (B) sai.

Vậy cả (A) và (B) đều sai.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

($x^2$+ x)${}^2$ + 4$x^2$ + 4x - 12 =${\left(x^2+x\right)}^2+4\left(x^2+x\right)-12$

Đặt t = $x^2$ + x ta được

$$\begin{gathered} t^2 + 4t – 12 \\ = t^2 + 6t – 2t – 12 \\ = t(t + 6) – 2(t + 6) \\ = (t – 2)(t + 6) \\ = (x^2 + x – 2)(x^2 + x + 6) \end{gathered}$$

Vậy số cần điền là 6.

Đáp án cần chọn là: D

Đặt t = $x^2$ – 4x ta được:

$t^2 + 8t + 15 = t^2 + 3t + 5t + 15$ = t(t + 3) + 5(t + 3) = (t + 5)(t + 3)

Suy ra

$$\begin{gathered} { (x^2 – 4x)}^2 + 8(x^2 – 4x) + 15 \\ = (x^2 – 4x + 5)(x^2 – 4x + 3) \\ = (x^2 – 4x + 5)(x^2 – 3x – x + 3) \\ = (x^2 – 4x + 5)\left(x\right(x – 3) – (x – 3\left)\right) \\ = (x^2 – 4x + 5)(x – 1)(x – 3) \end{gathered}$$

Vậy số cần điền là -3.

Đáp số cần chọn là: A

Ta có T = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24

          = [(x + 2)(x + 5)].[(x + 3)(x + 4)] – 24

          = ($x^2$ + 7x + 10).($x^2$ + 7x + 12) – 24

Đặt $x^2$ + 7x + 11= t, ta được

T = (t – 1)(t + 1) – 24 = $t^2$ – 1 – 24 = $t^2$ – 25 = (t – 5)(t + 5)

Thay t = $x^2$ + 7x + 11, ta được

T = (t – 5)(t + 5) = ($x^2$ + 7x + 11 – 5)( $x^2$ + 7x + 11 + 5)

= ($x^2$ + 7x + 6)( $x^2$ + 7x + 16)

Suy ra a = 6; b = 16 => a – b = -10

Đáp án cần chọn là: D

Gọi T = (x – 1)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 27

          = [(x – 1)(x + 4)].[(x – 2)(x + 5)] – 27

          = ($x^2$ + 3x – 4).($x^2$ + 3x – 10) – 27

Đặt $x^2$ + 3x – 7 = t   

Từ đó ta có T = (t – 3)(t + 3) – 27 = $t^2$ – 9 – 27 = $t^2$ – 36 = (t – 6)(t + 6)

Thay t = $x^2$ + 3x – 7 ta được

T = ($x^2$ + 3x – 7 – 6)( $x^2$ + 3x – 7 + 6)

= ($x^2$ + 3x – 13)( $x^2$ + 3x – 1) suy ra a = -13; b = -1 => a + b = -14

Đáp án cần chọn là: D

Ta có 3$x^2$ + 8x + 5 = 0

ó 3$x^2$ + 3x + 5x + 5 = 0 ó 3x(x + 1) + 5(x + 1) = 0

ó (3x + 5)(x + 1) = 0 

Vậy $x=\frac{-5}{3}; x=-1$

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} x^3 – x^2 – x + 1 = 0 \\ \iff (x^3 – x^2) – (x – 1) = 0 \\ \iff x^2(x – 1) – (x – 1) = 0 \\ \iff (x^2 – 1)(x – 1) = 0 \\ \iff (x – 1)(x + 1)(x – 1) = 0 \\ \iff {(x – 1)}^2(x + 1) = 0 \end{gathered}$$

Vậy x = 1 hoặc x = -1

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} 4{(x – 3)}^2 – (2x – 1)(2x + 1) = 10 \\ \iff 4(x^2 – 6x + 9) – (4x^2 – 1) = 10 \\ \iff 4x^2 – 24x + 36 – 4x^2 + 1 – 10 = 0 \end{gathered}$$

ó -24x + 27 = 0 ó x =  $\frac{9}{8}$

Vậy có một giá trị x thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C

$$\begin{gathered} 2(x + 3) – x^2 – 3x = 0 \\ \iff 2(x + 3) – x^2 – 3x = 0 \\ \iff 2(x + 3) – (x^2 + 3x) = 0 \end{gathered}$$

ó 2(x + 3) – x(x + 3) = 0

ó (2 – x)(x + 3) = 0

Vậy có hai giá trị x thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $$\begin{gathered} x^4 – 4x^3 + 8x^2 – 16x + 16 = 0 \\ \iff (x^4 + 8x^2 + 16) – (4x^3 + 16x) = 0 \\ \iff {\left(x^2+4\right)}^2-4x\left(x^2+4\right)=0 \\ \iff \left(x^2+4\right)\left(x^2+4-4x\right)=0 \\ \iff \left(x^2+4\right){\left(x-2\right)}^2=0 \end{gathered}$$ 

ó x = 2

Vậy $x_0$ = 2

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} x^4 + 2x^3 – 8x – 16 = 0 \\ \iff (x^4 + 2x^3) – (8x + 16) = 0 \\ \iff x^3(x + 2) – 8(x + 2) = 0 \\ \iff (x^3 – 8)(x + 2) = 0 \end{gathered}$$

Mà $x_0$ < 0 nên $x_0$ = -2 suy ra -3< $x_0$ < -1

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} 3x^2 + 13x + 10 = 0 \\ \iff 3x^2 + 3x + 10x + 10 = 0 \end{gathered}$$

ó 3x(x + 1) + 10(x + 1) = 0

ó (x + 1)(3x + 10) = 0

=> 2$x_1{x}_2$ =  $2.(-1).\left(\frac{-10}{3}\right)=\frac{20}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} x^2 + 3x – 18 = 0 \\ \iff x^2 + 6x – 3x – 18 = 0 \\ \iff (x^2 – 3x) +(6x – 18) = 0 \end{gathered}$$

ó x(x – 3) + 6(x – 3) = 0

ó (x + 6)(x – 3) = 0

Suy ra $x_1 = 3; x_2 = -6 (do x_1 > x_2)$

=>  $\frac{x_1}{x_2}=\frac{3}{-6}=\frac{-1}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} A = x^2 – 4y^2 + 4x + 4 \\ = (x^2 + 4x + 4) – 4y^2 \\ = {(x + 2)}^2 – {\left(2y\right)}^2 \end{gathered}$$

= (x + 2 – 2y)(x + 2 + 2y)

Thay x = 62; y = -18 ta được

A = $(62 + 2 – 2.(-18\left)\right)(62 + 2 + 2.(-18\left)\right)$ = 100.28 = 2800

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} B = x^3 + x^{2}y – x{y}^2 – y^3 \\ = x^2(x + y) – y^2(x + y) \\ = (x^2 – y^2)(x + y) \\ = (x – y)(x + y)(x + y) \\ = (x – y){(x + y)}^2 \end{gathered}$$

Thay x = 3,25 ; y = 6,75 ta được

$$\begin{gathered} B = (3,25 – 6,75){(3,25 + 6,75)}^2 \\ = -3,5.{10}^2 = -350 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} 6x^3 + x^2 - 2x = 0 \\ x(6x^2 + x – 2) = 0 \\ x(6x^2 + 4x – 3x – 2) = 0 \end{gathered}$$

x[2x(3x + 2) – (3x + 2)] = 0

x(3x + 2)(2x – 1) = 0

=> x = 0 hoặc 3x + 2 = 0 hoặc 2x – 1 = 0

Suy ra x = 0; $x=-\frac{2}{3}; x=\frac{1}{2}$ 

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $x=-\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} x^3 + x^2 = 36 \\ \iff x^3 + x^2 – 36 = 0 \\ \iff x^3 – 3x^2 + 4x^2 – 12x + 12x – 36 = 0 \\ \iff x^2(x – 3) + 4x(x – 3) + 12(x – 3) = 0 \\ \iff (x – 3)(x^2 + 4x + 12) = 0 \end{gathered}$$

Vậy có 1 giá trị của x thỏa mãn đề bài là x = 3

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

C = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1

= (xyz – xy) – (yz – y) – (zx – x) + (z – 1)

= xy(z – 1) – y(z – 1) – x(z – 1) + (z – 1)

= (z – 1)(xy – y – x + 1)

= (z – 1).[y(x – 1) – (x – 1)]

= (z – 1)(y – 1)(x – 1)

Với x = 9; y = 10; z = 101 ta có

C = (101 – 1)(10 – 1)(9 – 1) = 100.9.8 = 7200

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} D = a(b^2 + c^2) – b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) – 2abc \\ = a{b}^2 + a{c}^2 – b{c}^2 – b{a}^2 + c{a}^2 + c{b}^2 – 2abc \\ = (a{b}^2 – a^{2}b) + (a{c}^2 – b{c}^2) + (a^{2}c – 2abc + b^{2}c) \\ = ab(b – a) + c^2(a – b) + c(a^2 – 2ab + b^2) \\ = -ab(a – b) + c^2(a – b) + c{(a – b)}^2 = (a – b)(-ab + c^2 + c(a – b\left)\right) \\ = (a – b)(-ab + c^2 + ac – bc) \\ = (a – b)\left[\right(-ab + ac) + (c^2 – bc\left)\right] \end{gathered}$$

= (a – b)[a(c – b) + c(c – b)]

= (a – b)(a + c)(c – b)

Với a = 99; b = -9; c = 1, ta có

D = (99 - (-9))(99 + 1) (1 - (-9)) = 108.100.10 = 108000

Đáp án cần chọn là: B

$$\begin{gathered} D = (x^3 + y^3) – xy(x + y) \\ = (x + y)(x^2 – xy + y^2) – xy(x + y) \\ = (x + y)(x^2 – xy + y^2 – xy) \\ = (x + y)\left[x\right(x – y) – y(x – y\left)\right] \\ = (x + y){(x – y)}^2 \end{gathered}$$

Vì x = y ó x – y = 0 nên $D = (x + y){(x – y)}^2 = 0$

Đáp án cần chọn là: D

$$\begin{gathered} E = 2x^3 – 2y^3 – 3x^2 – 3y^2 \\ = 2(x^3 – y^3) – 3(x^2 + y^2) \\ = 2(x – y)(x^2 + xy + y^2) – 3(x^2 + y^2) \end{gathered}$$

Vì x – y = 1 nên

$$\begin{gathered} E = 2(x^2 + y^2 + xy) – 3x^2 – 3y^2 \\ = -(x^2 – 2xy + y^2) = -{(x – y)}^2 = -1 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

= ab(a – b) + bc[b – a + a – c] + ac(c – a)

= ab(a – b) – bc(a – b) + bc(a – c) – ac(a – c)

= (a – b)(ab – bc) + (a – c)(bc – ac)

= b(a – b)(a – c) – c(a – c)(a – b)

= (a – b)(a – c)(b – c)

Đáp án cần chọn là: A

Thêm bớt abc vào M ta có

M = ab(a + b + c) – bc(b + c) – abc + ca(c + a) + abc

= ab(a + b + c) – bc(a + b + c) + ac(a + b + c)

=(a + b + c)(ab – bc + ac)

Đáp án cần chọn là: D